C3 DS PHUONGTRINH HEPHUONGTRINH

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 9 Vậy tập nghiệp của phương trình là S x Thử lại phương trình thấy x 2 thỏa mãn Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2 Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phư

Trang 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG

TRÌNH BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

TOÁN 10

Trang 2

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 1

Trang 3

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Kí hiệu là

f x g x f x g x

 Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến

đổi tương đương

Trang 4

1) f x h x g x h x

2) f x h x g x h x nếu h x 0 với mọi x D

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả

của phương trình đã cho

f x g x f x g x

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

 Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định

 Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu

được phương trình tương đương

 Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương pháp giải

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f x ,g x

cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

Trang 5

x

21

x

31

x x

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phương trình là x2 4 0 x2 4 x 2

x x

x

d) Điều kiện xác định của phương trình là

Trang 6

2 3

5S3

Trang 7

Thử vào phương trình thấy 3

4

x thỏa mãn

Vậy tập nghiệp của phương trình là S 3

4

b) Điều kiện xác định của phương trình là x2 6x 9 0 x 3 2 0 x 3

Thay x 3 vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là S 3

c) Điều kiện xác định của phương trình là

Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện

Vậy tập nghiệm của phương trình là S

d) Điều kiện xác định của phương trình là

x x

x

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x 3 hoặc x 5

3

Thay x 3 và x 5

3 vào phương trình thấy chỉ có x 3 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3

3 Bài tập luyện tập

Trang 8

Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

x x x

312

x x x

Trang 9

x

x x

Trang 10

Vậy tập nghiệp của phương trình là S

x

Thử lại phương trình thấy x 2 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2

Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là S 1

 DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG

ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó Một số phép biến đổi thường sử dụng

 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho

 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho

 Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

Trang 11

Trang 12

2

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

x

x x

Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x 1 và x 2

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau:

a) 2x 3 4x2 15

Trang 13

Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x 2 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Bình phương hai vế của phương trình ta được

2

Trang 14

Thử vào phương trình ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

Trang 15

Nếu phương trình có nghiệm x y; thì x phải thỏa mãn

Vì x là số nguyên dương nên x 1

Thay x 1 vào phương trình ta được 12 6 y2 y 3 (*)

Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 y2 0

Trang 16

Do hai phương trình tương đương nên x 1 là nghiệm của phương trình (2)

Thay x 1 vào phương trình (2) ta được

Suy ra hai phương trình tương đương

Vậy m 4thì hai phương trình tương đương

b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương

Do hai phương trình tương đương nên x 2 cũng là nghiệm của phương trình (3)

Trang 17

Trang 18

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

x x

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x 1 và x 4

1

x

x PT x 3 (không thỏ mãn điều kiện)

Bài 3.3: Tìm số nghiệm của phương trình

Trang 19

Với m 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn

b) Cộng vế với vế để khử m ta thu được phương trình mới có thể nhẩm nghiệm 2

Kết quả m 4 thì hai phương trình tương đương

§2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

Trang 20

a

 Nếu a 0: phương trình (1) trở thành 0x b 0

Th1: Với b 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x R

Th2: Với b 0 phương trình vô nghiệm

 Nếu a 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)

 Nếu a 0 : b2 4ac

Th1: 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

b x

a

TH2: 0 phương trình có nghiệm kép

2

b x

Trang 21

 Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f x ax2 bx c có hai nghiệm x1 và x2

thì nó có thể phân tích thành nhân tử f x a x x1 x x2

 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P

thì chúng là nghiệm của phương trình x2 Sx P 0

 Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0(*), kí hiệu S b,P c

a a khi đó

+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P 0

+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

000

P S

+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi

000

P S

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trang 22

A m 1 : Phương trình vô nghiệm

B m 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất 2

1

m x m

C.Cả A, B đều đúng

B m 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x R

3

x m

c) (m 1)2x (3m 7)x 2 m

B m 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x R

C m 3 và m 2: Phương trình có nghiệm 1

3

x m

Trang 23

1

m x

 Khi m 3 : Phương trình trở thành 0x 6 suy ra phương trình vô nghiệm

 Khi m 3: Phương trình trở thành 0x 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x R

