Sách ĐS chuyên dề – trần Văn Hạo 2- Xem tiếp các bài : Trong sách Chuyên đề ĐẠi Số của Trần Văn Hạo –Trang 51 NXBGD.. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Loại 1: - khi đổi chổ x; y hệ không thay
Trang 1ĐẠI SỐ PHƯƠNG RÌNH BẬC NHẤT
- Dạng : ax + b = 0
a # 0 : x =-b/a
a=0 : 0x=b : b #0 Vn ; b =0 S =R
_ ptrình qui về bậc nhất:
0
0
x
ax b
ax b x
α α
≠
+ = ⇔ + =
BÀI TẬP : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PT
1- PT : (m2-m-6) x = m2- 4x +3 (1)
m# -2; m# 3 : có I
m=-2 : Vn ; m=3 s=R
2
mx m
x + + =
− pt (m-2)x = -m – 4 , x #2
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
- Dạng : ax + b >0 ; <0
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN : D = R
a>0 : x> -b/a ; a<0 : x < -b/a
a=0: ox >-b :
b ≤VN , b>0 : s=R
BÀI TẬP: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BPT:
bpt : ( m-1 ) x ≤ m+1
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1- Dạng – công thức nghiệm ;
2- Định lý VI- ET
3- Một số biểu thức đối xứng của X1 ; X2
4- Dấu tam thức bậc hai
5- ĐK : f(x) ≥0 v x ; f(x) ≤0 v x
6- So sánh số α với các nghiệm của tam
tức
BÀI TẬP :
1 Gỉai và bluận pt : mx2 –2mx +4 =0
2-Cho pt : mx2 –2mx +2m-3 =0
Tìmpt có 2 ngh và :A= X1X2 - X12- X22 đạt
nhỏ nhất
2
1; 2
2
6 9 4 (4 6 9 / 4) 9 / 4 9
27 / 4 (2 3/ 2) 27 / 4 max 27 / 4 3/ 4
m
∆ = − + > ∀ =>
= − − = − − + + −
= − − − ≤
3- Cho ptbậc 2 :
X2 –( 2cosα-3) X +7cos2α - 3cosα-9/4=0 Tìm α đề pt có nghiệm kép
HDĐS : ∆=4cos2α-12cosα+9-4(7cos2α-3cosα -9/4
= -24cos2α+18 (3-4cos2α)=0
5 2
6
k
π α
α
=±
=±
4
- 4-4-Cho pt : f(x) = (m-5)x2 +2(m-1)x +m =0 Tìm mpt có 2 ngh và : X1<2<X2.
HD : a f(2) < 0 <= >8/3<m<5
5- Cho pt : f(x) = x2 +mx +m =0 Tìmpt có 2 ngh và : -3< X1<X2.
0 ( 3) 0
9
af s
∆>
− >
+ > <=> < < <
6- Cho pt : f(x) = x2 +(2m-3)x +m2+2m =0 Tìmpt có 2 nghiệm dương phân biệt ycđb
0 0
9
20
p
∆>
>
> <=> <− < <
7 Cho : f(x) = (m-1) x2 -(2m+1)x +2m-1 Xác định m sao cho :
Bất pt : f(x) < 0 vô nghiện HDĐS : * Xét m =1 : f(x ) <0 x<1/4 không thoả
** m#0 : f(x) <0 VN f(x) ≥ ∀ 0 x
∆ ≤' 0; a > ⇔ ≥ 0 m 5
==============================
Trang 2HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
KIẾN THỨC CƠ BẢN :
- Dạng : 1 1 1
2 2 2
0 0
a x b y c
a x by c
- Lập các định thức : D ; Dx ;Dy
• D#0 : x = Dx ; y Dy
• D = 0 : * Dx # 0 hoặc Dy #0 : hvn
• Dx =Dy =0 vô ngh hoậc vô số nghiệm
BÀI TẬP :
x my m
a- Giải và bluận pt trên
b- Khi hpt có nghiện duy I : ( x ;y) Tìm m để
x ;y là số nguyên ( Sách ĐS chuyên dề
– trần Văn Hạo )
2- Xem tiếp các bài : Trong sách Chuyên đề
ĐẠi Số của Trần Văn Hạo –Trang 51
NXBGD
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Loại 1:
- khi đổi chổ x; y hệ không thay đổi
Dạng : f(x;y) =0 (1)
g(x;y) =0 (2)
* Đặt ẩn số phụ : S = x + y ; P= x.y
• Điều kiện có nghiệm : S 2 -4p ≥0
• Giải hpt tìm S;P => Hpt tìm x ; y
-Chú ý : (x 0; y 0 ) là nghiệm thì ( y 0 ;x 0 ) củng
là nghiệm Vậy hpt có ngh duy nhất khi
có nghiệm là ( x 0 ;x 0 )
BÀI TẬP :
Giải các hệ pt sau đây :
11 30 11
xy x y
x y xy
p s
+ + =
+ =
=
30 35
x y xy
x y hpt s p
3-4 4
2 2
1 1
x y
x y
hpt
p p
s p p
+ =
4-3 3
30
35
x y y x
HD x y s x y p x y
x x y y
p s
s sp
=
Vậy Hpt có ngh ( 4;9) ; ( 9;4) 5- cho:
1
x y xy
x y xy m
+ − = −
Tìm m để hpt có nghiệm HD: Giải hệ S ;P ta được S= 4m ;p = 5m-1
ĐK : S2-4p ≥0 1 ; 1
4
m ≤ m ≥ 7- a-Cmr; Hpt có ngh với mọi m :
c- Tìm m hpt có nghiện duy nhất HDĐS :
.
