Một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải tích LUẬN VĂN THẠC SỸ KH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- -

NGUYỄN THỊ OANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ OANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS NGUYỄN THÀNH CHUNG

2 PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN

HÀ NỘI−2016

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach 5

1.2 Không gian Sobolev và định lý nhúng 6

1.2.1 Không gian Lp 7

1.2.2 Không gian H ¨older 8

1.2.3 Không gian Sobolev và định lý nhúng 9

1.3 Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không gian Banach 12

1.4 Tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach Điều kiện Coercive của phiếm hàm 14

1.5 Cực trị của phiếm hàm Điều kiện tồn tại cực trị của phiếm hàm 16

1.6 Điều kiện Palais - Smale và định lý qua núi 17

2 Ứng dụng trong phương trình vi phân 20 2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên đối với phương trình vi phân 20

2.2 Bài toán giá trị riêng 30

2.3 Áp dụng định lý qua núi 32

Kết luận 40

LỜI NÓI ĐẦU

Trước hết ta có một nhận xét rằng: Trong giải tích cổ điển, một trong những ứng dụng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm là khảo sát bài toán cực trị Mà bài toán cực trị thường xuất hiện khi nghiên cứu các lớp bài toán quan trọng khác của toán học, trong đó bao gồm cả những mô hình toán học của các bài toán vật lý và cơ học Để thấy được mối liên hệ này, ta hãy lấy một ví dụ đơn giản sau đây:

Ta xét phương trình f (x) = 0 trong khoảng I ⊂ R, trong đó f (x) là hàm liên tục trong I Để giải quyết bài toán này người ta có thể đưa về tìm cực trị địa phương của một hàm khả vi F (x), x ∈ I thoả mãn

F0(x) = f (x), x ∈ I

Tuy nhiên việc tìm cực trị địa phương của một hàm khả vi F (x) như vậy

là một bài toán không tầm thường Vì vậy để tìm nghiệm của phương trình

f (x) = 0 trong khoảng I người ta có thể tìm các điểm tới hạn của hàm F (x) trong I, tức là các điểm x0 mà tại đó F0(x0) = 0 Đây cũng chính là ý tưởng của phương pháp biến phân

Trong nhiều phương pháp của giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình vi phân không tuyến tính thì phương pháp biến phân tỏ ra có hiệu quả hơn cả

Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình vi phân dựa trên cơ sở lý thuyết điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach, mà nội dung của nó là đưa bài toán đang xét về việc nghiên cứu một phiếm hàm F khả vi liên tục theo một nghĩa nào đó trong không

gian Banach được chọn thích hợp (gọi là phiếm hàm năng lượng liên kết với bài toán) sao cho điểm tới hạn của phiếm hàm F là nghiệm yếu của bài toán đang xét Một phương pháp thông thường để tìm điểm tới hạn của phiếm hàm là tìm điểm cực tiểu của phiếm hàm đó Tuy nhiên việc tìm điểm cực tiểu của một phiếm hàm không hề đơn giản Vì vậy, trong nhiều trường hợp người ta quan tâm đến các điểm yên ngựa (không phải là điểm cực tiểu) của các phiếm hàm năng lượng Việc tìm các điểm yên ngựa của một phiếm hàm được dựa vào các nguyên lý biến phân

Mục đích của luận văn này là làm quen với một số vấn đề của giải tích phi tuyến, cụ thể là phương pháp biến phân và ứng dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm của một vài lớp phương trình vi phân thường không tuyến tính Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương:

Chương 1 Dành cho việc trình bày lại một số khái niệm, nội dung quan trọng được sử dụng trong luận văn

Chương 2 Trình bày ứng dụng của phương pháp giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2016

Nguyễn Thị Oanh

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trích dẫn các khái niệm, định lý và một số kiến thức bổ trợ được sử dụng trong luận văn

của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach

Mục tiêu chính của phần này là trình bày lại các khái niệm đạo hàm trong không gian Banach và các tính chất quan trọng của chúng

Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm Gâteaux) Giả sử X là không gian Banach,

x ∈ X, f : X → R (hoặc C) là một phiếm hàm xác định trên X Ta nói f khả vi Gâteaux tại điểm x nếu tồn tại ánh xạ δf (x) tuyến tính và liên tục sao cho

lim

t→0

f (x + th) − f (x)

t = δf (x) h, ∀h ∈ X

Nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ X khi đó ta nói f khả vi Gâteaux

trên tập X.

