Cơ sở toán học hiện đại trong chương trình môn toán ở trường tiểu học giáo trình toán học 4

Mục đích nhằm hệ thống và cung cấp cho sinh viên cơ sở toán học hiện đại của các mạch kiến thức chủ yếu trong chương trình môn Toán ở tiểu học; từ đó xem xét nội dung chương trình môn To

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA SƯ PHẠM TIỂU HỌC - MẦM NON

MỞ ĐẦU

Chúng ta đang sống trong thời đại mà sự biến đổi của xã hội đã và đang diễn ra hết sức sâu sắc và mạnh mẽ chưa từng có trong lịch sử nhân loại Trong các thập niên qua, cuộc cách mạng về khoa học - công nghệ đã phát triển như vũ bảo và đã đạt được những thành tựu kỳ diệu, làm đảo lộn nền kinh tế thế giới, đưa con người bước vào một thời đại kinh tế mới: Thời đại kinh tế tri thức

Đất nước ta đang trong thời kỳ đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa

và đang chủ động hội nhập quốc tế, do đó việc hình thành và xây dựng một nền kinh tế tri thức là một điều tất yếu Yêu cầu này đặt ra cho ngành Giáo dục - Đào tạo mà trực tiếp là các trường đại học những nhiệm vụ hết sức nặng nề nhưng cũng hết sức vinh quang Để hoàn thành sứ mạng vẻ vang đó, đối với ngành Giáo dục - Đào tạo, không có con đường nào khác là “Tiếp tục nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phương pháp dạy và học, hệ thống trường lớp và hệ thống quản lý giáo dục; thực hiện chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa”

Hiện đại hóa giáo dục cần tập trung vào yêu cầu hiện đại hóa nội dung và quy trình đào tạo gắn liền với việc đổi mới phương pháp giáo dục phù hợp, thích ứng với xu thế hiện đại Xét cho cùng, hiện đại hóa giáo dục chính là đào tạo được đội ngũ người lao động kiểu mới phù hợp với yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa, trong đó tạo mọi điều kiện để người học phát triển toàn diện tiềm năng, năng lực của mình Một trong những xu hướng để hiện đại hóa nội dung đào tạo hiện nay là gắn việc giảng dạy chương trình phổ thông với cơ

sở khoa học vốn có của nó Theo tinh thần của xu hướng này, cần phải thực hiện đồng bộ trên hai mặt: Đối với các trường Đại học, Cao đẳng (có đào tạo ngành

sư phạm) cần phải quán triệt tinh thần tiếp cận nội dung chương trình phổ thông khi giảng dạy các môn khoa học cơ bản; đồng thời ở các trường phổ thông cũng phải quán triệt tinh thần tiếp cận các cơ sở khoa học chuyên ngành khi dạy học các tri thức phổ thông tương ứng Điều này càng có ý nghĩa quan trọng và thiết thực đối với môn Toán, một môn khoa học lý thuyết có bản chất trừu tượng ở mức độ cao Tuy nhiên thực tế hiện nay ở các trường đại học, việc giảng dạy các học phần toán cao cấp trong các khối kiến thức khoa học cơ bản và cơ sở chuyên ngành hầu như tác rời các nội dung kiến thức tương ứng trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông Chính điều đó đã dẫn đến tình trạng một bộ phận không nhỏ các giáo viên toán trường phổ thông hầu như không vận dụng được

gì các kiến thức của toán học cao cấp ở bậc Đại học vào quá trình dạy học của mình, đặc biệt là đội ngũ giáo viên tiểu học

Thông qua quá trình bồi dưỡng thay sách, bồi dưỡng nâng chuẩn trong các năm vừa qua đã chứng minh điều đó Để góp phần khắc phục tình trạng trên

đây, chúng tôi đã lựa chọn vấn đề: “Cơ sở Toán học hiện đại trong chương trình môn Toán ở trường Tiểu học” giúp sinh viên nghiên cứu chương trình

môn Toán ở tiểu học

Mục đích nhằm hệ thống và cung cấp cho sinh viên cơ sở toán học hiện đại của các mạch kiến thức chủ yếu trong chương trình môn Toán ở tiểu học; từ

đó xem xét nội dung chương trình môn Toán ở trường tiểu học một cách sâu sắc hơn theo tinh thần toán học hiện đại, nhờ vậy sẽ góp phần nâng cao chất lượng

và hiệu quả của quá trình dạy học không chỉ ở trường Tiểu học mà ngay cả ở trường đại học, cao đẳng có đào tạo sư phạm tiểu học

Nội dung chương trình bao gồm:

+ Nghiên cứu những tư tưởng của toán học hiện đại được phản ánh trong chương trình môn Toán ở trường tiểu học như: Tập hợp, quan hệ, các cấu trúc đại số…

+ Phân tích cơ sở Toán học hiện đại của các khái niệm: số tự nhiên, các phép toán, phương trình… Những khái niệm đóng vai trò quan trọng trong toàn

bộ chương trình môn Toán ở trường tiểu học

+ Khai thác một số khái niệm, bài toán trong chương trình môn Toán ở trường tiểu học theo quan điểm của toán học hiện đại nhằm định hướng giúp bạn đọc vận dụng đối với các bài toán tương tự

I KHÁI NIỆM VỀ SỐ TỰ NHIÊN

Số tự nhiên là một khái niệm trừu tượng Đó là thuộc tính chung nhất của các tập hợp tương đương, nghĩa là những tập hợp thiết lập được tương ứng một đối một Do đó để nhận thức được khái niệm số tự nhiên đòi hỏi học sinh phải

có khả năng trừu tượng hóa, khái quát hóa cao, nhưng học sinh tiểu học có những hạn chế trong nhận thức: tri giác còn gắn liền với hành động trên đồ vật; khó nhận biết được tính chất chung của các tập hợp khi thay đổi một vài đặc điểm bên ngoài của các phần tử như hình dạng, màu sắc; chú ý của học sinh tiểu học chủ yếu là chú ý không phủ định, hay chú ý đến cái mới lạ, hấp dẫn, cái đập vào mắt trước hơn là cái cần quan sát; đối với học sinh tiểu học trí nhớ trực quan, hình tượng phát triển mạnh hơn trí nhớ câu chữ, trừu tượng; trí tưởng tượng phụ thuộc hình mẫu có thực; tư duy cụ thể là chủ yếu, còn tư duy trừu tượng dần dần hình thành

