toán nhóm 3 đạo hàm

Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm Bài toán: Xét chuyển động của chất điẻm trên trục s’o s.. Quãng đường của chuyển động là hàm số của thời gian s=st.. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hà

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM

1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

= 0

0

( ) - ( )-

tb

s t s t v

t t

I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM

1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Bài toán: Xét chuyển động của chất điẻm trên trục s’o s Quãng đường

của chuyển động là hàm số của thời gian s=s(t) Tính vận tốc tức thời

của chuyển động tại thời điểm t0

+ Trong khoảng thời gian t-t 0 chất điểm đi được quãng đường: s(t)-s(t 0 )

Chất điểm cđ không đều vận tốc trung bình là:

+Nếu t càng gần tO thì v tb càng gần v(t 0 ) Vậy vận tốc tức thời tại t 0 là:

0

( ) ( )( ) lim

t t

s t s t

v t

t t

0 0

0

( ) ( ) ( ) lim

0

( ) ( )( ) lim

0

( ) ( ) ( ) lim

( ) ( ) lim

I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM

1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

2 Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm:

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tỉ số khi x dần đến

gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm , kí hiệu là:

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM

1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

2 Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm:

3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại x 0, tính

là số gia tương ứng của hàm sốBước 2: Tính

Bài tập :Tính đạo hàm của hàm số

bằng định nghĩa:

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

0

( ) ( ) '( ) lim

Bài về nhà

Cuộc Sống Có Cần Đạo Hàm?

Ứng dụng hàm trong vật lý

• Trong bài toán điện, sức điện động cảm ứng là đạo hàm của từ thông biến thiên.Trong

tụ điện thì dòng điện là đạo hàm của điện áp

Ứng dụng trong hoá học

• Vận tốc phản ứng tức thời tại một thời điểm bất kì

Ứng dụng trong sinh học

• Sự tăng trưởng dân số theo thời gian

Ứng dụng của đạo hàm vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có.

Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, đến các bài toán trong các quá trình khoa học

xã hội

VD:

• Trong ngành cơ học lưu chất thì lưu lượng là đạo hàm của khối lượng lưu chất.

• Đạo hàm được ứng dụng trong các bài toán cực trị trong kinh tế hay là các bài toán về tối ưu hóa trong kinh tế

• Đạo hàm là một phép tính cơ bản tiền đề cho việc xây dựng toán học cao cấp tiền đề cho những môn học như giải tích hàm,giải tích phức , phương trình vi phân đạo hàm riêng….

4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

a) Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì

nó liên tục tại x0

hay không ?

Ví dụ 1:

Cho hàm số:

a) Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

* Tính liên tục:

* Tính đạo hàm

Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 0

f(x)=-x^2 f(x)=x

f(x)=0 x(t)=0, y(t)=t

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

x y

y = -x 2

y = x

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

1 Hàm số y=s inx có đạo hàm trên R, và

(s inx)′ = cos x

2 Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên D thì trên D ta có:

3 Tương tự như trên mở rộng ta có:

[(Sinun) ’] = n.(Sinu)n-1.(sinu)′

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y=sin(x3−x+2)

Giải: [sin(x3−x+2)]′=[cos(x3−x+2)].(x3−x+2)′=(3x2−1)cos(x3−x+2)

1 Hàm số y=cosx có đạo hàm trên R, và

(cosx)′ = -sin x

2 Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên D thì trên D ta

có:

(cosu)′ = -(u′).sinu

3 Tương tự như trên mở rộng ta có:

[(cosun) ’] = n.(cosu)n-1.(cosu)′

1 Hàm số lượng giác y=tanx có đạo hàm trên mỗi khoảng ( ;

) ; (tanx)’=

2 Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên D và

u(x) ≠ với mọi x∈ D Khi đó trên D ta có :

1 Hàm số lượng giác y=cotx có đạo hàm trên mỗi khoảng ( ;

) ; (cotx)’=

2 Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên D và

u(x) ≠ với mọi x ∈ D Khi đó trên D ta có :

u u

−

1

[(cotu) ]' = n.(cotu) (cot ) ' n n − u

ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

0 w v u0 0

1 sin

1 sin

x y

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

 Lập phương trình tiếp tuyến:

 Loại 1: Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x 0 ;y 0 ) (C).

 Loại 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

 Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước.

∈

+ f′ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

là:

y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 )

0 0 0

y y − = f '(x )(x x ) −(C)

- Tính y’ = f’(x) Rồi tính f’(x0)

+ Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm

+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức.

Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

biết tiếp tuyến có hệ số góc k:

Vấn đề 3 : Viết phương trình tiếp

tuyến (d) với (C) ,biết (d) đi qua điểm

( x1 , y1 ).

• Bước 1: Gọi (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm (với y 0 =f(x 0 )).

• Bước 2 : Phương trình tiếp tuyến (d) qua A(x 1 ,y 1 ) y 1 - y 0 = f’( x 0 )(x 1 –x 0 ) (1)

• Bước 3: Giải phương trình (1) với ẩn là x 0 , rồi tìm y 0 = f(x 0 ) và f’(x 0 )

• Bước4: Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).

CHUYÊN ĐỀ: VI PHÂN

CHÚ Ý

Ví dụ: tính vi phân của các hàm số

sau

II ỨNG DỤNG VI PHÂN VÀO PHÉP TÍNH

GẦN ĐÚNG

Ví dụ

Đạo hàm cấp 2, cấp 3

Đạo hàm cấp n