bat dang thuc

Bài 9BDT Nebist Cho a,b,c là các số thực dương... Ngoài ra còn có rất nhiều cách chứng minh khác nhưng ở đây chỉ đề cập đến BDT Cô-Si nên tôi không đưa ra.. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c..

Trang 1

Nguyễn ViÖt ph¬ng Trường THPT Số 2 Quảng Trạch Lớp 10A

Trang 2

BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI(AM-GM)

Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương

CMR + + ≥ a+b+c

Lời giải Áp dụng BDT Cô-Si ta có

( + b) + ( + c) + ( + a) ≥ 2(a+b+c)

Suy ra + + ≥ a+b+c (dpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài 2 cho a,b,c là các số thực dương

CMR + + ≥ ab+bc+ca

Lời giải Áp dụng BDT Cô-Si ta có.

( + ab) + ( + bc) + ( + ca) ≥ 2(a+b+c) ≥ 2(ab+bc+ca)

Suy ra + + ≥ ab+bc+ca (dpcm)

CMR + + ≥ + +

( + ) + ( + )+ ( + ) ≥ + +

Suy ra + + ≥ + + (dpcm)

Bài 4 Cho a,b.c là các số thực dương

CMR + + ≥ a + b + c

Lời giải Áp dụng BDT Cô-Si tacó.

+ ab + + bc + + ca ≥ 2(a+b+c)

Vậy cần chứng minh.ab + bc + ca ≤ a + b + c

Áp dụng BDT Cô-Si ta có

a+a+b ≥ 3ab ; b+b+c ≥ 3bc ; c+c+a ≥ 3ca

Cộng vế với vế ba BDT trên suy ra (dpcm)

Bài 5 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mản a+b+c=1

CMR + + ≥

Lời giải ta có một hệ quả của BDT Cô-Si là

+ + + ≥

Áp dụng hệ quả trên ta có

+ + ≥ = (dpcm)

Trang 3

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.

Bài 6 Cho a,b,c là cá số thực dương thoả mản a+b+c=1

CMR + + ≥ 9

Lời giải Ta có + + ≥ + + (BDT Cô-Si)

Tiếp tục áp dụng hệ quả trên ta lại có:

+ + ≥ 2 = 9 (a+b+c=1) (dpcm)

Bài 7 Cho a,b,c là các số thực duơng

CMR + + ≥ a+b+c

( +b+c) + ( +c+a) + ( +a+b) ≥ 3(a+b+c)

Suy ra + + ≥ a+b+c (dpcm)

CMR a + b + c ≥ abc(a+b+c)

Lời giải BDT trên tương đuơng với

a + b + c ≥ abc+bca+cab

Ta có BDT sau a+b+c ≥ ab+bc+ca

Áp dụng BDT trên ta có

a + b + c ≥ ab+bc+ca ≥

(ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab) = abc+bca+cab (dpcm)

Bài 9(BDT Nebist) Cho a,b,c là các số thực dương

CMR + + ≥

+ 1 + +1 + +1= (a+b+c)( + + )

Áp dụng BDT Cô-si ta có

2(a+b+c)( + + ) ≥

3 3 =

Suy ra + + ≥ − 3 = (dpcm)

Cách 2 ta sủ dụng đổi biến rồi sử dụng BDT Cô-Si để chứng minh Đặt x =a+b ;y =b+c ;z=c+a Suy ra =a+b+c

a = −y = ; b = −z = ;c =

BDT cần chứng minh tương đương với

+ + ≥

 + − + + − + + −

Hay ( + + + + + )≥

Điều này đúng khi ta sử dung BDT Cô-Si

Trang 4

Ngoài ra còn có rất nhiều cách chứng minh khác nhưng ở đây chỉ

đề cập đến BDT Cô-Si nên tôi không đưa ra

Bài 10 Cho a,b.c là cá số thực dương

CMR + + ≤

Lời giải Ta có BDT đả cho tương đương với.

1− + 1− + 1− = 3−( + + ) ≤ 3− =

Suy ra (dpcm) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài 11 Cho a,b.c là cá số thực dương thoả mản abc=1

CMR + + ≤

Lời giải BDT đả cho tương đương với.

