Dạy học giải toán ứng dụng đạo hàm của hàm số theo hướng tăng cường rèn luyện kĩ năng thực hành cho học sinh trung học phổ thông luận văn thạc sĩ toán học

Chương trình môn Toán trường trung học phổ thông đã chỉ rõ “Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cầ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo

TS Chu Trọng Thanh – người thầy đã tận tâm, nhiệt tình hướng dẫn tôi trong suốt qúa trình thực hiện luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán, các thầy cô giáo trong khoa Toán, phòng Sau Đại học – Trường Đại Học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt qúa trình học tập và thực hiện đề tài.

Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên, khích lệ, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, đồng nghiệp và các bạn đọc.

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN VÀ ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC 5

1.1.1 Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp dạy học 5

1.1.2 Một số giải pháp chung đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông 6 1.1.3 Nhiệm vụ dạy học môn toán 9

1.1.4 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán 10

1.2 KĨ NĂNG THỰC HÀNH TOÁN HỌC VÀ VAI TRÒ CỦA VIỆC RÈN LUYỆN KĨ NĂNG THỰC HÀNH TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC 11

1.2.1 Khái niệm kỹ năng 11

1.2.2 Kĩ năng thực hành 15

1.2.3 Sự hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 19

1.2.4 Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 21

1.2.5 Vai trò của việc rèn luyện kĩ năng thực hành toán học trong dạy học .25 1.3 THỰC TRẠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG THỰC HÀNH TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 27

1.3.1 Một số số liệu điều tra 27

1.3.2 Thực trạng rèn luyện kĩ năng thực hành toán học cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường phổ thông 29

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 30

CHƯƠNG 2: DẠY HỌC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG THỰC HÀNH CHO HỌC SINH 31

2.1 KHÁI QUÁT VỀ CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 31

2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số 31

2.1.2 Tìm cực trị của hàm số 32

2.1.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 35

2.1.4 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số 36

2.1.5 Tính giới hạn của hàm số 37

2.1.6 Chứng minh bất đẳng thức 38

2.2 VỊ TRÍ CỦA DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 39

2.2.1 Chương trình Giải tích 12 39

2.2.2 Vị trí và tầm quan trọng của chủ đề “ứng dụng đạo hàm của hàm số” trong chương trình phổ thông 42

2.3 CÁC ĐỊNH HƯỚNG RẨN LUYỆN KĨ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH 44

2.3.1 Những căn cứ đề xuất các định hướng rèn luyện kĩ năng thực hành toán học chủ đề ứng dụng đạo hàm 44

2.3.2 Các định hướng rèn luyện kĩ năng thực hành toán học chủ đề ứng dụng đạo hàm 45

2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 104

CHƯƠNG 3: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 105

3.1 MỤC ĐÍCH THỬ NGHIỆM 105

3.2 TỔ CHỨC VÀ NỘI DUNG THỬ NGHIỆM 105

3.2.1 Tổ chức thử nghiệm 105

3.2.2 Nội dung thử nghiệm 106

3.3 ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 108

3.3.1 Đánh giá định tính 108

3.3.2 Đánh giá định lượng 108

3.4 KẾT LUẬN VỀ THỬ NGHIỆM 109

KẾT LUẬN CHUNG 111 Tµi liÖu tham kh¶o 112

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Trong công cuộc đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay, việc đổi mới

phương pháp dạy học đóng vai trò rất quan trọng Quan điểm chung của đổimới phương pháp dạy học là tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động vàbằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo Vai trò của giáo viênđược xác định là người tổ chức, người hướng dẫn, người cố vấn cho hoạtđộng học của học sinh, người học sinh là chủ thể của hoạt động học tập.Thông qua quá trình dạy học, học sinh thu nhận được kiến thức, rèn luyệnđược các kỹ năng, phát triển tư duy và hình thành nhân cách, thái độ của conngười trong thời đại mới Khi đánh giá kết quả học tập của học sinh cần xemxét một cách toàn diện tất cả các mặt đó Hiệu quả của quá trình dạy học phụthuộc vào mức độ tích cực, chủ động của học sinh trong hoạt động nhận thức,hoạt động học Phương pháp dạy học như vậy coi trọng hoạt động nhận thứccủa học sinh hay nói cách khác là lấy người học làm trung tâm

1.2 Chương trình môn Toán trường trung học phổ thông đã chỉ rõ

“Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống…, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác…”

Đối với học sinh trung học phổ thông, kĩ năng thực hành giải Toánthường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗibài toán Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trongsáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà điều quantrọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các tuyến kiến thức, các phân

môn toán học khác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào các tìnhhuống khác nhau do bài toán đặt ra

