C2 DS HAMSOBATNHAT BATHAI

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng... Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn Nếu đối nhau thì

Trang 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬT

NHẤT – BẬT HAI BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

Trang 2

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 42

Trang 3

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

 Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức y f x

Tập xác định của hàm số y f x l| tập hợp tất cả c{c số thực x sao cho biểu thức f x có nghĩa

3 Đồ thị của hàm số

phẳng toạ độ với mọi x D

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của h|m số y f x l| một đường Khi đó ta nói y f x là phương trình của đường đó

4 Sư biến thiên của hàm số

Cho hàm số f x{c định trên K

 H|m số y f x đồng biến (tăng) trên K nếu x x1, 2 K x: 1 x2 f x( )1 f x( )2

 H|m số y f x nghịch biến (giảm) trên K nếu x x1, 2 K x: 1 x2 f x( )1 f x( )2

5 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho h|m số y f x có tập x{c định D

 H|m số f được gọi l| hàm số chẵn nếu với x D thì x D và f –x f x

 H|m số f được gọi l| hàm số lẻ nếu với x D thì x D và f –x f x

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng

6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ

Tịnh tiến G lên trên q đơn vị thì được đồ thị y f x q

Trang 4

Tịnh tiến G xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y f x –q

Tịnh tiến G sang tr{i p đơn vị thì được đồ thị y f x p

Tịnh tiến G sang phải p đơn vị thì được đồ thị y f x p–

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG TOÁN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Trang 5

Trang 6

Trang 7

1

2

x x

Suy ra tập x{c định của hàm số là D 5 5; \ 1

Trang 8

Trang 9

Trang 10

x x

Trang 11

Trang 12

Trang 13

2

x y

Trang 14

Trang 15

Trang 16

B2: Kiểm tra

Nếu x D x D Chuyển qua bước ba

Nếu x0 D x0 D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ

B3: x{c định f x và so sánh với f x

Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn

Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ

Nếu tồn tại một giá trị x0 D mà f x0 f x0 , f x0 f x0 kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ

Trang 17

Trang 18

Trang 19

Với mọix 0 ta có x 0 suy ra f x 1, f x 1 f x f x

Với mọi x 0 ta có x 0 suy ra f x 1,f x 1 f x f x

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Trang 24

a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y f x g x là hàm số lẻ

b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số y f x g x là hàm số lẻ

Trang 25

Bài 2.7: a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O l|m t}m đối xứng

Trang 26

C1: Cho hàm số y f x x{c định trên K Lấy ( ) x x1, 2 K x; 1 x , đặt 2 T f x( )2 f x ( )1

b) y x 1

x

y

x nghịch biến trên khoảng 1;

Trang 27

Trang 28

Nếu x x1, 2 0; T 0 Vậy hàm số y f x đồng biến trên 0;

b) Bảng biến thiên của hàm số y x2 4 trên 1; 3

1

x x

x

Suy ra TXĐ: D 1;

Trang 29

Nên hàm số y 4x 5 x 1 đồng biến trên khoảng 1;

a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên 1; nên

Suy ra phương trình 4x 5 x 1 3 vô nghiệm

Với x 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Trang 30

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy f x f t x t hay x2 1 x x2 x 1 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

một nghiệm

Nếu hàm số y f x đồng biến (nghịch biến) trên D thì ( )( ) f x f y( ) x y x ( y và )

f x f y x y x y D Tính chất n|y được sử dụng nhiều trong c{c b|i to{n đại số như giải

phương trình , bất phương trình , hệ phương trình v| c{c b|i to{n cực trị

Trang 31

3 và nghịch biến trên khoảng

4

;3

Trang 32

Với x x1, 2 ; 2 K 0 do đó h|m số nghịch biến trên ; 2

Với x x1, 2 2; K 0 do đó h|m số nghịch biến trên 2;

Vậy hàm số nghịc biến trên ; 1

Áp dụng tìm số nghiệm của phương trình sau x3 x 32x 1 1

Lời giải:

Bài 2.10: Với mọi x x1, 2 , x1 x ta có 2

Trang 33

a) Xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên 1;

Trang 34

Do đó h|m số đã cho đồng biến trên 1;

b) Hàm số đã cho đồng biến trên 1; nên nó đồng biến trên 2; 5

Trang 35

x

032

x

132

x

032

Trang 36

Trang 37

Trang 38

22

x

Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là 2; 2 và 2; 2

vị ta được đồ thị của hàm số nào?

b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y 2x để được đồ thị hàm số 2 y 2x2 6x 3

A Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y 2x đi sang bên tr{i 2 1

2 đơn vị v| lên trên đi

5

2 đơn vị

B Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y 2x đi sang bên phải 2 3

2 đơn vị và xuống dưới đi

152đơn vị

C Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y 2x đi sang bên tr{i 2 3

4 đơn vị và xuống dưới đi

154đơn vị

D Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y 2x đi sang bên tr{i 2 3

Trang 39

Do đó tịnh tiến đồ thị hàm số y 2x để được đồ thị hàm số 2 y 2x2 6x 3 ta l|m như sau

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y 2x đi sang bên tr{i 2 3

Trang 40

Trang 41

b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y x để được đồ thị hàm số 3 y x3 3x2 3x 6

A Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y x đi sang bên phải 1 đơn vị v| lên trên đi 5 đơn vị 3

vị

C Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y x đi sang bên tr{i 2 đơn vị v| lên trên đi 4 đơn vị 3

D Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y x đi sang bên tr{i 1 đơn vị v| lên trên đi 5 đơn vị 3

Trang 42

Nếu a 0 y b là hàm số hằng, đồ thị l| đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành

Phương trình x a cũng l| một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục

tọa độ và cắt tại điểm có ho|nh độ bằng a

Cho đường thẳng d có hệ số góc k, d đi qua điểm M x y0; 0 , khi đó phương trình của đường

thẳng d là: y y0 a x x 0

 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ

Trang 43

Gọi hàm số cần tìm lày ax b a, 0 Căn cứ theo giả thiết b|i to{n để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn ,a b , từ đó suy ra h|m số cần tìm

Cho hai đường thẳng d y1: a x1 b1 và d2:y a x2 b2 Khi đó:

Trang 44

a b

(1)

Mặt khác C d 2 3a b (2)

Từ (1) và (2) suy ra

32132

a b

Trang 45

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

20

a

a a

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d d cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng , '

a) Ta có a d 1 a d' 3 suy ra hai đường thẳng d d cắt nhau , '

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng , 'd d là nghiệm của hệ phương trình

y x y m suy ra , 'd d cắt nhau tại M m 1; 3m 1

b) Vì ba đường thẳng , ', "d d d đồng quy nên M d" ta có

Trang 46

Với m 1 ta có ba đường thẳng là d y: x 2, ' :d y 3x 2, " :d y x 2, phân biệt v| đồng quy tại M 0; 2

Với m 3 ta có d' d" suy ra m 3 không thỏa mãn

a) Với m 1 ta có d y: 1, ' :d y 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau

Với m 1 ta có d y: 2x 1, ' :d y 6 suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại 7; 6

Trang 47

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

10

x

B m

m y

3

66

Trang 48

d) d đi qua N 1; 1 và d d' với d y' : x 3

Trang 49

y x y suy ra , 'd d cắt nhau tại M 2; 4

Vì ba đường thẳng d d d đồng quy nên , ', " M d" ta có

Trang 50

Trang 51

a) Đường thẳng y 2x 3 đi qua c{c điểm

Đường thẳng y 2 song song với trục hoành và cắt

trục tung tại điểm có tung độ bằng -2

b) Đường thẳng y 2x 3, y x 3 cắt nhau tại

3 2

x

y

4 -3

-3 -1 2

-1 -2

3 1 2

3 -2

-4 O 1

Trang 52

b) Dựa v|o đồ thị hàm số đã cho ta có

4;2max 3 khi và chỉ khix 4

4;2min 0 khi và chỉ khi x 2

b) Giao điểm của hai đồ thị hàm số y 2x 3, y x 2 là

Giao điểm của hai đồ thị hàm số 2 3, 3

-2 O

Trang 53

Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ)