+ + = + + ≤ + +

= (dpcm) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài 12(Sưa tầm) Cho a,b,c là các số thưc dương.

CMR + + ≥

+ + + + + ≥ a+b+c

Suy ra cần chứng minh

+ + ≤

 ab+ac+bc+ba+ca+cb ≤ 2(a+b+c)

 ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) ≤ 2(a+b+c)

Điều này đúng vì ab(a+b) ≤ a+b ; bc(b+c) ≤ b+c

ca(c+a) ≤ a+c Vậy Suy ra (dpcm)

CMR + + ≥

+ + + + + ≥ a+b+c

Suy ra + + ≥ a+b+c − =

(dpcm) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

CMR + + ≥

Lời giải theo BDT Cô-si ta có

Trang 5

+ + ≥ ( + + )

Theo BDT Nebist ta lại có + + ≥

Vậy + + ≥ (dpcm)

CMR + + ≥

+ + ≥ + +

Vậy cần chứng minh + + ≥

Điều này đúng vì + + ≥ (Bài 13)

Suy ra (dpcm)

CMR + + ≥

+ + + + + ≥ a+b+c

Vậy cần chứng minh + + ≤

 (b+c)a + (c+a)b + (a+b)c ≤ 2(a+b+c)

 ab(a+b) +bc(b+c) +ca(a+b) ≤ 2(a+b+c)

Điều này đúng vì

ab(a+b) ≤ a+b ; bc(b+c) ≤ b+c ; ca(a+b) ≤ a+c (dpcm)

CMR + + ≥

Lời giải Ta có (a+b+c) ≤ 3(a+b+c) Suy ra ≤ 6

Vậy ta cần chứng minh + + ≥ 6

 + + + + + ≥6

Điều này đúng theo BDT Cô-Si cho 6 số Suy ra (dpcm)

CMR + + ≥ 6

Lời giải BDT cần chứng minh tương đương với.

+ + + + + ≥6  ( + + ) +( + + )

Áp dụng BDT Cô-Si ta có ( + + ) +( + + ) ≥

3 + 3 =6 (dpcm)

Trang 6

CMR + + ≥

Lời giải Đây là một bài tương đối khó!cho nên ta chuyển BDT về

dang sau + + + + + ≥

 ( + + ) +( + + ) ≥ +( + + )

Do + + ≥ (Hệ quả của BDT Cô-Si)

Công việc còn lại là chứng minh + + ≥

Áp dụng BDT Cô-Si ta có + + ≥ ; + + ≥

+ + ≥

Suy ra + + + + + ≥ + +

Ta cần chứng minh + + ≤ + +

Điều này đúng vì + ≥ ; + ≥ ; + ≥

Công vế với vế 3 BDT trên Suy ra + + ≤ + +

Mà ta lại có + + ≥

Vậy + + ≥ Suy ra

+ + ≥ (dpcm)

CMR + + ≥

Lời giải tương tự như bài trên ta có

+ + = + + + + +

Rất tự nhiên ta có + + ≥

Vậy ta cần chứng minh + + ≥

Hoàn toàn tương tự bài trên các bạn tự chứng minh

Từ 2 Bài Toán trên ta suy ra được dạng tổng quát của nó.

(Nguyễn Xuân Thắng)

Cho 3 số a,b,c là các số thực dương.m,n nguyên dương

+ + ≥ 2( + + )

CMR + + ≥ (a+b+c)

Lời giải Thật đơn giản Áp dụng BDT Cô-Si ta có

+ + ≥ + +

= + + = (a+b+c) = (a+b+c) (dpcm)

Trang 7

Bài 22 Cho a,b,c là cỏc số thực dương.

CMR (a+b–c)(b+c–a)(c+a–b) ≤ abc (Hệ Quả 1 của BDT

Schur)

Lời giải Bài toán này hoàn toàn tơng đơng với bài toán

Cho a,b c là các cạnh của tam giác p là nửa chu vi

CMR (p−a)(p−b)(p−c) ≤

Áp dụng BDT Cụ-Si ta cú

(a+b–c)(b+c–a) ≤ ()= b

c)≤ a

Nhõn vế với vế 3 BDT trờn ta được

[(a+b–c)(b+c–a)(c+a–b)] ≤ abc

Suy ra (a+b–c)(b+c–a)(c+a–b) ≤ abc (dpcm)

Bài 23 (Sưa tầm) Cho a,b,c là các số thực dơng.