hpt
2 4 2 ( 1) 0
S − P = m − ≥ Vậy : HPt có nghiệm với mọi m
b-Hptcónghiệmduy
S − P = m − = ⇔ = m
=> x=y = 1 Vậy : (1;1)
================================
Trang 3Loại 2 :
Dạng : f(x;y) =0 (1)
f(y;x) =0 (2) - Lấy (1) –(2) : f(x;y) –
f(y;x)=0 (3) f (x;y) =0 (3)
( )
II
− =
Hpt(II) tđương : f(x;y) + f(y;x)=0
g (x;y) =0 làhpt đxứng loại I
BÀI TẬP :
Giải hệ pt :
hpt
y
x y
x hpt
x
y x
y
− =
−
− =
HDĐS :
2 2
3 3
3 8
3 8
(0; 0) ( 11; 11) ( 11; 11)
x y
=
= +
−
2- ĐK : x # 0 ; y # 0 Hpt :
2 2
6 4( ) 0
x y x y
- Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0
y=x hoặc y= 1-x
Kết hợp(1) khi y=x : (1;1) ; (2;2)
Khi y=1-x VN
2
2
x
y x
y
x y
+ =
+ =
- Lấy (1)-(2) : (x-y)(2+ 4/xy ) = 0 y=x ;
y=-2/x
y=x : (1;1) ; (-1;-1)
y = -2/x : ( 2; − 2);( − 2, 2)
BÀI TẬP : GIẢI PT : 1- 4 41
1
x y
x y
+ =
+ =
x y xy
+ + =
+ + + =
ĐS: (2;3),(3;2) ,(-3;-7) ; (-7;-3)
3-2 2
4 4 2 2
7 21
x y xy
x y x y
ĐS : (1;2) (2;1) (-1;-2) (-2;-1)
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :
- Biến dổi t đương => Hpt biết giải
- Rút thế- một ẩn => Hpt ít ẩn hơn.
- Biến đổi một pt thành tích
- Đặt ẩn số phụ BÀI TẬP :
4
x y
x y xy y
+ =
HDĐS : Ta có x=4-y
Hpt 3 2
4
8 0
x y
y y
+ =
y= 2 , y = 1± 5=> tương ứng : x= 2 ; x = 3± 5
=> (2;2) ; ( 3- 5;1+ 5) ; (3+ 5; 1- 5) 2- Ghpt : 2 2
xy x y
x y x y
HDĐS : ( 2) => (x-1)2+(y-2)2= 38
• Đặt : u =x-1 và v = y-2 Ta có hpt :
38
uv u v
u v
− + =
• Tiếp giải HPT đối xứng S =-8 ,P =13 :
u+v=-8 và u.v = 13
Trang 4
= − + = − +
= − − = − −
⇔
= − − = − −
3-HPT :
16 12
xy yz zx
+ + =
+ + =
HDĐS : Bình phương hai vế : Tacó
X 2 + y2 + z2 = xy+yz + zx => x=y=z=2
- Thử lại ta nhận : ( 2;2;2)
Xem tài liệu
- Chuyên đềĐại Số của Trần Văn Hạo
- Đại số 696 –chọn lộc
===================================
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNH TRÌNH
TRỊ TUYỆT ĐỐI KIẾN THỨC CƠ BẢN :
-Nhắc lại : Đnghĩa- Tính chất của trị tuyệt đối
.
