Luận văn thạc sĩ toán học một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger

Kiến thức chuẩn bị4 4 7713161924242428313132 36 Không gian Banach Không gian HilbertToán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert Toán tử tuyến tính bị chặnPhổ của toán tử tuyến tính bị c

NGUYỄN HƯƠNG GIANG

MỘT ƯỚC LƯỢNG VÈ SÓ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG • •

• THEO CHUẨN SCHATTEN VÀ ÁP DỤNG

m

VÀO TOÁN TỬ SCHRÖDINGER

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • •

Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ NGỌC TRÍ

HÀ NỘI, 2014

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người đã giúp đỡ tậntình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy côgiáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luônđộng viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập đểhoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Nguyễn Hương Giang

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩchuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một ước lượng về số các giá trị riêngtheo chuẩn Schatten và áp dụng vào toán tử Schrödinger” được hoàn thành bởinhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Nguyễn Hương Giang

Kiến thức chuẩn bị

4

4

7713161924242428313132

36

Không gian Banach

Không gian HilbertToán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

Toán tử tuyến tính bị chặnPhổ của toán tử tuyến tính bị chặnToán tử tuyến tính không bị chặnPhỗ của toán tử tuyến tính không bị chặn

Toán tử SchrödingerĐịnh nghĩa và tính chấtPhép biển đổi FourierToán tử Schrödinger tự doPhổ của toán tử Schrödinger trong một số trường hợp

Toán tử Schrödinger dạng H 0 + V

Toán tử Schrödinger dang — A —

Toán tử Schrödinger dạng — Ỵ2 + Ỵ2 Vj k{xj — Xk)

j<k

473.2

5560

3.3

6970

Schatten và áp dụng vào toán tử Schrödinger

Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn vết trên nửa nhóm

sai phân

Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Hilbert-Schmidt trên

nửa nhóm sai phân

Áp dụng vào toán tử Schrödinger

Tài liệu tham khảo

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu về phổ của toán tử Schrödinger đã và đang thu hút được sự quantâm của nhiều nhà toán học Việc nghiên cứu này sử dụng nhiều kết quả khácnhau trong giải tích hàm và lý thuyết phổ

Luận văn này tìm hiểu bài toán như sau: Giả sử A là một toán tử tự liên hợp với phổ không âm, giả sử B là một toán tử tự liên hợp khác sao cho hiệu của các Dị = e t A — e t B là các toán tử thuộc lớp vết vấn đề ở đây là đi xác định

cận trên của số các giá trị riêng âm của toán tử tự liên hợp B dưới dạng chuẩn Schatten của Dị Khi có được các ước lượng với cận trên đó chúng ta có thể nghiên cứu trường hợp khi mà A = — A và B = — A + V hay nói cách khác

cận trên của các ước lượng về số các giá trị riêng âm của toán tử Schrödinger.Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biệt là về bất đẳngthức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten, cùng với sự giúp đỡ tận tình của

TS Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:

“Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn Schatten và áp dụng vào

toán tử Schrödinger”

Nội dung của các nghiên cứu trên cũng là nội dung chính được trình bày trongbài báo: [5i| Michael Demuth and Guy Katriel (2008), “EigenvalueInequalities in Terms of Shatten Norm Bounds on Differences of Semigroups,and Application to Schrödinger Operators”, Ann Henri Poincare

9, 817 - 834

• Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến toán tử Schrödinger,

phổ của toán tử Schrödinger trong một số trường hợp

• Chứng minh các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn

Schatten và áp dụng kết quả vào toán tử Schrödinger

3 Nhiệm vụ nghiền cứu

• Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về toán tử

Schrödinger, phổ của toán tử Schrödinger

• Chỉ ra một số các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schrödinger

• Phát biểu và chứng minh các bất đẳng thức giá trị riêng dưới

dạng chuẩn Schatten

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Toán tử Schrödinger, phổ của toán tử

Schrödinger và các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn

Schatten

• Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán

tử Schrödinger, phổ của toán tử Schrödinger, một số bất đẳng thức

giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten

5 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấnđề

tuyến tính bị chặn, toán tử trong không gian Hilbert; đại số Banach.