Định nghĩa 1.1.2 (Đạo hàm Fréchet) Cho X là không gian Banach, f là phiếm hàm xác định trên X Ta nói phiếm hàm f khả vi mạnh hay khả vi Fréchet tại điểm u ∈ X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục, ký hiệu

là f0(u) ∈ X∗ (X∗ là không gian đối ngẫu của X) và được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại u sao cho

lim

kvkX→0

|f (u + v) − f (u) − f0(u) v|

Nếu ánh xạ u 7→ f0(u) là liên tục thì ta nói phiếm hàm f thuộc lớp C1(X, R) Giả sử f là phiếm hàm khả vi Fréchet trong không gian Banach X thì ánh xạ

f0 : X → X∗,

là đạo hàm Fréchet của f

Nếu f : X → R khả vi Fréchet tại x thì f khả vi Gâteaux tại x Nếu

f : X → R có đạo hàm Gâteaux δf liên tục trong X thì f khả vi Fréchet và

f ∈ C1(X, R)

Điểm u ∈ X thỏa mãn phương trình f0(u) = 0 được gọi là điểm tới hạn, ngược lại nếu f0(u) 6= 0 thì u được gọi là điểm đều ( hay điểm chính quy) của f Số β ∈ R được gọi là giá trị tới hạn của f nếu tồn tại một điểm tới hạn u ∈ X sao cho

f (u) = β, f0(u) = 0

Trong phần này ta nhắc lại một số định nghĩa, tính chất quan trọng của không gian Lp(Ω), không gian H ¨older , không gian Sobolev và định lý nhúng

1.2.1 Không gian Lp

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Ω là tập con đo được của Rn, với p ∈ [1, +∞) ta

ký hiệu

Lp(Ω) =







f : Ω → R hoặcC
, f đo được và

Z

Ω

|f (x)|pdx < +∞







Khi đó Lp(Ω) là không gian Banach với chuẩn

kf kp = kf kLp (Ω) =



 Z

Ω

|f (x)|pdx





1/ p , f ∈ Lp(Ω)

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức H ¨older)(Xem [3] Bổ đề 1.9) Giả sử f ∈

Lp(Ω) , g ∈ Lq(Ω) với 1p + 1q = 1 và p, q ∈ [1, +∞) Khi đó

kf.gk1 ≤ kf kp.kgkq

Ta nói rằng hàm đo được f bị chặn thực sự trên Ω nếu tồn tại hằng số

c > 0 sao cho

|f (x)| ≤ c hầu khắp nơi x ∈ Ω

Hằng số c nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức này thỏa mãn được ký hiệu là

kf k∞

Ký hiệu L∞(Ω) là tập hợp các hàm bị chặn thực sự trên Ω, là không gian Banach xác định với chuẩn kf k∞

kf k∞ = essinf {c : µ {x ∈ Ω : |f (x)| > c} = 0} , trong đó µ là độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.2.2 Với p ∈ [1, +∞) ta định nghĩa

L1loc(Ω) = {f : f ∈ Lp(K) , ∀K ⊂⊂ Ω}

Kí hiệu (K ⊂⊂ Ω) nghĩa là K là tập compact trong Ω

Nhận xét 1.2.1 • Nếu Ω là tập hợp mở trong Rn và p ∈ [1, +∞) thì

C0∞(Ω) trù mật trong Lp(Ω)

