So tay giai toan 11

Tập hợp lí thuyết và phương pháp giải cơ bản định hướng ôn thi THPT. Chúc các em HS THPT ôn thi tốt........................................................................................................ Trên bước đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng.

Trang 1

Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool

“Nếu không bằng người mà không xấu hổ thì bằng người sao được.” (Lỗ Tấn) Page 1

CẨM NANG GIẢI TOÁN 11

V1.0

Trang 2

Trang 3

A PHÉP BIẾN HÌNH

Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất '

M của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

Ta kí hiệu phép biến hình là F và viết F M( )=M' hay M'=F M( ), khi đó M ' được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Nếu H là một hình nào đó thì hình H ' = { M M F M M H '| ' = ( ) , Î } được gọi là ảnh của hình H

qua phép biến hình F, ta viết H'=F H( )

Vậy H ' = F H ( ) Û " Î Û ( M H M F M ' = ( ) Î H ' )

Phép biến hình biến mỗi điểm Mcủa mặt thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

I KHÁI NIỆM PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

1 Định nghĩa

· Phép biến hình là phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

· Vậy nếu f là phép dời khi và chỉ khif M f N( ) ( )=MN

· Nhận xét:

· Các phép biến hình : Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình

· Thực hiện liên tiếp các phép dời hình thì cũng được một phép dời hình

· Biến tam giác thành tam giác bằng nó , biến một góc thành góc bằng góc đã cho

· Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

3 Định nghĩa hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình f biến hình này thành hình kia

II PHÉP TỊNH TIẾN

Trong mặt phẳng cho vectơ v r

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao cho uuuuur r MM v ' =

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v r

Phép tịnh tiến theo vectơ v r

Trang 4

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x y( ); và v r = ( ) a b ;

· Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

· Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho

· Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

· Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

· Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

III PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1 Định nghĩa:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M

không thuộc d thành điểm

2 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng Oxy, với mỗi điểm M x y( ); , gọi M x y' '; '( )=Ð M d( )

· Biến một đường thẳng thành đường thẳng

· Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho

IV PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

d I

M

M'

Trang 5

Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm Mkhác I thành điểm '

M sao cho I là trung điểm của MM ' được gọi là phép đối xứng tâm I

Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là Ð I

Vậy Ð MI( ) = M ' Û IM IM uuur uuuur r + ' 0 =

Nếu Ð HI( ) ( ) = ( ) H thì I được gọi là tâm đối xứng của hình ( )H

2 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Trong mặt phẳng Oxy cho I a b( ); , M x y( ); , gọi M x y' '; '( ) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm

V PHÉP QUAY

1 Định nghĩa:

Cho điểm O và góc lượng giác a Phép biến hình biến O thành chính nó và biến

mỗi điểm M khác O thành điểm M ' sao cho OM OM ' = và góc lượng giác

(OM OM = a; ') được gọi là phép quay tâm O, a được gọi là góc quay

Phép quay tâm O góc quay a được kí hiệu là Q(O;a)

2 Biểu thức tọa độ của phép quay:

Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M x y( ); và M x y ' '; ' ( ) = Q(O,a)( ) M thì ' cos sin

M M'

Trang 6

IM' k.IM được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k Kí hiệu V( )I;k

Vậy ( )( )= Ûuuuur= uuur

-ïî

0 0

x' kx 1 k xy' ky 1 k y

3 Tính chất:

· Nếu V( )I;k ( )M =M',V( )I;k ( )N =N' thì uuuuuur= uuuur

M'N' kMN và M'N' k MN=

· Phép vị tự tỉ số k

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó

- Biến một đường thẳng thành đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

- Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R

4 Tâm vị tự của hai đường tròn

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia

Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn

Cho hai đường tròn ( )I;R và (I';R')

· Nếu I I'º thì các phép vị tự æ ö

±

ç ÷

è ø R' I;

R

V biến ( )I;R thành(I';R')

d' d

α

I

O

Trang 7

· Nếu I I'¹ và R R'¹ thì các phép vị tự æ ö

ç ÷

è ø R' O;

O ; R

V biến ( )I;R thành(I';R') Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn

· Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó

· Biến một đường thẳng thành đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

· Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó

· Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R

I'