1.3 Dạy Toán ở trường phổ thông không chỉ là dạy kiến thức, mà còn

dạy cả kĩ năng thực hành, tư duy và tính cách Trong các nhiệm vụ đó, việcdạy và phát triển cho học sinh các kỹ năng thực hành giải toán và ứng dụngkiến thức toán là rất quan trọng, bởi vì không có kĩ năng thực hành thì khôngphát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được yêu cầu giải quyết vấn

đề Tác giả Trần Khánh Hưng cho rằng: “Kĩ năng thực hành là một trong

những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Dạy học

sẽ không có kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lí

mà không biết vận dụng giải toán”

Qua khảo sát thực tiễn dạy học Toán ở các trường phổ thông cho thấy,việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải Toán cho học sinh đã được các giáoviên chú ý Việc làm này đòi hỏi phải có tính hệ thống và được thực hiện mộtcách tỷ mỉ, kiên nhẫn Để đạt được hiệu quả cao trong vấn đề rèn luyện kĩnăng cho học sinh cần có những nghiên cứu cả về lý luận và kỹ thuật dạy họccác nội dung cụ thể

1.4 Chủ đề “Ứng dụng đạo hàm của hàm số” là một trong những chủ đề

có vị trí quan trọng của chương trình môn Toán trung học phổ thông Chủ đề nàychiếm một thời lượng dạy học khá lớn so với chương trình môn Giải tích Kiến

thức và kỹ năng trong chủ đề “Ứng dụng đạo hàm của hàm số” mang tính tổng

hợp Đây cũng là chủ đề được ứng dụng rộng rãi trong nhiều chủ đề thuộcchương trình môn Toán và các môn học khác Kiến thức và kỹ năng ứng dụngđạo hàm của hàm số còn được vận dụng vào giải quyết nhiều vấn đề của thựctiễn Trong việc đánh giá năng lực và kết quả học tập của học sinh phổ thông,theo chương trình PISA người ta quan tâm nhiều đến đánh giá kỹ năng thựchành và vận dụng kiến thức vào các tình huống đa dạng Điều này cho thấy việcrèn luyện kĩ năng thực hành trong dạy học các ứng dụng của các tuyến kiến thứcnói chung, tuyến kiến thức đạo hàm của hàm số nói riêng, cần được quan tâm

Trong các tài liệu nghiên cứu lý luận dạy học đã có những công trình đềcập đến việc rèn luyện kĩ năng thực hành cho học sinh trong dạy học môntoán Tuy nhiên việc đề cập một cách đầy đủ đến vấn đề kĩ năng thực hành

trong dạy học giải toán ứng dụng đạo hàm của hàm số trong chương trìnhtoán bậc trung học phổ thông còn cần được quan tâm

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Dạy học giải toán ứng dụng đạo hàm của hàm số theo hướng tăng cường rèn luyện kĩ năng thực hành cho học sinh trung học phổ thông”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của luận văn: Thông qua việc rèn luyện kĩ năng thực hànhcho học sinh trong quá trình dạy học giải toán ứng dụng đạo hàm của hàm sốgóp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các kĩ năng thực hành ứng dụng đạo hàm của hàm số vàvấn đề dạy học giải toán theo hướng rèn luyện kĩ năng thực hành

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu khai thác được các dạng ứng dụng của đạo hàm và tổ chức cácdạng hoạt động để rèn luyện kĩ năng thực hành cho học sinh trong dạy họcgiải toán chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số thì sẽ góp phần nâng cao chấtlượng dạy học toán ở trường trung học phổ thông

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

5.1 Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng thực hành toán học

5.2 Điều tra khảo sát thực trạng rèn luyện kĩ năng thực hành cho học sinhđối với nội dung “ứng dụng đạo hàm của hàm số” ở trường trung học phổ thông

5.3 Xác định hệ thống các kĩ năng toán học cơ bản và kĩ năng vận dụngkiến thức chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số

5.4 Đề xuất các định hướng rèn luyện kĩ năng thực hành toán học chohọc sinh khi dạy học giải toán có ứng dụng đạo hàm của hàm số

