C6 DS CUNGGOCLUONGGIAC CONGTHUCLUONGGIAC

Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sa

Trang 1

CHƯƠNG 6 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG

THỨC LƯỢNG GIÁC

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

TOÁN 10

Trang 2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1

GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

CHƯƠNG VI

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi

tắt là cung 1 rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là

góc 1 rađian

1 rađian còn viết tắt là 1 rad

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số

đo của cung và góc

b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính R có số đo 0 2 , có số đo a0 0 a 360 và có độ dài là l

thì:

.180

chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta

quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng

chiều kim đồng hồ là chiều âm)

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov lần lượt cắt ,

đường tròn tại U và V Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om

chuyển động theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi

đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn

 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với

tia Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia

đầu là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu Ou Ov,

 Điểm Mchuyển động theo một từ điểm U đến trùng với

V O

U

Trang 3

điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối

V Kí hiệu là UV

þ

 Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 360 0(hay ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 720 (hay 0 4 ), quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc 90 (hay 0

2), quay theo chiều

âm ba vòng bốn phần bảy(25

7 vòng) thì nói nó quay góc

025.360

7 (hay 50

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC

LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp giải

Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:

Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a (hay 0 rad ) thì mọi góc(cung) lượng

giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng

360

a k (hay k2 rad , k Z ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2

Trang 4

Trang 5

b) Vì

0180

Ví dụ 3: Cho hình vuông A A A A0 1 2 4 nội tiếp đường tròn tâm

O(các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim

O

A0

A1

Trang 6

đồng hồ) Tính số đo của các cung lƣợng giác A A0 i

þ, A A i j

þ (i j, 0,1,2,3,4,i j )

Trang 7

Trang 8

Vi dụ 5: Cho góc lƣợng giác Ou Ov, có số đo

và số nguyên k l0, 0 sao cho a0 k02 , 0 l02

Khi đó 0 là số đo của uOv và 0 là số đo của u Ov' '

Hai góc hình học uOv u Ov bằng nhau khi và chỉ khi , ' ' 0 0

Trang 9

(m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu,

tia cuối đƣợc không?

Lời giải:

Trang 10

Bài 6.1: Giả sử hai góc có cùng tia đầu, tia cuối khi đó 39 2

Vì vế trái là một số nguyên, vế phải là số thập phân nên dẫn tới vô lí

Vậy hai góc lương giác 39

7 và 9

m

( m là số nguyên ) không thể cùng tia đầu, tia cuối

Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có

Trang 11

Bài 6.3: Tìm số đo a của góc lượng giác 0 Ou Ov, với 0 a 360, biết một góc lượng

giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:

đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng

giác

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA OM, gọi

là điểm xác định bởi số (hay bởi cung , hay bởi góc )

x

s S

T B

M(x;y)

K H

Trang 12

Điểm Mcòn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực có một điểm nằm trên đường tròn lượng(điểm xác

định bởi số đó) tương tự như trên trục số Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực Các số thực có dạng là k2 ,k Z

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn

lượng giác Với mỗi góc lượng giác Ou Ov, có số đo , xác định điểm M x y; trên đường tròn lượng giác sao cho sđ Khi đó ta định nghĩa

sin OH, cos OK,tan AT,cot BS

e) Tính chất:

 sin ,cos xác định với mọi giá trị của và 1 sin 1, 1 cos 1

 tan được xác định khi

2 k , cot xác định khi k

 sin sin k2 ,cos cos k2

tan tan k ,cot cot k

f) Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác

Bảng xét dấu

Phần tư Giá trị lượng giác

I II III IV

Trang 13

34

3

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin

2

22

3

32

1

12

1

sin4) tan cot 1 ( )

2

k k k

3 Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau ( và ) Góc bù nhau( và ) Góc phụ nhau( và

Trang 14

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém

tang côtang, hơn kém

2 chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối

Trang 15

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết

quả sau

 Góc và góc k2 ,k Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

 Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng k2

m ( với k

là số nguyên và m là số nguyên dương) là m Từ đó để biểu diễn các góc lượng

giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới m 1 rồi biểu diễn các góc đó

B' A'

B

A O

M1

M2

M3

Trang 16

Khi đó điểm M2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 120 0

d) Ta có 7650 450 2 3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc 765 trùng với góc 0

0

45

45 1

360 8 Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )

Khi đó điểm M3(điểm chính giữa cung nhỏ AB ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo '

0

765

Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

(với k là số nguyên tùy ý)

x do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x1 k

Với k 0 x1 0 được biểu diễn bởi điêm A

Trang 17

3

k x đƣợc biểu diễn bởi M 4

 Do các góc lƣợng giác x x x1, 2, 3 đƣợc biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều

Trang 18

x y

Trang 19

Vậy góc lượng giác có số đo là

x k được biểu diễn bởi đỉnh của hình vuông

1 2 3 4

M M M M

Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

(với k là số nguyên tùy ý)

 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt

 Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác

Trang 20

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) sin7 cos 9 tan( 5 ) cot7

tan 8 360 2 cos 90 8 2.360 cos 90 8

B

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi

Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:

Trang 24

Bài 6.9: a)

22

sin 45 sin135 2 2 2cos 30 cos 60 1 3 1 3

A

b)

11

B

c) D cos 00 cos1800 cos 200 cos1600 cos 800 cos1000

cos 00 cos 00 cos 200 cos 200 cos 800 cos 800 0

d) E tan 5 tan 850 0 tan15 tan75 tan 45 tan 450 0 0 0

tan 5 cot 50 0 tan15 cot 5 tan 45 cot 50 0 0 0 1

e) F cos 152 sin 152 cos 352 sin 352 2

Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:

Trang 25

Bài 6.10: a) 5sin2 3cos2 4 tan2 7 cot2

Bài 6.11: a) A sin 50 cos( 3600 0 60 )0 sin 50 cos600 0 0

b) sin 1800 35 tan 30 sin 35 tan0 0

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù Xét dấu của các biểu thức sau:

a) M sinA sinB sinC

Trang 29

chất của giá trị lượng giác để biến đổi

+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác

+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm

xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu

để rút gọn cho nhau

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) cos4x 2sin2x 1 sin4x

b) sin 3cos cot3 cot2 cot 1

cot cot cos cos

b) Ta có sin 3cos 12 cos3

VT

Trang 30

cos

x x

x nên

cot 1 cot cot 1

Trang 31

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

b) sin(900 ) cos(450 ) cot(1080 ) tan(630 )

cos(450 ) sin( 630 ) tan(810 ) tan(810 )

x

x x D 2cos x

1 cos 1 cossin 2013

Trang 32

Suy ra A cosx cosx cotx cotx 0

b) Ta có sin(900 x) sin 1800 2.3600 x sin 1800 x sinx

cos 450 x cos 90 360 x cos 90 x sinx

cot(1080 x) cot(3.360 x) cot x cotx

sin cossin cos cot cot

Trang 33

A.3

b)

2 2

2 cos1

21

Trang 34

c) C 1 cos2x 2 6 cos2x 3cos4x 1 sin2x 2 6 sin2x 3sin4x

Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa

Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:

2

211cos(5 )sin( ) tan(7 )

Trang 35

Bài 6.15: a) A sinx cosx cosx sinx

b) B 2cosx 3cosx 5cosx tanx tanx

c) C 2cosx sinx cosx sinx cosx

tancos cos tan

Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) tan2x sin2x tan2x.sin2x

tan tan sin sin

tanx tan x cotx tanx cotx cot x tan x cot x

c) tan6x(cos2x cot2x) tan6xcos2x tan6xcot2x tan4xsin2x tan4x

Trang 36

Trang 37

Bài 6.18: Rút gọn biểu thức sau:

a) (tan cot )2 (tan cot ) 2

Trang 38

b) 2(sin6 cos6 ) 3(sin4 cos4 )

c) cot 30 (sin2 0 8 cos8 ) 4 cos 60 (cos0 6 sin6 ) sin (906 0 ) tan2 1 3

d) (sin4 cos4 1)(tan2 cot2 2)

A. 2 B cos x C tan x 2 D 2cos x

Lời giải :

Bài 6.18: a) (tan cot )2 (tan cot )2 4

b) 2(sin6 cos6 ) 3(sin4 cos4 ) 2 1 3sin2 x.cos2x 3 1 2sin2x.cos2x 1

c) cot 30 (sin2 0 8 cos8 ) 4 cos 60 (cos0 6 sin6 ) sin (906 0 ) tan2 1 3

(sin cos 1)(tan cot 2) 2

Bài 6.19: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn

Trang 39

 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô

1tan

2

5 C

5sin

2cot

5

c) tan 2 2 và 0

Trang 40

A cos 1

1sin

1cos

2sin

3

3cos

Trang 41

Vì 0 sin 0 và tan 2 2 0 nên cos 0

2 6 D cot 2 6

Trang 42

a) Ta có cot2 1 12 12 25 cot2 24

5

hay cot 2 6

Vì tan , cot cùng dấu và tan cot 0 nên tan 0, cot 0

Do đó cot 2 6 Ta lại có tan 1 1

b) Cho tan 3 Tính 3 sin 3cos

sin 3cos 2 sin

B

Trang 43

2

11

2tan 3

sin 3 cos 2 sin tan 3 2 tan tan 1

Trang 44

Lời giải :

sinx cosx sin x 2 sin cosx x cos x 1 2 sin cosx x (*)

Mặt khác sinx cosx m nên m2 1 2sin cos hay

2 1sin cos

4cos

5 D A,B, C đều đúng

b) với 0

Trang 45

A sin 2 , tan 2, cot 1

25

B

C sin 2 , tan 2, cot 1

25

2 5sin

5sin

5d) cos 0,8 và tan cot 0

2tan

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Trang 49

27A

17A

4

Lời giải :

Bài 6.25: A 7

4

Trang 50

tan tantan( )

1 tan tantan tantan( )

2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cos

1 cos 2sin

2

1 cos 2cos

2

1 cos 2tan

1 cos 2

3 Công thức biến đổi tích thành tổng

Trang 51

1cos cos cos( ) cos( )

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

2

4 Công thức biển đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

sin sin

b a

 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt

Trang 52

c)Tính các giá trị lƣợng giác sau: tan7

b)Vì 540 360 90 nên 0 sin 540 cos 36 0

Màcos 360 cos 2.180 1 2 sin 18 2 0

2

Trang 53

1 tan tan 2

1 tan

8 suy ra

b) 4 sin4 2 cos

Trang 54

2cos cos

Trang 55

Trang 56

sin 9 cos 81 sin 81 cos 9 sin 27 cos 63 sin 63 cos 27

cos 9 cos 81 cos 27 cos 63

Trang 57

Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng

 sin 3 cos 2 1sin 3cos 2 sin( )

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) sin cos cos cos

Trang 58

4 sin 40 cos 40 cos 80

2 sin 80 cos 80 sin160

o

Suy ra

0 0

Trang 59

2 a) Tính cos

Trang 60

 Từ giả thiết ta có sin sin cos cos 2 6

3sin cos sin cos sin cos sin cos

Trang 61

b) Tính giá trị lƣợng giác sau sin

Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A 4sin 45 cos12 cos 30 0 0 sin 540 sin 360

Định dạng
Số trang	140
Dung lượng	49,43 MB