Một số ứng dụng của đa thức

Trong đó, Đại số là một bộ phận lớn của Toán học,các bài toán đại số luôn chiếm vị trí quan trọng về lí thuyết lẫn thực tế, cũng là lĩnh vực mà các nhà nghiên cứu đã tìm hiểu tương đối đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn

và chỉ bảo tận tình của cô giáo Ths Dương Thị Luyến, khóa luậncủa em đến nay đã được hoàn thành

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, chân thành tới cô giáo Ths.Dương Thị Luyến, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa ToánTrường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành khóa luậnnày

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiếnthức nên đề tài không tránh những thiếu sót Em rất mong được sựgóp ý của các thầy cô, các bạn sinh viên và các bạn đọc để đề tài nàyđược hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Đỗ Thị Hải Yến

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quátrình học tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của cácthầy cô, các bạn sinh viên khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Luyến.Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu cóliên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo

Khóa luận tốt nghiệp "Một số ứng dụng của đa thức" không có

sự trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Đỗ Thị Hải Yến

Mục lục

1.1 Vành đa thức 1 ẩn 3

1.1.1 Xây dựng vành đa thức 1 ẩn 3

1.1.2 Bậc của đa thức 5

1.1.3 Phép chia với dư 6

1.1.4 Nghiệm của đa thức 6

1.1.5 Đa thức đồng dư 9

1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 10

1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn 10

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn 11

1.2.3 Đa thức đối xứng 12

1.3 Tổng lũy thừa 13

2 Ứng dụng của đa thức 1 ẩn 16 2.1 Xác định đa thức 16

2.1.1 Một số dạng toán và bài tập minh họa 16

2.1.2 Bài tập áp dụng 24

2.2 Chứng minh đẳng thức 25

2.2.1 Bài tập minh họa 26

2.2.2 Bài tập áp dụng 27

2.3 Ứng dụng của định lí Viéte 28

2.3.1 Dạng 1 Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho chúng không phụ thuộc vào tham số 28

2.3.2 Dạng 2 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho 29

2.3.3 Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 31

2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử 33

2.4.1 Phương pháp 33

2.4.2 Bài tập minh họa 33

2.4.3 Bài tập áp dụng 36

3 Ứng dụng của đa thức nhiều ẩn 37 3.1 Bài toán về tổng lũy thừa 37

3.1.1 Bài tập minh họa 37

3.1.2 Bài tập áp dụng 38

3.2 Phân tích đa thức thành nhân tử 39

3.2.1 Phương pháp hệ tử bất định 39

3.2.2 Bài tập minh họa 40

3.2.3 Bài tập áp dụng 42

3.3 Chứng minh đẳng thức 43

3.3.1 Bài tập minh họa 43

3.3.2 Bài tập áp dụng 43

3.4 Chứng minh bất đẳng thức 44

3.4.1 Bài tập minh họa 44

3.4.2 Bài tập áp dụng 45

3.5 Giải hệ phương trình 46

3.5.1 Bài tập minh họa 46

3.5.2 Bài tập áp dụng 50

3.6 Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng 50

3.6.1 Bài tập minh họa 51

3.6.2 Bài tập áp dụng 52

3.7 Trục căn thức ở mẫu 52

3.7.1 Bài tập minh họa 53

3.7.2 Bài tập áp dụng 53

3.8 Giải phương trình chứa căn thức 54

3.8.1 Bài tập minh họa 54

3.8.2 Bài tập áp dụng 55

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là một ngành khoa học giữ vị trí quan trọng đối vớinhiều lĩnh vực Trong đó, Đại số là một bộ phận lớn của Toán học,các bài toán đại số luôn chiếm vị trí quan trọng về lí thuyết lẫn thực

tế, cũng là lĩnh vực mà các nhà nghiên cứu đã tìm hiểu tương đối đầyđủ

Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng, là đối tượngnghiên cứu trọng tâm của đại số Hơn nữa, đa thức còn là công cụ đắclực trong lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết tối ưu Ngoài ra, các định lý vàcác đặc trưng cơ bản của đa thức còn được sử dụng nhiều trong Toáncao cấp, Toán ứng dụng

Các bài tập về đa thức được xem như những dạng toán khó ởTHPT, được đề cập nhiều trong các kì thi học sinh giỏi, OlimpicQuốc tế và olimpic sinh viên giữa các trường Đại học, Cao đẳng.Tuy nhiên, đa thức và ứng dụng của nó mới chỉ được trình bày

sơ lược, chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết Các tàiliệu về đa thức còn ít, các phương pháp giải chưa được khái quát theodạng, do đó việc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn

Vì các lí do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp

đỡ, chỉ bảo tận tình của TS.Dương Thị Luyến, e mạnh dạn chọn đềtài "Một số ứng dụng của đa thức" để làm khóa luận tốt nghiệp vớimong muốn ứng dụng những kiến thức đã học vào chương trình toánTHPT

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm mục đích hệ thống lại đầy đủ và chính xác ứngdụng của đa thức và cách giải một số dạng toán về đa thức Đồng thờigiúp học sinh biết vận dụng các kiến thức, nhận xét một cách linhhoạt, sáng tạo trong việc giải các bài toán về đa thức từ dễ đến khó

3 Đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Đa thức và ứng dụng của đa thức 1 ẩn,nhiều ẩn

- Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế về mặt thời gian cũng như kiếnthức và năng lực nghiên cứu của bản thân, nên đề tài chỉ dừng lại ởviệc nghiên cứu một số ứng dụng của đa thức

4 Nhiệm vụ của nghiên cứu

Nghiên cứu về một số ứng dụng của đa thức 1 ẩn và đa thứcnhiều ẩn

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp sử dụng tài liệu

- Sưu tầm, giải quyết các bài toán

6 Cấu trúc luận văn

Nội dung khóa luận bao gồm 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Ứng dụng của đa thức 1 ẩn

Chương 3 Ứng dụng của đa thức nhiều ẩn

P = n(a0, a1, , an, ) ; ai ∈ A; ai = 0 hầu hết với mọi i ∈ No

cùng với hai phép toán

-Phép cộng

(a0, a1, , an, )+(b0, b1, , bn, ) = (a0 + b0, a1 + b1, , an + bn, )-Phép nhân

(a0, a1, , an, ) (b0, b1, , bn, ) = (c0, c1, , cn, )

với ck = X

i+j=k

aibj ; k=0,1, n, .lập thành 1 vành giao hoán có đơn vị (1,0,0, ,0, )

Ta gọi P là vành đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là 1 đa thức

a0 + a1x + + anxnbằng f (x), g(x)

Định nghĩa 1.1 Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong

A, hay vắn tắt là vành đa thức của ẩn x trên A, kí hiệu là A[x] Cácphần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A Trongmột đa thức

f (x) = a0 + a1x + + anxncác ai, i = 0, 1, , n gọi là các hệ tử của đa thức Các aixi gọi là hạng

tử của đa thức, đặc biệt a0x0 = a0 gọi là hạng tử tự do

1.1.2 Bậc của đa thức

Định nghĩa 1.2 Bậc của đa thức khác 0

f (x) = a0x0 + + an−1xn−1+ anxn

là n với n là chỉ số cao nhất sao cho an 6= 0

Kí hiệu bậc của đa thức f (x) 6= 0 là degf (x)

Định lý 1.1 Cho 2 đa thức f (x), g(x) ∈ A[x] khác 0 Khi đó

1 Nếu degf (x) 6= degg(x) thì f (x) + g(x) 6= 0

và deg(f (x) + g(x)) = maxdegf (x), degg(x)

Nếu degf (x) = degg(x) và f (x) + g(x) 6= 0thì deg(f (x) + g(x)) ≤ max(degf (x), degg(x))

2 Nếu f (x)g(x) 6= 0 thì deg(f (x)g(x)) ≤ degf (x) + degg(x)

Định lý 1.2 Nếu A là 1 miền nguyên, f(x),g(x) là 2 đa thức khác 0của vành A[x] thì f (x)g(x) 6= 0 và deg(f (x)g(x)) = degf (x)+degg(x)

Hệ quả 1.1 Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên

1.1.3 Phép chia với dư

Định lý 1.3 (Định lí về phép chia có dư) Cho A[x] là vành đa thức,

A là 1 trường, f(x),g(x) là hai đa thức của vành A[x],g(x) 6= 0 Khi

đó, bao giờ cũng tồn tại duy nhất 2 đa thức q(x) và r(x) thuộc A[x]sao cho

f (x) = g(x)q(x) + r(x), với degr(x) < degg(x) nếu r(x) 6= 0

1.1.4 Nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1.3 Giả sử α là một phần tử tùy ý của vành A[x],

f (x) = a0 + a1x + + anxn là 1 đa thức tùy ý của vành A[x]; phầntử

f (α) = a0 + a1α + + anαn ∈ A

có được bằng cách thay x bởi α gọi là giá trị của f (x) tại α Nếu

f (α) = 0 thì α gọi là nghiệm của f(x)

