Sổ tay giải toán 12 - Nguyễn Đức Thắng

Tính đơn điệu của hàm thường gặp e Đơn điệu trên một khoảng, đoạn Để hàm số y = f x đồng biến trên tập K nào đó thì tồn tại khoảng để f’x>0 chứa tập K... Một số phương pháp giải phương

Trang 1

Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool

T

Trang 2

Trang 3

- Hàm số f(x) gọi là đồng biến trên K nếu "x x1 2, ÎK x: 1<x2Þ f x( )1 < f x( )2

- Hàm số f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu "x x1 2, ÎK x: 1<x2 Þ f x( )1 > f x( )2

b Điều kiện cần

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K

- Hàm số f(x) không đổi trên KÛ " Îx K f x: '( ) 0=

- Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f x'( ) 0,³ " Îx K

- Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f x'( ) 0,£ " Îx K

c Điều kiện đủ

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K

- Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K

- Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K

- Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên K

1 2 Một số vấn đề khác

+ Nếu D = 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a (trừ

2

b x a

2

b g a

æ- ö=

+ Nếu D > 0 thì g x( ) có hai nghiệm x x và trong khoảng hai nghiệm thì 1, 2 g x( ) khác dấu

với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x( ) cùng dấu với a

- Nếu D = 0 hay g x( )=a x a( - )2thì g(x) không đổi dấu khi qua a , dấu của g(x) phụ

thuộc dấu của a

- Nếu D > 0 thì g(x) đổi dấu khi qua x x1, 2 ( đổi từ+ sang – sang +, hoặc đổi từ - sang + sang -)

b) So sánh các nghiệm x x của tam thức bậc hai 1, 2 g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai: g(x)=a x2+ bx c a+ ( ¹0)

+ Nếu D < 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a.

Trang 4

Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Hàm số đồng biến trên ;

2

b a

=

d) Ứng dụng trong giải toán

Cho hàm số y=g(x) xác định trên (a;b) và liên tục trên [a;b]:

- Tập ( ;a +¥) là tập con của tập ( ;b +¥) khi và chỉ khi b a £

- Tập ( ; )a b là tập con của tập ( ; )c d khi và chỉ khi c a

b d

ì £

í £î

1.3 Tính đơn điệu của hàm thường gặp

e) Đơn điệu trên một khoảng, đoạn

Để hàm số y = f x( ) đồng biến trên tập K nào đó thì tồn tại khoảng để f’(x)>0 chứa tập K.

Để hàm số y = f x( ) nghịch biến trên tập K nào đó thì tồn tại khoảng để f’(x)<0 chứa tập K

Bổ trợ: - Tập (-¥; )a là tập con của tập (-¥; )b khi và chỉ khi a b £

Trang 5

+) Đối với hàm hợp y f g x= ( ( )), trong đó hàm u g x= ( ) xác định và có đạo hàm trên ( )a b; , lấy giá

trị trên khoảng( )c d; ; hàm y f u= ( ) xác định ( )c d; và có đạo hàm trên ( )c d; , lấy giá trị trên R.

í > " Î

ïî thì hàm số y f g x= ( ( ))nghịch biến

trên ( )a b; .

+ Giá trịf x gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.( )0

+ Điểm (x f x0; ( )0 )gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=f(x).

+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

- Điểm x gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại số thực dương h sao cho 0 (x0-h x; 0+h)

chứa trong D và f x( )< f x( ),o xÎ(x0-h x; 0+h) { }\ x0

Khi đó: Giá trị f x gọi là giá trị cực đại của hàm số Điểm ( )0 (x f x0; ( )0 )gọi là điểm cực đại của đồ thị

hàm số y=f(x)

+ Giá trịf x gọi là giá trị cực đại của hàm số.( )0

+ Điểm (x f x0; ( )0 )gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y=f(x).