Trang 8

B QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

I ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1 Các tính chất thừa nhận

· Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

· Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

· Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

· Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

· Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng

· Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng

2 Cách xác định mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

- Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng

- Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó

- Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau

A

B C

(h3)

α

Trang 9

Lần lượt nối S với các đỉnh A A1, , ,2 A n ta được n tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ,SA A n 1 Hình gồm đa giác A A A1 2 n và n tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ,SA A n 1được gọi là hình chóp , kí hiệu là S A A A 1 2 n

Ta gọi S là đỉnh, đa giác A A A1 2 n là đáy , các đoạn SA SA1, 2, ,SA n là các cạnh bên,

1 2, 2 3, , n 1

A A A A A A là các cạnh đáy, các tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ,SA A n 1 là các mặt bên…

3.2 Hình Tứ diện

Cho bốn điểm A B C D , , , không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC ABD , ,

ACD và (BCD) được gọi là tứ diện ABCD

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phương pháp:Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng Đường

thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến

Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng ( )a và ( )b thường được tìm như

sau :

Tìm hai đường thẳng a b , lần lượt thuộc ( )a và ( )b , đồng thời chúng

cùng nằm trong mặt phẳng ( )g nào đó; giao điểm M a b = Ç chính là

điểm chung của ( )a và ( )b

Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp:

- Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng

- Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại

Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( )P ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1 Nếu trong ( )P có sẵn một đường thẳng d '

Trường hợp 2 Nếu trong ( )P chưa có sẵn d ' cắt d thì ta

thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng ( )Q chứa d

a

b

γ β

Trang 10

Bước 2: Tìm giao tuyến D =( ) ( )P Ç Q

Bước 3: Trong ( )Q gọi M d = Ç D thì M chính là giao

Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Phương pháp:

Để dựng đường thẳng d đi qua O và cắt d d1, 2 ta dựng giao tuyến của hai

mặt phẳng mp O d( , 1) và mp O d( , 2), khi đó d mp O d= ( , 1)Çmp O d( , 2)

Bài toán 06: TÌM TẬP HỢP GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ

BÀI TOÁN CHỨNG MINH GIAO TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Phương pháp:

Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường

thẳng thay đổi a b , ta chọn hai mặt phẳng cố

định ( )a và ( )b cắt nhau lần lượt chứa a b , ,

= Ç Þ í

Î Ì b ïî

Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau

- Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng ( )d và ( )g

- Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )d và ( )g , khi đó d đi qua điểm cố định J

II HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

d1

d2

d O

d a

b

β

α

I

Trang 11

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b: Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b, khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

- a và b cắt nhau tại điểm M, ta kí hiệu a b M Ç =

- a và b song song với nhau, ta kí hiệu a bP

· Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song

Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

- Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng

- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

- Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng

Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp:

b c

a

γ β

α

b c a

γ β

Trang 12

Để chứng minh bốn điểm A B C D , , , đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a b , lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh a b , song song hoặc cắt nhau, khi đó A B C D , , , thuôc mp a b( ),

Để chứng minh ba đường thẳng a b c , , đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh , ,

a b c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng ( ) ( ) ( )a , b , d trong đó có hai giao tuyến cắt nhau Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được a b c , , đồng qui

III ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )a , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:

· d và ( )a cắt nhau tại điểm M, kí hiêu { }M = Ç ad ( ) hoặc để đơn giản ta kí hiệu M d= Ç a( )

· Cho đường thẳng d song song với mặt

phẳng ( )a Nếu mặt phẳng ( )b đi qua d

và cắt ( )a theo giao tuyến d ' thì d d'P

d

h2 α

d' d

h3 α

d'

d

β

α

Trang 13

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng d songsong với

mặt phẳng ( )a ta chứng minh d song song

với một đường thẳng d ' nằm trong ( )a

Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng ( )a đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc ( )a chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất:

( ) ( )

· Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song

song với một đường thẳng thì giao tuyến

của chúng ( nếu có) cũng song song với

· Cho hai đường thẳng chéo nhau Có duy

nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này

và song song với đường thẳng kia

α

d' d

α

Trang 14

· Nếu mặt phẳng ( )a chứa hai đường thẳng

cắt nhaua b , và hai đường thẳng này cùng

song song với mặt phẳng ( )b thì ( ) ( )a P b

· Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia

và hai giao tuyến đó song song với nhau

Trang 15

Định lí Ta-lét( Thales) đảo

Cho hai đường thẳng d d1, 2 chéo nhau và các điểm A B C1, ,1 1 trên d1, các

điểm A B C2, ,2 2 trên d2 sao cho 1 1 2 2

Cho hai mặt phẳng song song ( )a và ( )a'

