Nghiên cứu về elipelipxoit

Trong Toán học hay Vật lý, cũng như nhiều lĩnh vực khác của đời sống, ta có thể dễ dàng bắt gặp hình ảnh của elip hay elipxoit. Đối với hình học phẳng, elip cùng với parabol và hyperbol là bộ 3 đường Conic. Đây là một nền tảng quan trọng của Toán học nói riêng và khoa học tự nhiên nói chung. Trong không gian, elipxoit cũng là một phần quan trọng trong các mặt bậc hai. Elip và elipxoit có khá nhiều ứng dụng trong thực tế như trong các công trình kiến trúc độc đáo, trong khoa học kỹ thuật,…Các kiến thức về đường elip trong mặt phẳng khá phổ biến và được đưa vào chương trình dạy học bắt đầu từ năm lớp 9. Tuy nhiên hiện nay chưa có nhiều giáo trình nghiên cứu sâu, cụ thể về elip và các mặt elipxoit trong không gian.

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 4

MỞ ĐẦU 5

1.Lý do chọn đề tài 5

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 5

a Mục đích nghiên cứu 5

b Nhiệm vụ nghiên cứu 5

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 6

a Đối tượng nghiên cứu 6

b Phạm vi nghiên cứu 6

4 Phương pháp nghiên cứu 6

5 Cấu trúc của bài nghiên cứu 6

Chương 1: ELIP TRONG MẶT PHẲNG 8

1.1 Định nghĩa elip trong mặt phẳng 8

1.2 Phương trình chính tắc của elip 9

1.3 Hình dạng, tính chất của elip 10

1.4 Liên hệ giữa đường tròn và đường elip 11

1.5 Định nghĩa hình học khác 12

1.6 Phương trình dạng đại số-cách nhận dạng elip trong các đường bậc 2 13

1.7 Elip tổng quát 22

Chương 2 : ELIP TRONG KHÔNG GIAN 23

MẶT TRỤ ELIPTIC MẶT ELIPXOIT

2.1 Định nghĩa mặt bậc hai 23

2.2 Elip trong không gian 23

2.3 Mặt trụ eliptic 24

2.3.1 Tổng quát về mặt trụ trong không gian 24

2.3.2 Mặt trụ eliptic 25

2.4 Elipxoit 26

2.4.1 Elipxoit tròn xoay 26

2.4.1.1 Mặt tròn xoay 26

2.4.1.2 Elipxoit tròn xoay 28

2.4.2 Mặt Elipxoit 28

Chương 3 : NHẬN DẠNG MẶT TRỤ ELIPTIC MẶT ELIPXOIT TRONG CÁC MẶT BẬC HAI 31

3.1 Phương pháp dùng phép biến đổi trực giao 31

3.1.1 Phép biến đổi trực giao 31

3.1.2 Nhận dạng mặt Elipxoit, mặt trụ eliptic 33

3.2 Phương pháp phân tích thành bình phương đúng 42

3.2.1 Trường hợp phương trình bậc hai có một số hạng vuông 42

3.2.2 Trường hợp phương trình bậc hai không có số hạng vuông 44

3.2.3 Kết luận chung 45

3.2.4 Nhận dạng mặt trụ eliptic, mặt elipxoit 45

Chương 4 : ỨNG DỤNG CỦA ELIP TRONG THỰC TIỄN 48

4.1 Elip trong các công trình kiến trúc 48

4.1.1 Elip và xây dựng sân vận động 48

4.1.2 Tại sao trần nhà hát lại có hình elip? 49

4.1.3 Kiến trúc xanh – ngôi nhà trong suốt hình elip cực lạ 51

4.1.4 Thư viện hình elip tuyệt đẹp của Thụy Sỹ 51

4.2 Elip trong các ngành khoa học kỹ thuật 52

4.3 Elip trong cuộc sống thường ngày 54

KÉT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong khoa Toán đã truyền đạt, chỉ dạy cho em những kiến thức bổ ích và quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua.