+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Chú ý: Cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị

b) Định lí:

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

2.1 Lí thuyết

a) Định nghĩa: Giả sử hàm số f x( )xác định trên D, x0ÎD

- Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại số thực dương h sao cho (x0-h ; x0+h)

chứa trong D và f (x) f ( > x o), Î x x ( 0-h x; 0+h)\{x0}

Khi đó:

Trang 6

Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x thì hoặc không tồn tại 0 f'(x )0 hoặc

=

0

'( ) 0

Điều kiện đủ 1: Giả sử tồn tại ( )a b; ÌD chứ x , hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b) và có đạo hàm0

trên mỗi khoảng (a x; 0) (, x b0; )

f x x b thì x là một điểm cực đại của hàm số f(x) 0

Điều kiện đủ 2: Giả sử tồn tại ( )a b; ÌD chứ x , hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b) và có đạo hàm0

cấp 1 trên (a;b) và có đạo hàm cấp hai tại x Khi đó: 0

· Nếu ìí =>

î

0 0

'( ) 0''( ) 0

f

a

f x D

a b

c x b

ì

ï =

ï <

íï

f

a

f x D

a b

c x b

ì

ï =

ï >

íï

f

a D

ì ¹

00

a b

ì =

í =î

· Hàm số có cực đại, cực tiểu

'(x)

00

f

a D

Trang 7

TH2: a ¹ 0 Khi đó: y' 4= ax3+2bx=2 2x ax( 2+b)

*) Nếu a.b<0 thì hàm số có ba cực trị Cụ thể

a>0: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại

a<0: Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu

Dạng 3 Đồ thị hàm số y ax= 4 +bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam c

giác cân có một góc BAC a·= cho trước khi và chỉ khi 3

3

0

8cos

Dạng 4 Đồ thị hàm số y ax= 4 +bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện c BC OA=

(với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi 2 0

Dạng 5 Đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam c

giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi 5

3

032

ab

b S

a

ì <

ï

í = ïî

-

giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi 3

088

Trang 8

giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r khi và chỉ khi

2

04

8

ab

b a r

b a

ì <

ïïï

í =ï

Dạng 9 Đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam c giác nhận gốc O là tâm đường tròn ngoại tiếp khi và chỉ khi 3 8 8 0

- Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ

thị hàm số 2

ax bx c y

ax b y

a x b

=

+

3.2 Chú ý: Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số y = f x( ) liên tục đoạn éëa b; ùû, có đạo hàm trên

(a b; ) và f x ='( ) 0 có hữu hạn nghiệm , ta làm như sau:

B1 Tìm các điểm x1, x2, …, x m thuộc khoảng (a b; ) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặckhông có đạo hàm

Trang 9

3.4 Chú ý: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và tồn tạimin ( ) ; max ( )

D f x =m D f x =M Khi đó:

1) Phương trình f x a( )= có nghiệm trên D Û m £ a £ M.

2) Bất phương trình f x a( )³ có nghiệm trên D Û M ³ a.

3) Bất phương trình f x( )£b có nghiệm trên D Û m £ b.

4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với mọi x DÎ Û m ³ a.

5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x DÎ Û M £ b.

Trang 10

( )lim

lim ( )

x x

f x a x

lim ( )

x x

f x a x

Trang 11

Cho hai đường cong: ( )C1 :y f x= ( ) và ( )C2 :y g x= ( )

+) Nếu M x y là điểm chung của ( ; )0 0 ( )C1 và ( )C2 ÛM x y( 0 0; ) là nghiệm của hệ: ( )

x Û íì >D g x ¹

-Phương trình: g x( )=ax2+bx c+ =0 (a¹0) có nghiệm kép khác 0 0

02

a

D

ì =ï

Û í- ¹

-Phương trình: g x( )=ax2+bx c+ =0 (a¹0) vô nghiệm Û < D 0

+ Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)là nghiệm của phương trình: f (x = ) g x( ) (*)

+) Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của (C1) và (C2)

5.2 Bổ sung một số kiến thức

a) Phương trình bậc 2

Trang 12

b) Phương trình bậc 3 hay tương giao đồ thị hàm đa thức bậc ba và trục Ox

Tương giao của đồ thị hàm bậc 3 y a x= ' 3+b x' 2+c x d a' + ' ( ' 0¹ ) và trục Ox:

Phương trình hoành độ giao điểm: a x' 3+b x' 2+c x d' + =' 0

Trường hợp 1: Biến đổi phương trình: a x' 3+b x' 2+c x d' + = thành ' 0 (x-a) (ax2+bx c+ =) 0

· Phương trình: (x-a) (ax2+bx c+ =) 0 có ba nghiệm phân biệt Û Phương trình:

ax +bx c+ = có hai nghiệm phân biệt khác a

· Phương trình: (x-a) (ax2+bx c+ =) 0 có hai nghiệm phân biệt Û Phương trình:

ax +bx c+ = có nghiệm kép khác a hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một

nghiệm bằng a

0( ) 00( ) 0

g g

D a D a

éì =í

g

D a D

éì =íê

· Chỉ có một nghiệm khi và chỉ khi: Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến; hoặc có hai

cực trị nằm về cùng một phía đối với Ox

' '

00( ) ( ) 0

y y

y x y x

D D

êì

Ûêíê > >

îë

trong đó: x x là nghiệm của 1 2,

y x y x

D

ì >

î trong đó: x x là nghiệm của phương trình: 1 2, y =' 0

· Chỉ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có hai cực trị, trong đó có hai cực trị nằm

về hai phía của trục Ox '

0( ) ( ) 0y

y x y x

D

ì >

î trong đó: x x là nghiệm của phương trình: 1 2,

a x + bx c2 + =0 có nghiệm kép bằng a hoặc vô nghiệm

Trường hợp 2: Không nhẩm được nghiệm a

y =' 0

Bổ sung: Phương trình đường thẳng qua hai cực trị (nếu có) là y m = x n + (Biểu thức m + x n là đa

thức dư khi chia y cho y’)

Xét y ' = a3 x + b2 2 x c+ = 0

Trang 13

c) Phương trình bậc bốn trùng phương hay tương giao của đồ thị hàm đa thức bậc 4 trùng

phương vàc trucj Ox)

- Cho tam giác D A A A1 2 3 trong đó: A x y1 1 1( ; ), A x y2( ; ),2 2 A x y không thẳng hàng:3( ; )3 3

+ Tam giác D A A A1 2 3vuông tại A1ÛA A A Auuuuur uuuuur1 2 1 3 =0

+ Tam giác D A A A1 2 3đều 1 2 1 3

uuuuur uuuuuruuuuur uuuuur

P S

=ì

í >

î

00/ 2 0

êî >

ë

000/ 2 0

P S

S

éì =í

ê <

îê

ê D =ì

êîë

0000

P S

é D ³ìï

ê >

íêï

t t

< <ìï

Trang 14

0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool

n trên R *) Hàm số luôn nghịch biến trên R

*) Hàm số không có cực trị

n trên khoảng Hàm số nghịch biến

Hàm số đạt cực tiểu

*) Hàm số nghịch biến trên kho

(-¥; X1)và (X +¥2; ) Hàm số trên (X X1; 2)

*) Hàm số đạt cực đại tại

1; CT ( )1

x X y= = f X Hàm số đtiểu tại x X= 2; y CÑ = f X( )2

Trang 15

6.2 Đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương: f x( )=ax4+bx2+c a( ¹ 0)

· Vì hàm số là chẵn trên R nên đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

· Hàm số luôn có cực trị (một cực trị nếu a.b>0 ; ba cực trị nếu a.b<0)

· Có một cực trị luôn thuộc trục Oy Trường hợp có 3 điểm cực trị thì ba điểm cực trị là 3 đỉnhcủa tam giác cân

b a

Trang 16

Trang 17

®-¥ = và lim

x

a y c

®+¥ = nên đường thẳng

a y c

= là tiệm cận ngang

*) Bảng biến thiên :

3 Đồ thị

7 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

Dạng 1 Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y f x= ( )tại tiếp điểm M(x y0 0; ) có dạng:

Áp dụng trong các trường hợp sau:

0

'

f x x

f x

ìï

Þ íïî

3 Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại

Hoành độ tiếp điểm x 0

Tung độ tiếp điểm y = f x( )

( )0 ( 0) 0

d y f= x x- +y

Trường hợp

4 Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) ,

biết hệ số góc kcủa tiếp tuyến d Giải phương trình f '(x0)=k

Trang 18

Chú ý: Gọi k là hệ số góc của đường thẳng 1 d và 1 k là hệ số góc của đường thẳng 2 d 2

Nếu d song song với 1 d thì 2 k1=k2

Nếu d vuông góc với 1 d thì 2 k k = - 1 2 1

Dạng 2 (tham khảo) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) đi qua điểm A(x y1 1; )

Phương pháp: Bước 1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc k

:

d y k x x= - +y Bước 2 Tìm điều kiện để d là tiếp tuyến của đường cong (C) :

d tiếp xúc với đường cong (C) ( )

( )' (*)

Trang 19

- Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a<n b

- Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a< n b

Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, căn có giá trịdương ký hiệu là n a

* Phép toán : Với a, b > 0; a ¹ 1; b 1 , b 2 > 0; aÎ R ta có:

log 1 0a = ; loga a = ; 1 loga a b = ;b aloga b =b

khi n lẻ khi n chẵn

b) Căn bậc n:

· Khái niệm : Căn bậc n của a là số b sao cho b n=a

· Với a, b ³ 0, m, n Î N*, p, q Î Z ta có:

Trang 20

* So sánh: Nếu a > 1 thì log a b>loga c Û > Nếu 0 < a < 1 thì log b c a b>loga cÛ <b c

* Phép toán: log (a b b1 2) log= a b1+loga b2 1 1 2

* Logarit thập phân: lgb=logb=log10b

* Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=loge b (với e lim 1 1 n 2,718281

· Khi a > 1 hàm số đồng biến trên R

· Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên R

* Đồ thị:

· Luôn đi qua các điểm (0; 1) ; (1 ; a)

· đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox

* Tính đơn điệu : trên khoảng (0 ; +¥) hàm số đồng biến nếu a>0 và nghịch biến nếu a< 0

· Luôn đi qua điểm (1; 1)

· a³ 0 đồ thị không có tiệm cận

· a< 0 đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy

Trang 21

6.2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ¹ 1: a f x( )=a g x( )Û f x( )=g x( )

· Khi a > 1 hàm số đồng biến trên (0; +¥)

· Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên (0; +¥)

* Đồ thị:

· Luôn đi qua điểm (1; 0) và (a ; 1)

· đồ thị có tiệm cận đứng là trục Oy

Trang 22

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M =a N Û(a-1)(M N- ) 0=

b) Logarit hoá: a f x( )=b g x( )Û f x( )=(loga b g x) ( )

î , trong đó P(t) là đa thức theo t

· Dạng 2: a a2 ( )f x +b( )ab f x( )+g b2 ( )f x = Chia 2 vế cho 0 b2 ( )f x , rồi đặt ẩn phụ

( )

f x a t b

· Đoán nhận x 0 là một nghiệm của (1)

· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất:

· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u( )= f v( )Û =u v

Cần nhớ:

+) a>1: Hàm số y a= x đồng biến (nghĩa là: Nếu 1 2

x <x Þa <a ) +) 0<a<1: Hàm số y a= x nghịch biến (nghĩa là: Nếu 1 2

x <x Þa >a

+) Hàm số y f x= ( ) liên tục và có đạo hàm trên I

- Nếu f x >'( ) 0 thì hàm số đồng biến trên I;

- Nếu f x <'( ) 0 thì hàm số nghịch biến trên I

+) Hàm số y f x= ( ) liên tục và có đạo hàm trên I Nếu y f x= ( ) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

f) Phương pháp đối lập : Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Nếu ta chứng minh được: ( )

Trang 23

a >a Û a- M N- >

8 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:

8.1 Phương trình logarit cơ bản: Với a > 0, a ¹ 1: loga x b= Û =x a b

8.2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

8.3 Dạng cơ bản

Dạng 1: Phương trình dạng loga f x( ) log g( ); 0= a x < ¹ a 1

Phương pháp giải:

( ) ( )log ( ) log g( )

8.4 Một số phương pháp giải phương trình mũ:

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Cần nhớ các công thức biến đổi sau:

- = 4 nx ( )x n

a = a 5

x

n x n

a = a 6

( )1

nx

n x

Trang 24

- Nếu f x >'( ) 0 thì hàm số đồng biến trên I;

- Nếu f x <'( ) 0 thì hàm số nghịch biến trên I.

+) Hàm số y f x= ( ) liên tục và có đạo hàm trên I Nếu y f x= ( ) luôn đồng biến hoặc luôn nghịchbiến thì f u( )= f v( )Þ =u v

· Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

· Với a, b, c > 0 và a, b, c ¹ 1: alogb c=clogb a

9 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:

Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

1( ) ( ) 0log ( ) log ( )

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi mà số tiền gốc sinh ra

Công thức tính lãi đơn :T n= 1 .M( + r n)

Với Tn : số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn ;

M : số tiền vốn ban đầu

r : Lãi suất định kỳ ( tính theo % )

Đặt = logt a x Một số công thức biến đổi

+ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Sử dụng biệt thức V cho tam thức bậc 2 ẩn t, trong đó = lt oga x để phân tích thành tích

d) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Trang 25

n : số kỳ hạn tính lãi

10.2 LÃI KÉP

Số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra thay đổi theo từng định kỳ

a) Lãi kép gửi một lần : Công thức tính lãi kép :T n = M(1 + r)n

Với Tn : số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn ;

M : số tiền vốn ban đầu

r : Lãi suất định kỳ ( tính theo % )

n : số kỳ hạn tính lãi

b) Lãi kép, gửi định kỳ :

*Trường hợp 1 : Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng

Cuối tháng thư nhất người đó bắt đầu gửi tiền : T1 = M

Cuối tháng thứ hai ngườiđó có số tiền là : M(1 + r) + M = M[(1+r) + 1] = M[(1 ) 1]r 2

*Trường hợp 2 : Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng

Cuối tháng thứ n ngườiđó có số tiền là : T n M[(1 )r n 1](1 )r

Trang 26

C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I LÍ THUYẾT NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

a a

· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) được gọi l tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là :

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

· Ý nghĩa hình học:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn

( )

b a

f x dx

b a

Trang 27

3 Tính chất của tích phân

·Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì

· Nếu m f x £ ( ) £ M trên [a; b] thì ( ) b ( ) ( )

a

m b a - £ ò f x dx M b a £

-4 Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số: trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục

trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b Î K

b) Phương pháp tích phân từng phần

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho dễ tính hơn

– Khi tính cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên không ? Nếu có thì

ò Nhưng tính theo dạng 1 không được, lúc này ta chuyển

về hàm lượng giác Ta thường gặp các dạng sau:

b

)(

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì:

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

a

áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân Nếu không kết luận tích phân không tồn tại

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Phương pháp 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

Trang 28

= hoặc đặt

cos

a x

Phương pháp 2: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức ẩn x, có các dạng sau:

Thứ tự ưu tiên đặt u trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít ® Đa thức ® sin ,cosx x x

e

éêë

IV TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

( )

b

x a

Trang 29

- Loại 1: Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.