Trên ( )a cho đa giác A A A1 2 n Qua các đỉnh

4.2 Hình chóp cụt

Cho hình chóp S A A A 1 2 n

Một mặt phẳng không đi qua đỉnh, song song với mặt

phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh bên

1, , 2 n

A A A Hình tạo bởi thiết diện ' ' '

Trang 16

- Chứng minh trong mặt phẳng này có hai

đường thẳng cắt nhau cùng song song với

P

- Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song

song với măt mặt phẳng thứ ba

- Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau

- Khi ( ) ( )a P b thì ( )a sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong ( )b và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3)

- Tìm đường thẳng d mằn trong ( )b và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa d, khi đó

( )a Pd nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d( nếu có) theo các giao tuyến song song với d

Bài toán 03: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES

- Để chứng minh các đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các đường thẳng

đó cùng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng

b a

β α

γ β α

Trang 17

- Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta chứng minh các điểm đó thuộc các đường thẳng mà các đường thẳng đó đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng nào đó

- Ngoài ra ta có thể sử dụng định lí Menelaus Trong không gian để chứng minh bốn điểm đồng

IV PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

1 Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng ( )a và một đường thẳng D cắt ( )a Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song với D cắt ( )a tại điểm M ' xác định

Điểm M ' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng ( )a theo phương D

Mặt phẳng ( )a được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của D gọi là phương chiếu

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M ' của nó trên ( )a được gọi là phép chiếu song song lên ( )a theo phương D

Ta kí hiệu ChD( )( )a M =M'

2 Tính chất của phép chiếu song song

· Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

· Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

· Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng nhau

· Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng

3 Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng

· Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước ( tam giác cân, đều, vuông…)

· Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước ( Hình vuông ,hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…)

· Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn

· Hình elip là hình biểu diễn của hình tròn

Bài toán 01: VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH ( )H CHO TRƯỚC

Phương pháp:

Trang 18

Để vẽ hình biểu diễn của hình ( )H ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình ( )H

- Xác định các yếu tố song song

- Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB

- Trong hình ( )H' phải đảm bảo tính song song và tỉ số của điểm M chia đoạn AB

Bài toán 01: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Trang 19

C QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

a) Khái niệm

① Vectơ, giá và độ dài của vectơ

ª Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu uuurAB

chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu ar,b r

,cr, …

ª Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Hai vectơ được gọi

là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau Ngược lại, hai vectơ có giá cắt

nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng

hoặc ngược hướng

ª Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị Kí hiệu độ dài vectơ uuurAB

là uuur AB

Như vậy : uuur AB = AB = BA

② Hai vectơ bằng nhau, đối nhau Cho hai vectơ ar,b r

(¹ 0 r)

r r

Vectơ – không có phương, hướng tùy ý, có độ dài bằng không

Vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

được gọi là tổng của hai vectơ ar và b r

và được kí hiệu uuur uuur uuur AC = AB + BC = + a b r r

ª Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: uuur uuur uuur AC = AB + BC

Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín

Cho n điểm bất kìA A1, 2, , A3 ¼ , An–1, An Ta có: uuuur uuuur A A1 2+ A A2 3+ + uuuuuur uuuur A An-1 n = A A1 n

K

ar

a + b

Trang 20

ª Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ):

Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: uuur uuur uuur AC = BC - BA

ª Qui tắc hình bình hành:

Với hình bình hành ABCD ta có: uuur uuur uuur AC = AB + AD

và DBuuur uuur uuur=AB-AD

ª Qui tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD A B C D ¢ ¢ ¢ ¢ với AB, AD, AA¢ là ba cạnh có

chung đỉnh A và AC¢ là đường chéo, ta có:

AC ¢ = AB + AD + AA ¢

uuuur uuur uuur uuur

c Phép nhân một số với một vectơ

① Định nghĩa 2

Cho k ¹ 0 và vectơ a r ¹ 0 r

Tích k ar là một vectơ:

- Cùng hướng với ar nếu k > 0

- Ngược hướng với ar nếu k < 0

③ Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Cho hai vectơ ar và b r

(¹ 0 r),k ¹ 0: ar cùng phương b r

uur uur uuur

ž MAuuur uuur+MB=2MIuuur

(M bất kì)

ª Tính chất trọng tâm

Cho D ABC, G là trọng tâm, ta có: GA GB GC uuur uuur uuur r + + = 0

ž MA MB uuur uuur uuuur + + MC = 3 MG uuuur

(M bất kì)

ª Tính chất hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD tâm O, ta có:

ª OA OB OC uuur uuur uuur uuur r + + + OD = 0

ª MA MB uuur uuur uuuur uuuur + + MC + MD = 4 MO uuuur

d Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

① Khái niện về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

OC uuur r = c Khi đó xảy ra hai trường hợp:

ª Các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ ar

C' D'

Trang 21

② Định nghĩa 3

Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một

mặt phẳng

Trên hình bên, giá của các vectơ ar,b r

,cr cùng song song với mặt phẳng (a) nên ba vectơ ar,b r

,cr không đồng phẳng thì với mỗi vectơ d r

, ta tìm được duy nhất các số m, n, p sao cho

② Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta luôn có: uuur uuur uuur AC = AB + AD

③ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D ¢ ¢ ¢ ¢, ta được: uuuur uuur uuur uuur AC ' = AB + AD + AA '

④ Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB , M là điển bất kỳ: IA IB uur uur r + = 0

và MAuuur uuur+MB=2MIuuur

⑤ Tính chất trọng tâm của tam giác: G là trọng tâm D ABC, "M ta có:

0

GA GB GC uuur uuur uuur r + + =

và MA MB uuur uuur uuuur + + MC = 3 MG uuuur

⑥ Tính chất trọng tâm của tứ diện: G là trọng tâm tứ diện ABCD:

0

GA GB GC GD + + + =

uuur uuur uuur uuur r

và "M ta có: MA MB uuur uuur uuuur uuuur + + MC + MD = 4 MG uuuur

⑦ Ba vectơ gọi là đồng phẳng khi các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

⑧ Nếu ba vectơ ar, b r

, cr không đồng phẳng thì mỗi vectơ d r

đều có thể viết dưới dạng dr=mar+nbr+ pcr

, với m, n, p duy nhất

@ Chú ý: X Để biểu diễn một vectơ trong hệ cơ sở ta thường đưa về gốc để tính, chẳng hạn vectơ MN uuuur

II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

① Góc giữa hai vectơ

A B

Trang 22

Cho ur và vr là hai vectơ trong không gian Từ một điểm A bất kì vẽ uuur r AB = u, uuur r AC = v Khi đó ta

Cho hai vectơ ur và vr (¹ 0 r

) Tích vô hướng của ur và vr là:

⑤ Một số ứng dụng của tích vô hướng

ª Tính độ dài của đoạn thẳng AB: AB= uuurAB = uuurAB2

ª Xác định góc giữa hai vectơ: cos( , ) .

ª Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

2 Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là

góc giữa hai đường thẳng a¢ và b¢ cùng đi qua một điểm

bất kì và lần lượt song song với a và b Ta có:

ur vr

b

a

a' j

b

a

a' j

Trang 23

“Nếu khơng bằng người mà khơng xấu hổ thì bằng người sao được.” (Lỗ Tấn) Page 23

Cách 1 Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tìm gĩc bằng việc lấy một điểm A nào đĩ (thơng

thường A Ỵ a hoặc A b Ỵ ) Qua A dựng a¢ và b¢

theo thứ tự song song với a và b Khi đĩ, gĩc nhọn hoặc vuơng tạo bởi a¢ và b¢ là gĩc giữa a và b

Bước 2 Tính gĩc: Sử dụng tỉ số lượng giác của gĩc trong tam

giác vuơng hoặc dùng định lí hàm số sin, cơsin trong tam giác thường để xác định số đo gĩc giữa a và b

Cách 2 Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tìm 2 vectơ ur và vr theo thứ tự là các vectơ chỉ

phương của các đường thẳng a và b

Bước 2 Tính số đo gĩc a giữa hai vectơ ur và vr

Bước 3 Khi đĩ, gĩc giữa hai đường thẳng a và b:

· bằng gĩc a nếu 0 0

0 £ £a 90

· bằng 0

180 –a nếu a là gĩc tù

III ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC MẶT PHẲNG

1 Định nghĩa đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng:

① Định nghĩa 5: Đường thẳng gọi là vuơng gĩc với mặt phẳng nếu nĩ vuơng

gĩc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đĩ

a a

Þ ^ ý

② Định lí 3: Nếu đường thẳng d vuơng gĩc với

hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm

trong mặt phẳng ( )a thì đường thẳng d

vuơng gĩc với mặt phẳng ( )a

2 Tính chất

① Tính chất 4:

ⓐ Cĩ duy nhất một mặt phẳng ( ) P đi qua một điểm O

cho trước và vuơng gĩc với một đường thẳng a cho

trước

ⓑ Cĩ duy nhất một đường thẳng D đi qua một điểm O cho trước và

vuơng gĩc với một mặt phẳng ( ) P cho trước

② Định nghĩa 6: Mặt phẳng đi qua trung điểm O của đoạn AB và vuơng

gĩc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

MỴmặt trung trực của ABÛMA=MB

3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuơng gĩc của đường thẳng và mặt phẳng

① Tính chất 5:

ⓐ Nếu mặt phẳng nào vuơng gĩc với một trong

hai đường thẳng song song thì cũng vuơng

gĩc với đường thẳng cịn lại

b

a

b c

Trang 24

ⓑ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc

với một mặt phẳng thì chúng song song với

nhau

② Tính chất 6:

ⓐ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì

cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại

ü

Þ ^ ý

ⓑ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì

chúng song song với nhau

③ Tính chất 7:

ⓐ Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( )a song song với nhau Đường thẳng nào vuông góc với

( )a thì cũng vuông góc với a

//( ) ( )

a

b a b

a a

Ì / ü ï

ï

^ þ

ⓑ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng

đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với

nhau

4 Định lí ba đường vuông góc

① Định nghĩa 7: Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( )a theo phương l vuông góc với mặt phẳng

( )a gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( )a

Định nghĩa 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

ⓐ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( )a thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng

a và mặt phẳng ( )a bằng 0

( ) [ , ( )] 90

a ^ a Þ a a =

ⓑ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( )a thì góc giữa a và

hình chiếu a¢ của a trên ( )a gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )a

ï

ï º/ þ

a

a'

H O A

j

Trang 25

@ Chú ý: 0 ( ) 0

0 £ a , ( ) a £ 90

Bài toán 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

① Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) P

② Chứng minh a nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với giao tuyến Þ d vuông

góc với mặt còn lại (ĐL7)

③ Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3 (HQ2)

④ Chứng minh đường thẳng d song song với a màa ^ ( ) P

⑤ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng

còn lại (TC6)

⑥ Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong ( ) P

Bài toán 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải:

Để tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) a ta thường dùng các cách sau đây:

@ Cách 1:

Bước 1 Tìm O= Ça ( )a

Bước 2 Lấy A Î a và dựng AH ^( )a tại H Khi đó (a, ( )a =) ( ,a a')=·AOH

Bước 3 Tính số đo của góc · AOH

@ Chú ý: 0 ( ) 0

0 £ a , ( ) a £ 90

@ Cách 2: Tính gián tiếp theo một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Chọn một đường thẳng d // a mà góc giữa d và ( ) a có thể tính được

j

Trang 26

Để tìm thiết diện của khối đa diện ( ) S với mặt phẳng ( ) P , ( ) P qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước, ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 Dựng mặt phẳng ( ) P như sau:

ª Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d, trong đó có ít nhất một đường qua M

ª Mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng trên chính là( )a

ª Xác định thiết diện theo phương pháp đã học

Cách 2 Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a , b cùng vuông góc với d thì:

ª ( ) P // a hay ( ) P chứa a ® chuyển về dạng qua điểm M và song song với a

( ) P // b hay ( ) P chứa b ® chuyển về dạng qua điểm M và song song với b

Bài toán 4 Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm

Phương pháp giải

① Tập hợp điểm thường gặp:

Cho 3 điểm A , B , C không thẳng hàng và mặt phẳng ( ) a

ü Nếu M là điểm thỏa mãn AM ^ BC thì điểm M nằm trên mặt phẳng ( ) P qua A và vuông góc với

BC

ü Nếu điểm M thỏa mãn : AM ^ ( ) a thì điểm M nằm trên mặp phẳng ( ) P qua A và vuông góc với ( ) a

ü Nếu điểm M thỏa mãn MA=MB thì M nằm trên mặt phẳng ( ) P qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB , chính là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

ü Nếu M thỏa mãn MA = MB = MC Û MA = MB và MA = MC thì M nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) P (mặt phẳng trung trực của AB ) và mặt phẳng ( ) Q (mặt phẳng trung trực của AC),

giao tuyến này chính là trục của tam giác ABC

② Hai bài toán quỹ tích:

Bài toán 1: “Quĩ tích hình chiếu H của điểm cố định O lên đường

thẳng di động d trong mặt phẳng ( ) a quay quanh điểm cố định A ”

Gọi B là hình chiếu của O trên ( ) a

Þ Quĩ tích là đường tròn đường kính BA trong ( ) a

Bài toán 2: “Quĩ tích hình chiếu H của điểm cố định A trên mặt phẳng ( ) a di động và luôn chứa một đường thẳng cố định d”

Bước 1 Xác định mặt phẳng ( ) P qua A và vuông góc với d

Tìm a = ( ) a Ç ( ) P

Bước 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên a , thì H cũng

là hình chiếu vuông góc của A trên ( ) P

Bước 3 Gọi E là giao điểm của d với ( ) P Trong ( ) P , ta có nên quĩ tích là đường tròn đường kính AE trong ( ) P

Trang 27

IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1 Góc giữa hai mặt phẳng

① Định nghĩa 9: Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần

lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

( )

[( ), ( )] ( , ) ( )

a

a b b

a

a b b

② Định lí 5: (Diện tích đa giác chiếu)

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng ( ) P và

S¢ là diện tích hình chiếu H ¢ của H trên mặt phẳng ( ) P¢

và j là góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) P¢ , thì

' cos

S =S j , SDA B C' ' =SDABC.cosj

2 Hai mặt phẳng vuông góc

① Định nghĩa 10: Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

chúng bằng 0

90

( ) a ^ ( ) b Û ( ), ( ) a b = 90

② Định lí 6: Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với

một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với

nhau

( )

( ) ( ) ( )

a a

③ Định lí 7: (Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc)

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường

thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao

tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia

Trang 28

( ) ( ) ( )

( ) ( )

A

a a

A a

a

a b

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt

Qua một đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng

( )a có duy nhất một mặt phẳng ( )b vuông góc với mặt

vuông góc với mặt đáy

Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật, vuông góc với mặt đáy

Hình lăng trụ đều

Là hình lăng trụ đứng có đáy

là đa giác đều

Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy

Hình hộp đứng

Là hình lăng trụ đứng có đáy

là hình bình hành

Hình hộp đứng có 4 mặt bên là hình chữ nhật

A'

B' C' D'

A

D E F A'

D' E' F'

B A

A'

C D E

B'

C' D' E'

Trang 29

Hình lập phương

Là hình hộp chữ nhật có tất cả

các cạnh bằng nhau

Các mặt là hình vuông bằng nhau

4 Hình chóp đều

① Định nghĩa 12

Một hình chóp được gọi là

hình chóp đều nếu đáy của

nó là đa giác đều và các cạnh

bên bằng nhau

Trong hình chóp đều:

- Đường thẳng vuông góc với đáy kẻ từ đỉnh được gọi là đường cao của hình chóp

- Đường cao kẻ từ đỉnh của mặt bên gọi là trung đoạn là của hình chóp đều

② Tính chất 8

- Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau

- Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

- Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

- Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là hình chiếu của đỉnh

xuống đáy

5 Hình chóp cụt đều

① Định nghĩa 13 Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song

song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó

gọi là hình chóp cụt đều

Đoạn nối tâm hai đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều

② Tính chất 9

- Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau

- Hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng và nằm trong hai mặt phẳng song song

Bài toán 1 Góc giữa hai mặt phẳng

A

D

E F

H

A' B' C'

D' E' F'

S

O E

a

Trang 30

ª OF ^ ( ) b tại F F Bước 2 Khi đó: ( ( ) ( ) a , b = ) ( OE OF , )

Cách 2 Dùng cho 2 mặt phẳng cắt nhau:

“Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường cùng

vuông góc với giao tuyến tại một điểm”

Bước 1 Tìm giao tuyến d của ( ) a và( ) b

Bước 2 Chọn điểm O trên d, từ đó:

ª Trong ( ) a dựngOx ^ d

ª Trong ( ) b dựng Oy^d Bước 3 Khi đó: ( ( ) ( )a , b =) (Ox,Oy)

Cách 3 Dùng diện tích đa giác chiếu:

Gọi S là diện tích của đa giác H trong ( ) P và S¢ là diện tích hình chiếu H của

H trên ( ) P¢ và j là góc giữa ( ) P và ( ) P¢ , thì: S'=S.cosj hay cos S'

B C

A'

B' C'

d

Trang 31

Bước 3: Tìm các giao điểm của ( ) b với các cạnh bên của hình chóp Từ đó

suy ra thiết diện

@ Chú ý: Nếu có đường thẳng d ^ ( ) a thì ( ) b //d hay ( ) b É d

Bài toán 4 Hình lăng trụ– Hình lập phương – Hình hộp

Phương pháp giải

① Lăng trụ có:

· Hai đáy song song và là 2 đa giác bằng nhau

· Các cạnh bên song song và bằng nhau

· Các mặt bên là các hình bình hành

② Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy

③ Lăng trụ tam giá đều là lăng trụ đứng, có đáy là tam giác đều

④ Lăng trụ có đáy là tam giác đều là lăng trụ xiên, có đáy là tam giác đều

⑤ Lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng, có đáy là hình vuông

⑥ Lăng trụ có đáy là tứ giác đều là lăng trụ xiên, có đáy là hình vuông

⑦ Hình hộp là hình lăng trụ xiên, có đáy là hình bình hành

⑧ Hình hộp đứng là lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành

⑨ Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, có đáy là hình chữ nhật

⑩ Hình lập phương là lăng trụ đứng, có đáy và các mặt bên là hình vuông

V KHOẢNG CÁCH

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH, với

H là hình chiếu của M trên đường thẳng a

Kí hiệu: d M( , )a =MH

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) a là MH, với

H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( ) a

Kí hiệu: d M ( , ( ) a = ) MH

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia

( , ) ( , )

d a b =d M b =MH (M Î a)

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) a song song

với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a

a

M H

a b

a

M

H a

Trang 32

( , ( ) ) ( , ( ) )

d a a = d M a = MH (M Î a)

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một

điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

( ( ), ( ) ) ( , ( ) ) ( , ( ) )

d a b = d a a = d A b = AH

(với aÌ( ) a ; AÎa)

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là

đường vuông góc chung của a và b IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a và b

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

Bước 1 Trong mặt phẳng ( M d , ) hạ MH ^ d với H Î d

Bước 2 Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác, đường tròn,

2 Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (a)

Các bước thực hiện:

Bước 1 Tìm hình chiếu H của O lên ( ) a

- Tìm mặt phẳng ( ) b qua O và vuông góc với ( ) a

- TìmD = ( ) ( ) a Ç b

a

M

H a

Trang 33

- Trong mặt phẳng ( ) b , kẻ OH ^ D tại H

Þ H là hình chiếu vuông góc của O lên ( ) a

Bước 2 Khi đó OHlà khoảng cách từ O đến ( ) a

@ Chú ý:

· Chọn mặt phẳng ( ) b sao cho dễ tìm giao tuyến với ( ) a

· Nếu đã có đường thẳng d ^ ( ) a thì kẻ Ox d // cắt ( ) a tại H

Þ AB là đoạn vuông góc chung

Trường hợp a và b không vuông góc với nhau

Cách 1: (Hình a)

- Dựng mp ( ) a chứa a và song song với b

- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM ¢ ^ ( ) a tại M ¢

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A

Þ AB là đoạn vuông góc chung

· Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Cách 1 Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của a và b Khi đó, d a b ( , ) = AB