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè - những người đã luôn cổ vũ động viên, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận này

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong Toán học hay Vật lý, cũng như nhiều lĩnh vực khác của đời sống, ta có thể

dễ dàng bắt gặp hình ảnh của elip hay elipxoit Đối với hình học phẳng, elip cùng với parabol và hyperbol là bộ 3 đường Conic Đây là một nền tảng quan trọng của Toán học nói riêng và khoa học tự nhiên nói chung Trong không gian, elipxoit cũng là một phần quan trọng trong các mặt bậc hai Elip và elipxoit có khá nhiều ứng dụng trong thực tế như trong các công trình kiến trúc độc đáo, trong khoa học

kỹ thuật,…Các kiến thức về đường elip trong mặt phẳng khá phổ biến và được đưa vào chương trình dạy học bắt đầu từ năm lớp 9 Tuy nhiên hiện nay chưa có nhiều giáo trình nghiên cứu sâu, cụ thể về elip và các mặt elipxoit trong không gian Nhận thấy elip và elipxoit là một mảng khá quan trọng, thú vị và nhiều ứng dụng của Toán học, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu về Elip-

b, Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Định nghĩa, phương trình, các tính chất của elip trong mặt phẳng, trong không gian và cách nhận dạng elip trong các đường bậc hai

- Định nghĩa, cách xây dựng, phương trình, các tính chất của mặt trụ eliptic, mặt elipxoit và cách nhận dạng chúng trong các mặt bậc hai

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

a, Đối tượng nghiên cứu:

-Đường elip trong mặt phẳng, trong không gian

4 Phương pháp nghiên cứu:

Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình nghiên cứu đề tài và thực hiện theo quy trình như sau:

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa kiến thức

(2) Thu thập các tài liệu có liên quan đến elip, elipxoit

(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

(4) Trao đổi và thảo luận với giảng viên hướng dẫn

5 Cấu trúc của bài nghiên cứu:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của bài khóa luận này gồm 4 chương:

Chương 1: ELIP TRONG MẶT PHẲNG.

Trong chương này, tôi giới thiệu định nghĩa elip trong mặt phẳng, cách vẽ elip, phương trình dạng chính tắc, dạng đại số, nghiên cứu các tính chất của elip trong

mặt phẳng; cách nhận dạng đường elip trong các đường bậc 2 bằng 2 phương pháp: phương pháp biến đổi trực giao và phương pháp sơ cấp thông qua phép quay và phép tịnh tiến.

Chương 2: ELIP TRONG KHÔNG GIAN MẶT TRỤ ELIPTIC ELIPXOIT.

Chương này gồm 4 nội dung chính:

-Phần 1 nhắc lại định nghĩa mặt bậc 2 và các định nghĩa liên quan

-Phần 2 nghiên cứu về Elip trong không gian

-Phần 3 nghiên cứu về mặt trụ eliptic

-Phần 4 nghiên cứu về mặt Elipxoit

Các phần nghiên cứu bao gồm các nội dung: định nghĩa, cách xây dựng, phương trình, các tính chất của các mặt

Chương 3: NHẬN DẠNG MẶT TRỤ ELIPTIC,MẶT ELIPXOIT TRONG CÁC MẶT BẬC 2.

Nội dung của chương này là giới thiệu cách nhận dạng mặt trụ eliptic, mặt

elipxoit trong các mặt bậc hai bằng 2 phương pháp: phương pháp biến đổi trực giao

và phương pháp Lagrange (phân tích thành bình phương đúng)

Chương 4: ỨNG DỤNG CỦA ELIP TRONG THỰC TIỄN.

Chương này nghiên cứu các ứng dụng của elip vào thực tiễn: trong các công trình kiến trúc, các ngành khoa học kỹ thuật cũng như các ngành nghiên cứu khác

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2017

Sinh viên Trần Chính Ngọc

Chương 1:ELIP TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Định nghĩa elip trong mặt phẳng:

Trong mặt phẳng cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn

F1F2 Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M= 2a

Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip

Hình 1

Cách vẽ: Vẽ bằng dây.