- Loại 2: Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) cĩ dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x)

thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

Các dạng dùng phương pháp hệ số bất định thường gặp:

Dạng 1: Mẫu số cĩ nghiệm đơn:

cx d

+

=+

Trang 30

ax bxdx

ìïíïî

ò ò ò

Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng:

21

+ Với n lẻ : òsinn axdx=òsinn-1ax.sinaxdx=òsinn-1ax.sinaxdx

(sin2 ) 21.sin (1 cos2 ) 21.sin

ò Phân tích như trên sau đó đặt:u = sin x

+ Với n chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc: cos2 1 cos2

-Dạng 3: sinò n ax.cosm axdx (n, m Î N)

+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax ; m lẻ Đặt u = sinax

2

ax ax

Trang 31

Cần nhớ:

sin cos 2 sin

4sin cos 2 cos

n n

dx

dx ax

ax dx

ax dx ax

Trang 32

21tan

1-dt dx

ò

Phương pháp: Phân tích sin cos ( cos sin )

1sin

(1 ) sin( ) ( )cos -( ) (sin( ) ) ( )cos

Trang 33

* Chú ý: phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :

* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường

* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :

Trang 34

2 Phương pháp

2.1 Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

2.2 Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.

2.3 Nếu 3 £ n lẻ (n = 2p +1) thì thực hiện biến đổi:

a Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:

d Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2 hoặc 1.3 cho số mũ lẻ bé hơn.

1.2 Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có:

Trang 35

Trang 36

21

I=ò f x dx, ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x)

+ Nếu h x >( ) 0 thì max ( ), ( ){f x g x}= f x( ) và min ( ), ( ){f x g x}=g x( )

+ Nếu h x <( ) 0 thì max ( ), ( ){f x g x}=g x( ) và min ( ), ( ){f x g x }= f x( ).

VII TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT

1 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục và lẻ trên đoạn éë-a a; ùû Khi đó: a ( ) 0

Trang 37

3 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục và chẵn trên đoạnéë-a a: ùû Khi đó: ( ) 1 ( )

21

x

f x dx f x dx a

-=+

S=ò f x dx

Phương pháp giải:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số y f x= ( )trên đoạn éëa b; ùû.

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : b ( )

) ( C y = f x

b

a

x y

O

Trang 38

+ Cách 1: Nếu trên đoạn éëa b; ùû hàm số f x( ) không đổi dấu thì: b ( ) b ( )

f x dx= f x dx

+ Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x( ) trên đoạn éëa b; ùû rồi khử trị tuyệt đối.

Dạng 2: Cho hàm số x f y= ( ) liên tục trên éëa b; ùû Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số x f y= ( ), trục Oy (x = 0) và hai đường thẳng y a= và y b= là:

( )

b a

S=ò f y dy

2 Diện tích hình phẳng

( ) ( )

b a

S=ò f x g x dx

-Phương pháp giải:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f x( ) ( )-g x trên đoạn éëa b; ùû.

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b ( ) ( )

Trang 39

Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Trong đó a b, là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f x( ) ( ) (=g x a£ < £a b b)

Phương pháp giải:

Bước 1 Giải phương trình f x( ) ( )-g x =0 Giả sử ta tìm được a b, là nghiệm nhỏ nhất

và lớn nhất của phương trình (a£ < £a b b).

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số : f x( ) ( )-g x trên đoạn éëa b; ùû.

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: b f x( ) g x dx( )

S=ò f y g y dy

-Phương pháp giải:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f y g y( ) ( )- trên đoạn éëa b; ùû.

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b ( ) ( )

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số : f y g y( ) ( )- trên đoạn éëa b; ùû.

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: b f y( ) g y dy( )

1(C ) :x= f y( )

2(C ) :x=g y( )

D n ạ g 3: Cho hai hàm số x = f y( ) và x = g y( ) liên tục trên éëa b; ùû Khi đó diện tích của hình

phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x = f y( ) và x = g y( ) và hai đường thẳng y a= và y b=

là:

Trang 40

Dạng 5: khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa vào đồ thị để tính

Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số y f x= ( ), y g x= ( ) và y h x= ( ) liên tục trên

Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:

1 Diện ch S của miền giới hạn:

( )0

;

y f x y

S f x dx

Þ =ò

2 Diện ch S của miền giới hạn:

( )( )

S f x g x dx

-3 Diện ch S của miền giới hạn:

( )( )

Định dạng
Số trang	83
Dung lượng	3,44 MB