XỬ lý số tín HIỆU 2

 Phillips et al., Signals, Systems and Transforms, 4th ed., Prentice Hall, 2007.  Proakis and Manolakis, Digital Signal Processing –principles, algorithms and applications, 4th ed, Pretice Hall, 2006.

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU 2 (DSP2)

THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ

Hồ Phước Tiến (hptien@yahoo.com)

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Nội dung

 Căn bản về xử lý số tín hiệu (DSP1)

 Hệ thống LTI

 Biến đổi Z

 Biến Fourier thời gian rời rạc (DTFT)

 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

 Cấu trúc bộ lọc số

 Thiết kế bộ lọc số FIR

 Thiết kế bộ lọc số IIR

Tài liệu tham khảo

- Ingle and Proakis, Digital Signal Processing using

Matlab, 3rd ed, Cengage Learning, 2011.

- Ví dụ, code…

- Phillips et al., Signals, Systems and Transforms, 4th ed.,

Prentice Hall, 2007

- Proakis and Manolakis, Digital Signal Processing –

principles, algorithms and applications, 4th ed, Pretice

Hall, 2006

Kiểm tra

- Bài tập

- Báo cáo

- Vấn đáp

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU 1

(DSP1)

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Nội dung

 Tín hiệu rời rạc

 Hệ thống rời rạc LTI

 Biến đổi Z

 Biến Fourier thời gian rời rạc (DTFT)

 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Tài liệu tham khảo

 Phillips et al., Signals, Systems and Transforms, 4th ed.,

Prentice Hall, 2007

 Proakis and Manolakis, Digital Signal Processing –

principles, algorithms and applications, 4th ed, Pretice

Hall, 2006

Cấu trúc bộ lọc

(Phần 1)

Phân loại dựa trên đặc tính pha

 Trong nhiều ứng dụng, bộ lọc số được yêu cầu không làm sái dạng (distort) pha của các thành phần tín hiệu đầu vào trong dải thông

 Một cách để tránh sái dạng pha là tạo ra một đáp ứng tần số của bộ lọc có giá trị thực và không âm, nghĩa là thiết kế một bộ lọc có pha bằng 0

 Tuy nhiên, không thể thiết kế bộ lọc số nhân quả có pha bằng 0

)(ejw

H

e H e

X e

H e

X e

Y

jw H j jw

jw jw

jw

) (

) (

) (

) (

)

Hàm truyền có pha bằng không

 Đối với những ứng dụng không phải là thời gian thực(real time) của tín hiệu đầu vào là thực và có chiều dàihữu hạn, bộ lọc có pha bằng không có thể đạt đượcbằng cách bỏ qua yêu cầu về nhân quả (causality)

 Sơ đồ bộ lọc có pha bằng không có thể như sau:

 Kiểm tra trong miền tần số !

Với X(ejw), U(ejw), V(ejw), Y(ejw) lần lượt là DTFT của x[n], u[n], v[n] và y[n]

Hàm truyền có pha bằng không

 Từ hình trước, ta có:

Hàm truyền có pha tuyến tính

 Trong trường hợp hàm truyền nhân quả có đáp ứng pha khác không, sự sai dạng về pha có thể tránh được bằng cách đảm bảo hàm truyền có biên độ bằng 1 và pha tuyến tính trong dải tần mong muốn

 Dạng chung nhất của bộ lọc có pha tuyến tính có đáp ứng tần số như sau:

có pha tuyến tính từ w=0 đến w=2π Chú ý rằng:

jDw jw

e e

H ( )  

D w

e



 )

(

1 )

(



Hàm truyền có pha tuyến tính

 Đầu ra y[n] của bộ lọc này với đầu vào x[n]=Ae jwn sẽ là:

 Nếu x a (t) và y a (t) là tín hiệu thời gian liên tục, mà lấy mẫu tại

t = nT sẽ cho x[n] và y[n] ở trên, thì độ trễ giữa x a (t) và y a (t)

chính là độ trễ nhóm (group delay) có giá trị là D (dạng

sóng của tín hiệu ra giống hệt dạng sóng tín hiệu vào và trễ

đi D đơn vị thời gian)

 Nếu D là số nguyên, thì y[n] giống hệt x[n], nhưng trễ đi D mẫu Nếu D không phải số nguyên, y[n], bị làm trễ một

lượng có dạng phân số, sẽ không giống hệt x[n]

) (

] [ n Ae jwne jDw Ae jw n D

Hàm truyền có pha tuyến tính

 Nếu muốn các thành phần của tín hiệu đầu vào được

truyền qua dải tần nào đó mà không bị sái dạng về cả

biên độ lẫn pha, thì hàm truyền phải có biên độ bằng 1 và pha tuyến tính trong dải tần mong muốn

 Hình bên minh họa bộ lọc thông

thấp có pha tuyến tính trong dải

Tại sao pha tuyến tính?