-Đóng đinh lên mặt phẳng tại 2 điểm F1F2

-Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách F1F2 Quàng sợi dây vào 2 chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào trong vòng dây rồi căng ra để vòng dây trở thành hình tam giác Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng và

áp sát mặt gỗ Khi đó đầu bút chì sẽ vạch ra một đường mà ta gọi là đường elip

Hình 2

1.2 Phương trình chính tắc của elip:

Hình 3Cho elip (E) có các tiêu điểm 1

Hình 4Xét elip (E) có phương trình (1.1):

a) Nếu điểm M(x;y) thuộc (E) thì các điểm M1(-x;y), M2(x;-y) và M3(-x;-y) cũng thuộc (E)

Vậy các (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O

b) Thay y = 0 vào (1) ta có x =±

a, suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm A1 (-a;0) và

A2(a;0)

Tương tự thay x = 0 vào (1.1) ta được y =±

b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm B1(0;-b)

và B2 (0;b)

-Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip.

-Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.

-Độ dẹt của elip (hay còn gọi là tâm sai hay độ lệch tâm) là tỉ số giữa tiêu cự và độ

-Hình chữ nhật PQRS (hình vẽ) là hình chữ nhật cơ sở của elip.

-Đường chuẩn của Elip:

, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn

Hình 5b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:

Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E)

1.5 Định nghĩa hình học khác:

Định nghĩa đường Conic : Cho điểm F cố định,đường thẳng ∆

không đi qua F, tập

hợp các điểm M sao cho tỉ số ( ; )

MF

d M ∆

bằng một số dương e cho trước được gọi là đường Conic

Điểm F gọi là tiêu điểm, ∆

được gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường conic

Như vậy elip là một đường Conic với tâm sai e < 1

1.6 Phương trình dạng đại số-cách nhận dạng đường elip trong mặt phẳng:

Trong đại số, hình elip được định nghĩa bởi phương trình đường bậc 2:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =0 (1.2)với a, b, c là các số thực và 4ac > b2

0 2

Chuẩn hóa ta được:

2 1

Lấy V = {v1,v2} làm cơ sở mới và kí hiệu tọa độ trong hệ cơ sở mới là (x’,y’) thì

ma trận chuyển cơ sở sang cơ sở mới là P = ( [v1] [v2] )

2 1

−

+ −

2 2

2 2

Ta cũng có thể nhận dạng đường elip bằng cách dùng phép tịnh tiến và phép quay.

Cách thực hiện:

Cho đường bậc 2 có phương trình dạng (1.2) Ta chuyển đổi hệ trục tọa độ bằng phép quay quanh gốc O để đưa phương trình (1.2) về dạng không chứa số hạng xy.Gọi α

Ta kiểm tra xem cosα

có phải là nghiệm của phương trình hay không

Trong trường hợp cosα

≠0, chia cả 2 vế cho cos2α

Đây là phương trình của elip khi AB >0

Tiếp theo ta có thể thực hiện phép tịnh tiến để đưa phương trình trên về dạng chính tắc

Để hiểu rõ hơn, ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ 1.1 Cho phương trình đường bậc 2:

5 x + 4 xy + 8 y − 32 x − 56 y + 80 0 =

(1.4)

Sử dụng phép biến đổi trực giao:

(1.4) có dạng của (1.2) với a =5, b =4, c = 8 thỏa mãn điều kiện 4ac >b2

Đây là phương trình của một elip

Bộ phận toàn phương trong (1.4) là: α

ta được u1 (1;2)Thực hiện tương tự:

Gọi u2(x,y) ≠ 0 là vectơ riêng ứng với trị riêng λ2 =4

(A- λ2I) u2 =0

x y

Hoặc ta có thể thực hiện bằng phương pháp sơ cấp (dùng phép quay và phép tịnh

tiến như đã trình bày ở trên):

Thực hiện phép quay tâm O góc quay α

, công thức đổi tọa độ là:

Kết luận: Chúng ta có thể nhận dạng đường elip trong các đường bậc 2 bằng 2

phương pháp: phương pháp biến đổi trực giao và phương pháp sơ cấp thông qua phép quay và phép tịnh tiến

1.7 Elip tổng quát :

Sự mở rộng khái niệm đường elip lên các bậc cao n khác (ngoài n=2),hình thành đường siêu elip :

Chương 2: ELIP TRONG KHÔNG GIAN.

MẶT TRỤ ELIPTIC ELIPXOIT.

