Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi để tôi có thể hoàn thành Luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các Thầy, Cô dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư Phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành Luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 07 năm 201Ậ Tác giả

Trần Thị Thu Hiền

Lời cam đoan

Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập

và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô

đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 7 năm 201Ậ Tác giả

Trần Thị Thu Hiền

Chương 2 32

Mục lục

Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng

11

13 16 17 17 28 30

Hàm khả vi trên không gian Banach

Một số kiến thức của Giải tích hàm

Quy tắc tổng mờ không địa phương

2.1

2.2

32 37 Quy tắc tổng mờ địa phương

51 53 54

2.4 Nguyên lý cực trị

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình đại học, chúng ta đã được biết về vai trò của đạo hàm, vi phân (cổ điển) trong việc khảo sát hàm số một biến số, nhiều biến số, đặc biệt là trong việc khảo sát cực trị của chúng, vấn đề đặt ra là khi các hàm

số xác định trên các không gian vô hạn chiều (các phiếm hàm) hay khi các hàm, phiếm hàm đó không khả vi theo nghĩa cổ điển (còn gọi là không trơn) thì cực trị của chúng được khảo sát như thế nào?

Để giải quyết vấn đề này, các nhà toán học đã đề xuất khá nhiều cách tiếp cận, trong đó phải kể đến cách mở rộng khái niệm đạo hàm, vi phân, nói cách khác là đưa ra những công cụ mới có tính năng tương tự như đối với đạo hàm Một trong những công cụ quan trọng đó là dưới vi phân hàm lồi Khái niệm này đã có ứng dụng rất tốt trong lớp các hàm lồi Để nghiên cứu các hàm không lồi, chẳng hạn lớp các hàm nửa liên tục thì chúng ta cần tới các loại dưới vi phân khác như dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Prechet, dưới vi phân Mordukhovich, (xem

L3J-LQJ)-Khái niệm dưới vi phân có một số cách tiếp cận như: thông qua giới

hạn; thông qua hàm thử (theo nghĩa nhớt); thông qua nón pháp., (xem LBJ-L9J)-

Với khái niệm dưới vi phân trong tay, chúng ta cần thiết lập các quy tắc tính, các kết quả mô tả tính chất của hàm thông qua dưới vi phân tương ứng (nếu có thể) với các kết quả đã biết trong giải tích cổ điển.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề đó, được sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề tài:

“Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng Nội dung

của Luận văn gồm hai chương.

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, cần thiết cho việc trình bày nội dung của Chương 2, bao gồm: Một số khái niệm và kết quả của Giải tích hàm, khái niệm dưới vi phân Frechet.

Chương 2 trình bày về quy tắc tổng mờ không địa phương của Bor- wein, Treiman, Zhu ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương của Ioffe, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng của Clarke, Ledyaev và nguyên lý cực trị của Mordukhovich.

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về quy tắc tổng mờ không địa phương của Borwein, Treiman, Zhu ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương của Ioffe, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng của Clarke, Ledyaev và nguyên lý cực trị của Mordukhovich.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về dưới vi phân.

- Tìm hiểu quy tắc tổng mờ không địa phương.

- ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng và nguyên lý cực trị.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Dưới vi phân và ứng dụng.

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục.

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu tổng quan về các kết quả tổng quát, chi tiết hóa các chứng minh nếu có thể, lấy ví dụ cụ thể để minh họa.

6 Dự kiến đóng góp

Các đóng góp của luận văn là trình bày hệ thống kiến thức về dưới vi phân và quy tắc tổng mờ không địa phương; cách sử dụng quy tắc đó trong nghiên cứu các tính chất của hàm số.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số kiến thức của Giải tích hàm

1.1.1 Không gian Banach và không gian đối ngẫu

Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach và

không gian liên hợp Cho X là một không gian vectơ thực.

Định nghĩa 1.1 (Xem 11], trang 11-12) Một chuẩn trong X, kí hiệu ||.||, là một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các tiên đề sau:

Với Vw, V € X và a e R

(i) ||u|Ị > 0;

(ii) IMI = 0 nếu u = 0;

(iii) ||au|| = \a\ IMI ;

(iv) ỊỊm + v|| < ỊỊw|| + \\v\\ (bất đẳng thức tam giác).

Số ||m|| gọi là chuẩn của u e X.

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn ||.|| xác định trong không gian

ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ||.|Ị) hay đơn

Khi đó d là một metrỉc trên X.