Định lý 1.4 Định lí Bezout

Cho vành đa thức A[x], A là 1 trường, f (x) ∈ A[x], α ∈ A Khi đó,

dư trong phép chia f(x) cho (x − α) là f (α)

Định lý 1.5 Cho A là 1 trường, phần tử α ∈ A là nghiệm của đathức f (x) ∈ A[x] khi và chỉ khi f (x) (x − α)

Sơ đồ Horner

Cho A là trường, f (x) ∈ A[x] là đa thức bậc n Giả sử

f (x) = a0xn+ a1xn−1+ · · · + an−1x + an(ai ∈ A) và α ∈ A.Chia f(x) cho (x − α) trong A[x], giả sử thương của phép chia đó là

α b0 = a0 b1 = a1 + αb0 f (α) = an+ αbn−1

Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội

Định nghĩa 1.4 Giả sử m là 1 số tự nhiên khác 0 Một phần tử

α ∈ A gọi là nghiệm bội m của đa thức f (x) ∈ A[x] nếu và chỉ nếu

Cho f (x) = a0xn+ a1xn−1 + · · · + an−1x + an ∈ A[x] là 1 đa thức bất

kì và α1, α2, ,αn là những nghiệm của đa thức f(x)

Công thức trên được gọi là công thức Viéte

Nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên

Nhận xét 1.1 Với ∀f (x) ∈ Q[x] luôn tìm được a ∈ Q∗ để

f (x) = af1(x), f1(x) ∈ Z[x] Do đó f (x) = 0 khi và chỉ khi f1(x) = 0

Để tìm được nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) ta chuyển về tìm nghiệmhữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên f1(x).

Định lý 1.7 Cho f (x) = a0xn+ a1xn−1+ · · · + an−1x + an ∈ Z[x]Nếu phân số tối giản p

q là nghiệm của đa thức f(x) thì p|an; q|a0.

Định lý 1.8 Nếu phân số tối giản p

q là nghiệm của đa thức

f (x) = a0xn+ a1xn−1 + · · · + an−1x + an ∈ A[x],thì với mọi số nguyên m ta có f (m) (p − mq)

đa thức u(x) nếu (p(x) − q(x)) u(x) trong vành A[x]

Kí hiệu p(x) ≡ q(x)(mod u(x))

Tính chất 1.1.2 Cho p(x), q(x), ξ(x) ∈ A[x], u(x) 6= 0 Ta có

1 Với ∀ p(x), p(x) ≡ p(x)(mod u(x))

2 Với p(x), q(x) bất kì, nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) thì

q(x) ≡ p(x)(mod u(x))

3 Với ∀ p(x), q(x), r(x), nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) và

q(x) ≡ r(x)(mod u(x)) thì p(x) ≡ r(x)(mod u(x))

4 Với ∀ p(x), q(x), r(x), nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) thì

p(x)r(x) ≡ q(x)r(x)(mod u(x))

5 Cho những đa thức bất kì p1(x), p2(x), , pn(x), q1(x), q2(x), , qn(x) và r1(x), r2(x), , rn(x), nếu pi(x) ≡ qi(x)(mod u(x)),

i = 1, 2, , n thì

r1(x)p1(x)+· · ·+un(x)pn(x) ≡ r1(x)q1(x)+· · ·+un(x)qn(x)(mod u(x))

6 Với các đa thức bất kì p(x), q(x), r(x), nếu p(x) + q(x) ≡ r(x)(mod u(x)) thì p(x) ≡ r(x) − q(x)(mod u(x))

7 Cho những đa thức bất kì p1(x), p2(x), , pn(x), q1(x), q2(x), , qn(x), nếu pi(x) ≡ qi(x)(mod u(x)), i = 1, 2, , n

thì p1(x)p2(x) pn(x) ≡ q1(x)q2(x) qn(x)(mod u(x))

8 Với p(x) và q(x) bất kì và mọi số tự nhiên t,

nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) thì pt(x) ≡ qt(x)(mod u(x))

9 Với p(x), q(x), f (x), nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) thì

Một phần tử của An gọi là một đa thức của n ẩn x1, x2, , xn lấy

hệ tử trong vành A, người ta kí hiệu nó bằng f (x1, x2, , xn) hayg(x1, x2, , xn) ,

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn

Định nghĩa 1.7 Giả sử f (x1, x2, , xn) ∈ A[x1, x2, , xn] là 1 vành

Ta gọi bậc của đa thức f (x1, , xn) đối với ẩn xi số mũ cao nhất mà

xi có được trong các hạng tử của đa thức

Nhận xét 1.3 Nếu trong đa thức, ẩn xi không có mặt thì bậc của

f (x1, , xn) đối với nó bằng 0

Ta gọi bậc của hạng tử cixai1

1 xain

n là tổng các số mũ ai1+ai2+· · ·+aincủa các ẩn

Bậc của đa thức ( đối với toàn thể các ẩn ) là số lớn nhất trong cácbậc của các hạng tử của nó

Đa thức 0 là đa thức không có bậc

Nếu các hạng tử của f (x1, x2, , xn) có cùng bậc k thì f (x1, x2, , xn)

gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay 1 dạng bậc k.

Ta sắp xếp các bộ số mũ của các hạng tử trong đa thức theo quan hệthứ tự trên Nn như sau

(a1, , an) < (b1, , bn) khi và chỉ khi có 1 chỉ số i sao cho a1 = b1, , ai−1 = bi−1, ai < bi

Khi đó, tương ứng với bộ số mũ lớn nhất là hạng tử cao nhất của đathức đó

1.2.3 Đa thức đối xứng

Định nghĩa 1.8 Đa thức f (x1, x2, , xn) ∈ A[x1, x2, , xn]được gọi là đa thức đối xứng nếu

f (x1, x2, , xn) = f (xi1, xi2, , xin)

với (i1, i2, , in) là hoán vị bất kì của 1, 2, , n

Nói cách khác, 1 đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổikhi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó

Các đa thức đối xứng cơ bản

đối xứng cơ bản

Định lý 1.9 Mọi đa thức đối xứng f (x1, x2, , xn) ∈ A[x1, x2, , xn]đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một đa thức ϕ(σ1, σ2, , σn)của các đa thức đối xứng cơ bản σ1, σ2, , σn với các hệ tử trong A

*Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đốixứng cơ bản

- Phương pháp dựa theo hạng tử cao nhất của đa thức

Định lý 1.10 Tổng lũy thừa Sk = xk+ yk thỏa mãn những đẳng thứcsau

Suy ra Sk = σ1Sk−1− σ2Sk−2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Công thức trên cho phép tính Sk theo Sk−1 và Sk−2

Từ công thức trên ta suy ra được các biểu thức sau

(x + y + z)x2 = x3 + x2y + zx2 = x3 + x2y + zx2 + xyz − xyz

= x3 + x(xy + yz + zx) − xyz = x3 + σ3x − σ3

Suy ra x3 = σ1x2 − σ2x + σ3

Tương tự ta nhận được

y3 = σ1y2 − σ2y + σ3, z3 = σ1z2 − σ2z + σ3.Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta có

S3 = σ1S2 − σ2S1 + 3σ3.Nhân ba đẳng thức trên lần lượt với xk−3, yk−3, zk−3, với k ≥ 4 ta có

xk = σ1xk−1 − σ2xk−2 + σ3xk−3,

yk = σ1yk−1 − σ2yk−2 + σ3yk−3,

xk = σ1zk−1 − σ2zk−2 + σ3zk−3.Cộng theo vế từng bất đẳng thức này ta nhận được với k ≥ 4

Sk = σ1Sk−1 − σ2Sk−2 + σ3Sk−3.Vậy ta có điều phải chứng minh

Dựa vào công thức trên ta tính được

S1 = σ1, S2 = σ12 − 2σ2, σ3 = σ13 − 3σ1σ2 + 3σ3,

S4 = σ44 − 4σ12σ2 + 2σ22 + 4σ1σ3,

S5 = σ15 − 5σ13σ2 + 5σ1σ22 + 5σ12σ3 − 5σ2σ3,

S6 = σ16 − 6σ14σ22 − 2σ23 + 6σ13σ3 − 12σ1σ2σ3 + 3σ32

Chương 2

Ứng dụng của đa thức 1 ẩn

2.1 Xác định đa thức

2.1.1 Một số dạng toán và bài tập minh họa

Dạng 1 Xác định đa thức bậc n khi biết (n+1) giá trị của

b = −25

2

c = 12

d = 10

Vậy đa thức phải tìm là f (x) = 5

2x

3 − 25

2 x + 12x + 10

Dạng 2 Xác định đa thức khi biết một số phép tính khác

Bài tập 2.1.3 Đa thức f(x) nếu chia cho x − 1 được số dư bằng

4, nếu chia cho x − 3 được số dư bằng 14

Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x − 1)(x − 3)

Gọi thương của f(x) cho (x − 1)(x − 3) là C(x) và dư là R(x)

Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên degR(x) < 2

Suy ra R(x) = ax + b

Ta có f (x) = (x − 1)(x − 3)C(x) + ax + b∀x

Thay x = 1 vào (1) và biểu thức trên có f (1) = a + b

Thay x = 3 vào (2) và biểu thức trên có

f (3) = 14

f (3) = 3a + b

Bài tập 2.1.4 Tìm a,b để đa thức 2x2 + ax + b chia cho x + 1

dư -6 và chia cho x − 2 dư 21

Lời giải.