2.1 Định nghĩa mặt bậc hai:

Trước khi nghiên cứu về elipxoit, ta sẽ nhắc lại định nghĩa mặt bậc 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, một mặt bậc hai (S) là tập hợp tất cả các điểm M có tọa độ (x,y,z) thỏa mãn phương trình bậc hai có dạng:

F x y z = Ax +By +Cz + Dxy+ Exz + Fyz Gx Hy Kz L+ + + + =

2.2 Elip trong không gian:

Trong không gian, elip được định nghĩa là giao của một mặt nón tròn xoay với một mặt phẳng cắt mọi đường sinh của mặt nón và không vuông góc với trục của mặt nón

Khi mặt phẳng cắt vuông góc với trục của mặt nón ta có tiết diện là một đường tròn

Hình 7

d qua M 0 và song song với Oz nằm hoàn toàn trên mặt (S).

Thật vậy, 1 điểm M bất kì thuộc d có tọa độ 0 0

Mặt (S) như trên được gọi là mặt trụ.

Đường γ được gọi là đường chuẩn của mặt trụ và các đường thẳng d như trên được gọi là đường sinh của mặt trụ

-Trục Oz (được gọi là trục của mặt trụ).

-Mọi đường thẳng cắt Oz và song song với Ox hoặc Oy

• Mặt trụ eliptic có các mặt đối xứng sau đây:

-Mặt Oxz

-Mặt Oyz

-Mọi mặt phẳng vuông góc với Oz

• Mặt trụ eliptic có vô số tâm đối xứng, đó là các điểm nằm trên trục Oz

Nếu trong mặt trụ eliptic mà a = b thì ta có mặt trụ tròn xoay

• Cắt mặt trụ bằng một mặt phẳng α song song với trục Oz Và gọi Δ là giao tuyến của mặt phẳng α và mặt phẳng Oxy thì ta có:

-Mặt phẳng α không cắt mặt trụ elip nếu đường thẳng Δ không cắt đường chuẩn của nó

-Mặt phẳng α cắt mặt trụ eliptic theo một đường sinh d nếu đường thẳng Δ tiếp xúc với đường chuẩn Lúc này mặt phẳng α gọi là mặt phẳng tiếp xúc với mặt trụ dọc theo đường sinh đó

-Mặt phẳng α cắt mặt trụ eliptic theo hai đường sinh song song d và d’ nếu đường thẳng Δ cắt đường chuẩn tại hai điểm

2.4 Elipxoit.

2.4.1 Elipxoit tròn xoay:

2.4.1.1 Mặt tròn xoay:

a) Định nghĩa:

Trong mặt phẳng α cho một đường γ và một đường thẳng p Khi quay mặt phẳng

α quanh p trong không gian thì đường γ vạch nên một mặt gọi là mặt tròn xoay Đường thẳng p được gọi là trục của mặt tròn xoay, còn đường γ được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó

Hình 10

Từ định nghĩa, ta nhận thấy nếu cắt mặt tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc trục thì thiết diện là đường tròn mà tâm của nó nằm trên trục của mặt tròn xoay đó

b) Phương trình của mặt tròn xoay:

Chọn hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz sao cho Oz trùng với đường thẳng p, còn mặt phẳng Oxz trùng với mặt phẳng α

Giả sử trong mặt phẳng α đối với hệ tọa độ Oxz, đường γ có phương trình

Thật vậy, lấy một điểm M x y z ( , , )

, đường tròn này cắt đường γ tại M0 Giả sử đối

với hệ tọa độ Oxz của mặt phẳng α, M0 có tọa độ 0 0

Mặt tròn xoay sinh bởi một đường elip khi quay xung quanh một trục đối xứng của

nó sẽ gọi là mặt elipxoit tròn xoay

Hình 11

b) Phương trình:

Giả sử trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz, cho đường elip nằm trong mặt

phương trình của elipxoit tròn xoay là:

Trong không gian Oxyz cho mặt elipxoit tròn xoay có phương trình:

-Hiển nhiên nếu hai trong 3 số a, b, c bằng nhau thì (3) xác định một elipxoit tròn xoay Nếu a = b = c thì (3) xác định cho ta một mặt cầu.