Vì thế để học sinh tiểu học hiểu được bản chất của số tự nhiên cần phải qua một quá trình với các mức độ khác nhau và bằng nhiều cách khác nhau kết hợp với cơ chế loogic hình thành khái niệm với kinh nghiệm sống của học sinh Muốn vậy, người giáo viên phải hiểu rõ bản chất toán học của số tự nhiên, dụng

ý và cách trình bày của sách giáo khoa để từ đó đưa ra cách dạy thích hợp

1.1 Các cách định nghĩa số tự nhiên

+ Cách 1: Coi số tự nhiên là bản số của tập hợp hữu hạn

- Định nghĩa 1: Cho hai tập hợp A và B Ta nói tập hợp A tương đương

với tập hợp B, ký hiệu A  B nếu có một song ánh f: A  B Mỗi tập hợp A đều

có một bản số, ký hiệu Card A sao cho

Card A = Card B  A  B

- Định nghĩa 2: Tập hợp không tương đương với bất kỳ tập con thực sự nào

- Định nghĩa 3: Bản số của một tập hợp hữu hạn gọi là một số tự nhiên

Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu làN

+ Cách 2: Coi số tự nhiên là khái niệm cơ bản và xây dựng tập hợp N của các số tự nhiên theo hệ tiên đề Pêanô

- Khái niệm cơ bản: Số tự nhiên

- Quan hệ cơ bản: Số kề nhau

- Các tiên đề:

(1) Số 0 thuộc N

(2) Với mỗi n thuộc N có một và chỉ có một số liền kề sau n’ thuộc N (3) Với mỗi n’ khác 0, thuộc N là số kề sau của một và chỉ một n thuộc N (4) Nếu M là một tập hợp con của N sao cho:

1.2 Cách trình bày khái niệm số tự nhiên của sách giáo khoa

Quá trình giới thiệu các số tự nhiên theo các vòng số như sau:

Đồng thời sách giáo khoa cũng đã vận dụng tư tưởng của cách 2 khi hình thành quan hệ thứ tự, khái niệm số liền trước, liền sau và khái niệm dãy số tự nhiên Do đó khi dạy các số tự nhiên trong phạm vi 10 cần tiến hành theo 3 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Hình thành khái niệm tập hợp và lực lượng

Ở giai đoạn này, trước hết giới thiệu cho học sinh các tập hợp khác nhau bằng đồ vật hoặc bằng tranh vẽ Để so sánh số phần tử, giáo viên giới thiệu cho học sinh cách ghép cặp (mỗi phần tử của tập hợp này ghép với một và chỉ một phần tử của tập hợp kia), thực chất là cho học sinh làm quen với cách thiết lập tương ứng một đối một: nếu các tập hợp gồm các đồ vật, thì đặt các phần tử thành từng cặp, còn nếu các tập hợp là tranh vẽ, thì các cặp phần tử ghép với nhau được nối bằng những vạch thẳng Các tập hợp có thể thiết lập được tương ứng một đối một có “số phần tử” như nhau Từ đó học sinh nhận thức được các tập hợp không thiết lập được tương ứng một đối một thì “số phần tử” không như nhau và hình thành khái niệm “nhiều hơn”, “ít hơn” Giáo viên có thể kết hợp với phép đếm giúp học sinh xếp các tập hợp thành một dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn”, các tập hợp có số phần tử bằng nhau xếp cùng một vị trí và gọi là các tập hợp tương đương

Giai đoạn 2: Giới thiệu các ký hiệu số, cách viết và đọc các số

Sau khi đã làm quen với các tập hợp tương đương, học sinh sẽ nhận thức được các tập hợp đó đều có một tính chất chung là: “số phần tử” của chúng đều như nhau Giáo viên đặt tên cho mỗi tập hợp bằng các chữ số và nhấn mạnh cho học sinh điều quan trọng nhất là sự bằng nhau về “số phần tử” trong mỗi tập hợp, còn “chữ số” chỉ là quy ước thuận tiện nhất để xem xét số phần tử của tập hợp

Giai đoạn 3: Hình thành khái niệm dãy số

Sau khi học sinh đã nắm được các chữ số, cách đọc và cách viết các chữ

số, xếp các tập hợp thành một dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh viết các “chữ số” tương ứng với “số phần tử” của từng tập hợp thành một hàng, học sinh nhận được một dãy số Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng của dãy số là quan hệ “liền trước”, “liền sau” Để củng cố khái niệm dãy số giáo viên yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tiếp, đếm nhảy và định vị các số trong dãy

2 KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN N

Việc xây dựng khái niệm số tự nhiên ở tiểu học hoàn toàn dựa vào tư tưởng của tập hợp Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên cũng xác định thông qau các phép tán trên tập hợp Ta đã biết hợp và tích Đề-các của hai tập hợp hữu hạn là những tập hợp hữu hạn điều này là cơ sở cho việc định nghĩa phép toán cộng và nhân hai số tự nhiên

2.1 Các cách xây dựng phép cộng

2.1.1 Theo quan điểm tập hợp

Định nghĩa phép cộng: Cho a, b  N, a = Card A, b = Card B với A, B là hai tập hữu hạn và A  B =  khi đó A  B cũng là tập hữu hạn và ta định nghĩa:

a + b = Card (A  B) Như vậy, khái niệm tổng của hai số tự nhiên được xây dựng dựa vào sự thiết lập mối tương ứng giữa hợp các tập hợp rời nhau với số tự nhiên là tổng các bản số của các tập hợp đó Ví dụ:

A là tập hợp 3 viên bi xanh

B là tập hợp 2 viên bi đỏ

A và B không có phần tử chung, C là tập hợp của hai tập hợp A và B gồm

3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ

Và sử dụng biểu đồ Ven như sau:

3 + 2 = 5

 

2.1.2 Theo quan điểm đại số

Phép cộng trong tập hợp số tự nhiên có thể được coi là ánh xạ:

f : N  N  N (a, b) a + b

từ là quy tắc cho tương ứng: với mỗi cặp số tự nhiên (a; b) ứng với một và chỉ một số tự nhiên c gọi là tỏng của a và b, ký hiệu a + b = c

Kỹ năng cộng cột dọc là kỹ năng cơ bản cần hình thành cho học sinh trong toàn bộ chương trình toán Tiểu học (kể cả các phép tính về số thập phân sau này)

2.2 Các cách xây dựng về phép trừ

Cách 1: Tìm bản số của phần bù: Cho hai số a, b  N, a  b khi đó tồn tại hai tập hợp hữu hạn a = Card A, b = Card B, A  B

Ta đặt c = Card (B \ A) =  và

a + c = Card (A  (B \ A)) = Card B = b

Số c tồn tại như trên được gọi là hiệu của b và a, ký hiệu c = b - a

Cách 2: Cho a, b  N, b  a khi đó tồn tại c  N, sao cho b + c = a Ta nói

c là hiệu của a và b và ký hiệu c = a - b

Trong sách giáo khoa hiện hành, phép trừ hai số tự nhiên được giới thiệu

Khi dạy khái niệm về phép trừ cùng với thao tác ta sử dụng các từ như bớt

đi, lấy đi Ví dụ có 5 bông hoa, lấy đi 2 bông hoa còn 3 bông hoa

Ta nói 5 bớt 2 bằng 3

và viết 5 - 2 = 3;

đọc là năm trừ hai bằng ba

Sách giáo khoa sử dụng biểu đồ Ven để mô tả phép trừ:

Và sử dụng biểu đồ Ven như sau:

và chỉ một số tự nhiên c được gọi là tích của a và b, ký hiệu là a  b

Tập số tự nhiên N đóng kín đối với phép nhân

Cách định nghĩa phép nhân như trên không sử dụng để xây dựng khái niệm phép nhân ở Tiểu học nhưng được sử dụng trong bài tập

Cách 2: Định nghĩa phép nhân theo lý thuyết tập hợp:

Cho a, b  N, a = Card A, b = Card B với A, B là hai tập hợp hữu hạn Khi đó tích Đề-các A  B cũng là một tập hữu hạn và ta định nghĩa:

a  b = Card (A  B) Theo quan điểm này thì định nghĩa phép nhân hoàn toàn độc lập với phép cộng nhưng tích Đề-các là khái niệm khó đối với học sinh tiểu học

Cách 3: Trong sách giáo khoa tiểu học hiện nay, phép nhân còn được

quan niệm là trường hợp đặc biệt của phép cộng, đó là phép cộng nhiều số hạng bằng nhau:

a  b = a + a + … + a (a lấy b lần)

b số hạng

 

SGK lớp 2 hiện nay trình bày cụ thể như sau:

2 được lấy 5 lần

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

2 + 2 + 2 + 2 + 2 là tổng của 5 số hạng bằng nhau, mỗi số hạng là 2

Ta chuyển thành phép nhân, viết như sau:

2  5 = 10

Đọc là: Hai nhân năm bằng mười

Dấu  gọi là dấu nhân

3 KHÁI NIỆM VỀ PHÂN SỐ

3.1 Các cách định nghĩa về phân số

+ Cách 1: Phân số là cặp sắp thứ tự (a, b) trong đó a, b là số tự nhiên và

b  0; b chỉ số phần bằng nhau mà một đơn vị được chia ra và a chỉ số phần đã lấy

Cặp sắp thứ tự (a, b) ký hiệu là a

b Định nghĩa này có nói đến một đơn vị nhưng trong cách đọc phân số đơn

vị thường được hiểu ngầm, chẳng hạn khi nói “một phần bảy” đó là một phần bảy của đơn vị

+ Cách 2: Quan niệm phân số là thương đúng của hai số tự nhiên Chúng

ta đã biết rằng khi chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b  0, không phải lúc nào thương cũng là một số tự nhiên Nói cách khác, phương trình b  x = a (a, b N,

b  0) không phải lúc nào cũng có nghiệm trong N Vì vậy phải mở rộng tập hợp

số tự nhiên bằng cách thu nhận thêm những số có dạng a

b Vậy phân số là thương đúng của phép chia một số tự nhiên a cho số tự nhiên b  0 Trên tập hợp

số mới, phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b  0 luôn luôn thực hiện được (đóng kín đối với phép chia) và tập hợp số mới chứa một bộ phận đẳng cấu với

N

+ Cách 3: Sử dụng phương pháp đối xứng hóa để mở rộng tập hợp số tự

nhiên khác 0 đến tập hợp số hữu tỉ không âm

  

  

  



Quan hệ tương đương đó chia tập N  N* thành các lớp tương đương Tập hợp tất cả các lớp tương đương tạo thành tập thương

Q+ = N  N* / 

3.2 Cách trình bày khái niệm phân số của sách giáo khoa

Trong sách giáo khoa tiểu học người ta hình thành khái niệm phân số bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn, có nghĩa là không đưa ra một định nghĩa tổng quát mà từ những ví dụ cụ thể để giới thiệu phân số, cách đọc, viết phân số Cụ thể theo tinh thần của cách 1: coi phân số như là dạng số dùng để biểu diễn số phần bằng nhau được lấy ra từ một đơn vị cho trước

Ví dụ: Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, lấy 1 phần ta có 1

6 hình tròn, lấy 3 phần ta có 3

6 hình tròn Các số

1

6,

3

6 được gọi là phân số

Đồng thời, sách giáo khoa cũng đã vận dụng tư tưởng của cách 2 nhằm giới thiệu cho học sinh một cách hình thành khác: coi phân số là một dạng số dùng để ghi kết quả phép chia số tự nhiên