6 Dự kiến đóng góp

• Nêu các định nghĩa, ví dụ về toán tử Schrödinger và phổ của toán tửSchrödinger

• Chỉ ra các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schrödinger

• Các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten và áp dụng vàotoán tử Schrödinger

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường số K

(K = M hoặc K — C) Một ánh xạ p : X —>• R được gọi là mộtchuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

(i) p(x) > 0 với mọi X £ X;

p(x) = 0 <=>• X = 9 (9 là kí hiệu phần tử không trong X)\

(ii) p( Xx) = |AỊp(x) với mọi số À G K và mọi x ễ I ;

(iii) p(x + y) < p(x ) + p(y ) v ớ i m ọ i x,y £ X.

Số p(x) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X, thông thường ta kí hiệu || a;|| thay cho p(x).

gian định chuẩn, kí hiệu (X, II’II).

M ệ n h đ ề 1 1 2 Giả sử X là không gian định chuẩn Với mọi x,y e X, đặt

p{x,y) = ||(x-y)||.

Khi đó, p là một metric trên X.

Định nghĩa 1.1.3 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x 0 e X nếu

gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.

1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Cho "K là một không gian vectơ trên trường số c (gọi tắt là

không gian vectơ phức)

Ánh xạ

(x,y) I — >

(x,y)

được gọi là một tích vô hướng trên IK nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (i) (x,x) > 0 với mọi X e “K;

(x, x) = 0 <=} X = 9 ( 9 là kí hiệu phần tử không trong 'K );

(ii) (y,x) = (x,y) với mọi x,y <E ÍK;

(iii) (X + x', y) = {X, y) + {Xy) với mọi X , x', y G ÍK;

(iv) (Àx, y) = \ (X, y) với mọi X e ÍK, mọi số À e c.

Các phần tử X, X 1 , y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (X, y) gọi là tích

vô hướng của hai nhân tử X và y.

Định nghĩa 1.2.2 Cho IK là một không gian vectơ trên trường số c Ánh xạ

B : X !K —> c được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi nếu

tích vô hướng (9 kí hiệu là phần tử không trong IK) Khi đó, (•, •) gọi là

tích vô hướng trên ĩí Không gian có tích vô hướng còn gọi là không gian

tiền Hilbert.

Cho !K là không gian tiền Hilbert Với mỗi X £ ta đặt ỊỊ^II = y/{X, X) Khi

đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy-Schwarz)

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau

M ệ n h đ ề 1 2 4 Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn, với chuẩn

N 1 = V ( x ’ x

)-Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiền Hilbert là

không gian định chuẩn, với chuẩn ||x|| = y/(X, x).

Định nghĩa 1.2.5 Nếu không gian tiền Hilbert "K với metric cho bởi p(x,y) =

II (a;, 2 /) II là một không gian metric đủ, thì ÍK được gọi là không gian

Hilbert.

Từ đây trở đi, sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert

1.3 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1 Cho 7Í và /c là các không gian Hilbert trên K, kí hiệu

BỰH,ỈC) là tập các toán tử bị chặn trên % và /c, toán tử A e BựhL, /C) Khi

đó tồn tại duy nhất toán tử A* € BựHJC) sao cho (Ah,k) K = (.h,A*k) K với

VheH,ke)C.

Toán tử A* được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A Trong trường hợp % =

K, và A = A* ta nói A là toán tử tự liên hợp.

Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyếntính bị chặn nếu

tồn tại hằng số С > 0 sao cho

(ỉ) T bị chặn;

(ii) T liên tục;

(iii) T ỉiên tục tại điểm gốc 9.