-Dễ dàng thấy rằng nếu ta cắt mặt (3) bởi một mặt phẳng tọa độ hoặc song song với một mặt phẳng tọa độ nào đó thì giao tuyến nếu có là một elip

Chương 3: NHẬN DẠNG MẶT TRỤ ELIPTIC, MẶT ELIPXOIT

TRONG CÁC MẶT BẬC HAI

Ở chương II ta đã nghiên cứu về elip trong không gian, tính chất của mặt trụ

eliptic, mặt elipxoit tròn xoay, mặt elipxoit

Đây là bảng tóm tắt lại dạng của phương trình chính tắc của các mặt trên mà ta đã nghiên cứu:

3.1 Phương pháp dùng phép biến đổi trực giao:

3.1.1 Phép biến đổi trực giao:

Cho mặt bậc 2 có phương trình tổng quát

2 2 2 2 2 2

g = Ax +By +Cz + Dxy+ Exz+ Fyz

h Gx Hy Kz L= + + +

Trước tiên ta sẽ tìm cách đưa dạng toàn phương g về dạng chính tắc bằng phép

biến đổi trực giao

Ma trận của dạng toàn phương g là:

Gọi 3 nghiệm của phương trình là λ1, λ2, λ3.

Giải hệ này ta tìm được vectơ u 1 Chuẩn hóa ta được vectơ v1( , , )α β γ1 1 1

Tương tự ta cũng tìm 2 vectơ riêng chuẩn hóa ứng với 2 trị riêng λ2, λ3

Nếu các vectơ trên chưa trực giao với nhau thì ta áp dụng quá trình trực chuẩn hóa

Gram- Smith để biến V = { v v v1, ,2 3}

thành một cơ sở trực chuẩn của R3

1 2 3

Phương trình này có dạng của (3.1) với

Đây có thể là phương trình của mặt elipxoit Ta sẽ đi thực hiện cụ thể:

Ma trận của bộ phận toàn phương là:

( , , ) 0

u x y z ≠

là vectơ riêng ứng với trị riêng λ3

(M −λ3I u) 3 =0

3 2 2 0

x y z

-Để (3.3) là phương trình của mặt trụ eliptic thì trước hết 1 trong 3 trị riêng phải bằng 0 và 2 giá trị còn lại phải cùng dấu Tức là:

Đây có thể là phương trình của mặt trụ eliptic Ta sẽ đi thực hiện cụ thể:

Ma trận của bộ phận toàn phương là:

x z

z y

Đây là phương trình của mặt trụ eliptic.

3.2 Phương pháp phân tích thành bình phương đúng ( Phương pháp

3.2.1 Trường hợp phương trình bậc 2 có một số hạng vuông:

Tức A, B, C không đồng thời triệt tiêu Giả sử A ≠ 0

Ta sắp xếp các số hạng trong vế đầu của (3.4) theo lũy thừa của x

2 2

Đồng thời ta có một đa thức bậc 2 của 2 biến số

Ngoài ra h y z ( , )

cũng có thể có dạng bậc nhất h y z ( , ) = Q

hoặc bậc không ( , )

Nếu A B C = = = 0

thì các hệ số D E F , ,

không thể đồng thời bằng 0 Vì nếu

như vậy thì phương trình (3.4) không phải phương trình bậc 2 nữa Giả sử D ≠ 0

3.2.3 Kết luận chung:

Từ những kết quả thu được ở 3.2.1 và 3.2.2 ta rút ra:

Mọi phương trình đại số bậc 2 của x, y, z có dạng (3.4) đều có thể viết lại dưới một trong các dạng sau đây:

Q =

làm mặt phẳng tọa độ Y = 0 0

R =

làm mặt phẳng tọa độ Z = 0Trong trường hợp phương trình của mặt không có R thì ta chọn tùy ý một mặt

phẳng giao với 2 mặt phẳng P = 0

,Q = 0

làm mặt phẳng tọa độ Z = 0

.Sau khi đổi tọa độ, các phương trình (3.6) được viết lại thành một trong 5 dạng sau

-Dạng (1) là phương trình của mặt elipxoit khi a b c , ,

cùng dấu Hơn nữa khi

a b =

thì elipxoit chính là elipxoit tròn xoay

-Dạng (3) là phương trình của mặt trụ eliptic khi a b, cùng dấu