5.5 Tổ chức thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng hiệu quả các đề xuất

6 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

6.1 Nghiên cứu về kĩ năng thực hành toán học

6.2 Nghiên cứu các vấn đề về nội dung dạy học đối với chủ đề “ứngdụng đạo hàm của hàm số” ở trường trung học phổ thông

6.3 Khảo sát thực tiễn dạy học chủ đề “ứng dụng đạo hàm của hàm số”

ở một số trường trung học phổ thông thuộc tỉnh Thanh Hóa

7 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

7.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về các lĩnh vực Toánhọc, phương pháp dạy học môn toán, giáo dục học, các tài liệu, bài viết cóliên quan đến đề tài luận văn

7.2 Nghiên cứu thực tiễn: Điều tra quan sát thực trạng dạy và học môntoán nói chung và chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số nói riêng ở một sốtrường trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa

7.3 Thử nghiệm sư phạm: Tổ chức thử nghiệm sư phạm để xem xéttính khả thi và hiệu quả của đề tài

8 ĐÓNG GÓP LUẬN VĂN

Làm sáng tỏ các kĩ năng thực hành toán học liên quan đến chủ đề “ứngdụng đạo hàm của hàm số”, đưa ra các định hướng chủ đạo nhằm rèn luyệncác kỹ năng đó cho học sinh trong quá trình dạy học giải toán ứng dụng đạohàm của hàm số

CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Mở đầu

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương2: Dạy học giải toán Ứng dụng đạo hàm của hàm số theo hướng tăng cường rèn luyện kĩ năng thực hành cho học sinh

Chương3: Thử nghiệm sư phạm

Kết luận của luận văn

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔNTOÁN VÀ ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

1.1.1 Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp dạy học

Trong luật giáo dục Nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã nêurõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng, tư duy sáng tạo của người học; Bồi dưỡng cho người học năng lực tựhọc, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật giáodục 2005, chương 1, điều 5)

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trongNghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1-1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóaVII (12-1996), được thể chế hóa trong luật giáo dục (2005), được cụ thể hóatrong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4-1999)

Luật Giáo dục, điều 28.2 (Luật giáo dục năm 2005), đã ghi “Phươngpháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sángtạo của học sinh; Phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; Bồidưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thựctiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giảiquyết mâu thuẫn yêu nhu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậuphương pháp dạy học ở nước ta hiện nay

Sự phát triển của xã hội đang đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục

và đào tạo Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế kế hoạch hoá tập trungsang kinh tế thị trường có sự quản lí của nhà nước Công cuộc đổi mới này đề

ra những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống giáo dục đòi hỏi chúng ta, cùngvới những thay đổi về nội dung, cần có những thay đổi mới căn bản vềphương pháp dạy học Trong tình hình hiện nay việc dạy học theo kiểu thuyếttrình, truyền thụ một chiều vẫn đang diễn ra phổ biến Nhiều thầy giáo vẫnchưa từ bỏ lối dạy cũ: thầy nói nhiều mà không kiểm soát được việc học củahọc trò, trò tiếp thu bài thụ động, hoàn toàn lệ thuộc vào thầy trong quá trình

học tập Hậu quả tất yếu của lối dạy học này là năng lực thực hành, năng lựcsuy nghĩ và hoạt động độc lập của học sinh yếu, kém.

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội côngnghiệp hoá, hiện đại hoá, với thực trạng lạc hậu của phương pháp dạy học đãlàm nảy sinh và thúc đẩy cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất

cả các cấp trong ngành giáo dục và đào tạo từ nhiều năm nay Tư tưởng chủđạo của quá trình đổi mới này là “Tích cực hóa hoạt động học tập của họcsinh”; “Hoạt động hoá người học”; “Dạy học tích cực” … Những ý tưởng nàyđều bao hàm yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy đổi mới phương pháp dạyhọc nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo, tạo tiền đề cho Việt Namhoà nhập vào cộng đồng quốc tế

1.1.2 Một số giải pháp chung đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông

1 Sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học truyền thống phổ biến theo hướng phát huy các yếu tố tích cực của các phương pháp đó, làm cho tính chủ động học tập của học sinh được từng bước nâng cao

Các phương pháp dạy học truyền thống như thuyết trình, đàm thoại, sửdụng phương tiện trực quan,… chứa đựng những yếu tố tích cực, ưu điểmnhất định Hiện nay các phương pháp dạy học này vẫn còn được sử dụng phổbiến trong dạy học ở các trường phổ thông Về bản chất, hoạt động dạy họctrong các phuơng pháp này diễn ra theo kiểu giải thích – minh họa, hay thôngbáo thu nhận, tác dụng phát triển tính tích cực, chủ động của học sinh khôngcao Tuy nhiên, nếu giáo viên biết khai thác các yếu tố tích cực, các ưu điểmcủa các phương pháp này và phối hợp một cách hợp lí trong quá trình dạy họcthì có thể cải thiện tình hình học tập của học sinh Để khắc phục nhược điểmthụ động trong học tập, giáo viên dựa vào vốn tri thức, kĩ năng và khả nănghọc tập của học sinh để đưa ra các tình huống học tập hấp dẫn, đề ra các câuhỏi, bài tập phù hợp và có nâng cao hơn so với khả năng hiện có của học sinh,đòi hỏi các em phải có một sự cố gắng trong học tập, nỗ lực về trí tuệ để hoànthành, nhờ vậy tư duy được phát triển, tính tích cực học tập được đề cao