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên 3; 3

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên 2; 2

Lời giải:

Bài 2.19:

a) Bảng biến thiên của hàm số trên 3; 3

b) Dựa v|o đồ thị hàm số đã cho ta có

0 3

x

y

3 2

-3

-3 -1O 1 2

Trang 54

 DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI y ax b

1 Phương pháp giải

Vẽ đồ thị C của hàm số y ax b ta l|m như sau

Cách 1: Vẽ C l| đường thẳng y1 ax b với phần đồ thị sao cho ho|nh độ x thỏa mãn x b

a ,

Vẽ C2 l| đường thẳng y ax b lấy phần đồ thị sao cho x b

a Khi đó C là hợp của hai đồ

thị C1 và C2

Cách 2: Vẽ đường thẳng y ax b và y ax b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là C

Chú ý:

Biết trước đồ thị C y: f x khi đó đồ thị C1 :y f x là gồm phần :

- Giữ nguyên đồ thị C ở bên phải trục tung;

- Lấy đối xứng đồ thị C ở bên phải trục tung qua trục tung

Biết trước đồ thị C y: f x khi đó đồ thị C2 :y f x là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị C ở phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng đồ thị C ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Vẽ đồ thị của các hàm số sau

Trang 55

Vẽ đường thẳng y x 2 đi qua hai điểm

A 0; 2 ,B 2; 0 và lấy phần đường thẳng bên

phải của trục tung

Vẽ đường thẳng y x 2 đi qua hai điểm

0; 2 , 2; 0

trái của trục tung

Cách 2: Đường thẳng : d y x 2 đi qua

A 0; 2 ,B 2; 0

x y

-2

2 -2 O 1

Trang 56

Khi đó đồ thị của hàm số y x 2 là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung

b) Đồ thị y x 2 là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị hàm số y x 2 ở phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y x 2 ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành

phần đường thẳng bên phải của đường thẳng x 3

Vẽ đường thẳng y 5x 12 đi qua hai điểm

3 2

-3 -2

Trang 57

3;4

maxy 4 khi và chỉ khi x 4

3;4

miny 2 khi và chỉ khi x 2

Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau

Trang 58

Khi đó đồ thị hàm số C1 :y 2x 3 là phần được x{c định như sau

Trang 59

Ta giữ nguyên đồ thị C ở bên phải trục tung; lấy đối xứng đồ thị C ở phần bên phải trục tung

(C)

2 1

Trang 60

miny 3 khi và chỉ khi x 2

Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số

22

Trang 61

x ta có số giao điểm của nó với

đường thẳng y m như sau:

Với m 1 thì có 1 giao điểm

Với m 1 thì có hai giao điểm

Với m 1 thì có ba giao điểm

 DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT

ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

Cho hàm số f x ax b v| đoạn ; Khi đó, đồ thị của

hàm số y = f(x) trên [ ; ] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính

chất:

 ,max f(x) = max{f(); f(},

 ,min f(x) = min{f(); f(},

 ,max ( )f x max f( ) ; f( )

Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta



Trang 62

cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả

max ( )f x chỉ có thể đạt được tại x 1 hoặc x 2

Như vậy nếu đặt M =

Vậy giá trị nhỏ nhất của M l| 1, đạt được chỉ khi m = 3

Trang 63

Trang 64

Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh f 0 0 và

23

04

Củng từ giả thiết ta suy ra

f

x

7(0) (1 )

Trang 65

108 x x Vậy l| trong hai trường hợp

ta kết luận f yz( ) 0 Ta đã giải xong bài toán

Nếu x 2 thì BĐT (3) sẻ thành 1 0 (hiển nhiên đúng)