CMR + + ≥ 2(a+b+c)

Lời giải Rất tự nhiờn Áp dụng BDT Cụ-Si ta cú

3a+1= a+a+a+1≥ 4 = 4a

Hoàn toàn tuơng tự và ta cần chứng minh BDT

+ + ≥2(a+b+c) + + ≥

Tiếp tục Áp dụng BDT Cụ-Si ta cú

+ + + + + ≥ a+b+c

Vậy ta cần chứng minh

+ + ≤

Thật vậy

BDT trờn tương đương với

ab+bc+ca ≤ a+b+c Điều này đỳng theo HQ BDT Cụ-Si Vậy suy ra (dpcm) đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài 24(Sưa tầm)Cho a,b,c là ba cạnh của1tam giỏc p là nửa chu vi

CMR + + ≥ 2( + + )

Lời giải Áp dụng BDT Cụ-Si ta cú

+ ≥ =

Hoàn toàn tương tự ta cú

+ ≥ ; + ≥

Trang 8

Cộng vế với vế 3 BDT trên ta có.

+ + ≥ 2( + + ) (dpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hay tam giác đó đều

Bài 25(Sưa tầm) Cho a,b,c là các số thực dương.

CMR + + ≥ + +

+ ≥ =

Hoàn toàn tương tự ta có

+≥ ; + ≥

Cộng vế với vế 3 BDT trên ta được

+ + ≥ + + (dpcm)

Bài 26 Cho a,b,c là 3 số thực dương

CMR + + ≤ ( + + )

= ≤ ( + + + )

≤ ( + + ) ; ≤ ( + + )

Cộng vế với vế 3 BDT trên ta có

+ + ≤ ( + + )= ( + + )

Có bạn lại làm theo kiểu này.

= ≤ ( + )≤ (( + + + ))

= ( + + + )

Làm tương tự ta được (dpcm).Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.Dù sao làm theo cách nào củng được nhưng các bạn nên làm cách đầu

Bài 26.(Sưa tầm) Cho a,b là 2số dương thoả mản a+b=1

CMR + ≥

Lời giải Bài toán nhìn thì rất đơn giản nhưng đầy khó khăn.Bài

toán thể hiện tính sáng tạo trong BDT Cô-Si

Ta có = + ; = +

Cộng 2 đẳng thức trên ta có + = −(a+b) + +

= −1 + +

Mà ta lại có + ≥ =

Trang 9

vậy + ≥ −1 + = (dpcm).

Đẳng thức xảy ra khi a=b=

Bài 27 cho a,b,c là các số thực dương thoả mản a+b+c=3

CMR + + ≥

+ + ≥

Mà ta lại có ab+bc+ca ≤ a+b+c Suy ra ≥ =

CMR + + ≤ + +

Lời giải Rỏ ràng đây là một BDT không đối xứng.Bây giờ ta tìm

cách chuyển về một BDt đối xứng

Để ý ta đặt x =a ; y =b ; z =c

BDT cần chứng min tương đương với

+ + ≤ + +

+ + ≤ ( + + + + + )

= ( + + )

Suy ra + + ≤ + + hay

+ + ≤ + + (dpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c a=b=c=1

Nếu bạn nào áp dụng BDT Cô-si ngay từ đầu thì hoàn toàn được nhưng nó chưa lộ rỏ được bản chất

CMR + + ≥

Lời giải từ BDT trên làm ta liên tưởng đến BDT nebist.Ta phải

đổi biến làm sao về dạng của BDT nebist!

Đặt x =1 ;y =b ;z=bc BDT cần chứng minh tương đương với

+ + ≥ (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi b=bc=1hay b=c=1

Bài 30(Sưa tầm) Cho a,b,c là các số thực dương

CMR + + + ≥ + +

Lời giải đây là một bài toán không đơn giản chút nào!