Định nghĩa 1.3 (Xem IPP, trang 21) Giả sử (X, ||.ỊỊ) là một không gian định

chuẩn và x0 là một không gian con của X Dễ dàng thấy rằng x 0 cùng với

chuẩn cảm sinh từ chuẩn trong X là một không gian định chuẩn và gọi là

không gian con của không gian định chuẩn (X, ||.||).

Nếu x0 đồng thời là tập đóng trong không gian X thì không gian định chuẩn Xo gọi là không gian con đóng trong không gian X.

Định nghĩa 1.4 (Xem [IỊ, trang 12) Cho X là một không gian định chuẩn với chuẩn ||.|| Nếu X cùng với metric d(x,y) = ||x — yII là một không gian metric

đủ thì X được gọi là một không gian Banach.

Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được kí

hiệu là X với chuẩn ỊỊ.||X hoặc ỊỊ.||.

Một số ví dụ về không gian Banach.

Ví dụ 1.5 Không gian X := M là không gian Banach trên trường số thực với

chuẩn ||m|| = |w| , Vm G 1.

Ví dụ 1.6 Không gian l 2 bao gồm tất cả các dãy số X = (xn ) sao cho

Ví dụ 1.7 Không gian C[a,b] gồm những hàm liên tục (giá trị thực hoặc phức) trên một đoạn [a,b] với chuẩn 11/11 = max|/(:r)| là không

[a,6] gian Banach.

Định nghĩa 1.8 (Xem ỊỊỊ|,trang 61) Cho X là một không gian định chuẩn với chuẩn II II Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục X* : X —> R gọi là một phiếm

hàm tuyến tính liên tục xác định trên X.

Nếu X* là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và X £ X thì giá trị

Dễ dàng chứng minh được rằng, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên

tục trên X với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính

với một số thực lập thành một không gian vectơ (tuyến tính) thực Ta gọi

không gian này là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X và

kí hiệu là X*.

Định lý 1.9 (Xem ỊỊỊI) Không gian X* với chuẩn xác định bởi

l(z*,z)l

F * = sup I I INI

là một không gian Banach.

Định nghĩa 1.10 (Xem |ỊT], trang 73) Không gian liên hợp của không gian X* gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu

X** Như vậy

Định lý 1.11 (Xem [1], trang 85) Cho X là không gian Banach, X** là không gian liên hợp thứ hai của X Khi đó, tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ X vào X**.

Định nghĩa 1.12 (Xem [CEJ, trang 85) Không gian định chuẩn X gọi là

không gian phản xạ, nếu X = X**.

Theo Định lý 1.11 thì X đẳng cự tuyến tính với không gian liên hợp thứ hai X = X** của nó Do đó không gian phản xạ là một không gian Banach.

Định lý 1.13 (Xem 11], Định lý 3.2) Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không gian phản xạ.

Tôpô ƠQ sinh bởi chuẩn của X* trong Định lý L9 gọi là tôpô mạnh trong

X*.

Định nghĩa1.14 (Xem [3J) Tôpô ơ w trong X* gọi là tôpô yếu nếu nó

là tô pô xác định bởi họ các lân cận của x ữ là các tậpcó dạng

trong đó X ị * ẽ x * * : i = 1, k và £ > 0.

Định nghĩa 1.15 (Xem [3J) Tôpô ơ* trong X* gọi là tôpô yếu * nếu nó là tô

{x* G X* : ( x l x ị ) < £ , i = 1,k } , (1.2)

trong đó X i € X , i = 1, k và £ > 0.

Định nghĩa 1.16 (Xem [1J) Tập A c X đóng (bị chặn, compact) theo tôpô yếu trong X được gọi là tập đóng (tương ứng, bị chặn, compact) yếu Tập A đóng (bị chặn, compact) theo tôpô yếu * trong X* được gọi là tập đóng

(tương ứng, bị chặn, compact) yếu *.

1.1.2 Hàm khả vi trên không gian Banach

Mục này trình bày những khái niệm: Đạo hàm theo phương, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet Các kiến thức trình bày trong phần này được lấy

từ các tài liệu [2J Cho X, Y là những không gian Banach thực Giả sử rằng F

Định nghĩa 1.18 (Xem [2] Định nghĩa 1.6) Cho X € X là một điểm cố định.

Ánh xạ F : X —>• Y được gọi là khả vi Gâteaux tại X nếu tồn tại một ánh xạ

tuyến tính liên tục A : X —>■ Y thỏa mãn

với mỗi h € X, trong đó t —>■ 0 trong M.

Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại X và giá trị của nó tại h được kí hiệu là A(h) = d F ( x , h )

Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux là một ánh xạ từ X vào Y Chú ý rằng nếu F là một ánh xạ tuyến tính, thì d F ( x , h ) = F ( h ) hay d F { x ) = F với e X

Nếu / là một hàm trên X , hay / : X — > M, và / khả

Nhận xét 1.19 Nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại thì nó là duy nhất.

Định nghĩa 1.20 (Xem [2] Định nghĩa 1.8) Cho X là một điểm cố định trong không gian Banach X Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X Y được gọi là

đạo hàm Fréchet của ánh xạ F : X —»■ Y tại X nếu

F{x + h) - F ( x ) = A h + r { h )

trong đó lim = 0) hay tương đương

ị ị F ( x + h ) - F ( x ) - A h \ \

Đạo hàm Préchet tại X được kí hiệu là F ' ( x ) hay d F ( x ) hay v/(x).

Nhận xét 1.21 Nếu đạo hàm Préchet tồn tại thì nó là duy nhất.

Định lý 1.22 (Xem [2J) Nếu một ánh xạ có đạo hàm Préchet tại một điểm, thì nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm bằng nhau.

Ví dụ 1.23 Cho / : M2 —>■ M : f ( x , x 2 ) = 0 và f ( x , y ) = 1 nếu trái lại Hàm

này không liên tục tại (0,0) nên không khả vi Fréchet tại điểm đó Tuy nhiên hàm này khả vi Gâteaux tại (0,0) (có đạo hàm bằng 0).

Nón Q được gọi là nón lồi nếu Q là tập lồi.

Nón Q được gọi là nón đóng nếu Q là tập đóng Kí hiệu: Ỉ(Q) = Q n ( - Q )

Nếu Q là nón lồi thì l ( Q ) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong Q và nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón Q

Định nghĩa 1.25 (Xem [5], trang 9-10) Cho X , Y là hai tập hợp bất kì Cho F

: X =4 Y là ánh xạ từ X vào họ tất cả các tập con của Y (được kí hiệu là 2y ).

Ta nói F là á n h x ạ đ a t r ị từ X vào Y Như vậy với mỗi X G X , F ( x ) là một tập hợp con của Y Không loại trừ khả năng là với một số phần tử X e X nào đó, ta có F ( x ) là tập rỗng Ta thường kí hiệu ánh xạ đa trị là F : X ^ Y Nếu với mỗi X G X tập F ( x ) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta nói

F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó ta kí hiệu:

1.1.4 Hàm lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính, A c X, f : Ẩ ^ l u {±oo}.

Định nghĩa 1.29 (Xem [3J Định nghĩa 1.1) Tập A c X được gọi là tập lồi nếu Va;, y € A, Ví £ [0,1] ta có

tx + (1 — t)y e A.

Định nghĩa 1.30 (Xem [3J Định nghĩa 2.1) Trên đồthị hàm /, kí hiệu

Nhận xét 1.32 Nếu / là lồi thì dom/ lồi.

Định lý 1.33 (Xem [Ị3Ị| Định lý 2.1) Giả sử D là tập lồi trong không

gian X, hàm / : D —»• (—00, +00] Khi đó, / lồi trên D khi và chỉ khi

/ ( X x + (1 - A) y ) < Af ( x ) + (1 - A) f ( y ) , VA e [0,1]; Vx, y G A

Định nghĩa 1.34 (Xem [Sị| Định nghĩa 2.6) Hàm / : Ẩ - ^ l U {i 00 } được gọi là

đóng nếu epi/ đóng trong I x R ,

Định nghĩa 1.35 (Xem [3J Định nghĩa 2.9) Bao đóng của hàm f, kí hiệu là / hay elf được xác định như sau

epi/ = epi/.

Bao lồi và bao lồi đóng của hàm /, kí hiệu là co/ và Cõ/ (hay c/(co/)), được

xác định tương ứng như sau

epi(co/) = co(epi/)

epi(cõf) = cõ(epi/)

Nhận xét 1.36 Hàm / đóng <=>■/ = /.

Định nghĩa 1.37 (Xem [1J) Một không gian tôpô X gọi là không gian lồi địa

phương nếu trong X có một cơ sở lân cận gồm toàn tập lồi.

Cho X là không gian lồi địa phương, / :^4—^MU{±oo}.