Nếu x 2 thì f yz là hàm số bậc nhất Do đó để chứng minh (( ) f yz) 0 ta chỉ cần chứng minh

2

(0) 0

3

04

Trang 66

Bài 2.25: Từ giả thiết ta có x y z, , 0; 1 và

04

x x x ) Vậy l| trong hai trường hợp ta kết luận f yz( ) 0

Bài 2.26: Cho 0 a b c, , 1 Chứng minh a2 b2 c2 a b b c2 2 c a2 1

Trang 67

27 (hiển nhiên đúng)

Trang 68

3y z thì f x là hàm số bậc nhất Theo TC2 thì để chứng minh ( )( ) f x 0 ta chỉ cần

chứng minh cho

(0) 0103

y y y y y (đúng vì y 0) Vậy l| trong hai trường hợp ta kết

luận ( )f x 0 Ta đã giải xong bài toán

Lời giải:

hàm số bậc nhất có hệ số của m là 6x 1 0 (do x 1; ) Theo TC1 thì ( )f m là hàm nghịch

biến f m( ) f(1) với m 1 Tức là ta có x2 2(3m 1)x m 3 (x 2)2 0(đúng với

1;

Vậy là ta giải quyết xong bài toán

§3: HÀM SỐ BẬC HAI

Trang 69

a Khi a 0 hàm số đồng biến trên ; 2

3 Đồ thị

Khi a 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là ;

b I

a a

Khi a 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là ;

b I

a a

Đồ thị nhận đường thẳng

2

b x



Trang 70

 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI

Để x{c định hàm số bậc hai ta l| như sau

Gọi hàm số cần tìm lày ax2 bx c a, 0 Căn cứ theo giả thiết b|i to{n để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a b c , từ đó suy ra h|m số cần tìm , ,

x và nhận giá trị

bằng 1 khix 1

Trang 71

c) Hàm số y ax2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 3

4 khi

12

Trang 72

Hàm số y ax2 bx c nhận giá trị bằng 1 khix 1 nên a b c 1(7)

d) Vì P đi qua M(4; 3) nên 3 16a 4b c (8)

Mặt khác P cắt Ox tại N(3; 0) suy ra 0 9a 3b c(9), P cắt Ox tại P nên P t; 0 ,t 3

Theo định lý Viét ta có

33

b t

a c t a

33

Trang 73

a) (P) đi qua điểm A 1; 0 và B 2; 6

54

44

b

b c

a

Trang 74

3 32

3 22

Bài 2.31: X{c định phương trình Parabol:

a) y ax2 bx 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng 3

2

Trang 75

– X{c định trục đối xứng

2

b x

a v| hướng bề lõm của parabol

– X{c định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với c{c trục toạ độ v| c{c điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng)

– Căn cứ v|o tính đối xứng, bề lõm v| hình d{ng parabol để vẽ parabol

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

Trang 76

x

y

2

Trang 77

2

Suy ra đồ thị hàm số y x2 2 2x có đỉnh là I 2; 2 , đi qua c{c điểm O 0; 0 , B 2 2; 0

Nhận đường thẳng x 2 làm trục đối xứng v| hướng bề lõm xuống dưới

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y m v| đồ thị hàm số trên

O 1

Trang 78

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y x2 3x 2 có đỉnh là I 3; 1 , đi qua c{c điểm A 2; 0 , B 4; 0

Nhận đường thẳng x 3 làm trục đối xứng v| hướng bề lõm lên trên

b) Đường thẳng y m song song hoặc trùng với trục ho|nh do đó dựa v|o đồ thị ta có

Với m 1 đường thẳng y m và parabol y x2 6x 8 không cắt nhau

Với m 1 đường thẳng y m và parabol y x2 6x 8 cắt nhau tại một điểm(tiếp xúc) Với m 1 đường thẳng y m và parabol y x2 6x 8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó h|m số chỉ nhận giá trị dương khi v| chỉ khi x ; 2 4;

Định dạng
Số trang	149
Dung lượng	8,32 MB