Trang 10

Ta thấy không thể đánh giá lớn hơn được nên ta nhân cả hai vế BDT cho a+b+c.khi đó BDT cần CM tương đương với

(a+b+c)( + + ) + 9≥ 4 + + 4 + + 4 +

 a( + ) + b( + ) + c( + ) ≥ + +

Điều này hiển nhiên đúng khi ta Áp dụng BDT Cô-Si

a( + ) ≥ hoàn toàn tương tự ta Suy ra (dpcm)

Bài 31Cho a,b,c là các số thực dưong

CMR + + + + + ≥

Lời giải nhân cả hai vế BDT với ab+bc+ca ta được.

+ + + + + + + + +

(ab+bc+ca)( + + ) ≥ 18

+ + + + + + + + ≥ 9

= 9 ; (ab+bc+ca)( + + ) ≥ 9

Cộng vế với vế 2BDT trên ta Suy ra

+ + + + + ≥ (dpcm)

Bài 32(Sưa tầm)Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1

CMR + + + ≥ 30

Lời giải đây là một bất đẳng thức hay đòi hỏi tính khéo leo khi sử

dụng BDT Cô-Si Ta làm như sau

+ + ≥

Vậy ta cần chứng minh + ≥ 30

+ + + ≥

≥ + (do 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c))

= =30 (dpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=

Bài 33(Sưa tầm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mản abc=1.

CMR + + ≤

Lời giải rỏ ràng ta khó có thể sử dụng BDT Cô-Si + ≥

Trang 11

Cho nên ta trông chờ đánh giá ở mẩu.

Theo BDT Cô-Si thì a+b≥ 2ab b+1≥ 2b

Suy ra ≤ =

+ + ≤ ( + + )

Mà ta lại có + + =

= + + = = 1

Vậy + + ≤ (dpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bài 34(Sưa tầm) cho a,b,c là các số thực dương thoả mản

+ + =2

CMR abc ≤

Lời giải ta có = 2−( + )= 1− + 1− = +

≥ 2

Hoàn toàn tương tự ≥ 2 ; ≥ 2

Nhân vế với vế 3 BDT trên ta đươc

≥  abc ≤ (dpcm)

Chú ý dạng tổng quát của nó là

+ + + ≥ n−1

Bài 35(Sưa tầm) Cho a,b,c là các số tực dương thoả mản

+ + = 1

CMR abc ≤ 1

Lời giải từ điều kiện ta có

= − + − = ( + ) ≥

Tương tự ta có ≥ ; ≥

Nhân vế với vế 3 BDT trên ta đươc

≥ Suy ra abc ≤ 1 (dpcm)

Một Bài BDT hay!

(Sưa tầm) Cho a,b,c là các số thực dương

CMR + + ≥ + +

Lời giải Bài toán khá thú vị và khó để đánh giá nhưng may mắn

là ta có thể sử dụng đổi biến để đưa về một BDT đơn giản hơn Đặt x =a+b ;y =b+c; z =c+a

Trang 12

Suy ra a = b = c =

BDT tương đương với

+ + ≥ + +

 ( + + ) − ≥ + ( + + )

 ( + + ) ≥ 3

Điều này đúng với BDT Cô-Si

Suy ra + + ≥ + + (dpcm)

Cách 2

Ta có thể cộng thêm một lượng để đánh giá cả hai lượng ta cần cộng là + +

với lương như trên ta có + + + + + =

= + + ≥ 3 =3

Mà + + + + + =3

Suy + + ≥ + + (dpcm)

Bài Tập tự giải.

1 Cho a,b,c là các số thực dương

CMR + + ≥ + +

CMR + + ≥ abc + abc + abc

CMR + + ≥ a+b+c

CMR + + ≥ ( + + )

CMR + + ≥

CMR + + ≥ 3

Trang 13

CMR + + ≥

9(Sưa tầm) Cho a,b,c là các số thực dương.

CMR (1+a)(1+b)(1+c) ≥ (1+)

10(Sưa tầm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mản a+b+c ≤ 1

CMR (1+ )(1+ )(1+ ) ≥ 64

11(Belarus1999) Cho a,b,c là cá số thực dương thoả a+b+c=3 CMR + + ≥

Một số bài toán BDT khó

1(Nguyễn Xuân Thắng) Cho a,b,c là các số thực dương

CMR + + ≥ + + + + +

Lời giải ở đây tôi xin đưa ra 2 cách chứng minh.

Cách 1 dùng biến đổi tương đương.