Định nghĩa 1.4.3 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ta kí hiệu £(X,Y) là

tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không

gian Y Xét А, в là hai toán tử thuộc £(X, y), khi đó ta đưa vào £(x, Y) hai

phép toán

• Tổng của hai toán tử A,B G L(X,Y) là một toán tử, kí hiệu là А + В và

được xác định bởi biểu thức

(A + B)(x) = Ax + Bx với mọi X G X;

• Tích vô hướng của a £ c với toán tử A G £(x, Y) là một toán tử, kí hiệu

là aA và được xác định bởi biểu thức

(o;^4)(a;) = A (A X ).

Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B e L(X,Y), aA e £(X,Y) và hai phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ Khi đó, tập L(X,Y) trở thành một không gian vectơ trên trường c Trong trường hợp Y — c thì Ắj(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu là X* Nếu Y = X th ì £

(x, Y) được kí hiệu gọn lại là £ ( x )

Chuẩn T trong L{X,Y) được xác định bởi

ll^ll = e x - Không gian £(x, Y) với chuẩn vừa nêu là

một không gian định chuẩn Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất

(i) ||Tx|Ị < Ị|TỊỊ ||a;|| với mọi X G X;

(ii) Với mọi £ > 0, tồn tại x e G X : ||T|| — £ < ||Ta;e||

M ệ n h đ ề 1 4 4 Nếu Y là đầy đủ thì L(X, Y) ỉà không gian Banach.

Từ mệnh đề trên suy ra X* luôn là không gian Banach (vì c là không gian đầy

đủ)

Đ ị n h l ý 1 4 5 ( | Q J , T h e o r e m V I l , t r 1 8 4 ) Kí hiệu £ ( Í K ) là tập các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert

(hội tụ yếu).

Nếu một dãy các toán tử T n trên không gian Hilbert có tính chất T n x hội tụ với

mọi X e ÍK, khi đó tồn tại T e £(ÍK) sao cho T n T (hội tụ mạnh).

Cho T e £(x, y) Tập các vectơ X G X sao cho Tx = 0 được gọi là nhăn của T,

kí hiệu là Ker(T) = {x € x \ Tx = 0} Tập các vectơ y &Y sao cho y = Tx với

X G X được gọi là miền giá trị của T, kí hiệu là Ran(T) — {y — TxI a: G

X} Tacó Ker(T) và Ran(T) là các không gian con

Định nghĩa 1.4.6 Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán tử tuyến tính

bị chặn từ X vào Y Toán tử liên hợp (trong không gian Banach) của T, kí hiệu là T' : là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y* tới X* được cho bởi công thức

với V£ e Y\x e X.

Đ ị n h l ý 1 4 7 ( [ 9 ] , T h e o r e m V I 2 , t r 1 8 6 ) Cho

Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert IK vào chính nó Khi đó liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ "K* tới ÍK* Cho c : % —> là ánh xạ ứng với mỗi y G ĨC, là phiếm hàm tuyến tính bị chặn (y, •) trong “K* Xét c là một phép đẳng cự tuyến tính liên hợp và toàn ánh Ta định nghĩa ánh xạ T* : ÍK —> IK bởi công thức

Khi đó T* thỏa mãn

(x,Ty) = ( Cx)(Ty ) = ựCx)(y) = (C~ T'Cx, y) = ự'x,y).

T* được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng ta

thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T* để phân biệt với T' Chú ý rằng ánh xạ

T —¥ T* là tuyến tính liên hợp nghĩa là aT —► ãT*, do c là tuyến tính liên

(e) Ánh xạ T —)■ T* luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều

Định nghĩa 1.4.11 Cho X là không gian Banach, £(x) tà tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X Toán tử A e £{X) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán t ửổ ẽ £ ( I ) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong X) Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là B = A~ x

Đ ị n h l ý 1 4 1 2 Nếu A e £ ( ^ 0 là một toán tử tuyến tính

Đ ị n h l ý 1 4 1 3 Nếu toán tử A,B e £ ( - * 0 là khả nghich thì tích AB củng khả nghịch và

T(M) là compact tương đối (T(M) compact)

Định nghĩa 1.4.16 Toán tử Hilbert-Schmidt T là toán tử trên "K thỏa mãn

tính chất

00

71=1

với { e i , en, } là một cơ sở trực chuẩn của 'K.

Toán tử Hilbert-Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact

1.5 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa1.5.1 Cho X là không gian Banach trên trường số c,

C(X) là tập

toán tử

tửT e £(X)

Toán tử T được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử T' e £{x) sao cho TT'

= T T = 1 Tập các toán tử khả nghịch của £{X) được ký hiệu là

Phỗ của toán tử T kí hiệu là ơ(T) là tập tất cả các số phức Л sao cho (T —

Л1) ị £(X)-1, trong đó 1 là toán tử đơn vị trong X.

Định nghĩa 1.5.2 Cho T G £(ÍK) Tập hợp giải được của T xác định bởi

Chính xác hơn, số phức Л G p(T) khi và chỉ khi (T — Л1) là song ánh với toán tử ngược bị chặn Phần bù của tập giải được chính là phỗ Tức là

Đặc biệt, Л € ơ(T) nếu (T — Л1) có hạt nhân không tầm thường Một vectơ

-ф £ К er (т — Л1) được gọi là vectơ riêng và Л được gọi là giá trị riêng

trong trường hợp đó

Hàm

R T : p{T) ->• £(:к))

được gọi là giải được của T tại Л Ta có công thức sau

p(T') = p(TỴ.

Định nghĩa 1.5.3 Cho T G £{X).

(a) X Ф ớ, X € X thỏa mãn Tx = Xx với Л € с được gọi là vectơ riêng của

T, X tương ứng được gọi là giá trị riêng Nếu Л là một giá trị riêng thì

T — X1 không là đơn ánh do đó Л thuộc phổ của T Tập các giá trị riêng

được gọi là phổ điểm của T, kí hiệu là ơp(T);

(b) Nếu Л không là giá trị riêng và nếu Ran(T — Л1) không trù mật thì Л

thuộc phổ dư\

(c) Phổ rời rạc, kí hiệu ơd(T) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội hữu hạn Khi T là toán tử liên hợp thì

(d) Phổ thiết yếu ơ e s s (T) = ơ(T)\ơd(T), khi T là toán tử tự liên hợp thì

B Ổ đ ề 1 5 5 ( P H , L e m m a 2 1 5 , t r 7 1 ) Ta có X £

ơ ( T ) nếu tồn tại dãy (iỊ) n ) £ D(T ) thỏa mãn | | < ^ n | | = 1 và

I I ( T — A ) ' 0 n | | —> 0 Nếu X ỉà điểm biên của p(T ) thì điều ngược lại vẫn đúng Dãy (ipn) có tính chất như trên được gọi

là dãy Weyl.

Một số kết quả về ánh xạ phổ

Bổ đề 1.5.6 ([131, Lemma 2.16, tr 71) Giả sử T là đơn ánh Khỉ đó

a(T-1)\{0} = KT)\{0})-1

Định lý 1.5.7 (P3J, Theorem 2.17, tr 71) Cho T là toán tử đối

xứng.

X) > 0 , I g I khi và chỉ khi ơ(T ) c [X, o o ] Hơn nữa Ị Ị ì ?

s u p ơ(T) = s u p (ip, Tip).

■ệeD(T),\\ỉjj\\=i

Định lý 1.5.9 (P3Ị, Theorem 2.19, tr 72) Cho T là toán tử đối

xứng.

Khi đó tất cả các giá trị riênglà thực và các vectơ riêng tương ứng với

cấc giá trị riêng này trực giao.

Đ ị n h l ý 1 5 1 0 ( P 3 Ị , T h e o r e m 2 2 0 , t r 7 2 ) Giả

sử T là toán tử đối xứng có cơ sở trực chuẩn của các hàm riêng

Khi đó T ỉà toán tử

tự liên hợp thiết yếu Đặc biệt, nó tự liên hợp thiết yếu trên

s p a n ( < £ j )

1.6 Toán tử tuyến tính không bị chặn

Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn Những toán tửkhông bị chặn không thể xác định khắp nơi trên toàn bộ không gian

Đ ị n h l ý 1 6 1 ( H e l l i n g e r T o e p l i t z , [ 3 j , t r 8 4 )

Cho T là toán tử tuyến tính xác định khắp nơi trên không gian

ta sẽ luôn giả thiết rằng miền đó là trù mật Không gian con đó được kí hiệu là

D (T), gọi là miền của toán tử T.

Nếu toán tử tuyến tính T : ÍK —> ÍK bị chặn thì tồn tại hằng số c > 0 sao choIITzII < c IIa;II, với mọi X G 'K.

Toán tử không bị chặn T là một ánh xạ tuyến tính xác định trên miền D(T) C

ÍK sao cho tồn tại một dãy số {Xj} ,Xj € D(T), ||zjỊỊ = l,j =

1,2, và ||Txj|| —> 0 0 Ta thường xét D(T) là tập con tuyến tính trù mật trong % : D{T) = %.

Định nghĩa 1.6.2 Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên miền D(T) của không gian Hilbert Ta nói T đóng nếu với mỗi Xj e D(T),Xj X và Txj —¥

y, thì X £ D(T) YầTx = y.

Toán tử T' là một mở rộng của T (tức là T c T') nếu D(T) C D(T') và Tx =

đóng Khi đó, mỗi toán tử đóng được có một mở rộng đóng nhỏ nhất, được gọi

là bao đóng của nó và kí hiệu là T Nếu toán tử T đóng được, lõi của T là tập con của D(T) sao cho bao đóng của T hạn chế trên tập này chính là T.

Định nghĩa 1.6.3 Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T) của không gian Hilbert 'K Kí hiệu Dự*) là tập các phần tử y € 'K mà tồn tại phần

tử z € ÍK sao cho với mọi X € D(T) ta có

(Tx,y) = (x,z).

Với mỗi y € D(T*), ta đặt T*y = z vầ toán tử T* này được gọi là toán tử

liên hợp của T.

Đ ị n h l ý 1 6 4 Q Q J , T h e o r e m V I I I 1 , t r 2 5 2 )

(a) T* là đóng;

(b) T đóng được nếu và chỉ nếu D(T*) trù mật trong %, trường hợp này T = T**;

Một toán tử đối xứng luôn luôn đóng được, vì D(T*) D D(T) là trù mật trong

IK Nếu T đối xứng, T* mở rộng đóng của T, vậy thì toán tử nhỏ nhất mở rộng đóng T** của T phải chứa trong T* Do đó, với toán tử đối xứng ta có

với toán tử đóng đối xứng

và với toán tử tự liên hợp

(a) T là tự liên hợp;

(b) T đóng và Ker(T* ± i) = {0};

(c) Ran(T ± i) = 'K.

H ệ q u ả 1 6 9 ( | 9 j , C o r o l l a r y , t r 2 5 7 ) Cho T là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert Khi đó cấc điều sau tương đương

(a) T là tự liên hợp thiết yếu;

(b) Ker(T* ± i) = {0};

(c) Ran(T ± i) trù mật.

Đ ị n h l ý 1 6 1 0 ( K a t o R e l l i c h , Ị H Ị , T h e o r e m

1 1 1 2 , t r 2 1 ) Giả sử Ti tự liên hợp, T 2 đối xứng với D(Tị)

và tự liên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kỳ của Tị.

Toán tử T2 trong định lý Kato Rellich có thể được coi như toán tử nhiễu của

Tị.

1.7 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn

Định nghĩa 1.7.1 Cho T là toán tử không bị chặn trong ÍK Ta nói một số phức p là một phần tử của tập hợp giải được của T nếu T — pl là song ánh từ D(T) lên ÍK với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đơn vị.

Định nghĩa 1.7.2 Phổ của toán tử T, kí hiệu bởi ơ(T) là tập các số phức không thuộc vào tập giải được của T Mỗi giá trị riêng của T đều thuộc ơ(T).

Phổ rời rạc của T, kí hiệu bởi ơfi(T) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số

bội hữu hạn Phỗ thiết yếu của T, kí hiệu bởi ơess(T) là tập ơ{T)\ơ d (T).

Như ta đã biết tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn Tuy nhiên điều nàykhông đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn (xem chi tiết, [ij)

Có một phương pháp khác để xác định toán tứ tự liên hợp mở rộng của một số loại toán tử không bị chặn Đó là thông qua dạng toàn phương.

Định nghĩa 1.7.3 Dạng toàn phương là một ánh xạ q : Q{q) X Q{q) -¥ c, trong đó Q(q) là tập con tuyến tính trù mật của ÍK, được gọi là miền hình

thức, sao cho q(x,-) tuyến tính và q(-,y) liên hợp tuyến tính với mọi X, y e Q{q).

Ta tóm lược cách làm thế nào để liên kết một dạng toàn phương và một toán tửkhông bị chặn Trước hết ta chú ý tới định nghĩa toán tử dương mở rộng tới

toán tử không bị chặn Ta nói rằng toán tử T dương, kí hiệu T > 0, nếu T đối xứng và (Tx,x) > 0 với mọi X E Đ(T) Với mỗi toán tử dương T ta có thể xác định một tích vô hướng {x,y) T trên D(T) bởi

Nếu ta kí hiệu Q(T) là mở rộng của D(T) ứng với chuẩn ||-||r cảm sinh bởi tích

vô hướng trên thì D(T) c Q(T) c !K Thật vậy, ta thấy rằng nếu {Zj} là dãy Cauchy trong D(T) thì nó cũng là dãy Cauchy trong 'K do ||a;|| < ||x||T Từ đó,

ta có thể đồng nhất giới hạn trong Q(T) với giới hạn trong ‘K Do đó dạng toàn phương liên hợp với T kí hiệu bởi q T có thể mở rộng tới mọi X e Q(T)

bằng cách đặt

Ta gọi Q(T) là miền của T Vậy ta có thể nói rằng việc xét dạng toàn phương

dẫn đến cách hữu ích để xác định toán tử tự liên hợp nếu ta bắt đầu với toán tử

đối xứng nửa bị chặn được cho bởi kết quả sau

Định lý 1.7.4 (Mở rộng Friedrichs, III], Theorem 1.11.3, tr 22) Cho

sao cho

q T (x ) = ( Tx , X ) > 7| | ж | | 2 với mọi X € D{T).

Khi đó tồn tại một mở rộng tự liên hợp T' của T bị chặn dưới bởi

duy nhất của T với miền chứa trong Q(T).

Điều ngược lại của kết quả này cũng rất quan trọng: Cho dạng toàn phương q, câu hỏi đặt ra là liệu có một toán tử tương ứng T sao cho q = q T không? Câutrả lời là có (xem chi tiết, Ịi9j)

Bây giờ, ta xét một dạng toàn phương của định lý Kato Rellich được gọi là

định lý KLMN được đưa ra bởi Kato, Lions, Lax, Milgram và Nelson Định

lý này cho phép ta xét dạng tổng của các toán tử

Đ ị n h l ý 1 7 5 ( I I I ] , T h e o r e m 1 1 1 4 , t r 2 2 )

Trong trường hợp này ta cũng gọi T 2 là toán tử nhiễu của Tị.

Giả sử Ti tự liên hợp Ta nói T2 compact tương đối ứng với Ti nếu D{Ti) Ç

bất kì nằm trong tập giải được của Tị Ta có thể chứng tỏ rằng T2 compact

tương ứng với Tị nếu với mỗi dãy {Xj} с D(Ti) Ç D(T 2 ) thỏa mãn ||TiÆj|| +

IỊ ж j 11 < с với с > 0 thì ta có thể chọn dãy con {ж^} sao cho {T 2 Xj k } hội tụ.

