Bài 1.21: Quan hệ phụ thuộc hay không độc lập giữa các biến cố trong một không gian xác suất bất kì không có tính bắc cầu.
Trang 1BỔ SUNG MỘT SỐ BÀI GIẢI MÔN CƠ SỞ XÁC SUẤT HIỆN ĐẠI Bài 1.16
a) Giả sử A = { Ai , iєI} là 1 họ độc lập để chứng minh Ā độc lập ta cần I} là 1 họ độc lập để chứng minh Ā độc lập ta cần chứng minh với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai1,Ai2,… ,Ain của họ {Ai, iєI} là 1 họ độc lập để chứng minh Ā độc lập ta cần I} ta đều có:
P( Āi1Ai2…Ain) = P(Āi1).P(Ai2) P(Ain)
Thật vậy,
Ai1 độc lập với Ai2,… ,Ain
Hay
Āi1 độc lập với Ai2,… ,Ain
Nên
Āi1 độc lập với (Ai2,… ,Ain )
Do đó :
P( Āi1Ai2…Ain) = P(Āi1).P(Ai2,… ,Ain ) (1)
Mặt khác A là 1 họ độc lập nên :
P(Ai2,… ,Ain ) = P(Ai2) P(Ain ) (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
b)
n=1
∞
P( A¿ ¿n¿)¿ ¿
Đặt B n=¿k=1¿n A k B1=A1; B2=A1A2
Khi đó {B n} là dãy giảm và ¿k =1¿∞ A k=¿k =1¿∞ B k
=>P(¿n=1¿∞ A n¿=P (¿n=1¿∞ B n¿ )=lim
n → ∞ P(¿B n)=lim
n →∞ P(¿k =1¿n A k) ¿
´ (định nghĩa¿) lim
n →∞∏
k=1
n
P( A¿ ¿k¿)=∏
n=1
∞
P (A¿¿n)¿ ¿¿ ¿ (đpcm)
Bài 1.17
Trang 2Ta có:
Mặt khác:
1
(1 n)
n
a
hội tụ tuyệt đối tới 1 giá trị khác không khi và chỉ khi 1
n n
a
hội tụ tuyệt đối
………
Bài
1.21:
Quan hệ phụ thuộc hay không độc lập giữa các biến cố trong một không gian xác suất bất kì không có tính bắc cầu
Ví dụ: Ω=( 1, 2, 3, 4)
A=( 1, 2) B=( 4 ) C=( 2; 3) P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=14 Khi đó A, C không độc lập với B, nhưng C độc lập với A.
Bài 1.22:
Gọi A, ´A là các biến cố độc lập trong một không gian xác suất thì khi đó:
P(A)P(´A)= 0 hoặc P(A)P(´A)= 1
*Cm điều kiện đủ: ta có A và ´A là các biến cố trong không gian xác suất vì thế nên khi P(A) = 0 => P(´A) = 1 Ngược lại nếu P(A)=1 => P(´A) = 0
=> Điều này luôn đúng
* Cm điều kiện cần: Giả sử các biến cố độc lập có tính bắc cầu
=> 0<P(A)<1 => 0<P(´A)<1
Trang 3Vì A và ´A đọc lập với ∅ nên =>chúng độc lập với nhau =>P(A)P(´A)=P(A)P(
´A)=P(∅)=0 =>vô lý
Bài 1.26
Cm: Nếu liminf P(An)≥a>0 thì lim P(A n)
P¿ ¿ ¿1
Cm: Ta có A1,A2,… con của An; B1, B2, … con của Bn
Với lim inf P(An)≥a>0
Ta có: lim P(A n)
P¿ ¿ ¿
lim P( A n ∩(B n ∪ ´ B n) )
P( A n B n) =
lim P( A n B n ∪ A n B´n)
P (A n B n) =lim P(A n B n+A n B´n)
P (A¿¿n B n) =lim P ¿ ¿ ¿=lim ¿ ¿
Bài 1 31 :
Ứng với mỗi k= 1m, 2,…, chỉ tồn tại hữu hạn điểm x mà xác suất tại đó
là p= F(x+ 0)- F(x) thỏa mãn hệ thức (2)1k+1<p ≤ 1