 Vì bộ lọc pha tuyến tính có độ trễ nhóm là hằng số, tất

cả các thành phần tần số sẽ có cùng độ trễ về thời gian

 Hệ thống có pha tuyến tính thỏa tính chất về độ trễ thờigian thực (true time delay) (độ trễ thời gian bất biến theotần số) Do đó, không có sái dạng liên quan đến tần sốđược chọn Trong nhiều ứng dụng, độ trễ nhóm là hằng

số có nhiều ưu điểm

 Ngược lại, bộ lọc có pha không tuyến tính sẽ có độ trễnhóm thay đổi theo tần số, dẫn đến sái dạng về pha(phase distortion)

Ví dụ về bộ lọc pha tuyến tính/không tuyến tính

Một chút sâu hơn về trễ nhóm

 Trễ nhóm là một phép đo về thời gian chuyển tiếp

(transit time) theo tần số của một tín hiệu đi qua mộtthiết bị được test (device under test -DUT), (tất cả tínhiệu đều bị trễ khi đi qua một thiết bị như không khí, bộkhuếch đại hay loa)

 Độ trễ nhỏ thường không phải là vấn đề, nhưng nếu độtrễ là khác nhau với các tần số khác nhau và tín hiệubao gồm nhiều hơn một tần số thì hình dạng của tín hiệu

sẽ bị sái dạng Nói một cách ngắn gọn, trễ nhóm liênquan đến độ trễ khác nhau với các tần số khác nhau

 Trễ nhóm có vai trò quan trọng trong lĩnh vực âm thanh,

đặc biệt trong việc tái hiện (reproduction) lại âm thanh.

Nhiều thành phần của quá trình tái hiện âm thanh, nhất

là loa và hệ thống loa đa đường (multiway loudspeakers crossover networks), gây nên trễ nhóm

Phase Distortion & more …

 Audibility and Musical Understanding of Phase Distortion

http://www.ocf.berkeley.edu/~ashon/audio/phase/phaseaud2.htm

 Phase Distortion in Loudspeakers: crossover network

 How to measure the phase performance of a loudspeaker ?

 Phase Distortion at Passband Edges

http://www.dsprelated.com/dspbooks/filters/Phase_Distortion_Passban d_Edges.html

 the most phase dispersion occurs at the extreme edge of

the passband

 delay effects on echo and reverberation, in which delay characteristics are as important as magnitude characteristics.

Làm thế nào để có pha tuyến tính?

 Tìm đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lí tưởng có pha tuyến tính sau:

 Áp dụng tính chất dịch thời gian của DTFT với đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lí tưởng có pha bằng không,

w w

e e

H

c

c

jwn jw

0

0

1 )

w

n n

w n

h

o c

o c

) (

) (

sin ]

[

Cắt (Truncation)

 Bằng cách cắt đáp ứng xung để có chiều dài hữu hạn, ta có thể thu được bộ lọc FIR khả thi (realizable), và đó là xấp xỉ cho bộ lọc thông thấp lí tưởng

 Sự xấp xỉ này có thể có pha tuyến tính hay không tùy thuộc vào n0 được chọn

 Nếu n0=N/2 với N là số nguyên dương, thì sự xấp xỉ này

này được cắt và dời đi như sau:

đó là đáp ứng xung của bộ lọc FIR nhân quả có pha tuyến tính, chiều dài N+1

N

n N

n w

N n

w n

) 2 / (

sin ]

[

Hàm truyền pha tuyến tính

 Dưới đây là các hệ số của bộ lọc dạng sinc với hai giá trị N khác nhau

Hàm truyền pha tuyến tính

 Do tính chất đối xứng trong các hình ở trên, đáp ứng tần số của bộ lọc được cho như sau:

) (

~ ]

[ )

(

0

w H

e e

n h

jw LP

Tính chất của bộ lọc FIR pha tuyến tính

 Để có pha tuyến tính,

 Giá trị thực h(n) đối xứng qua

delay phase

constant :

,

,

(M-1)/2

)

(

real,

e e

H e

(M-1)/2

 M có thể là số lẻ (odd) (loại I) hoặc chẳn (even) (loại II).