Ta cũng có các kết quả sau: Nếu Tị tự liên hợp và T 2 compact tương đối ứng

với Tị thì toán tử tổng Ti + T2 xác định trên D(Tị) đóng Hơn nữa toán tử tổng

có cùng phổ thiết yếu với Tị Nếu ta cần T 2 đối xứng thì toán tử tổng tự liênhợp

dim Ran Pa{(—oo, Л)) > k.

đơn vị của K phụ thuộc vào phủ mở này, nghĩa là có các hàm số

d 2

jtidxy

2.1 Định nghĩa và tính chất

Cho ơ°°(Mn) là tập tất cả các hàm số giá trị phức có đạo hàm riêng bậc bất kì

rằng không gian Schwartz

S(K") = j/ e c“(K")|sup|xa(a„/)(x)| < 00,0,0 £ n;|

trù mật trong L2(Mn) (do c™ (Mn) c tS(Mn)) Chú ý rằng, nếu / € tS(Mn) thì cũng

đúng với x a f(x) và (d a f)(x) với mỗi đa chỉ số a Với mỗi / e íS(Rn) ta định nghĩa

(27r) ' J R"

là phép biến đổi Fourier của hàm /

B ổ đ ề 2 1 1 ( [ [ T 3 ] J , L e m m a 7 1 , t r 1 5 5 ) Phép

« S ( R n ) t S ( M n ) Hơn nữa, với mỗi đa chỉ số a e N g và mỗi /

e < s ( M n ) ta có

Chứng minh Theo công thức tích phân từng phần ta có

(Z7rj 7= ipj/(p)-

Công thức thứ nhất được suy ra bằng quy nạp

Tương tự công thức thứ hai suy ra bằng quy nạp, sử dụng

Bổ đề 2.1.2 (Щ Lemma 7.2, tr 156) Cho f G íS(Mn) Khi đó

Định lý 2.1.3 (|Щ, Theorem 7.4, tr 157).р/гф &гегг đổi Fourier т :

t r 1 6 3 ) Cho g(x ) là toán tử nhãn bởi

g và f(p) là toán tử được cho bởi f{p)ip(x)

\\g(x)f(j>) - g R (x)f R (p)\\ < l l ỡ l l o o l l / -

Mloo + \\9 - 9r\\oo\\ỉr\\oo tiến đến g{x)f(p)

( 2 6 )

compact nếu íì là tập bị chặn trong Mn Do đó lim \

íỉ bị chặn trong Mn Mặt khác, chất điểm cuối cùng

sẽ di chuyển đến vô cùng từ đó có thể tìm được chất

điểm trong mỗi tập bị chặn tiến đến 0

B ổ đ ề 2 1 5 ( R i e m a n n - L e b e s g u e ,

p 2 ] , L e m m a 7 6 , t r 1 5 8 ) Kí hiệu

phép biến đổi Fourier là một đơn ánh bị

thỏa mãn

\ \ f \ L < (2Ir)-" /2||/||1.

tS(Mn) Hơn nữa, từ đánh giá

chứng tỏ / G ơoo(Mn) với / bất kì thuộc

trù

Chứng minh Điều kiện đủ là

chứng tỏ dịiị hoàn toàn liên tục

tuyệt đối với mỗi ĩp Trước hết, ta

{iỊ),R H o {z)ĩị)) = I —d^(X),

J R A

— z

miền lõi nên điều kiện đủ là chứng

minh bao đóng của i?o|c°°(R") chứa

H ữ \ S ị R ny

Ta lưu ý rằng dạng toàn phương của

H 0 được cho bởi

trên không gian Hilbert L2(Mn) cho

bởi H ữ ip + Viị) với € L2(Mn), được

gọi là toán tử Schrödinger hoặc toán

tử Hamilton

Về miền xác định của toán tử H và

tính liên hợp của nó được khẳng

định qua định lý Kato-Rellich, với

H ữ là toán tử tự liên hợp và giả sử V

c D{y) sao cho có a < 1 và số b để