Cách 2 Dựng mặt phẳng ( ) a chứa a và song song với b

K I

b

a B

A a

(Hình a)

A a

M' a

Trang 34

2 Chứng minh mp(a) song song với mp(b)

Cách 1 Chứng minh mp(a) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (b) (Nghĩa là 2

đường thẳng cắt nhau trong mặt này song song với 2 đường thẳng trong mặt phẳng kia)

Cách 2 Chứng minh (a) và (b) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng

3 Chứng minh hai đường thẳng song song:

Cách 1 Hai mặt phẳng (a), (b) có điểm chung S lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b thì

(a) Ç (b) = Sx // a // b

Cách 2 (a) // a, a Ì (b) Þ (a) Ç (b) = b // a

Cách 3 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng

song song với đường thẳng đó

Cách 4 Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho 2 giao tuyến song song

Cách 5 Một mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau, ta được 3 giao tuyến

song song

Cách 6 Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 hoặc cùng vuông góc với một mặt

phẳng thì song song với nhau

Cách 7 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối tứ

giác đặc biệt, …

4 Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a)

Cách 1 Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (a) Cách 2 Chứng minh d nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với giao

tuyến Þ d vuông góc với mp còn lại

Cách 3 Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3

Cách 4 Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a ^ (a)

Cách 5 Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc

với mặt phẳng còn lại

Cách 6 Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong (a)

5 Chứng minh hai đường thẳng d và d¢ vuông góc:

Cách 1 Chứng minh d ^ (a) và (a) É d¢

Trang 35

C

D

Trang 36

MÔ HÌNH 1 Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật

(hoặc hình vuông) và SA vuông góc với đáy

H1.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chóp

1 Đáy: là hình vuông hoặc hình chữ nhật

Trang 37

1 Góc giữa cạnh bên SB và mặt bên ( SAD ) bằng a :

Ta có: AB ^ ( SAD ) Þ Hình chiếu của SB lên ( SAD ) là SA

4 Góc giữa cạnh bên SC và mặt bên ( SAD ) bằng a :

Ta có: DC ^ ( SAD ) Þ Hình chiếu của SC lên ( SAD ) là SD

Þ (SC SAD·, ( ))=(·SC SD, )=·DSC=a

H1.4 - Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

1 Góc giữa mặt bên ( SBC ) và mặt đáy ( ABCD ) bằng a :

@ Chú ý: Nếu AB<AD thì điểm H ở gần B hơn

Nếu AB> AD thì điểm H ở gần D hơn

v Đáy ABCD là hình vuông:

Trang 38

@ Chú ý: Nếu AB<AD thì điểm I ở gần B hơn

Nếu AB> AD thì điểm I ở gần D hơn

v Đáy ABCD là hình vuông:

Trang 39

6 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD )

Vì O là trung điểm của AC nên d C SBD ( , ( ) ) = d A SBD ( , ( ) )

MÔ HÌNH 2 Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B và

SA vuông góc với đáy

1 Đáy: Hình thang ABCD vuông tại A và B

H2.3 - Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

1 Góc giữa mặt bên ( SBC ) và mặt đáy ( ABCD ):

Ta có: BC ^ AB tại B (?)

BC ^ SB tại B (?)

Þ ((·SBC), (ABCD))=(·AB SB, )=SBA·

2 Góc giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy ( ABCD ):

Trong ( ABCD ), vẽ AM ^ CD tại M

Trang 40

MÔ HÌNH 3 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

1 Đáy: ABCD là hình vuông

2 Đường cao: SO

3 Cạnh bên: SA = SB = SC = SD

4 Cạnh đáy: AB = BC = CD = DA

5 Mặt bên: D SAB, D SBC, D SCD, D SAD

là các tam giác cân tại S và bằng nhau

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Þ SO ^ ( ABCD )

H3.2 - Góc giữa cạnh bên và đáy

1 Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ( ABCD ):

Ta có: SO ^ ( ABCD ) (?)

Þ Hình chiếu của SA lên ( ABCD ) là AO

Þ (SA ABCD·, ( ))=(SA AO·, )=SAO·

2 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy ( ABCD ):

Tương tự (SB ABCD·, ( )) =(SB BO·, )=SBO·

3 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD):

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	1,06 MB
File đính kèm	So tay giai toan 11.rar (1 MB)