Định nghĩa 1.38 (Xem [3J Định nghĩa 2.11) (i) Hàm / được gọi là nửa liên

tục dưới (ỉsc) tại X & X (f(x) < oo) nếu với mọi £ > 0, tồn tại lân cận u của X

sao cho

f ( x ) - £ < f ( y ) , { V y G U )

(ii) Hàm / được gọi là nửa liên tục dưới (Isc), nếu / nửa liên tục dưới tại

mọi X e X.

(iii) Hàm / được gọi là nửa liên tục trên (usc) tại X £ X (f(x) < oo) nếu với

mọi £ > 0, tồn tại lân cận u của X sao cho

r ( x ) = (/•)•(*) = sụp {<*•,*) - /*Oc*)}.

X*

Định nghĩa 1.40 (Không gian Asplund) Không gian Banach X gọi là không

gian Asỹỉund nếu mọi hàm lồi liên tục trên tập lồi, mở u c X đều khả vi

Eréchet trên một tập con trù mật Uq c u.

1.1.5 Hàm Lipschitz

Mục này trình bày định nghĩa hàm Lipschitz Cho X là không gian

Banach, ánh xạ / : X —> M.

Định nghĩa 1.41 (Hàm Lipschitz) Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương

tại X € X hay Lipschitz ở gần X, nếu tồn tại lân cận u của X, số k > 0 sao cho

(Vu, V G U), |/(m) - f(v)I < k \ \ u - v|| (1.5)

Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y c X, nếu / Lipschitz địa phương tại mọi u &Y.

Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz к trên tập Y с X,

nếu (1.5) đúng với mọi u,v &Y.

1.2 Dưới vi phân Fréchet

Mục này trình bày những kiến thức cơ bản của dưới vi phân Fréchet, những phép tính sơ cấp, nón pháp và đạo hàm theo hướng, nón pháp và dưới

vi phân, đối đạo hàm.

1.2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.42 (Xem [7J, trang 3326) Cho X là không gian Banach thực và /

là một hàm từ X vào tập số thực mở rộng M = Mu {+oo}, hữu hạn tại X Tập

D F f ( X ) = L' 6 X* : lim in f /(«)-/(*)-(*•.»-*) > oỊ (1 6)

được gọi là dưới vi phân Fréchet của f tại X Mỗi phần tử của tập D p f ( x )

là dưới gradient Fréchet của f tại X.

Nếu D p f ( x ) Ỷ 0 chúng ta nói rằng / là dưới khả vi Fréchet tại X

Nhận xét 1.43 Dễ thấy rằng, tập D p f ( x ) là tập lồi và đóng Thật vậy, lấy X *,

Định lý 1.44 (Xem [ZỊ.Proposition 1.1) Nếu f : X —>• M là hàm khả vi

Fréchet tại X với đạo hàm Vf { x ) , t h ì D p f ( x ) = {v/(:c)}.

Chứng minh Do / khả vi Préchet tại X ta có

Vậy D p f ( x ) = {V/(æ)} Do đó định lý được chứng minh. □

Định lý 1.45 (Xem Щ Proposition 1.2) Nếu f : X R là hàm lồi, thì

Nếu D p f ( x ) ^ 0, ta nói rằng / trên khả vi Fréchet tại X

Có thể hình dung, tập D p f ( x ) trong (1.6) bao gồm các phiếm hàm tuyến

tính liên tục tiếp xúc với / tại X từ phía dưới, còn các phiếm hàm

trong (1.8) tiếp xúc với / tại X từ phía trên.

Khác với với trường hợp cổ điển, sự tồn tại của hai đối tượng đạo hàm khác nhau là hoàn toàn tự nhiên đối với giải tích không trơn: các tính chất khả vi của một hàm từ phía dưới và từ phía trên có thể khác nhau về bản chất.

Trong trường hợp không khả vi, ít nhất một trong các tập D p f ( x ) và tập

D p f ( x ) phải là tập rỗng.

Định lý 1.48 (Xem [ĩ] Proposition 1.3) Cả hai tập D p f ( x ) trong (1.6)

và D p f ( x ) trong (1.8) đồng thời không rỗng khi và chỉ khi / là hàm khả vi

Fréchet tại X Trong trường hợp này, ta có D p f ( x ) = D p f ( x ) = { V f ( x ) }

Trường hợp tổng quát, hệ thức sau đây đúng: D p ( — f ) ( x ) = - D ị f { x )

Chứng minh Nếu cả hai tập đó đều đồng thời khác rỗng thì từ (1.6) và

(1.8), ta có với mọi £ > 0 tồn tại ố > 0 sao cho

f ( u ) — f ( x ) — Vf ( x ) ( u — x ) = E \\ U — x|| với mọi u G