Đặt f (x) = 2x2 + ax + b

Theo định lí Bơzu ta có

f (x) chia cho (x + 1) dư -6 ⇒ f (−1) = −6

f (x) chia cho (x − 2) dư 21 ⇒ f (2) = 21

Dạng 3 Xác định đa thức khi biết điều kiện các hệ số

Tổng quát Tìm đa thức f(x) sao cho tất cả các hệ số đều là sốnguyên không âm nhỏ hơn a và f (a) = b (a, b là hệ số đã cho)

Bài tập 2.1.5 Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyênkhông âm nhỏ hơn 9 và thỏa mãn f (9) = 2016

Lời giải

Xét đa thức

f (x) = anxn + an−1xn−1+ · · · + a1x + a0,với a0, a1, a2, , an đều là các số nguyên không âm nhỏ hơn 9

Do f (9) = 2016

Nên an9n + an−19n−1 + · · · + a1.9 + a0 = 2016

(Ở đây a0, a1, a2, , an là các chữ số của 2016 được viết trong hệ ghi

cơ số 9.)

Thực hiện phép chia 2016 cho 9 được dư a0 = 0, lấy thương đó chiacho 9, liên tiếp như vậy ta được đa thức cần tìm là

f (x) = 2x3 + 6x2 + 8x Bài tập 2.1.6 Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyênkhông

âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn f (8) = 2003

Lời giải Xét đa thức f (x) = anxn + an˘1xn−1 + + a1x + a0 với

a0, a1, , an−1, an đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8

Do f (8) = 2003 nên an.8n+ an−1.8n−1 + + a1.8 + a0 = 2003

Ở đây a0, a1, , an−1, an là các chữ số của 2003 được viết trong hệghi số cơ số 8

Thực hiện việc chia 2003 cho 8 được dư a0 = 3 lại lấy thương chia cho

8, liên tiếp như vậy ta được đa thức cần tìm là

Như vậy đa thức P(x) có các nghiệm x ∈ {0, 1, 2, , k − 1}

Bài tập 2.1.8 Tìm các đa thức f(x) có bậc nhỏ hơn 4 thỏa mãn

hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x

a1 = −1 4

a0 = 58

Vậy f (x) = 1

2x

2 − 1

4x +5

8.

Giả sử k ∈ Z là hệ số của x3 của f(x).

Do degf (x) = 3 nên degg(x) = 3 và g(x) (x − 2015)

Lời giải.

- Tìm đa thức phụ

Đặt g(x) = f (x) + ax2 + bx + c Ta cần tìm a, b, c để g(0) = g(1) =g(2) = 0

1 Tìm đa thức bậc 2 biết f (0) = 20; f (1) = 16, f (2) = 2016

2 Tìm đa thức bậc 4 biết f (0) = −1, f (1) = 2, f (2) = 31, f (3) = 47

3 Đa thức f(x) chia cho x + 1 dư 4, chia x2 + 1 dư 2x + 3 Tìm

dư khi f(x) chia (x + 1)(x2 + 1)

4.Tìm đa thức dư của phép chia x99 + x55x11 + x + 7 cho x2 + 1

5 Cho đa thức A = x4+ ax2 + b Xác định hệ số a,b của đa thức

A biết A chia hết cho đa thức B với B = x2 − 3x + 2.

6 Tìm đa thức f(x) có các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏhơn 5 và f (5) = 352

7 Tìm tất cả các đa thức P(x) có bậc nhỏ hơn 4 và thỏa mãn hệthức

Sử dụng nguyên lí so sánh hệ số của 2 đa thức

Để chứng minh hai đa thức A=B, trong đó A,B là các biểu thức,

ta làm như sau

Bước 1 Coi A,B là biểu thức của 1 biến x nào đó

Bước 2 Biến đổi tương đương đưa đẳng thức A = B về dạng

P (x) = Q(x), trong đó P(x), Q(x) là 2 đa thức của biến x

Bước 3 Xác định max(degf (x), degg(x)) = m

Khi đó sẽ chỉ ra có nhiều hơn m số β sao cho

P (βi) = Q(βi) với ∀i = 1, 2, , n, (n ≥ m + 1)

Theo nguyên lí so sánh hệ số của hai đa thức ta có P (x) = Q(x)