39

m x

c) Phương trình tương đương với (m 1)2 3m 7 x 2 m

 Khi m 3 : Phương trình trở thành 0x 5 suy ra phương trình vô nghiệm

 Khi m 2: Phương trình trở thành 0x 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x R

Trang 24

m x

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a b là tham số ,

a x a b x b

A a b: phương trình nghiệm đúng với mọi x R

B a b và b 0: phương trình vô nghiệm

C a b: Phương trình có nghiệm là

a ab b x

Trang 25

 Khi a b : Phương trình trở thành 0x 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x R

 Khi a b và b 0: Phương trình trở thành 0x 2b suy ra phương trình 3

a b: phương trình nghiệm đúng với mọi x R

a b và b 0: phương trình vô nghiệm

a b: Phương trình có nghiệm là

a ab b x

 Khi b 2 : Phương trình trở thành 0x 2 suy ra phương trình vô nghiệm

a b

a) (m2 m x) 2x m2 1

Trang 26

Trang 27

22

m m

A m 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

B m 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x 1

m : Phương trình vô nghiệm

B m 1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

Lời giải:

+ Với 2m 4 0 m 2: Phương trình trở thành 0x 0

Suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x

+ Với 2m 4 0 m 2 : Phương trình tương đương với x 1

Kết luận

Trang 28

2

m : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

2

m : Phương trình có nghiệm duy nhất x 1

b) Phương trình tương đương với 3m2 m 2 x 1 m

Bài 3.6: Giải và biện luận các phương trình sau:

a)

x a b x b a b a

A Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a)

B Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

C.Cả A, B đều đúng

Trang 29

D.Cả A, B đều sai

b)

2 2

1

a x ax

1

a x a

-Nếu b – a = 0 b a thì phương trình có vô số nghiệm

Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a)

-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

Trang 30

-Nếu a 1 0 a 1 thì phương trình vô nghiệm

Vậy: -Với a 1 và a 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất 3

1

a x a

-Với a 1 hoặc a 2 thì phương trình vô nghiệm

Vậy với m 1 thì phương trình vô nghiệm

Bài 3.8: Tìm điều kiện của ,a b để phương trình sau có nghiệm

Trang 31

Vậy a 1 là điều kiện cần tìm

b) Phương trình tương đương với

Vậy với mọi ,a b khác không thì phương trình có nghiệm

 DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

ax bx c

Trang 32

Để giải và biện luận phương trình dạng ax2 bx c 0 ta làm theo như các bước đã nêu ở trên

B m 2 : phương trình có nghiệm là x 2,m 2 : phương trình vô nghiệm

Trang 33

m : Phương trình vô nghiệm

2

+ TH2: Với m 1 0 m 1 khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai

Trang 34

21

x

Trang 35

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với ,a b là tham số

2

A a b 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x

B a 0 và b 0 phương trình có nghiệm duy nhất x 1

C a 0 và b 0 phương trình có nghiệm kép x a b

a

D a 0 và b 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x a 2b

a và x 1

Trang 36

Lời giải:

+ TH1: Với a 0 phương trình trở thành 2bx 2b 0 bx b

Khi b 0 phương trình là 0x 0 do đó phương trình nghiệm đúng với mọi x

Khi b 0 phương trình có nghiệm là x 1

+ TH2: Với a 0 phương trình là phương trình bậc hai

a b b x

Trang 37

a) Với m 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x 1 0 suy ra m 0

không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 0m 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi

0

m a

b) Với m 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x 1 0 suy ra m 0

không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Trang 38

m

a) Giải phương trình đã cho khi m 2

phương trình này có hai nghiệm phân biệt 2 2

2

b) Với m 0 ta thấy phương trình vô nghiệm

Với m 0 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ' m2 m m 1 0 m 0

Bài 3.11: Giải và biện luận phương trình

Trang 39

Trang 40

Trang 41

Bài 3.12: Tùy thuộc vào giá trị của tham số m , hãy tìm hoành độ giao điểm của đường