Ta có BDT tương đương với

(ab)(a+b)+(bc)(b+c)+(ca)(c+a) ≥ abc(a+b+c+ab+bc+ca)

(ab)(a+b−c)+(bc)(b+c−a)+(ca)(c+a−b)≥ abc+bca+cab

 + + ≥ a+b+c+ab+bc+ca

 ab+bc+ca + + + ≥ (a+b+c)

 + + ≥ (a+b+c)

 + + ≥ a+b+c (*)

Đến đây BDT hiển nhiên đúng nhưng chúng ta thử chứng minh(*) bằng cách khác VD ở bài trên

Đặt x=ab ;y=bc ;z=ca

Khi đó BDT(*) tương đương với x+y+z ≥ xy+yz+zx (đúng)

Suy ra (dpcm)

Cách 2 dùng BDT Cô-Si.

+ ≥ ; + ≥ ; + ≥

Suy ra + + ≥ + + (1)

tiếp tục áp dụng BDT Cô-Si ta có

+ ≥ ; + ≥ ; + ≥

Suy ra + + ≥ 2( + + ) (2)

Cộng vế với vế 2 BDT (1) và (2) suy ra

+ + ≥ + + + + + (dpcm)

Trang 14

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.

2 ( Nguyễn Xuân Thắng) Cho a,b,c là các số thực dương

CMR + + + 12 ≥5( + + )

Lời giải Ta thấy đây là 1 BDT rất phức tạp cho nên ta phải biến

dổi về dạng đơn giản hơn

Ta có − 4 + 4 = =

= =

− 4 + 4 = ; − 4 + 4 =

Vậy BDT tương đương với

+ + ≥ + +

Ta xét nhân cả tử và mẩu với z ta đuợc

≤ (BDT Bunhiacopxki)

Tương tự ta có ≤ ; ≤

Suy ra + + ≤

≤ + +

Vậy ta cần chứng minh

+ + ≤

≤ + +

Đặt a= ;b= ;c=

bdt cần chứng minh tương đương với a+b+c≥ ab+bc+ca (đúng) suy ra (dpcm) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

3(JBMO 2002 Shortlist) Cho a,b,c là các sè thùc d¬ng.

CMR + + ≥ + +

HD thực ra bài này không khó

Ta áp dụng BDT Cô-Si như sau

+ a + + b + + c ≥ 2( + + )

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh a+b+c ≤ + +

Theo BDT Cô-Si thì + b + + c + + a ≥ 2(a+b+c)

Hay a+b+c ≤ + + Suy ra (dpcm)

4(Hong Kong,2000) Cho a,b,c là các số thực dương thoả abc=1

CMR + + ≥

Trang 15

HD BDT tương đương với

+ + + + + ≥

Ta có + + ≥

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh + + ≥ (*)

(*)  ( + + )(a+b+c) ≥ 9

Sử dụng BDT Cô-si ta có + + ≥ 3 = 3

a+b+c ≥ 3 = 3 (abc=1)

Nhân vế với 2 BDT trên suy ra (dpcm)

5(IMO Shortist,1990) Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mản

ab+bc+cd+da =1 CMR

+ + + ≥

HD để làm được bài này ta cần áp dụng BDT sau

+ + + ≥

BDT cần chứng minh tương đương với

+ + + ≥

Áp dung BDT trên ta có

+ + + ≥

≥

Rỏ ràng 2(ac+bd) ≤ a+b+c+d (BDT Bunhiacopxki)

2(ab+bc+ca+da)≤ 2(a+b+c+d)

Suy ra ≥ =

≥ = (dpcm)

6(Iran 2005) Cho a,b,c là các số thực dương.

CMR ( + + ) ≥ (a+b+c)( + + )

HD BDT tương đương với

+ + + 2( + + ) ≥ 3 + + + + + +

 + + + + + ≥ 3+ + +

Ta có + + + 3 ≥ 2( + + ) (BDT Cô-Si)

Mà + + ≥ 3 Suy ra + + ≥ + +

Lại có + + ≥ 3 Công vế với vế 2 BDT trên Suy ra

( + + ) ≥ (a+b+c)( + + ) (dpcm)

7(Austria,2005) Cho a,b,c là cá số thực dương

CMR + + + ≥

HD bài này kông hề khó !

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	371,5 KB