7 bài toán min max của số phức

Giải Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi... Mô đun của số phức z là độ dài đoạn thẳng OM với O là gốc tọa độ.

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

BÀI GIẢNG: MIN MAX SỐ PHỨC

* Phương pháp chung

+) Phương pháp đại số:

 Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A  B  A B  A  B

 Thế ẩn rồi sử dụng đạo hàm

 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 2 2 2 2

(ac bd ) (a b )(c d ) +) Phương pháp hình học

Ví dụ 1: Cho z thỏa mãn z 2 4i  5 Tìm max z

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi

Ta có: z   2 4i   z 2 4i  z 20 5 z 20 53 5

 max z 3 5

 Đáp án A

Ví dụ 2: Cho z 3 4i 2 Tìm max z1

Giải

Ta có:

          

      

z

     max z 1 4 22

 Đáp án D

Ví dụ 3: Cho (1i z)  1 7i  2 Tìm max z

Giải

Ta có: (1i z)  1 7i  2

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

1 7

1

i

i



Mà z   3 4i    z ( 3 4 )i     1 z 3 4i 1

5 1 6

z

    max z 6

Ví dụ 4: Cho z 1 2i   z 2 i Đặt w  z 2 3i tìm min w

Giải

Đặt z x yi  ( ;x y ) Điều kiện đã cho trở thành

+) x  yi 1 2i     x yi 2 i (x1)2 (y 2)2  (x2)2 (y 1)2

3

 

+) w    x yi 2 3i  (x2)2(y3)2 (1)

Thế x3y vào (1) ta được w  (3y2)2 (y 3)2  10y26y13

2

10

y

Nhận thấy 3

10

y  thì w min

Vậy min 11 10

10

Ví dụ 5: Cho 2

2 5 ( 1 2 )( 3 1)

z  z  z  i z i Tìm min w với w  z 2 2 i

A 3

2

Giải

Ta có 2

2

(z1) 4i  (z 1 2 )(i z 3i 1)

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

( 1 2 )( 1 2 ) ( 1 2 )( 3 1)

         

   

 

    



+) z 1 2i       0 z 1 2i w 1  w 1

+) z 1 2i    z 3i 1 (x1)2(y2)2  (x1)2(y3)2 (Đặt z x yi ( ;x y ))

2

2

y 

2 2

 

 

Vậy min w 1

 Đáp án C

Ví dụ 6: Cho z z1; 2 thỏa mãn z1z2 1; z1z2 3 Tính maxT  z1  z2

Giải

Đặt z1  x1 y i z1; 2 x2y i2 ( ,x y x y1 1, 2, 2 ) Điều kiện đã cho trở thành

1 1 2 2 1 ( 1 2) ( 1 2) 1

         

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

+) z1z2  3 x1y i1  x2 y i2 3

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 9

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được x12x22y12y22 5

+) T  z1  z2  x12y12  x22y22

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

 maxT  10

 Đáp án D

Ví dụ 7: Cho z 1 2.Tìm maxT     z i z 2 i

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Giải

Đặt z x yi  ( ;x y )

(x1) y  2(x1) y 2 +) T  x2(y1)2  (x2)2(y1)2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

2 2

2 2

     

Thay (x1)2y2 2 ta được

4.(2 2) 4

Vậy maxT 4

Ví dụ 8: Cho z 2 3i 1 Tìm giá trị lớn nhất của z 1 i là:

Giải

Đặt z x yi  ( ;x y ) Điều kiện đã cho trở thành

+) x 2 (y3)i 1

(x 2) (y 3) 1 x y 4x 6y 12 0

+) z  1 i (x1)2(y1)2 = x2y22x2y2 (1)

Thay x2y2 4x6y12 vào (1) ta được

1

z i = 4x6y 12 2x2y 2 6x4y10

Xét 6x4y106(x 2) 4(y 3) 14

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

6(x 2) 4(y 3) (6 4 ) ( x2) (y3)   52.1 52

6(x 2) 4(y 3) 14 52 14 6x 4y 10 52 14

5 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

        = 13 1

+) Phương pháp hình học

 Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức Có 4 tập hợp điểm thường gặp

+) Đường thẳng

+) Đường tròn

+) Đường elip

+) Parabol

Gọi z x yi ( ,x y ) có điểm biểu diễn là M x y( , )

 Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức Từ đó tìm max, min của mô đun

Chú ý: Số phức z x yi ( ,x y ) có điểm biểu diễn là M x y( , ) Mô đun của số phức z là độ dài

đoạn thẳng OM với O là gốc tọa độ

Ví dụ 1: Cho số phức z x yi thỏa mãn z 2 4i  z 2i đồng thời có mô đun nhỏ nhất Tính

2 2

A N8 B N10 C N16 D N26

Giải

Gọi M x y( , ) là điểm biểu diễn của số phức z x yi

(x 2) (y 4) x (y 2) 4x 4 8y 16 4y 4

4x 4y 16 x y 4 0

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của z là một đường thẳng x  y 4 0

+) N x2y2  z2

N

 min z minOM min OM d x:   y 4 0

(2, 2)

M

  N 2222 8

 Đáp án A

6 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Ví dụ 10: Cho z (2 4 )i 2 Tìm max, min của z 2i 1

Giải

Gọi M x y( , ) là điểm biểu diễn của số phức z x yi

+) z (2 4 )i   2 (x 2)2 (y 4)2 4

( , )

M x y

 nằm trên đường tròn tâm I(2, 4), bán kính R2

z  i x  y  MA (với A(1, 2) )

2 1

   min MAmin M C

2 1

z i max MAmax.M D

(1, 6)

Phương trình đường thẳng AI là:

6x  y 8 0

Tọa độ của C D, là nghiệm của hệ

  





   

Từ hệ trên ta tính được MC MD,

Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z   4 z 4 10. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là:

Giải

Đặt z x yi  ( ;x y ) Điều kiện đã cho trở thành

(x4) y  (x4) y 10 (1)

Gọi M x y( , ) là điểm biểu diễn của số phức z x yi

Từ (1) MA MB 10 (với A(4, 0), ( 4, 0)B  )

7 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Suy ra tập hợp điểm M nằm trên elip có:

+) a5

+) b3, c4

Vì M nằm trên elip nên z minOM min M A ; z max OM maxM B

Vậy giá trị lớn nhất của z là 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của z là 3

 Đáp án D