• Nếu meas(Ω) < +∞ (meas(Ω) ký hiệu độ đo Lebesgue của Ω) và

1 ≤ q < p ≤ ∞ thì không gian Lp(Ω) nhúng liên tục vào Lq(Ω), được

kí hiệu là Lp(Ω) ,→ Lq(Ω) và ta có

kf kq ≤ (meas(Ω))1p − 1

q.kf kp, ∀f ∈ Lp(Ω) Mệnh đề 1.2.1 • Giả sử dãy {fn} hội tụ đến f trong Lp(Ω) Khi đó

tồn tại dãy con {fnk} hội tụ đến f hầu khắp nơi và tồn tại g(x) ∈

Lp(Ω), g(x) ≥ 0 sao cho

|fnk (x)| ≤ g (x) hầu khắp nơi trong Ω

• (Định lý hội tụ trội) Giả sử {fn} là dãy các hàm khả tích trên Ω,

fn → f hầu khắp nơi và giả sử tồn tại g(x) ∈ L1(Ω) , |fn(x)| ≤ g (x) Khi đó

lim

n→+∞

Z

Ω

fn(x) dx =

Z

Ω

f (x) dx

Trước hết, ta có định nghĩa không gian H ¨older

Định nghĩa 1.2.3 (Không gian H ¨older) Hàm f : Ω → R (hoặc C) được gọi là liên tục H ¨older với chỉ số γ (0 < γ ≤ 1) nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho bất đẳng thức

|f (x) − f (y)| ≤ ckx − ykγ

Ω

thỏa mãn với mọi x, y ∈ Ω

Tập hợp tất cả các hàm liên tục H ¨older với chỉ số γ được ký hiệu là

C0,γ Ω

C0,γ Ω
là không gian Banach theo chuẩn

kf kC0,γ(Ω) = sup

x∈Ω

|f (x)| + sup

x,y∈Ω x6=y

|f (x) − f (y)|

kx − ykγ .

Định nghĩa 1.2.4 (Không gian Sobolev) Giả sử Ω = (a, b) là một khoảng

mở trong R và cho p ∈ [1, +∞)

Không gian Sobolev W1,p(Ω) được định nghĩa như sau

W1,p(Ω) =







u ∈ Lp(Ω) ; ∃g ∈ Lp(Ω) :

Z

Ω

uϕ0dx = −

Z

Ω

gϕdx, ∀ϕ ∈ C0∞(Ω)







Trong không gian W1,p(Ω) ta xác định chuẩn

kukW1,p = kukLp + ku0kLp, trong đó u0 là đạo hàm yếu của u Đôi khi, nếu 1 < p < ∞ thì không gian được trang bị với chuẩn

kukW1,p = kukpLp + ku0kpLp

1/ p

Không gian W1,2(Ω) được trang bị với chuẩn

kukW1,2 (Ω) =kuk2L2 + ku0k2L2

1/ 2 ,

và tích vô hướng

(u, v)W1,2(Ω) = (u, v)L2 + (u0, v0)L2 =

b

Z

a

(uv + u0v0)dx

Khi đó W1,p là không gian Banach và W1,2(Ω) là không gian Hilbert

Mệnh đề 1.2.2 (Xem [3] Bổ đề 8.1) Giả sử f ∈ L1loc(Ω) thỏa mãn

Z

Ω

f ϕ0dx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞(Ω) Khi đó tồn tại một hằng số C sao cho f = C trên Ω

Mệnh đề 1.2.3 (Xem [3] Mệnh đề 8.3) Giả sử u ∈ Lp, trong đó 1 < p < ∞ Khi đó các khẳng định sau là tương đương

• u ∈ W1,p,

• Tồn tại một hằng số C thỏa mãn

Z

Ω

uϕ0

≤ CkϕkLp0 (Ω), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω) , p0 ∈ (1, +∞) ,1

p +

1

p0 = 1.

Mệnh đề 1.2.4 (Xem [3] Hệ quả 4.24) Cho Ω ⊂ R là một tập mở và

u ∈ L1loc(Ω) thỏa mãn

Z

Ω

(uf)dx = 0, ∀f ∈ C0∞(Ω)

Khi đó u = 0 trên Ω

Ký hiệu không gian Banach W01,p(Ω) là bổ sung của C0∞(Ω) theo chuẩn trong W1,p(Ω)

Chúng ta đặt

H = W1,20 (Ω) Khi đó H là không gian Hilbert được trang bị với chuẩn trên W1,2(Ω) Mệnh đề 1.2.5 (Xem [3], Định lý 8.12) Giả sử u ∈ W1,p(Ω) Khi đó

u ∈ W01,p(Ω) khi và chỉ khi u = 0 trên ∂Ω

Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Poincaré, xem [3] Mệnh đề 8.13) Giả sử Ω là khoảng bị chặn Khi đó sẽ tồn tại một hằng số C sao cho

kukW1,p (Ω) ≤ Cku0kLp (Ω), ∀u ∈ W1,p0 (Ω) Mệnh đề 1.2.6 (Định lý nhúng Sobolev)(Xem [6] Định lý 1.2.26) Cho k ∈

N+, p ∈ [1, +∞)

• Nếu k < np thì Wk,p(Rn) ,→ Lp∗(Rn) , p∗1 = 1p − kn.

• Nếu k = np thì

Wk,p(Rn) ,→ Lr(Rn) với r ∈ [p, ∞) ,

Wk,p(Rn) ,→ Lrloc(Rn) với mọi r ≥ 1

• Nếu Nếu k > np thì

Wk,p(Rn) ,→ C0,γ(Rn) với mọi 0 ≤ γ < k − n

p.

Ký hiệu X ,→ Y có nghĩa là X nhúng liên tục trong Y

Mệnh đề 1.2.7 (Định lý nhúng Rellich - Kondrachov)(Xem [6], Định lý 1.2.28) Giả sử Ω là tập hợp mở bị chặn trong Rn, có biên trơn (Lipschitz địa phương), k ∈ N+, p ∈ [1, +∞) Khi đó

• Nếu k < np và q ∈ [1, p∗], trong đó p∗ = n−kppn thì

Wk,p(Ω) ,→,→ Lq(Ω)

• Nếu k = n

p thì

Wk,p(Ω) ,→,→ Lq(Ω) với q ∈ [1, +∞)

• Nếu 0 ≤ γ < k − np thì

Wk,p(Ω) ,→,→ C0,γ Ω

Ở đây X ,→,→ Y có nghĩa là phép nhúng X vào Y là compact

Nhận xét 1.2.2 Trong luận văn này ta áp dụng hai định lý trên trong trường hợp Ω là khoảng hữu hạn và số chiều n = 1

1.3 Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không

gian Banach

Phần này giới thiệu về sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không gian Banach, một trong những khái niệm quan trọng được dùng trong chương 2

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach Kí hiệu X∗ là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Dãy {xn} trong X được gọi là hội

tụ yếu đến x, (kí hiệu xn * x trong X) nếu f (xn) → f (x) ∀f ∈ X∗

Định nghĩa 1.3.2 Sự hội tụ theo chuẩn trong không gian Banach được gọi

là sự hội tụ mạnh

Bổ đề 1.3.1 Nếu xn → x thì xn * x

Chứng minh Giả sử xn → x trong X, tức là lim

n→+∞kxn− xkX = 0 Khi đó [|f (xn) − f (x)| = |f (xn− x)| ≤ kf k kxn− xkX → 0 khi n → +∞

Từ đó f (xn) → f (x) khi n → +∞, với mọi phiếm hàm f ∈ X∗

Theo định nghĩa về sự hội tụ yếu nêu trên ta được xn * x

Ta có các tính chất sau

1 Nếu xn * x, xn * y trong X thì x = y

2 Một dãy hội tụ yếu theo dãy thì bị chặn Hơn nữa, nếu xn * x trong

X thì

kxk ≤ lim inf

n→∞ kxnk

3 Nếu X là không gian Banach phản xạ và {xn} ⊂ X là dãy bị chặn thì tồn tại một dãy con {xnk} của {xn} sao cho

xnk * x trong X

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử A : X → Y là compact và xn * x trong X Khi đó

Axn → Ax trong Y

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Axn * Ax trong Y , tức là cần chứng minh với mọi hàm f ∈ Y∗ thì f (Axn) → f (Ax) Ta có g = foA là ánh xạ tuyến tính từ X vào R và bị chặn

|g (x)| ≤ kf kY∗.kAkL(X,Y ).kxkX Khi đó g ∈ X∗, mà xn * x nên theo định nghĩa về sự hội tụ yếu trong không gian Banach ta có

g(xn) → g(x)

Vì vậy f (Axn) → f (Ax) với f ∈ Y∗

Từ đó

Axn * Ax trong Y

Bây giờ ta giả sử Axn 9 Ax Khi đó tồn tại ε > 0 và dãy {xnk} thỏa mãn

kAxnk − AxkY ≥ ε

Rõ ràng xn * x, A là compact nên tồn tại một dãy con của {xnk} là nxn

kj

o

thỏa mãn

Axn

kj → z nào đó

Do sự hội tụ mạnh dẫn đến sự hội tụ yếu và giới hạn yếu là duy nhất nên

z = Ax Điều này mâu thuẫn với Axn 9 Ax.

Định nghĩa 1.3.3 Một không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu

∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0 : ∀x, y ∈ X, kxk = kyk = 1, kx − yk ≥ ε

thì ta có 1 − x+y2 ≥ δ

Một số tính chất

1 Không gian lồi đều là phản xạ, tức là (X∗)∗ = X.

2 Các không gian Hilbert, không gian Lp(Ω), không gian W1,p(Ω) với

1 < p < +∞ là những không gian lồi đều

3 Nếu X là không gian Banach lồi đều, xn * x và kxnk → kxk thì

xn → x trong X

khả vi trong không gian Banach Điều kiện Coercive của phiếm hàm

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu điểm cực trị toàn cục

là điều kiện Coercive và tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm

Định nghĩa 1.4.1 Ta xét phiếm hàm dạng tích phân

f (u) =

Z

Ω

F (x, u, ∇u) dx, với u ∈ W01,p(Ω) ,

trong đó Ω là tập mở trong RN Giả sử rằng f (u) thỏa mãn điều kiện Coercive (điều kiện bức), tức là f (u) → +∞ nếu kuk → +∞ Ký hiệu

m = inf

u∈W1,p0 (Ω)

f (u)

Chọn dãy {uk} ⊂ W1,p0 (Ω) sao cho f (uk) → m khi k → +∞ Dãy {uk} như vậy được gọi là dãy cực tiểu của phiếm hàm f Vì f thỏa mãn điều kiện bức, ta suy ra dãy {uk} là dãy bị chặn trong W1,p0 (Ω) Do 1 < p < +∞ nên W1,p0 (Ω) là không gian phản xạ và đối ngẫu của nó là W−1,q(Ω), với

1

p + 1q = 1, cho nên từ dãy {uk} ta có thể trích ra một dãy con ukj hội tụ yếu tới u trong W1,p0 (Ω) Tuy nhiên, ta không thể khẳng định được rằng

f (u) = lim f ukj
,

do đó không thể suy ra u là điểm cực tiểu, tức là không thể suy ra f (u) = m Như vậy, nếu phiếm hàm f liên tục theo sự hội tụ yếu thì f (u) = m Nhưng điều kiện này ấn định lên phiếm hàm f là một điều kiện khá mạnh mà dưới đây ta có thể thay bằng một điều kiện khác yếu hơn như sau

Định nghĩa 1.4.2 Cho M ⊂ X := W01,p(Ω) Ta nói phiếm hàm f (u), u ∈ X

là nửa liên tục dưới yếu tại điểm u ∈ M nếu với bất kì dãy {uk}∞k=1 thỏa mãn

uk * u0,

ta có

f (u0) ≤ lim inf

k→∞ f (uk) Chúng ta nói f nửa liên tục dưới yếu trên M ⊂ X nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm u ∈ M

Ta thấy rằng nếu dãy {uk} là dãy cực tiểu của phiếm hàm f và f là nửa liên tục dưới yếu thì

f (u) ≤ inf

u∈W1,p0 (Ω)

f (u)

Vì u ∈ W1,p0 (Ω) nên f (u) ≥ m, từ đó suy ra f (u) = m, tức là f đạt cực tiểu trong W1,p0 (Ω)

Sau đây ta sẽ đưa ra điều kiện đủ để cho phiếm hàm bị chặn dưới và đạt cực tiểu

Mệnh đề 1.4.1 (Nguyên lý cực tiểu) Cho M là một tập compact yếu, khác rỗng, nằm trong X và F là một phiếm hàm nửa liên tục dưới yếu trong M Khi đó F bị chặn dưới trong M và tồn tại u0 ∈ M thỏa mãn

F (u0) = min

u∈MF (u) Chứng minh Giả sử {un}∞n=1 ⊂ M và F (un) & inf

u∈MF (u)

Do M là tập compact yếu nên tồn tại u0 ∈ M và dãy con {unk}∞k=1 ⊂ {un}∞n=1 thỏa mãn

unk * u0

Từ giả thiết trên đối với F ta có

inf

u∈MF (u) ≤ F (u0) ≤ lim inf

k→∞ F (unk) = lim

n→∞F (un) = inf

u∈MF (u)

Từ đó

F (u0) = inf

u∈MF (u) > −∞

Hệ quả 1.4.1 (Xem [6] Hệ quả 6.2.5) Cho M ⊂ X, F : X → R và u0 là điểm thỏa mãn nguyên lý cực tiểu Hơn nữa u0 ∈ intM Nếu δF (u0; v) tồn tại, với v ∈ X thì

δF (u0; v) = 0

cực trị của phiếm hàm

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm là khảo sát bài toán cực trị Mục tiêu chính của phần này là trình bày diều kiện cần và điều kiện đủ cho hàm số thực có cực trị địa phương Một trong những công cụ nổi tiếng nhất đó là điều kiện cần Euler, Lagrange và điều kiện đủ Lagrange

Định nghĩa 1.5.1 Cho không gian Banach X và phiếm hàm f : X → R

Ta nói rằng f đạt cực tiểu (tương ứng cực đại) địa phương tại điểm a ∈ X nếu tồn tại một lân cận U của a sao cho ta có f (x) ≥ f (a) (tương ứng

f (x) ≤ f (a)) ∀x ∈ U

Nếu f đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại địa phương tại a thì ta nói f đạt cực trị địa phương tại a

cực trị phi? ??m hàm

Một ứng dụng quan trọng đạo hàm khảo sát tốn cực trị Mục tiêu phần trình bày diều kiện cần điều kiện đủ cho hàm số thực có cực trị địa phương Một cơng cụ tiếng...

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Axn * Ax Y , tức cần chứng minh với hàm f ∈ Y∗ f (Axn) → f (Ax) Ta có g = foA ánh xạ tuyến tính từ X vào R bị...

khả vi không gian Banach Điều kiện Coercive phi? ??m hàm

Một công cụ quan trọng để nghiên cứu điểm cực trị toàn cục

là điều kiện Coercive tính nửa liên tục yếu phi? ??m hàm