TRƯỜNG THCS - THPT LÊ LỢI TỔ: TOÁN - TINCÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH 1.. Công thức tính diện tích hình phẳng 2.. Nguyên hàm của hàm số: I =∫x3lnxdx... TRƯỜNG THCS - THPT LÊ LỢI T
Trang 1CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Đạo hàm của các hàm số cơ bản ĐH của các hàm số hợp(u = u(x))
( )
( )
1 /
2 /
1 / '
2 /
1
3 /
2
x
x
α =α α −
= −
÷
=
( ) ( )
1 /
2 /
1 / ' '
1
2
u
u
α =α α −
= −
÷
=
( )
2 2
4 / sin ' cos
5 / (cos ) ' sin
1
6 / (tan ) '
cos
1
7 / (cot ) '
sin
x
x x
x
=
= −
=
−
=
( )
2 2
4 / sin ' '.cos
5 / (cos ) ' '.sin
1
6 / (tan ) ' '
cos 1
7 / (cot ) ' '
sin
u
u
=
= −
=
−
=
8 / ( ) '
9 / ( ) ' ln
=
=
8 / ( ) ' '
9 / ( ) ' ln '
u u
e e u
a a a u
=
=
1
10 / ln '
1
11 / log '
ln
a
x
x x
x a
=
=
1
10 / ln ' '
1
11 / log ' '
.ln
a
u
u a
=
=
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
1./ Bảng nguyên hàm:
( )
1
2
1 /
2 /
1
1
4 /
6 /
α α
α
+
+
−
= +
∫
∫
∫
∫
∫
x
dx
x C
x
dx
C
dx
x C x
2
2
7 /
ln
8 / sin cos
9 / cos sin
1
cos
1
sin
x
a
xdx x C
dx x C
x
x
∫
∫
∫
∫
∫
1
2
1
2 /
1 1
1
1
6 /
α α
α
+
+
+
+
−
+ +
+
∫
∫
∫
∫
ax b
a dx
ax b C
ax b a dx
C
a ax b
ax b dx
ax b C a
ax b
a
' '
2
2
1
' ln 1
1
a x b
a
a
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
Trang 2TRƯỜNG THCS - THPT LÊ LỢI TỔ: TOÁN - TIN
CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
1 Công thức tính diện tích hình phẳng
2 Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay
[ ] f x dx
a
2
) (
∫
= π
BÀI TẬP
§1 NGUYÊN HÀM
Câu 1 Nguyên hàm của hàm số: y = sin3x.cosx là:
A −cos2x C+ B 1 3x C
cos
sin
Câu 2 Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là:
A 1sin3 1sin5
3 x−5 x C+ B 1sin3 1sin5
− + + C sin3x − sin5x + C D.Đáp án khác.
Câu 3 Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
A 1cos3
Câu 4 Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A F(x) = cos6x B F(x) = sin6x C 1 1sin 6 1sin 4
1 sin 6 sin 4
Câu 5 Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:
A 1 cos 6 cos 2
B 1 cos 6 cos 2
C cos8x + cos2x D Đáp án khác.
Câu 6 Tính: = 2 +1
x
C
2
Câu 7 Một nguyên hàm của hàm số:
3 2
2
=
−
x y
x là:
A F x( )=x 2−x2 B 1( 2 ) 2
3
3
3
Câu 8 Một nguyên hàm của hàm số: f x( )=x 1+x2 là:
2
1
2
2
1
3
2
2
2
1
3
=
∆
=
∆
=
=
b x
a x
x g y C
x f y C
H
:
:
) ( :
)
(
) ( :
)
(
:
)
(
2
1
2
1
x
y
)
(H
) ( : ) (C1 y= f x
) ( : ) (C2 y= g x
a
x= x=b
O
) ( : ) (C y= f x
b
a
x
y
O
( ) ( )
b
a
S=ò f x - g x dx
Trang 3Câu 9 Nguyên hàm của hàm số: y = ∫ x 4 x + 7 dxlà:
A. 1 2( )52 2( ) 32
C 1 2( )52 2( )32
Câu 10 Nguyên hàm của hàm số: y =
5
cos
1 sin
x dx x
−
A.
cos
sin 3 cos 4 sin
C.
sin
sin
Câu 11 Nguyên hàm của hàm số: y = 2 1 2
sin x.cos x dx
A F(x) = tanx - cotx + C B F(x) = sinx - cotx + C
C F(x) = tanx - cosx + C D F(x) = tan2x - cot2x + C
Câu 12 Nguyên hàm của hàm số: y = 2cos 2 2
sin cos
x dx
A F(x) = - cosx – sinx + C B F(x) = cosx + sinx + C
C F(x) = cotx – tanx + C D F(x) = - cotx – tanx + C
Câu 13 Nguyên hàm của hàm số: y = ∫2sin xcos x dx3 2 là:
A F(x) = − cos5x−cosx+C
5
1
B F(x) = 1cos 5 1cos
C F(x) = 1cos5 1cos
Câu 14 Nguyên hàm của hàm số: y = + −
+
x x e dx
x e
2
là:
A F(x) = xe x + −1 ln xe x + +1 C B F(x) = e x + −1 ln xe x + +1 C
C F(x) = xe x + −1 ln xe−x + +1 C D F(x) = xe x + +1 ln xe x + +1 C
Câu 15 Nguyên hàm của hàm số: I =∫ (x−2 sin 3) xdx là:
A F(x) = ( 2 cos3) 1
sin 3
x C
−
sin 3
x C
C F(x) = ( 2 cos3) 1
sin 3
x C
+
sin 3
x C
−
Câu 16 Nguyên hàm của hàm số: I =∫x3lnxdx là:
Trang 4TRƯỜNG THCS - THPT LÊ LỢI TỔ: TOÁN - TIN
A F(x) = 1 4.ln 1 4
4x x−16x +C
C F(x) =1 4.ln 1 3
4x x−16x +C
Câu 17 Nguyên hàm của hàm số: I =∫x3 x−1 dx là:
A F(x) = 2( )4 5( )3 6( )2 2( )
B F(x) = 2( )4 6( )3 6( )2 2( )
C F(x) = 2( )4 6( )3 6( )2 2( )
D F(x) = 2( )4 6( )3 6( )2 1( )
Câu 18 Nguyên hàm của hàm số:
dx I
x
− +
A F(x) = 2x− −1 4ln( 2x− + +1 4) C
B F(x) = 2x+ −1 4ln( 2x+ + +1 4) C
C F(x) = 2x− +1 4ln( 2x+ + +1 4) C
2
-Hết -§2 TÍCH PHÂN
Câu 1 Tính tích phân sau: dx
x
x
I ∫
−
+
=
1 1
2 2 2
Câu 2 Tính:
0
sin
π
=∫
Câu 3 Kết quả của tích phân
1
1 ( ) ln
e
x
A
2
4
e
B
2
1
e
2
1
e
2
3
e
+
Câu 4 Kết quả của tích phân: 1
0
7 6
x
x
+
=
+
∫
3 2 ln
2
ln
2− 2
C 5
ln
5 ln 2
Trang 5Câu 5 Biết
3 2 1
ln 2 2
x
−
=∫ = + Giá trị của a là:
4
π
D 2
Câu 6 Tính
1 4
12x 1
x
−
= +
∫
A I = 1
5
7 5
Câu 7 Cho
ln 0
ln 2 2
−
∫m x x
e dx A
e Khi đó giá trị của m là:
Câu 8 Tính 4 2
0
tan
π
= ∫
4
I = − π
3
I = π
Câu 9 Kết quả của tích phân 04 1
x
=
A 1 5
1 ln
2 3
1
1 ln 2 4
+
C 1 7
1 ln
3 3
4 3
−
Câu 10 Tính
1
2 0
1
I =∫ −x dx
A I =
4
π
B I = 1
π
D I = 2
Câu 11 Tích phân
2 2
0
3 ( 1)
4
x− e dx= −
∫ Giá trị của a là:
Câu 12 Biết tích phân
1 0
2
x dx x
+
−
∫ =aln2 +b Thì giá trị của a là:
Câu 13 Tính:
2
1
(2 1) ln
K =∫ x− xdx
2
2
2
K =
Câu 14 Cho 2 3
1
2I=∫ (2x +ln )dxx Tìm I?
A 13
2 ln 2
ln 2
4 +
Câu 15 Cho 2
1 0 cos 3sin 1
π
sin 2 (sinx 2)
x
+
∫ Phát biểu nào sau đây sai?
A I1 >I2 B 1 14
9
2 ln
2 2
I = + D Đáp án khác
Câu 16 Tính:
2 1
ln
e
x
x
=∫
Trang 6TRƯỜNG THCS - THPT LÊ LỢI TỔ: TOÁN - TIN
A 1
3
4
2
2
J =
Câu 17 Tính:
0
cos
x
π
=∫
2
2
L= − eπ+
Câu 18 Tính: 2
1
ln
e
x
x
=∫
A K 1 2
e
e
e
e
= −
Câu 19 Tính:
2 1
(2 1) ln
K =∫ x− xdx
A 3ln 2 1
2
2
2
Câu 20 Tính: 1 ( 2)
0
ln 1
K =∫x +x dx
K = − +
Câu 21 Tính:
1
2 0
1
L=∫x +x dx
A L= − 2 1− B L= − 2 1+ C L= 2 1+ D L= 2 1−
Câu 22 Tính:
1
2 2 0
x
K =∫x e dx
4
e
4
e
4
e
4
K =
Câu 23 Tính:
1
ln
e
I =∫ xdx
§3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= −2x x2+ +3 và trục hoành là:
A.
125
125
125
44
Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = (e + 1)x và y =(1+ e x x) là:
A. 2 2
e
−
e−
Trang 7Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 11x - 6,3 y = 6x2,x =0,x =2 có kết quả
dạng a
b khi đó a-b bằng:
Câu 4 Cho đồ thị hàm số y f x= ( ) Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:
A.
f x dx f x dx
−
+
B.
f x dx f x dx
−
+
C.
f x dx f x dx
−
+
D
4 3 ( )
f x dx
−∫
Câu 5 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 2
2
y x= − xvà 2
y= − +x xcó kết quả là:
Câu 6 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đườngy x e , x 1, x 2 , y 0 = 12 x2 = = =
quanh trục ox là:
Câu 7 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y sin x= ; x 0= ; y 0= và x= π Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình ( )H quay quanh Ox bằng?
2 2
π
C.
2 4
π
D 2π
Câu 8 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x x= 2+1 và trục ox và đường thẳng x=1 là:
A.
3 2 2
3
−
B.
3 2 1 3
−
C.
2 2 1 3
−
D 3−3 2
Câu 9 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y=2−x2 , (C): y= 1 − x 2 và Ox là:
π
−
C. 3 2
2
D 4 2−π
Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= 2 và đường thẳng y=2x là:
A.
4
3
5
15
Trang 8TRƯỜNG THCS - THPT LÊ LỢI TỔ: TOÁN - TIN Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 x - 4x - 62 trục hoành và hai đường thẳng
x=-2 , x=-4 là
40
92
3
Câu 12 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x3 – x và y = x – x2 là :
33
37
Đáp án khác
Câu 13 Tính Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườngy=ln ,x y=0, x e=
Câu 14 Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành
2
y= −x y=
A.
3
4
π
B.
3
4
3
π
Câu 15 Gọi S là Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườngy x= 3−3x ; y x ; x= = −2 ; x 2= Vậy S bằng bao nhiêu ?