(2)k
Thật vậy ta thấy :
1
(2)k+1 hội tụ về 0
1
(2)k hội tụ về 0
Suy ra : p cũng sẽ hội tụ về 0
Vậy p hữu hạn nên hàm phân phối của 1 biến ngẫu nhiên có không quá đếm được điểm gián đoạn
Bài 1.32:
CMR: Nếu hàm phân phối của BNN liên tục trên toàn trục số (trục số thực R) thì
nó liên tục đều trên đó
Giải:
Trang 4_ Ta có: (Ω, f, P) là không gian xác suất, BNN: X:Ω R có hàm phân phối xác suất liên tục trên R
F X ( x )=P ( X < x )=P(ω : X (ω)< x)
∀ ε>0 chọntùy ý , ∃ A>0, với A đủ lớn sao cho:
{1−F (A )≤ ε F (− A)≤ ε
_ Trên [-A; A], vì F(x) liên tục đều nên ta tìm được δ > 0, sao cho:
∀ x1, x2∈[ −A , A], ∀ ε>0 :|x1−x2| <δ thì|F(x1)−F (x2)|<ε
2 _ Do đó:
∀ x1, x2∈ R , ∀ ε>0, ∃ δ>0 :|x1−x2| <δ thì|F(x1)−F(x2)|<ε
Bài 1.42:
Ta có :
E[X] = i [x]i pi nếu X rời rạc với P( X=xi ) = pi
Và E[X] =
nếu X liên tục có hàm mật độ p Suy ra : E[X] tồn tại , E[X]+1 cũng tồn tại
Áp dụng định lý kẹp : [x] <= x <= [x]+1
Nên ta được : EX tồn tại
Vậy EX tồn tại khi và chỉ khi E[X] tồn tại
Bài 1.51:
X1, X2, … , X n là các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn
Y k=X1+X2+…+ X k¿ ∀ ε>0
CMR: P(1 ≤ k ≤ n max |Y k| >ε ≤(∑
k=1 n
E|X k| )/ε
Trang 5Giải :
Ta có:
P(1 ≤ k ≤ n max |Y k| >ε)
= P ((|Y1| >ε)∪ (|Y2| >ε)… ∪(|Y k| >ε) ∪
= P((|X1 | >ε)∪(|X1+X2||X1 | ) ∪(|X1+…+ X k| >ε)¿
≤ P (|X1| + |X2| +…|X k| >ε¿ ( bất đẳng thức C r trang 29)
Áp dụng bất đẳng thức Markov, ta có:
1 ≤ k ≤ n|Y k| >ε ) ≤ E(|X1 | + |X2 | +…|X k| )
ε
=E|X1| +E|X2| +… E|X k|
n
E|X k|
ε
Bài 1.56 :
Đặt Z = Max {X;Y3}, T = Min {X;Y3}
Ta có:
F Z(x )=P(max{X ;Y3} <x)=P(X< x ;Y3<x) =P ( X <x ) P(Y <√3x)
¿{1 0,∧x←1
4(x +1)(
3
√x +1),∧|x|≤ 1
1,∧x>1
p Z ( x )=F Z ' (x)={1 0,∧|x|>1
4(43x
1 /3
+ 1
3x
−2 /3
+1),∧|x|≤1
F T(x)=P(min{X ;Y3 } <x)=1−P(min{X ;Y3 }≥ x)=1−P (X ≥ x ;Y3≥ x) =1−P ( X ≥ x ) P (Y ≥√3 x)
¿{1−(1−1 0,∧x←1
2( x+ 1))(1−1
2(x
1 /3
+1 )),∧|x|≤ 1
1,∧x >1
Trang 6p T ( x )=F T ' (x )={−1 0,∧|x|>1
3 x
1 /3
+ 1
12x
−2/ 3
+ 1
2,∧|x|≤ 1
Bài 1.61:
Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập,nhận các giá trị nguyên không
âm và E|X| <∞ chứng minh rằng
E min{X ;Y} =∑
n =1
∞
P ( X ≥ n) P (Y ≥ n)
Giải
Sử dụng kết quả bài tập 1.40
Ta có với X là giá trị nguyên không âm có kỳ vọng hữu hạn thì
E|X| =∑
n=1
∞
P ( X ≥ n)
Khi đó E min{X ;Y} =∑
n =1
∞
P(min{X ;Y}≥ n)=∑
n=1
∞
P ( X ≥ n ,Y ≥ n)=∑
n=1
∞
P ( X ≥ n) P (Y ≥ n)