( Sách Dại Số của Trần Văn Hạo)
a-Các dạng cơ bản :
A B
B
=
= ⇔ = −
≥
= ⇔ =
= −
< ⇔ <
< ⇔− < <
> <=> <− ∩ >
Tương tự nếu có dấu : “ = “
b) Các dạng khác :
- khử dấu trị tuyệt đối bằng pp xét dấu,
chia khoảng , rồi bỏ dấu trị tuyệt đối
trên từng khoảng
- Nếu có dạng : f( X ) = m ta có thể
dùng KS- hsố để : Biện luận số ngh pt
Hd : chia khoảng
x x
+
+ HD: x + = 1 t ; t > => = 0 t 3: x = − 2; 4 3-Gpt: 2 x2+ 6 x + + 8 x2− = 1 30
4-GBpt : 3x2- x − 3 > 9x –2 Chia hai trường hợp : x>3 ; X< 3 5- Giải hpt: x2− 2 x + ≤ 3 3 x − 3
≤
Hpt 22≤ ≤x 5
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNHCĂN THỨC
PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC 1-Dạng:
2 0 0( 0)
0 0 2
B
A B
A B
A B A
≥
= <=>
=
= <=> =
≥
+ = <=> ≥
2-Pt có chứa A và A thì Đặt : t = A ≥0 3- Pt có nhiều căn thức : Đặt ĐK : Nếu x thuộc rổng thìpt vô nghiệm
Phương Pháp :
- Dùng công thức cơ bản
- Bình phương, lập phương hai vế
- -Đặt ẩn phụ => pt theo t
- Đặt ẩn phụ đưa về hệ pt hai ẩn u , v
- Dùng bđt Cô-Si
BÀI TẬP :
Bài 1: Bình phương hai vế :
a) x2 + x + = 1 1 Hd: pt
0
1
x x
x
=
− ≤ ≤
⇔ =−
Trang 5b)pt: 5 1 3 2 1 0
dk x
≥
- Chuyển vế ,bình phương hai vế : x =2 ;
x = 2/11( loại ) Vậy x=2
dk x
≥
Bình phương hai lầ ta có :ĐS x = 0
Ds x
− + + =
= −
e)
dk x
≥
Bphương hai lanà ta có :ĐS x = 4/3
Bài 2 : Dặt Aån số phụ :
a) x2− 3x+ + 3 x2− 3x+ = 6 3
- Đặt :
- T=x2-3x+3 ≥<=> = => =3 / 4 :t pt t1 x+ 1; 2t+ =3 3
2
3
≤ ≤
2
2
t
ptt2-3t +2 =0 t =1 ; t=2 Vn
t=1 x=0 ; x=1
c) 2x+ +3 x+ =1 3x+2 2x2+5x+ −3 16
HDĐS:
1
x
≥ −
=> = + + + +
<=> = <=> =
2
t x x
x x
Bai a x+ + − −x x+ −x =m
• Giải pt khi m=2 ** Tìm m pt có nghiệm
2
1 3 ; 2 2 2
0( ) ) 2 : 2 0 1, 3
2
t
= + + − => ≤ ≤
=
= − = <=> = => = − =
b) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 2 2 − ≤ ≤ m 2.
2
Bình phương : Đặt t= x (9 − x ) => ≤ ≤ 0 t 9 / 2 KsHS
2 ( ) 2 9 ; 9 / 2 9 / 4 10
f t = − + +t t o t≤ ≤ Ds− ≤ ≤m
d)
x + x + + m x + x + m =
4
4 4
4
3 2
t x x m pt t t
t l t
=−
<=> =
Lập BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh Bài3:
3(2 − x ) +3(7 + x ) −3(7 − x )(2 − = x ) 3
2 2 3
3 3 3
.