 Với m 1 ta thấy (*) vô nghiệm nên d và (P) không có giao điểm

 Với m 1 thì (*) là phương trình bậc hai có

Trang 42

Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử

Trang 43

Trang 44

y y x

y x

Trang 45

phương trình có hai nghiệm x x1; 2 sao cho

Trang 46

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m 4 10 thỏa mãn

Vậy m 4 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 47

Suy ra minA 12 m 2 , m 2 thỏa mãn (*)

Vậy với m 2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 48

7max

m

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa 1, 2 x x không 1, 2phụ thuộc vào m

x x x x

Trang 49

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m 2

Vậy maxA 1 khi và chỉ khi m 1, min 1

Trang 50

Trang 51

Trang 52

Trang 53

phương trình có hai nghiệm x x1; 2 sao cho

m

12

m

13

Trang 54

1 Phương pháp giải và các ví dụ minh họa

0

a x b x c có nghiệm chung Chúng ta làm như sau:

Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x thì 0

ax bx c

a x b x c

Giải hệ tìm được x0,suy ra giá trị của tham số

Bước 2: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra và kết luận

Trang 55

Giải hai pt này ta thấy chúng có nghiệm chung là x 1

Vậy a 2 là giá trị cần tìm

có bốn nghiệm phân biệt

x mx m

Phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình 1 và 2

mỗi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung

* Ta có

2 2

Trang 56

x do đó m 1 thì hai phương trình có nghiệm chung

Suy ra để khi hai phương trình 1 và 2 không có nghiệm chung là m 1

Vậy để phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt thì 9

có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

Hai phương trình trên lần lượt có /1 16 1 48a bc , /2 16 1 24b ac

Vì ,a b là các số dương nên 1/, 2/ lần lượt cùng dấu với 1 48bc và 1 24ac

Mặt khác ta lại có 1 48bc 1 24ac 2 24c a 2b 2 24 1 3c c 2 6c 1 2 0

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Ví dụ 4: Cho các số , ,a b c thỏa mãn điệu kiện a b c 6.Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm

Trang 57

2 2 2

Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức 1, 2, 3 không âm

Vậy với , ,a b c thỏa mãn điệu kiện a b c 6thì có ít nhất một trong ba phương trình

có nghiệm

hai với nghiệm của nó có điều kiện

Để làm xuất hiện điều kiện ràng buộc đối với hệ số phương trình bậc hai ta thường dựa trên

+ Nếu phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có nghiệm thực thì 0 b2 4ac

+ Sử dụng định lí Viét và điều kiện nghiệm của đề bài đã cho để suy ra ràng buộc của

hệ số , ,a b c

Ví dụ 5: Cho phương trình x2 bx c 0có hai nghiệm thực dương x x1, 2thoả mãn

1 2 1

Trang 58

Trang 59

x x

Trang 60

Bài 3.20: Cho , ,a b c là các số thực không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng trong ba

phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm ax2 2bx c 0 (1);

Trang 61

Bài 3.21: Cho phương trình x2 bx c 0có hai nghiệm thực dương x x1, 2thoả mãn

.1

b c b P

.1

b b P

x x

a

Trang 62

30

Vậy maxQ 3 và minQ 2

Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax2 x c 0 có hai nghiệm thực dương x x1, 2 thoả

mãn x1 x2 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2 3

a c P

a c a

Lời giải:

Trang 63

Trang 64

Trang 65

1

52

x x

Trang 66

2

11

Trang 67

Vậy phương trình có nghiệm là x 3,x 2,x 0 và x 1

b) Phương trình tương đương với 4x2 4x 2x 1 1 0

x x

Trang 68

Trang 69

nghiệm đúng với mọi x

Trang 70

3

x m

Nếu m 1 thì phương trình (1) vô nghiệm khi đó phương trình ban đầu không thể có

ba nghiệm phân biệt

Nếu m 1 thì phương trình (2) vô nghiệm khi đó phương trình ban đầu không thể

có ba nghiệm phân biệt

Trang 71

Nếu m 1 thì

1(*)

1

m x

m m x

3

| 3x 2 |

23x 2 khi x

Định dạng
Số trang	269
Dung lượng	13,12 MB