- Chuẩn bị cơ sở ban đầu cho việc dạy đại số ở các bậc học trên

I BIỂU THỨC TOÁN Ở TIỂU HỌC

Một biểu thức toán học là cách viết chỉ rõ các phép tính và thứ tự thực hiện các phép tính đó trên các số và các chữ

Trong chương trình Toán tiểu học người ta không định nghĩa khái niệm biểu thức

Ở tiểu học gặp hai loại biểu thức:

- Các biểu thức chỉ chứa các số liên kết với nhau bằng dấu các phép tính cùng với dấu ngoặc gọi là các biểu thức số

Khi thực hiện các phép tính trong biểu hức theo một thứ tự nhất định, ta được kết quả là một số xác định

- Loại biểu thức thứ hai thường gặp ở tiểu học là các biểu thức trong đó ngoài các số còn có các chữ và gọi là biểu thức chứa chữ

Các chữ trong biểu thức chứa chữ có thể đại diện cho một số không biến đổi trong quá trình đang xét và được gọi là hằng số

Các chữ trong biểu thức chứa chữ cũng có thể đại diện cho một số biến đổi trong một tập hợp số nào đó, ta gọi là biến số

Khi ta cho biến số một giá trị xác định lấy từ một tập hợp số nào đó thì biểu thức chứa chữ có một giá trị xác định tương ứng gọi là giá trị của biểu thức

Trong một biểu thức chứa chữ, chữ nào đại diện cho hằng số, chữ nào đại diện cho biến số tùy thuộc vào quan niệm của người suy luận thay vào tình huống cụ thể đang xét

Người ta thường quy ước dùng các chữ đầu bằng chữ cái như a, b, c, …

để chỉ các hằng số và các chữ ở cuối bảng chữ cái như x, y, z, … để chỉ các biến

số

Khái niệm biến số gắn chặt với khái niệm hàm số

Trong khái niệm hàm số ở tiểu học sự chú ý tập trung vào tư tưởng chung

là sự biến đổi tương ứng của hai đại lượng Sự biến đổi tương ứng đó được diễn đạt bằng nhiều cách như dùng bảng, cho bằng công thức,… Các đại lượng tỷ lệ thuận và các đại lượng tỷ lệ nghịch là những ví dụ về hàm số trong chương trình Toán tiểu học

+ Biểu thức số dạng phức tạp có từ hai dấu phép tính trở lên

- Các biểu thức số được chia làm ba loại:

+ Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, chỉ chứa hoặc phép cộng, phép trừ hoặc phép nhân, phép chia

+ Biểu thức có dấu ngoặc

+ Biểu thức không có dấu ngoặc nhưng chứa bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia

1.1.2 Tính giá trị của biểu thức

- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, chỉ chứa hoặc cộng, trừ hoặc nhân, chia thì thực hiện phép tính từ trái sang phải

- Nếu biểu thức có dấu ngoặc thì phải thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước

- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc có cộng, trừ, nhân, chia thì trước hết phải làm phép tính nhân, chia trước

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: 18 - 15 : 3

Học sinh dễ sai lầm là lấy 18 trừ 15 bằng 3 sau đó lấy 3 chia 3 bằng 1

1.1.3 So sánh các biểu thức

Để so sánh hai biểu thức thường phải tính giá trị mỗi biểu thức rồi so sánh các giá trị đó

Ngoài ra, có thể dùng thủ thuật qua việc áp dụng tính chất của các phép tính để so sánh nhanh, đúng mà không cần tính giá trị cụ thể của mỗi biểu thức

1.2 Biểu thức chứa chữ

Việc dùng chữ thay số là một sự kiện rất quan trọng trong toán học, đặc biệt việc dùng chữ đại diện cho các biến số là một bước ngoặt về chất của sự phát triển toán học

Dùng chữ thay số đánh dấu sự chuyển biến từ số học sang đại số, nó bắt đầu mang tính chất khái quát ở mức độ cao

Việc dùng chữ thay số được đưa vào chương trình Toán tiểu học đã phá

bỏ quan niệm cũ chỉ dạy các số với các phép tính

Chính vì lẽ đó mà việc dùng chữ thay số là vấn đề cần thiết, phù hợp với học sinh tiểu học trong giai đoạn hiện nay, nhưng đây cũng là điều không đơn giản, nhất là làm sao để học sinh hiểu và vận dụng được

Trước khi dùng chữ thay số, học sinh đã làm quen với việc dùng ô trống,

dấu hỏi, ngôi sao, chỗ chấm chấm… thay cho số chưa biết

1.2.1 Biểu thức chứa một chữ

Bài toán: Lan có 3 quyển vở, mẹ cho Lan thêm …… quyển vở Hỏi lan có

tất cả bao nhiêu quyển vở?

GV: Số vở của Lan sẽ phụ thuộc vào điều gì?

HS: Phụ thuộc vào số vở mẹ cho Lan

Lúc đầu Lan có Mẹ cho thêm Số vở Lan có

(sau khi cho thêm)

3 + a gọi là biểu thức chứa một chữ, đó là chữ a

GV: Giá trị của biểu thức 3 + a phụ thuộc vào số hạng nào?

HS: Phụ thuộc vào giá trị của a

GV: Tính giá trị của biểu thức 3 + a với a = 2, a = 3

HS: - Khi a = 2; 3 + a = 3 + 2 = 5

- Khi a = 3; 3 + a = 3 + 3 = 6 GV: 5 là giá trị của biểu thức 3 + a với a = 2

6 là giá trị của biểu thức 3 + a với a = 3

Những biểu thức đặc biệt học sinh có thể dựa vào tính chất đã biết:

- Số nào cộng với 0 cũng bằng chính số đó, ta có a + 0 = a

- Số nào trừ đi 0 cũng bằng chính số đó, ta có a - 0 = a

- Số nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó, ta có a  1 = a

- Số nào chia cho 1 cũng bằng chính số đó, ta có a : 1 = a

…

1.2.2 Biểu thức chứa hai hoặc ba chữ

Cái khó của dạy biểu thức chứa hai, ba chữ không phải là vấn đề xuất hiện

thêm chữ mà là giá trị của biểu thức

Bây giờ giá trị của biểu thức không chỉ phụ thuộc vào giá trị của một chữ

mà phụ thuộc đồng thời vào giá trị của tất cả các chữ có mặt trong biểu thức

Nếu chỉ biết giá trị của một chữ thì giá trị của biểu thức chứa hai, ba chữ vẫn chưa được xác định

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức 7 + a - b, với a = 5, b = 6

Cần làm rõ:

7 + a - b = 7 + 5 - 6 = 6 Giá trị của biểu thức bằng 6 với a = 5 và b = 6

Có thể sử dụng ký hiệu chữ để khái quát hóa các kiến thức đã học

Ví dụ: Tính chất của phép cộng các số tự nhiên với các số tự nhiên a, b, c

2 ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Ở TIỂU HỌC

2.1 Theo quan điểm lô-gíc

Hai đối tượng a và b được gọi là bằng nhau (ký hiệu a= b) khi chúng được coi như một, chúng có những tính chất như nhau

Chẳng hạn khi biết 5 = 3 + 2, ta hiểu đối tượng được ký hiệu 3 + 2 và đối tượng được ký hiệu bằng 5 chỉ cùng một số nhưng với hai hình thức thể hiện khác nhau

Nhưng đối với phương trình người ta đặt giữa hai biểu thức (có một hoặc hai vế đều chứa chữ) bởi dấu bằng thì ý nghĩa của quan hệ này không còn như

cũ

Chẳng hạn: x  4 = 20 (1)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi x = 5

Vì vậy, chính xác hưn, dấu bằng ở (1) chỉ là một sự “phán đoán”

Vì vậy định nghĩa phương trình chính xác khi dựa vào khái niệm hàm mệnh đề Mỗi phương trình là một hàm mệnh đề

Tập nghiệm của phương trình chính là miền đúng của một hàm mệnh đề

Ví dụ: Phương trình (1) là ký hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của x  4 bằng 20”

Với x = 5, hàm mệnh đề trở thành mệnh đề đúng và 5 được gọi là nghiệm

của phương trình (và {5} cũng chính là miền đúng của hàm mệnh đề)

2.2 Bất đẳng thức

Quan hệ “lớn hơn”, “bé hơn” chỉ có trên những tập sắp thứ tự

Trong toán học, quan hệ lớn hơn, bé hơn có thể định nghĩa một cách trực tiếp: a < b  a - b < 0

Cũng có thể định nghĩa quan hệ lớn hơn, bé hơn qua quan hệ thứ tự a  b

Ví dụ: a < b  a  b và a  b

Ở tiểu học quan hệ lớn hơn, bé hơn, bằng nhau được hình thành rất sớm ngay từ đầu lớp 1 Khi học các số 1, 2, 3, 4, 5 học sinh đã biết so sánh

1 < 2; 2 < 3; … Phương pháp so sánh bằng cách đặt tương ứng 1 - 1:

1 < 2 Một bé hơn hai

Dấu bé hơn không xảy ra với những giá trị x  0 (x là số tự nhiên)

Tương tự như bất phương trình x < 1 là một hàm mệnh đề Với x = 0 hàm mệnh đề trở thành mệnh đề đúng, ta cũng nói x = 0 là nghiệm của bất phương

trình

3 PHƯƠNG TRÌNH Ở TIỂU HỌC

Các kiến thức về phương trình dạng đơn giản được sắp xếp xen kẽ và gắn

bó chặt chẽ với các kiến thức số học dưới các hình thức như: điền vào ô trống,

Ở tiểu học người ta không định nghĩa phương trình mà chỉ giới thiệu hai hình thức thể hiện:

- Điền vào ô trống

- Tìm x (tìm y)

3.1 Các dạng phương trình ở tiểu học

Phương trình ở tiểu học có các dạng sau:

a) Các phương trình mà vế trái là một tổng, hiệu, tích, thương của một số

và một chữ, vế phải là một số:

x + a = b (hoặc a + x = b) a  x = b (hoặc x  a = b)

x - a = b x : a = b

Ở đây a, b, c là số tương ứng với các vòng số ở các lớp

b) Các phương trình mà vế trái là tổng, hiệu, tích, thương của một số và một chữ, vế phải là tổng, hiệu, tích, thương của hai số

Ví dụ: Tìm x: x : 6,7 = 1 : 0,25

c) Các phương trình mà vế trái là một biểu thức có hai phép tính không có dấu ngoặc, vế phải là một số

Ví dụ: Tìm x: x : 316 + 197 = 520

d) Các phương trình mà vế trái là một biểu thức có hai phép tính, không

có dấu ngoặc, vế phải là một tổng, hiệu, tích, thương của hai số

Ví dụ: Tìm x: 6  1,5  x = 18  2,5

e) Các phương trình mà vế trái là một biểu thức chứa hai dấu phép tính,

có dấu ngoặc, vế phải là một số

Ví dụ: Tìm x: (x + 4,1) : 3,2 = 3

3.2 Phương pháp dạy học giải phương trình

3.2.1 Giải các bài tập về phương trình đơn giản cơ bản là dựa trên quan hệ giữa thành phần và kết quả phép tính

Mức độ 1: Các phương trình mà vế trái là tổng, hiệu, tích, thương của một

số và một chữ, vế phải là một số

Ví dụ: Phương trình dạng x + a = b (a < b)

Đây là bài toán tìm số hạng chưa biết khi biết tổng và số hạng kia

Lấy tổng của hai số hạng trừ đi số hạng đã biết ta sẽ có được số hạng chưa

Mức độ 3: Các phương trình mà vế trái là một biểu thức có hai phép tính,

có chứa một chữ, không có dấu ngoặc, vế phải là một số

Mức độ 4: Các phương trình mà vế trái chứa x là một biểu thức có hai

phép tính, không có dấu ngoặc, vế phải là tổng, hiệu, tích, thương của hai số

Trước hết ta phải tính giá trị của biểu thức ở vế phải và đưa về dạng phương trình ở mức độ 3