9 7
3
2
pt
u v
u v
uv
<=>
+ =
+ =
<=> = <=> = = => = − 2-32 − = − x 1 x − 1
.ĐK : x≥ 1
Trang 63 2
2
1
0;1; 2; 1;0;3 1
1; 2;10
u v
x
= −
= −
=> + = <=> = − =
=
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC 3 :
Dạng cơ bản :
3
3 A= 3 B<=> =A B; 3 A= <=> =B A B
Dạng khác :
3 A+ 3 B = 3C Lập phưong :Ta được
A + B + 33 ABC = C
**Chú Ý : Đây làpt hệ quả.Do dó phải thử
lại
Nếu HPT : A (x) = B (x) và A (x) = - B (x) Vn thì nhận
hết
HPT :A (x) = B (x) và A (x) = - B (x) Có ngh là
x=X 0 ta thử lại x=X 0 đó
BÀI TẬP : I- GIẢI PT:
1) 3 X − + 2 3 2 X − = 3 1 Lập phương hai
vế ta có : x3-4x2+5x-2 =0 x=1 ; x=2 Thử lại
x=1 không thoả Vậy x=2
2) X + 34 − X − = 3 1 Lập phương hai
vế ta có : x2+31x-1830 =0 x=-1061 ; x=75
2) 2 X + + 2 X − = 3 1
-Lập phương hai vế ta có : x3-4x2+5x-2 =0 x=1
; x=2 Thử lại x=1 không thoả Vậy x=2
3) X − + 1 X − = 2 2 x − 3
-Lập phương hai vế ta có : pt x=1 ; x=2 ;x=3/2
Thử lại Đều thoả
4) 2 X + + 2 X − = 2 9 x
Lập phương hai vế ta có : pt x=0 ; x=3
;x=-6/5 Thử lại Đều thoả
3
5) ( X a + ) + + X − a = 2 ( x a a − ) ≠ 0
pt 18X = 14a x=7a/ 9 ; a# 0 Thử lại thoả
II- PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC CHỨA
THAM SỐ m :
Bài 1: 2 x + = + 1 x m: BLs ngh pt
D
= − +∞
Tính đạo hàm : Bảng biến thiên ,Ta có : m<1 : 1ngh; m=1: có 2ngh: 1<m<2: 2ngh m=2 : 2ngh ; 2<m<+∞: 0 Vn
( BÀI TẬP –Trần Văn Hạo trang 186-187) HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
- KIẾN THỨC CƠ BẢN : ĐỂ GIẢI HỆ PT CĂN THỨC TA CHÚ Ý CÁC BỨƠC :
1-Đặt điều kiện 2- Dùng pp thế ,khử để đưa về pt ,hpt biết giải 3-Đặt ẩn phụ
4-Kiểm tra sự tương đương BÀI TẬP :
4
x y xy
HDĐS :ĐK x; y≥0
Đặt :
2 3 4 :
4
4.
hpt
S
P xy
x y
<=> = = => = =
<=> = = ( Xem tài liệu ĐẠI SỐ TRẦN VĂN HẠO –Trang 121-123 )
Trang 7BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
• Dạng cơ bản :
2
2
2
2
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
A
A
A B
B
A B
B
≥
< ⇔ >
<
≥
≤
≥
<
> ⇔ ≥
>
≥
≥ ⇔ >
• Dạng khác :
- Có nhiều căn thức :Đặt ĐK – Luỹ thừa-
khử căn – Dưa vể bpt cơ bản như các dạng
trên
Chú ý : - Hai vế không âm ta đ7ợc bình
phương – Hai vế là số thực ta đựơc lập phương
BÀI TẬP :
GIẢI CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1-Pt : 2 x + ≥ − 3 x 2
pt -3/2≤ ≤ + x 3 2 2
( Xem tài liệu ĐẠI SỐ CỦA TRẦN VĂN
PHƯƠNG TRÌNH MŨ KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
Phương pháp :a>0 ; a#1 1-Đưa về cùng cơ số : ( ) ( ) ( ) ( )
a = a ⇔ f x = g x
2- Lấy Lôgarit hai vế theo cơ số a :
a
a = <=> b f x = b
3- Đặt ẩn số phụ :
( ) 0
f x
t a = >
4- Dùng tính tăng giảm của hàm số :
* a>1thì : af x( ) ≥ ag x( )<=> f x ( ) ≥ g x ( )
** 0<a<1thì : af x( )≥ ag x( ) <=> f x ( ) ≤ g x ( ) 5-Chia hai vế cho :ax và đoán nghiệm CM duy I
Chú ý: Cá biểu thức nghịch đảo :
1
1
t
t t
t
= + => = −
= + => = − BÀI TẬP :Giải các pt :Bài 1:
2 3 4 1
a + − = − <=> = − x
2
b x
+ − = <=> =
<=> =
2
) 2 2 3 3
3 9 3
x
b x
−
− + + = + − <=> =
= ±
Bai2 : ) 25x 15x 2.9x
Chia 02vế cho 9x : pt 2
t
+ − = = >
= = − => =
Trang 82 2
4;1/ 2
1; 2
b
t
x
=> = >
=
<=> = −
2
1; 7 2 3 (2 3)
0; 2
x
c
t
x
=> =