 Với đáp ứng xung phản đối xứng: chiều dài bộ lọc M có thể là lẻ (loại III) hay chẳn (loại IV)

 Độ trễ nhóm là hằng số: bất kể tần số nào, các thành phần hình sin đều có cùng độ trễ

) (

) 1

( )

(

)

(

real,

),

1 2

n M

h n

h

e e

e H e

H

w

M j j

jw jw

Tính chất của bộ lọc FIR pha tuyến tính

Đáp ứng tần số

 Như vậy có 4 loại bộ lọc FIR pha tuyến tính

 Đáp ứng tần số của từng loại này có đặc điểm và hình dáng riêng

 Viết lại H(e jw):

 Hr(ejw) gọi là hàm amplitude response (số thực, âm hoặc dương), chứ không phải là magnitude response

 Đáp ứng pha liên kết với magnitude response là một

hàm không liên tục, trong khi đáp ứng pha liên kết với amplitude response là một hàm liên tục tuyến tính

2

1 ,

2

; )

( )

e e

H e

Ví dụ 7.3

 Cho đáp ứng xung h(n) = {1,1,1} Xác định và vẽ đáp ứng tần số

 Đáp ứng tần số:

 Biên độ (magnitude) và pha:

 Biên độ (amplitude) và pha:

Loại 1: Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ

 Với loại 1, beta=0, alpha=(M-1)/2 là số nguyên, và h(n)=h(M-1-n), 0<=n<=M-1 Khi đó:

 Problem 7.1

2 / ) 1 (

2 / ) 1 (

0

cos )

( )

a e

H

2

31

,2

12

)(

samplemiddle

the

:2

1)

0(

n

M h

n a

M h

()

Loại 2: Đáp ứng xung đối xứng, M chẳn

 Với loại 2, beta=0, alpha=(M-1)/2 không phải là số

2 /

1 cos

) ( )

w n

b e

H

2

,,2,1

,2

2)

)()

Loại 3: đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ

 Với loại 3, beta=pi/2, alpha=(M-1)/2 là số nguyên, và h(n)=-h(M-1-n), 0<=n<=M-1 Khi đó:

 Problem 7.3

 Hr(0)=Hr(pi)=0, exp(j*pi/2)=j, bộ lọc loại này không phù hợp với bộ lọc thông thấp hay thông cao Nhưng phù hợp cho việc xấp xỉ bộ lọc Hilbert Transformer và

differentiator (vi sai) lí tưởng.

 

 w

j M

n

e wn n

c e

1 2

2 / ) 1 (

0

sin )

( )

,2,1

,2

12

Loại 4: đáp ứng xung phản đối xứng, M chẳn

 Với loại 4, beta=pi/2, alpha=(M-1)/2 không phải là số

nguyên, và h(n)=-h(M-1-n), 0<=n<=M-1 Khi đó

 Problem 7.4

 Hr(pi)=0, exp(j*pi/2)=j, bộ lọc này thích hợp với việc thiết

kế bộ lọc Hilbert transformer & differentiators

 ( 1 ) / 2

2 /

1

2

2

1 sin

) ( )

w n

d e

2

,,2,1

,2

2)

)()

Tính chất bộ lọc FIR

Sơ đồ zero (Quadruplet Zero Constellation)

 Nếu H(z) có một zero tại:

 Để có pha tuyến tính thì cũng phải có một zero tại:

 Để có bộ lọc có hệ số thực, nếu z1 à số phức, thì cũng

có zero liên hợp phức z1* và zero 1/ z1*

Quadruplet Zero Constellation

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Example 7.4

Bộ lọc có pha tối thiểu (Minimum Phase Filters)

 Bộ lọc số H(z) được gọi là pha tối thiểu nếu tất cả các

zero nằm trong hoặc trên đường tròn đơn vị

25 0 )

5 0 (

) 2 )(

2 (

5 0 )

(

, 25 0 )

5 0 (

) 2 )(

5 0 (

)

(

, 25 0 )

5 0 (

) 5 0 )(

2 (

)

(

, 25 0 )

5 0 (

) 5 0 )(

5 0 (

2 )

z

H

z

z z

z

H

z

z z

z

H

z

z z

z

H

Minimum Phase Filters

 Trong các bộ lọc có cùng đáp ứng biên độ, bộ lọc có pha tối

thiểu có độ trễ pha nhỏ nhất (phase lag).

 Mọi bộ lọc IIR đều có thể chuyển thành bộ lọc pha tối thiểu bằng cách thay zeros bên ngoài đường tròn đơn vị bởi zero nghịch của nó (reciprocals)

 Bộ lọc toàn thông có với mọi w

 Đáp ứng pha khác không, luôn giảm -> dùng để hiệu chỉnh pha và các hiệu ứng đặc biệt khác

 Hall(z) có p điểm cực (pole) tại AM(p)=0 và zeros o=1/p

 Trường hợp đặc biệt là chuyển bộ lọc bất kì H(z) thành pha

tối thiểu bằng cách nhân với một bộ lọc toàn thông:

1 )

( j 2 

e H

) (

) (

1

) (

1

1 1

1 1

z A

z

A z

z a z

a

z z

a

a z

H

M

M M

M M

M M

M all

( )

( )

( )

( )

( z H z Hmin z Hmin z H 1 z H z

Nhân với bộ lọc toàn thông (Allpass Filter)

 Bộ lọc toàn thông có thể dùng để bù đáp ứng pha Trường

hợp đặc biệt là chuyển bộ lọc bất kì H(z) thành pha tối thiểu

bằng cách nhân với một bộ lọc toàn thông

Minimum-Phase Decomposition

 Set H min (z)=H(z), and H all (z)=1.

 Factor the numerator polynomial

) )(

( )

( z b0 z z1 z z2 z zm

)()

()

(

)()

()

(

1)

(

1

min min

z H

z F

z H

z H

z F

z H

z z

z

z z

F

a ll

a ll

i i

Cấu trúc bộ lọc số

(phần 2)

NỘI DUNG

 Những khái niệm cơ bản

 Cấu trúc bộ lọc IIR

 Cấu trúc bộ lọc FIR

Cấu trúc bộ lọc số

 Về nguyên tắc, sự mô tả tích chập của một hệ thống rời rạc LTI có thể dùng để thực hiện một hệ thống Điều này yêu cầu cần biết đáp ứng xung, bộ cộng, bộ nhân và bộ làm trễ (delay)

 Với hệ thống IIR thì cách này không hợp lý do đáp ứng xung có chiều dài vô hạn

 Tuy nhiên, có thể thực hiện trực tiếp hệ thống LTI dạng FIR và IIR nếu biết các hệ số (hằng) của phương trình sai phân (difference equation)

 Cụ thể quan hệ vào-ra như sau:

n

y

) (

) (

) (

Cấu trúc bộ lọc số - Cách thực hiện

 Thực hiện bằng phần mềm (software) hay phần cứng

(hardware) tùy thuộc vào ứng dụng

 Các biến và các hệ số của bộ lọc không thể biểu diễn với

độ chính xác vô hạn Cách thực hiện trực tiếp (direct)

không cho chất lượng mong muốn do nó sử dụng các

 Cách biểu diễn theo cấu trúc sử dụng sự liên kết các khối

cơ bản sẽ được xem xét

Biểu diễn sơ đồ khối (Block Diagram Representation)

 Để thực hiện bộ lọc số LTI, quan hệ vào-ra phải được biểu diễn bằng một giải thuật tính toán (computational

) 1 (

) ( )

( n  p0x n  p1x n   d1y n 

y

Giải thuật tính toán (Computational Algorithm)

 Cho điều kiện đầu y(-1) và đầu vào x(n), khi đó:

), 1 ( )

1 ( )

2 ( )

2 (

), 0 ( )

0 ( )

1 ( )

1 (

), 1 ( )

1 ( )

0 ( )

0 (

1 1

0

1 1

0

1 1

0

y d x

p x

p y

y d x

p x

p y

y d x

p x

p y

Khối cơ bản (Basic Building Blocks)

 Xét một cấu trúc hồi tiếp một vòng

 Đầu ra E(z) của bộ cộng là:

 Mà Y(z) được tính bởi

 Loại E(z) ta thu được hàm truyền:

Phân tích sơ đồ khối

) ( ) ( )

( )

( z X z G2 z Y z

) ( ) ( )

( z G1 z E z

) ( )

( 1

) ( )

(

)

( )

(

2 1

1

z G z G

z G z

X

z

Y z

H







Ví dụ bộ lọc Cascaded Lattice (dạng lattice nối tiếp)

 Trên thực tế để thực hiện được bộ lọc số, sơ đồ khốikhông được chứa vòng không có trễ

 Xem cấu trúc dưới đây:

 Biểu thức suy ra rằng để tính giá trị hiện tại của y(n) cần

biết giá trị của y(n) Điều này là không thể trên thực tế, lí do

là cần một khoảng thời gian nhất định để thực hiện các

phép tính số học trong hệ thống số

 Có các phương pháp để phát hiện và giải quyết bài toán

này bằng cách thực hiện sơ đồ khối tương đương khôngchứa vòng không có trễ

 Suy ra biểu thức vào-ra?

Vấn đề vòng không có trễ (delay)

 Định nghĩa: hai cấu trúc bộ lọc số được xem là tươngđương nếu chúng có cùng hàm truyền.

 Có nhiều cách để tạo ra các cấu trúc tương đương

 Cách đơn giản là thực hiện bằng phép toán đổi chỗ (

transpose operation):

(i) đảo chiều tất cả các đường,

(ii) thay nút pick-off bằng bộ cộng (adder), và ngược lại,(iii) hoán đổi các nút vào và nút ra

Cấu trúc tương đương

Equivalent Structure – Lattice Filter

Redrawn transposed structure

 Định nghĩa: Một bộ lọc được gọi là canonic nếu số lượng

bộ delay trong sơ đồ khối bằng với bậc của phương trìnhsai phân

 Ngược lại thì đó không phải là cấu trúc canonic

 Xác định cấu trúc bộ lọc dưới đây?

Cấu trúc Canonical & Noncanonical

Các cấu trúc sẽ xem xét

 Dạng trực tiếp (Direct form):

 Thực hiện trực tiếp từ phương trình sai phân

 Hai phần: truy hồi (recursive) & trung bình trượt (moving average)

 Cấu trúc trực tiếp dạng 1 và trực tiếp dạng 2

 Dạng nối tiếp (Cascade form):

 Nhân tử hóa hàm truyền H(z) thành các thành phần bậc

2 (biquads) (sao không bậc cao hơn?)

 H(z) biểu diễn dưới dạng tích của các biquad

 Mỗi biquad được thực hiện dưới dạng trực tiếp

 Dạng song song (Parallel form):

 H(z) biểu diễn dưới dạng tổng của các biquad

Chú ý…

 Có vô hạn cấu trúc tương đương cùng thực hiện một hàm truyền

 Nếu độ chính xác của các phép toán là vô hạn thì bất kì

cách thực hiện nào cũng cho kết quả giống hệt với bất kì cấu trúc tương đương nào khác

 Tuy nhiên, trong thực tế, do chiều dài từ hữu hạn (finite

wordlength), một cách thực hiện nào đó có thể cho kết quả khác với các cấu trúc tương đương khác

 Vì vậy chọn một cấu trúc có đặc điểm lượng tử hóa

(quantization) tốt với điều kiện chiều dài từ hữu hạn là hết sức quan trọng

Bộ lọc IIR

 Hàm hệ thống/hàm truyền (System function):

 Phương trình sai phân:

 Ba cấu trúc khác nhau để thực hiện bộ lọc IIR:

 Dạng trực tiếp - Direct form

 Dạng nối tiếp - Cascade form

 Dạng song song - Parallel form

1

;1

)(

)

()

1

1 1 0

d z

d

z p z

p p

z d

z p z

D

z

P z

N

M M

N

n

n n

M

n

n n

y

)(

)(

)(

 Hàm truyền bộ lọc IIR bậc N được mô tả bằng 2N+1 hệ số,

và nói chung cần 2N+1 bộ nhân và 2N bộ cộng

hai-đầu-vào cho việc thực hiện

 Dạng trực tiếp bộ lọc IIR: các hệ số của bộ nhân chính là các hệ số của hàm truyền

 Xét hàm truyền của bộ lọc IIR bậc 3 như sau

IIR Filter – dạng trực tiếp

3 3

2 2

1 1

3 3

2 2

1 1 0

1)

(

)()

(

)

()

d z

d

z p z

p z

p p

z D

z P z

X

z

Y z

H

Ví dụ với N=M=3: phương trình sai phân được tính như sau:

Thực hiện bằng cách nối tiếp hai bộ lọc:

) 3 (

) 2 (

) 1 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (

) ( )

(n  p0x n  p1x n  p2x n  p3x n d1y n d2y n d3y n

y

3 3

2 2

1 1

3 3

2 2

1 1 0

1)

(

)()

(

)

()

d z

d

z p z

p z

p p

z D

z P z

X

z

Y z

H

3 3

2 2

1 1 0

)(

)

()

z X

z

W z

H

3 3

2 2

1 1

2

1

1)

(

1)

(

)

()

d z

d z

D z

W

z

Y z

H

Dạng trực tiếp