Bài 1.62: CMR: Một BNN độc lập với chính nó, khi và chỉ khi, BNN đó nhận giá trị không đổi với xác suất 1 ( Tức là tồn tại hằng số c thuộc R sao cho F(c) = P(X=c) =1)
Giải:
Chiều thuận (1)
_ Giả sử BNN X độc lập với chính nó Khi đó, với mọi tập con Borel của đường thẳng thực, ta có P(X∊B) = 0 hay P(X∊B) = 1
_ Đặt
c0=inf (cϵRR: P ( X <c )=1)
_ Khi đó
P(X =x0)=lim
c →c0[P ( X <c )−P(X <c0)]=1
Chiều nghịch ( Hiển nhiên đúng) (2)
Trang 7(_ Lý thuyết )
(σ (X) (σ đại số sinh bởi X là σ đại số bé nhất mà X đo được)/ 13)
( Luật Kolmogorov (BNN độc lập): Giáo trình trang 38)
(Bài tập 1.9 cm 2 biến cố A, B độc lập thì có P(A) = P(B) =1)
_ Ta có: BNN X, với mọi tập con Borel của đường thẳng thực, ta có P(X∊B) = 0 hay P(X∊B) = 1
σ ( X )=σ(A , B: P ( A )=0, P ( B)=1)
¿σ (M : P ( M )=0, P( M )=1)
_ Áp dụng bài tập 1.9, suy ra: BNN X độc lập với chính nó
_ Từ (1), (2) suy ra đpcm
Bài 2.11
Với mỗi n ≥ 1, đặt Y n= X n/b n Khi đó {Y n, F n, n ≥ 1} cũng là hiệu martingale Mặt khác,
∑
n =1
∞
E ∥Y n ∥ p= ∑
n =1
∞ E ∥Y n ∥ p
b n p < ∞
Ta suy ra
∑
n =1
∞ X n
b n= ∑
n =1
∞
Y n h.c.c
Bài 2.17:
φ X (t )=
−a
a
e itx1
a¿ ¿
¿
−a
0
e itx1
a(1+x
a)dx +
0
a
e itx1
a(1−x
a)dx
¿A1+A2
Xét A 1
Trang 8u=1+ x
a → du=
dx a
dv =1
a e
itx
dx → v= e
itx
iat
_ Suy ra
A1=e itx
iat(1+
x
a)|0
−a−
−a
0
e itx
it a2 dx
¿ 1
iat−
e itx
i2a2t2|−0a
¿ 1
iat+
1
a2t2−
e−iat
a2t2
Xét A 2
_Đặt
u=1− x
−dx a
dv =1
a e
itx
dx → v= e
itx
iat
_ Suy ra
A2=e itx
iat(1−
x
a)|a
0−
0
a
−e itx
it a2 dx
¿ 1
iat−
−e itx
i2a2t2|a
0
¿ −1
iat+
1
a2t2−
e−iat
a2t2
Suy ra
φ X(t)= 2
a2t2 −2e
−iat
a2t2
¿ 21−cos (at)
a2t2
Trang 9Bài 2.21 :
Giả sử ε < 1 Khi đó :
P(|
1
n
| > ε) >= P(Xn =2n , Xn-1=2n-1) x P(|
1
1 ( 2) 2n 2n
n
ε |)
= P(XN = 2n , Xn-1 =22n-1) =
1 4
Vì dãy { Xn , n>1 } hội tụ xác xuất về
1
4 nên dãy { Xn , n>1 } không tuân theo luật yếu số lớn
Bài 2.22:
a)
EXn = 0
2
n
2 2 =1
DXn = EX n2- (EXn)2 = 1
Khi đó :
Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL
b)
2n
1 1
n
2n
i
Trang 102
1
1 1
n
2n
EXn = 0
2
n
2 2 =1
DXn = EX n2- (EXn)2 = 1
Khi đó :
Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL
c)
P
2 1
1
1 1
2 n
2 n
EXn = 0
2
n
2 2 =1
DXn = EX n2- (EXn)2 = 1
Khi đó :
Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL
d)
i
i
Trang 11Xn -n n
2
1 2
EXn = 0
2
n
2
n
DXn = EX n2- (EXn)2 =
2
n
Khi đó:
.
1 (1 2 ) 0( ì 2 -1<0)
i
Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL