Bất đẳng thức

Đồng thời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng , rènluyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toántrong đó có các bài tập về bất đẳng thức cũng là một tro

A mở đầu –

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng nhứng dụng vào tất cả các nghành công nghiệp then chốt nh : dầu khí , viễnthông , hàng không , đều không thể thiếu toán học Sự ra đời và phát triểnmạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng củatoán học, đa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội

Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( ngời học toán) những kĩ năngtính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ năng t duylôgic , một phơng pháp luận khoa học

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học vàgiải bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sửdụng đúng phơng pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển t duycủa học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng , rènluyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toántrong đó có các bài tập về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toánhay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy , trí tuệ cho học sinh

Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến tứcrộng đặc biệt là với học sinh THCS Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thựctrạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong , ít khaithác , phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bàitoán khác một chút là không giải đợc

- Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liềnmạch, phơng pháp giải hạn chế , các bài toán bất đẳng thức thờng khó ,phải áp dụng các kiến thức khó nh: quy nạp toán học, phản chứng nên họcsinh hay ngại và học sinh cha vận dụng đợc toán bất đẳng thức vào để giảicác bài toán khó nh : cực trị , hàm số

Vì vậy: phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải toánbất đẳng thức là cần thiết Trong những năm giảng dạy thực tế ở trờng phổthông tôi đã tích luỹ đợc một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin đợctrình bày dới góc độ nhỏ

2) Mục đích nghiên cứu.

a Đối với giáo viên :

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

b.Đối với học sinh:

- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập vềchứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiếnthức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thubài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bàitập có liên quan đến bất đẳng thức

- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách thamkhảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập

- Giải đáp những thắc mắc , sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giảitoán bất đẳng thức trong quá trình dạy học

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơbản và vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập

- Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõmục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đăng thức

4) Nhiệm vụ của đề tài.

Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợpvới trình độ nhận thức của học sinh THCS

Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức , ápdụng để làm bài tập

Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức

đối với học sinh lớp 8 và lớp 9

6) Đối t ợng nghiên cứu và ph ơng pháp tiến hành

Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập ,

ôn tập cuối kì , cuối năm, kì thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT

Phơng pháp tiến hành : học sinh có kiến thức cơ bản , đa ra phơngpháp giải , bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp , bài tập t giải ( Học sinh về nhà

tự làm )

7) Dụ kiến kết quả của đề tài

Khi cha thực hiện đề tài này : học sinh chỉ giải đợc những bài toán

đơn giản , hay mắc sai lầm ,hay gặp khó khăn , ngại làm bài tập về bất đẳngthức

Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toánbất đẳng thức , làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳngthức có dạng tơng tự , hạn chế đợc rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳngthức

B – NộI DUNGPhần I : áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trờng thcs

I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

1. Định nghĩa : Cho 2 số a và b ta nói :

a lớn hơn b, kí hiệu : a>b ⇔ a- b>0

a nhỏ hơn b, kí hiệu : a<b ⇔ a-b<o

2 Các tính chất của bất đăng thức :

2.1 a>b ⇔ b<a

2.2.Tính chất bắc cầu: a>b, b>c ⇔ a>c

2.3.Tính chất đơn điệu của phếp cộng : cộng cung một số vào hai vế của bất

đẳng thức: a>b⇔ a+c>b+c

2.4.Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùngchiều với bất đẳng thức đã cho:

a>b, c > d⇔ a+c > b+d

* Chú ý : Không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều

2.5.Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mớicùng chiều với bất đẳng thức bị trừ

Nếu a > b , c > d thì a-c > b-d2.6 Tính chất đơn điệu của phép nhân :

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng

a > b , c>0⇔ a.c > b.c

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm

a >b , c<0⇔ a.c <b.c

2.7 Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

Nếu a>b ≥0 , c>d≥ 0 thì ac>bd2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức

a>b>o ⇔ an >bn.a>b⇔ an >bn với n= 2k ( k ∈ Z)2.9 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng

Với m > n > 0 :

- Nếu a >1 thì am > an

- Nếu a=1 thì am = an

- Nếu 0 <a <1 thì am < an

2.10 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu Nếu a >b >0 hoặc a< b<0 thì :

1 1

〉

*Chú ý : Ngoài các bất đẳng thức chặt ( a>b) ta còn gặp các bất đẳng

thức không chặt (a≥ b) tức là a>b hoặc a=b

Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ >” ( hoặc dấu “<” ) cóthể thay bởi dấu “≥” ( hoặc dấu “ ≤ “ )

3.Các bất đẳng thức cần nhớ

3.1 a2 ≥ 0; - a2≤ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.2 ‌│a‌│ ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.3 - │a‌│ ≤ a ≤ │a‌│ Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.4 │a+b‌│≤ │a‌│+│b‌│ Đẳng thức xảy ra khi ab≥ 0

3.5 │a-b‌│≥ │a‌│-│b‌│ Đẳng thức xảy ra khi a≥ b≥ 0 hoặc a≤ b≤ 0

*Chú ý : Một số bất đẳng thức chứng minh đơn giản hay đợc áp dụng :

• a+b ≥2 ab với mọi a,b ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=b

(Bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm)

• a2 + b2 ≥ 2ab với mọi a,b Đẳng thức xảy ra khi a=b

• (a+b)2 ≥ 4ab hay (a+b)2 ≥ab

2 với mọi a,b Đẳng thức xảy ra khi a=b

• 1/a + 1/b ≥ 4/a+b với mọi a,b>0 Đẳng thức xảy ra khi a=b

• a/b+ b/a ≥2 với ab>0 Đẳng thức xảy ra khi a=b

• (a x+by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) với mọi a,b ,x,y Đẳng thức xảy ra khia/b=x/y

II- Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số

1 Phơng pháp dùng định nghĩa

1.1 Cơ sở toán học: A ≥B ⇔A-B ≥ 0

Để chứng minh A ≥B ta chứng minh A-B ≥ 0

Tơng tự để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A-B ≤ 0

1.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Chứng minh: 2(x2 + y2) ≥( x+y)2 với mọi x,y

Giải: Xét hiệu 2(x2+y2) – (x+y)2

= 2x2+ 2y2-x2-y2-2xy = x2-2xy+y2

= (x-y)2 ≥ 0 ∀x, y.Dấu “=” xảy ra khi x=yVậy 2(x2+y2) ≥ (x+y) 2 ∀x, y Dấu “=” xảy ra khi x=y

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a ≥b thì a3 ≥b3

Giải: Xét hiệu: a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)≥ 0

Thừa số (a-b) ≥ 0 do giả thiết a≥b

Thừa số (a2+ab+b2) = a2+2a

4

3 4 2

2

b b

+ +

VËy a3- b3 ≥ 0 suy ra a3 ≥ b3

VÝ dô 3: Chøng minh 3x2+y2 + z2 +1 ≥ 2x(y +z+1)

Gi¶i: XÐt hiÖu: 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1)

Cuối cùng đạt đợc bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên C ≥D

Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A≥B

Để dùng các phép biến đổi tơng đơng ta đều chú ý các bất đẳng thứcsau:

(A±B)2 = A2 ±2AB+B2

(A+B+C)2 = A2 +B2 +C2+2AB+2AC+2BC 2.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ∀ a,b,c ta luôn có: a2+b2+c2 ≥

a c

c b

b a

⇔ a=b=c

Ví dụ 2: Chứng minh rằng a4+b4 ≥ a3b+ab3 ∀a, b

b a b ab

3

0 3 6 3

2 4

4 4

2

2 2

2 2

2 2

2 2

≥

−

⇔

≥ +

−

⇔

≥ +

−

⇔

+ +

≥ +

−

⇔

b a

b ab a

b ab a

b ab a b ab a

Thật vậy ,nếu (1) ⇒ (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì cha thể kết luận đợcbất đẳng thức (1) có đúng hay không

-Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng ,học sinh thờng bỏ qua cácphép biến đổi tơng đơng có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ Vì vậy cần l-

u ý các phép biến đổi tơng đơng có điều kiện ,chẳng hạn nh ở ví dụ 3

2.4 Bài tập tự giải :Chứng minh rằng

1,a2 + b2+ c2+ d2 + e2 ≥a(b + c + d + e) với mọi a,b,c,d,e

a

a ≥ ∀ ∈ +

1

2 2 2

1 ≥ ∀ >

x x

3) Phơng pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức

3.1 Cơ sở toán học

- Xuất phát từ các bất đẳng thức đó biết vận dụng các tính chấtcủa bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

- Thường là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức (đó

đều ở phần trên)

3.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Cho a+b >1 chứng minh a4 + b4 >81

Giải

Ta có a+b>1>0 (1)

( a+b)2 >1⇔a2 +2ab+ b2>1 (2)

⇔(a + b )(a- b) - c( a – b)≥ 0⇔(a – b)(a + b –c ) ≥ 0(*)

do a ≥b và a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên (*)đúng )

¸p dụng tính chất của bất đẳng thức với hai dãy ngược chiều , ta có :bc(a2 + bc)+ ac(b2 +ac)+ab(c2 +ab) ≤ bc(b2 +ac)+ac(c2 + ab) + ab( a2 + bc)

⇔b2c2 + a2c2 + a2b2 ≤ a3b +b3c + c3a

Vậy (1) đúng và đó là điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c ( tam giác đã cho là tam giác đều )

0 ≥ 2ab – 2 hay 2ab ≤ 2 (3)

Kết hợp (3) với giả thiết a2 + b2 ≤ 2 suy ra :

(a + b)2 ≤ 4 hay │a + b│ ≤ 2Nhưng │a + b│≥ a + b Do đó a + b ≤ 2 (đpcm)

5) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có

cùng dấu hay không : a > b ⇒

b a

1 2

1

1 2

1) + (212 +51+16+71) + (

15

1

2

1

1 2

1

A < 1+ 1

1 3

2

1

8 2

1 4 2

1 2 2

−

+ + +

n =        

nso

1 1

1 1

1 + + + + + =n

3.4 Bài tập tự giải : Chứng minh

b a

1 1

b

a+

4 (a>0; b>0 )2/ a2 +b2 +c2 +d2 ≥ 4 abcd

3/ a4 +b4 ≥81 với a+b =1

n

1 1

3

1 2

1

2 2

2

+

<

+ + +

4) Phương pháp quy nạp toán học

4.1.1 Cơ së to¸n häc

Néi dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học

Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n nếu :

Mệnh đề đúng với n=1

Từ giả thiết đúng với n=k (k∈N )

Suy ra được mệnh đề cũng đúng với n=k+1

Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương

Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyêndương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước:

Bước 1 : chứng minh mệnh đề T (1) đúng ( kiểm tra mệnh đề đúng

với n=1)

Bước 2 : giả sử mệnh đề T (k) đúng Ta phải chứng minh mệnh đề

1 ( +x k ≥ + k+ x+kx

Mà kx2 ≥ 0 nên 1+(k+1)x+kx2 ≥ 1+ (k+1)x

Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=0

Ví dụ 2: Cho a; b là những số không âm; n là số tự nhiên khác 0 Chứng

1

b a b a b

1 2

1 1

1 1

≥ + +

+ +

⇔

+

≤ + +

+ +

k k k

k

k k

k k

k k

k k k

k

b ab b

a a b a

b a b a

ab b a b a

b a b a b a

Do a ,b không âm nên bất đẳng thức cuối đúng , vậy (5) đúng Từ (4)và(5) theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức suy ra (3) đúng

Vậy (1) đúng vơi mọi n là số tự nhiên khác 0 Dấu “=” xảy ra khi :

• Nếu n > 1 thì dấu đẳng thức có khi a = b

4.3 Chú ý :

Nếu cả hai vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối

số tự nhiên n thì có thể dùng phương pháp quy nạp toán học Khi sử dụngphương pháp này phải hiểu kỹ các bước chứng minh , các phép biến đổitương đương , tinh chất của bất đẳng thức

4.4 Bài tập tự giải: chứng minh rằng :

Chia hai vế của bất đẳng thức này cho 2 ta có :

72 = (3a – 4b)2 = ( 3 3 a- 2.2.b)2 ≤ (3 + 4).(3a2 + 4b2)⇔7 ≤ 3a2 + 4b2

−

= 2

2 3

3 b a

a = 1; b = -1

5.3 Chú ý :

Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý : sử dụng các bất đẳng thức

đã được chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có được bất đẳng thức cần

áp dụng Nếu kh«ng sẽ dẫn đến sai lầm , thiếu sót

a

b b

a a

b b

a

3 2

2 2

3 0

4

1 4

9 3

2

2

2

2 2

a a

b b

a a

b b

a a

b b

a

(2) luôn đúng với ∀a;b ≠o

Vậy (1) luôn đúng với ∀a;b ≠ 0 (đpcm)

Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức  ≥ 2

a

với điều kiện a; b không đúng

a a

b b

a x a

b b

a

vì b a và a b cùngdấu ⇒ x≥ 2 hoặc x≤ − 2

2

2 2

a

Bất đẳng thức (1) ⇔ x2 − 3x+ 2 ≥ 0 XÐt bất phương trình : t2 – 3t + 2≥ 0 ⇔ (t− 2 )(t− 1 ) ≥ 0 ⇔t≥2 hoặc t ≤ 1

Từ x≥ 2hoặc x ≤ -2 ⇒x nằm trong miền nghiệm của bât phương trình

2

≥ +

a

b b

a a

b b a

Cách 2:

3 3

2 2 4 4

≥

−

− +

+

⇔

b a

ab b a b a b a

2 2

5.4 Bài tập tự giải

1/ Chứng minh r»ng nếu các số dương a ; b ; c có tổng a + b +c =1 thì :

9 1

2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết

3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau

4/Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng

5/ Phủ định luận để rồi suy ra kết luận của AB⇒B

6.2 Ví dụ :

Ví dụ 1; cho a2 + b2 ≥ 2 Chứng minh rằng : a + b ≤ 2

Giải

Giả sử a + b >2

Vì hai vế đều dương nên bình phương hai vế ta được :

1 1

1 )

1 ( −a ≤ a+ −a = ⇒a −a ≤

a

Tương tự : b(1 – b)≤41 c(1-c) ≤41

Chứng minh rằng không thể có a < 1; b < 1 2/Cho hai số dương a ; b thoả mãn điều kiện a5 + b5 = a3 + b3 Chứng

B1: §ặt biến mới dựa vào biến cũ

B2:Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới , chứng minh bất đẳng thứctheo biến mới

B3:Kết luận và trả lời theo biến cũ

7.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: abc≥(a+b−c)(a+b−c)(b+c−a) (1)

Với a;b ;c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Giải

Đặt: b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z, ta có x;y;z>o

2

; 2

; 2

y x c z x b z y

y x z x x

y+ + + ≥xyz

) )(

)(

(y+z x+z x+y

2 2 2 2

x z x

3

2 9

1 3

2 9

1 3

2 9

1 3

1 3

y x

x z

y x

= ( )

3

1 3

1 3

2 3

1 + x+y+z +x2+ y2 +z2 = +x2 +y2 +z2 ≥

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = 0 ⇔ a = b = c = 1/3

7.3 Chú ý : Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức

cần chú ý :

* Đặt biến mới theo hệ biến cũ , kèm theo điều kiện của biến mới

* Nắm chắc được các phép biến đổi , các bất đẳng thức cơ bản để ápdụng

+

− +

+

−

c b c a

b a c b a

2/ cho a; b; c ≥ 0 CMR:

2

2 2 2 2 2

4 2 2

4 2 2

b a

c c a

b c b

+

+ +

+ +

8 Phương pháp tam thức bậc hai

8.1 Cơ sở toán học :

Ta có thể dùng định lý về dấu tam thức bậc hai , dấu của nghiệm củatam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức

Cho tam thức bậc hai : F(x) = ax2 + bx + c với a ≠ 0

Có ∆ = b2 – 4ac

+ Nếu ∆ < 0 thì a.F(x) >0 với ∀x∈R

+ Nếu ∆= 0 thì a.F(x) >0 với ∀ ≠ − ⇒

a

b

+ Nếu ∆ > 0 thì tồn tại x1, x2 sao cho x2 > x1 Ta có :

- x nằm ngoài hai khoảng nghiệm : x< x1;x> x2 ⇔ a.F(x) > 0

- x nằm trong khoảng hai nghiệm : x1<x<x2 ⇔a.F(x) < 0

-1 ≤ c ≤ 2 ⇒ (c – 2)(c + 1) ≤ 0 (3) cộng từng vế của (1), (2), (3) ta được :

a2 –a – 2 + b2 –b -2 + c2 – c -2 ≤ 0 ⇔a2 + b2 + c2 –(a + b + c)≤ 6

Vì a +b +c =0 nên a2 + b2 +c2 ≤ 6 (đpcm)

Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi ; Bunhia côpxki

Cho n cặp số thực bất kì ( a1 ; b1) ; (a2 ; b2) ……(an ; bn) Thế thì :

2

2 1 2 2

2

2 1 2

2 1

∆ B AC

0 )

).(

( )

(

2 2 1

=

2

2 2 1

1 )

(a b +a b + +a n b n

⇔ ≤ (a12 +a22 + +a n2).(b12+b22 + +b n2)

(Nếu A = 0 thì : a1 =a2 = =a n = 0 Do đó bất đẳng thức cầnchứng minh là tầm thường )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∆ ' = 0 ⇔ (a1x−b1) = (a2x−b2) = = (a n x−b n) = 0 ⇔b1 =ka1;b2 =ka2; ;b n =ka n với ∀k∈R

8.3 Chú ý khi sử dụng tam thức bậc hai cấn chú ý :

+ Nắm chắc định lý về dấu của tam thức bậc hai +Thường dùng các phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳngthức cần chứng minh về dạng ;

a a

a a

2/Cho a; b; c thoả mãn hệ thức ; a2 + b2 + c2 =2 và ab +bc +ca =1.Chứng minh rằng :

3

4

;

; 3

(m2 – a2 –b2) (n2 –c2 –d2)≤ (mn –ac-bd)2

III- MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

A- Một số định lí , bất đẳng thức cần dùng

1.Mệnh đề 1 : Nếu tổng các số thực dương x1;x2; ;x n bằng một sốcho trước thì tích của chúng lớn nhất khi :x1 =x2 = =x n

* Định lí 1 : Nếu có n số dương x1;x2; ;x n có tổng bằng S không đổi

x m

Trong đó m i là các số hữu tỉ dương

2 Mệnh đề 2 : (Đối ngẫu ) : Nếu tích của các số dương x1;x2; ;x n

bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi x1 =x2 = =x n

* Định lí 2 : Nếu n số thực dương x1;x2; ;x n có tích P=

n

x x

x m

Trong đó m i (i = 1; 2; 3;… ;n) là các số hữu tỉ dương cho trước

3 Mệnh đề 3 : cho x1;x2; ;x n ∈Rta có : x1 +x2 + +x n (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x i cùng dấu Đặc biệt : x1 −x2 ≥x1 −x2

1-Tìm cực trị của hàm số Biểu thức đại số

Ví dụ 1; Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi là 20 m , hình nào có

Gọi các kích thước của HCN là a; b (m) ; ( a;b >0 )

Ta có : a + b = 10 và diện tích của HCN là ab(m2)

Nhận thấy 4ab = (a + b )2 – (a-b )2 = 100 – (a – b)2 ≤ 100