Mức độ 5: Các phương trình mà vế trái chứa x, là biểu thức có chứa hai

dấu phép tính và có cả dấu ngoặc, vế phải là một số Để dạy học giải phương trình dạng này, yêu cầu học sinh nhắc lại thứ tự các phép tính trong một biểu thức chứa dấu ngoặc, từ đó xác định phép tính sau cùng và xác định thành phần

của phép tính này Sau đó tìm thành phần của phép tính có chứa x và đưa về

dạng quen thuộc

Ví dụ: (x + 118)  24 = 720

Ở ví dụ này phép tính sau cùng là phép nhân, từ đó tìm thừa số (x + 118)

chưa biết của phép nhân này và chuyển về phương trình ở mức dộ 2

x + 118 = 720 : 24

3.2.2 Các phương pháp khác dạy học giải phương trình

a) Phương pháp thử chọn: Đặc trưng của phương pháp này là học sinh dự

đoán một số rồi thử lại Nếu thấy phù hợp thì chọn số đó, nếu chưa thì điều chỉnh cho phù hợp

b) Phương pháp sử dụng bảng cộng, bảng nhân:

Ví dụ: Điền số thích hợp vào ô trống:

 + 3 = 5 Nhớ lại bảng cộng với: 2 + 3 = 5 Vậy số thích hợp điền vào ô trống bằng 2

c) Phương pháp dùng biểu đồ Ven:

3 x

7

Tìm x được giải theo trình tự sau:

- Gọi tên số phải tìm

- Nêu cách làm và ghi phép tính tìm x

- Thực hiện phép tính, ghi kết quả

- Kiểm tra kết quả bằng cách thử lại

d) Phương pháp Graph:

Đối với các dạng phương trình có số phải tìm x đứng đầu trong dãy tính,

ta có thể dùng Graph để diễn tả trực quan các thành phần của phép tính và mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính Sau đó tính ngược từ cuối bằng cách thay phép cộng bằng phép trừ và ngược lại, thay phép nhân bằng phép chia và ngược lại

Ví dụ: Tìm x: (x - 0,85)  0,18 = 0,549

- 0,95  0,18

+ 0,95 : 0,18

4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TIỂU HỌC

Trong chương trình Toán tiểu học, học sinh được làm quen với bất

phương trình đơn giản có một ẩn số dưới dạng điền vào ô trống hoặc tìm x (tìm y)

Khác với phương trình, bất phương trình ở tiểu học có thể có hữu hạn nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Dạy học bất phương trình cũng góp phần làm cho học sinh củng cố thêm nhận thức về quan hệ lớn hơn, bé hơn

4.1 Các dạng bất phương trình thường gặp ở tiểu học

Các bất phương trình thường gặp ở tiểu học có các dạng sau:

- Các bất phương trình có một vế là một số (hoặc biểu thức số) và vế kia

Ví dụ: Tìm x: 3 < x < 5; 57 < x < 13 + 46

- Các bất phương trình có số cần tìm nằm giữa khoảng hai số (hoặc giữa một số và một biểu thức số, hoặc giữa hai biểu thức số) có thêm điều kiện của số cần tìm

Ví dụ: Tìm 5 giá trị số thập phân x, sao cho: 1 < x < 2

- Các bất phương trình có biểu thức chữ nằm giữa khoảng hai số

4.2 Dạy học cách giải bất phương trình

Sau đây là một số phương pháp dạy học giải bất phương trình thường gặp

ở tiểu học:

4.2.1 Phương pháp thử chọn

Đây là phương pháp giải thường gặp về bất phương trình ở tiểu học

Đặc trưng của phương pháp này là dự đoán một số, thử để chọn ra số thích hợp Để hạn chế trườn hợp phải thử chọn, cần quan sát kĩ dạng bất phương trình để có định hướng dự đoán

Đặc trưng của phương pháp này là sử dụng tia số để biểu diễn vị trí a, b,

sau đó căn cứ vào yêu cầu của bài toán để xác định những giá trị cần tìm của x

Ví dụ: Tìm số tự nhiên x < 5 Biểu diễn các số trên tia số ta thấy:

Sau đó với mỗi giá trị này ta có một phương trình Giải phương trình đó ta

tìm được giá trị của x

Ví dụ: Tìm số tự nhiên x biết: x - 7 < 3

Ta coi x - 7 là một số, các số bé hơn 3 là: 0; 1; 2

Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số dạng toán và phân tích cơ sở toán học của nó:

Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng: Ở tiểu học, người ta

đưa ra quy tắc tìm số lớn = (tổng + hiệu) : 2, số bé = (tổng - hiệu) : 2 và có thể giải thích cho học sinh một cách trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng

Cơ sở lý thuyết của bài toán này chính là bài toán giải hệ phương trình tuyến tính hai ẩn số

Đối với các dạng toán ở tiểu học, sau khi đưa ra quy tắc giải toán học sinh

có thể áp dụng trực tiếp quy tắc để giải toán mà không cần phải giải thích lý do tại sao? Chẳng hạn, đối với dạng toán này ta có ví dụ sau:

Ví dụ: (Sgk Toán 4, trang 172): Hai đội trồng rừng trồng được 1375 cây

Đội thứ nhất trồng được nhiều hơn đội thứ hai 285 cây Hỏi mỗi đội trồng được bao nhiêu cây?

Học sinh sẽ đưa ra lời giải như sau:

Đội thứ nhất trồng được là:

(1375 + 285) : 2 = 830 (cây) Đội thứ hai trồng được là:

(1375 - 285) : 2 = 545 (cây) Hoặc: 1375 - 830 = 545 (cây)

Đáp số: 830 cây; 545 cây

Dạng toán tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của hai số đó:

Dạng toán này được giải cho học sinh tiểu học bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng tìm tổng (hiệu) số phần bằng nhau, giá trị của mỗi phần và từ đó tìm

ra giá trị của mỗi số Giải bằng phương pháp này thì rất trực quan và dễ hiểu đối với học sinh tiểu học Tuy nhiên, khi giáo viên muốn sáng tác đề toán mới cho dạng này cần nắm rõ cơ sở lý thuyết của nó Đó chính là bài toán giải hệ phương trình:

x y ax

by

1 bay

Phương pháp giả thiết tạm: Là một trong những phương pháp hữu hiệu

được sử dụng để giải một lớp các bài toán có lời văn Có thể nói phương pháp giả thiết tạm là một trong những phương pháp tư duy trừu tượng đầu tiên trong quá trình học toán ở tiểu học Cơ sở lý thuyết của phương pháp giả thiết tạm là giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng và phương pháp thế Chúng ta hãy xét bài toán cổ sau đây:

“Vừa gà vừa chó Bó lại tròn 36 con, 100 chân chẳn Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”

Bài toán này được giải bằng phương pháp giả thiết tạm mà cơ sở của phương pháp này là hệ phương trình tuyến tính:

x y 36 (1)2x 4y 100 (2)

 



Trong đó x là số gà, y là số chó

Phương pháp giả thiết tạm được rút ra từ cách giải hệ phương trình trên, chẳng hạn có thể được trình bày như sau:

Nhân hai vế của PT (1) với 2 ta được 2(x + y) = 72 hay 2x + 2y = 72 (3) Đối với học sinh tiểu học, ở bước này là giả thiết tạm rằng cả 36 con vật đều là

gà Khi đó, số chân là 2  36 = 72 (chân)

Từ phương trình (2), (3) rút ra: 2y = 28 (4) Bước này giải thích với học sinh tiểu học như sau: do chúng ta giả thiết các con vật đều là gà nên số chân bị thiếu là 100 - 72 = 28 (chân)

Trong khi giải hệ phương trình thì từ (4) rút ra ngay y = 14 thì phương pháp giả thiết tạm phải giải thích nhiều hơn Đó là phải giải thích lý do ẩn chứa trong phép trừ vế theo vế của phương trình (2) cho (3): khi thay một con gà bởi một con chó thì số chân tăng lên là 4 - 2 = 2 (chân) Vậy số gà cần thay bởi số chó để bù cho 28 chân bị thiếu hụt hay số chó sẽ là 28 : 2 = 14 (con)

Cuối cùng, việc tìm x hay số con gà được thực hiện như nhau đối với cách

giải phương trình hay giải bằng phương pháp giả thiết tạm

Bây giờ, về phía giáo viên, từ một bài toán trong Sgk như thế, làm thế nào

để đặt ra được bài toán mới có cùng phương pháp giải? Giáo viên có thể dùng tìm cách thử - chọn, tức là cứ thử thay số và giải ra với đáp số hợp lý thì thỏa mãn Để sáng tác đề toán một cách hiệu quả thì cần phải thay đổi dữ kiện bài toán Muốn có kết quả hợp lý cần phải giải và biện luận các dữ kiện để tìm ra đáp số hợp lý Trong chương trình toán tiểu học, số âm chưa được trình bày nên các đáp số cũng như dữ kiện phải là các số không âm mà hầu hết được cho trên tập hợp số nguyên dương Do đó việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính trên tập số nguyên dương là bài toán khó Tất nhiên, trong trường hợp tổng quát thì đây là bài toán khó

Ở đây, chúng tôi chỉ đề cập đến một số trường hợp đơn giản, thay đổi một

số dữ kiện của bài toán, sau đó giải và biện luận các dữ kiện này để có đáp số hợp lý Như thế, cùng với sự thay đổi tình huống bài toán chúng ta sẽ có được nhiều đề toán cùng dạng hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh tiểu học

Chẳng hạn, đối với bài toán cổ trên, ta thay đổi a là tổng số gà và chó, b là

tổng số chân Khi đó có hệ phương trình:

x y a2x 4y b

 



Giải hệ phương trình này ta được:

4a bx

2

b 2ay

chọn 4a > b > 2a để tránh trường hợp đáp số chỉ toàn gà hoặc chó

Ví dụ: Chọn a = 50, b = 120, ta có bài toán: “Vừa gà vừa chó Bó lại cho

tròn 50 con, 120 chân chẳn Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”

Để bài toán nằm trong bối cảnh mới hơn ta có thể thay đổi tình huống như

sau: “Một đoàn xe diễu hành gồm có 50 xe cả ô tô lẫn xe máy với tổng cộng 120

bánh xe Hỏi đoàn diễu hành có bao nhiêu xe ô tô và bao nhiêu xe máy?” Đáp

số: 10 ô tô và 40 xe máy

Cách làm tương tự ta có thể thay đổi dữ kiện gà và chó; ô tô và xe máy

bằng các dữ kiện khác Ở đây gà và chó hay ô tô và xe máy đều giống nhau vì số

chân hay số bánh xe là giống nhau, gắn với các hệ số 2 và 4 trong phương trình

thứ hai của hệ Thay đổi dữ kiện là thay đổi các hệ số của phương trình nhưng

cần phải cho trước một số hệ số vì bài toán giải hệ phương trình tuyến tính tổng

quát nên miền nguyên Z là bài toán khó

Chương III

CƠ SỞ TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI CỦA NỘI DUNG CÁC YẾU TỐ THỐNG KÊ Ở TIỂU HỌC

1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA THỐNG KÊ

Nhiều bài toán trong thực tế dẫn đến nghiên cứu một hay nhiều dấu hiệu định tính hoặc định lượng đặc trưng cho các phần tử của một tập hợp nào đó Chẳng hạn nếu muốn điều tra thu thập bình quân của các gia đình ở thành phố Đồng Hới thì tập hợp cần nghiên cứu là các hộ gia đình ở thành phố Đồng Hới, dấu hiệu nghiên cứu là thu nhập của các gia đình Một doanh nghiệp muốn nghiên cứu các khách hàng của mình về dấu hiệu định tính có thể là mức độ hài lòng của khách hàng đối với sản phẩm hoặc dịch vụ của doanh nghiệp, còn dấu hiệu định lượng là số lượng sản phẩm của doanh nghiệp mà khách hàng có nhu cầu được đáp ứng Khi khảo sát một tín hiệu là quá trình ngẫu nhiên, người ta tiến hành lấy mẫu tại những thời điểm nào đó và thu được các tín hiệu mẫu Để

xử lý dấu hiệu cần nghiên cứu đôi khi người ta sử dụng phương pháp nghiên cứu toàn bộ,đó là điều tra toàn bộ các phần tử của tập hợp theo dấu hiệu cần nghiên cứu để rút ra các kết luận cần thiết Tuy nhiên trong thực tế việc áp dụng phương pháp này gặp phải những khó khăn sau:

- Do quy mô của tập hợp cần nghiên cứu quá lớn nên việc nghiên cứu toàn bộ sẽ đòi hỏi nhiều chi phí về vật chất và thời gian, có thể không kiểm soát được, dẫn đến bị chồng chéo, thiếu sót

- Trong nhiều trường hợp không thể nắm được toàn bộ các phần tử của tập hợp cần nghiên cứu, do đó không thể tiến hành toàn bộ được

- Có thể trong quá trình điều tra sẽ phá hủy đối tượng nghiên cứu

Vì thế trong thực tế phương pháp nghiên cứu toàn bộ thường chỉ áp dụng đối với các tập hợp có quy mô nhỏ, còn chủ yếu người ta sử dụng phương pháp không toàn bộ mà đặc biệt là phương pháp nghiên cứu chọn mẫu

Tổng thể nghiên cứu: Là tập hợp toàn bộ các phần tử đồng nhất theo một

dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng nào đó Mỗi phần tử của tổng thể gọi là cá thể Các cá thể của tổng thể được nghiên cứu thông qua dấu hiệu nghiên cứu Dấu hiệu nghiên cứu này có thể định tính hoặc định lượng Nếu dấu hiệu nghiên cứu có tính định lượng nghĩa là được thể hiện bằng cách cho tương ứng mỗi cá thể một giá trị thực nào đó thì dấu hiệu này được gọi là một biến

lượng Bằng mô hình toán học ta có thể xem biến lượng này là một biến ngẫu nhiên xác định trên tổng thể nghiên cứu Việc chọn ra ngẫu nhiên từ tổng thể một tập con nào đó gọi là phép lấy mẫu Tập hợp con này gọi là một mẫu

Mẫu ngẫu nhiên: Ta nói một mẫu là mẫu ngẫu nhiên nếu trong phép lấy

mẫu đó mỗi cá thể của tổng thể được chọn một cách độc lập với xác suất như nhau

Giả sử các cá thể của tổng thể được nghiên cứu thông qua dấu hiệu X Với mẫu ngẫu nhiên kích thước n, gọi Xi là dấu hiệu X của phần tử thứ i của mẫu Các Xi chính là các biến ngẫu nhiên, tức là các đại lượng nhận giá trị thực, phụ thuộc vào kết quả của phép thử Định nghĩa toán học của mẫu ngẫu nhiên như sau:

Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là một dãy gồm n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , ,

X n độc lập có cùng phân bố xác suất với X Ký hiệu W = (X 1 , X 2 , …, X n )

Thực hiện phép thử đối với ngẫu nhiên W là thực hiện một phép thử đối với mỗi thành phần của mẫu Giả sử Xi nhận giá trị xi, khi đó các giá trị x1, x2,

…, xn tạo thành một giá trị của mẫu, ký hiệu w = (x1, x2, …, xn)

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ SỐ LIỆU VÀ THỐNG KÊ SỐ LIỆU

Trong quá trình nghiên cứu thống kê, các phương pháp trình bày các số liệu thống kê được sử dụng ở các giai đoạn tổng hợp thống kê và phân tích thống kê Ở đó, các phương pháp này là công cụ giúp hệ thống hóa các số liệu thống kê, tạo cơ sở cho phân tích thống kê và hơn nữa còn góp phần thực hiện những phân tích đó, để tìm ra những quy luật thống kê phản ánh quy mô, cấu trúc và xu hướng phát triển của các số liệu thống kê Hai phương pháp thông dụng nhất được dùng để trình bày các số liệu thống kê là phương pháp sử dụng bảng phân phối thực nghiệm và phương pháp đồ thị

a) Bảng phân phối tần số thực nghiệm: Giả sử x1, …, xn là dãy các số liệu thống kê quan sát được, trong đó chỉ có k giá trị khác nhau và xi xuất hiện với tần số ni Khi đó bằng cách sắp xếp các giá trị xi tăng dần ta có bảng phân phối tần số thực nghiệm như sau:

ở đây n1 + n2 + … + nk = n

Bảng phân phối tần số (tần suất) thực nghiệm phản ánh tương đối đầy đủ

về quy mô và cấu trúc của các số liệu thống kê

Để có được hình ảnh trực quan hơn về tình hình phân phối các số liệu thống kê, người ta dựa vào các bảng phân phối tần số và tần suất thực nghiệm để xây dựng các đồ thị trình bày các số liệu thống kê

b) Bảng phân phối tần số dạng ghép lớp: Trong trường hợp các số liệu thống kê nhiều và có nhiều giá trị khác nhau, khi đó ta không thể dùng bảng phân phối tần số hay bảng phân phối tần suất thực nghiệm vì có rất ít các giá trị giống nhau Người ta tìm cách chia khoảng (phân nhóm) các giá trị thống kê Biên độ của mỗi khoảng có thể đều nhau hoặc khác nhau Trong mỗi khoảng ta chọn ra một giá trị đại diện của khoảng Giá trị đại diện chính là trung điểm của khoảng đó Bảng phân phối tần số thực nghiệm ghép lớp có dạng như sau:

Đối với bảng phân phối tần số dạng ghép lớp ta có thể mô tả bằng tổ chức

đồ tần số: Là biểu đồ hình chữ nhật gồm các hình chữ nhật liền nhau, trong đó