2 Tích cực sử dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

Dạy học giải quyết vấn đề là phương pháp trong đó giáo viên đặt ratrước học sinh một (hay hệ thống) vấn đề nhận thức, đưa học sinh vào tìnhhuống có vấn đề, sau đó giáo viên phối hợp cùng học sinh (hoặc hướng dẫn,điều khiển học sinh) giải quyết vấn đề, đi đến những kết luận cần thiết của nộidung học tập Phương pháp giải quyết vấn đề được tiến hành theo một trình tựgồm: Đặt vấn đề và đưa học sinh vào tình huống có vấn đề, giải quyết vấn đề,kết luận

Dạy học giải quyết vấn đề không phải chỉ sử dụng đối với bài mới trênlớp, mà còn được sử dụng để củng cố, ôn tập và học bài ở nhà của học sinh.Dạy học giải quyết vấn đề có thể thực hiện xen kẽ hay kết hợp với cácphương pháp dạy học khác

3 Tăng cường vận dụng các phương pháp dạy học tiên tiến đề cao chủ thể nhận thức của học sinh, bao gồm:

* Dạy học thông qua khảo sát, điều tra (hay nghiên cứu): Phương pháp

khảo sát, điều tra được tiến hành theo qui trình có các bước:

- Xác định vấn đề; đưa ra các giả thuyết

- Thu thập tư liệu, số liệu, dữ kiện thích hợp

- Sắp xếp, phân tích số liệu, tư liệu , hệ thống hóa;

- Đối chiếu với giả thuyết và rút ra kết luận, khái quát hóa vấn đề

* Thảo luận: Thảo luận là phương pháp học sinh mạn đàm, trao đổi với

nhau xoay quanh một vấn đề được đặt ra dưới dạng câu hỏi, bài tập, Trongphương pháp này, học sinh giữ vai trò tích cực, chủ động tham gia thảo luận;giáo viên giữ vai trò nêu vấn đề, gợi ý, kiến thiết và tổng kết

*Động não: Phương pháp này thực hiện theo các bước:

- Nêu tên đề tài, chủ đề, vấn đề (có thể gắn với phương tiện trực quan)

và đặt câu hỏi kích thích suy nghĩ của học sinh

- Yêu cầu cả lớp động não Ghi ý kiến của mình bằng thẻ vào giấy nhỏghim lên bảng, hoặc từng người một trình bày ngắn gọn trước lớp ý kiến củamình Không nhận xét, đánh giá các ý kiến đó

- Sau khi không còn ý kiến nữa, có thể nhóm các ý kiến lại và đánh giákhái quát về công dụng và tính khả thi

- Tranh luận: Trong bài học có một số vấn đề có thể làm xuất hiện hai(hoặc nhiều) cách giải quyết khác nhau Giáo viên có thể nêu ra các khả nănggiải quyết, sau đó đặt câu hỏi chung cho toàn lớp và lấy ý kiến (bằng cách đưatay) để phân loại số em theo cách này, số em theo cách khác Sau đó, giáoviên đặt câu hỏi “Tại sao em chọn cách này mà không chọn cách khác?” đểhọc sinh theo cách khác nhau tranh luận với nhau

4 Sử dụng phương tiện dạy học theo hướng đề cao vai trò chủ thể nhận thức của học sinh

Phương tiện dạy học thực sự là nguồn tri thức, đòi hỏi một sự khámphá, tìm tòi của người học Từ đó dẫn đến việc sử dụng các phương tiện trựcquan trong dạy học cũng phải theo hướng mới: đó là xem chúng như công cụ

để giáo viên tổ chức chỉ đạo hoạt động nhận thức của học sinh, đồng thời xemchúng là nguồn tri thức để học sinh tìm tòi, khám phá, rút ra những nội dungcần thiết cho nhận thức của mình Phương tiện dạy học hiện đại tạo điều kiệnrộng rãi cho dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức của họcsinh

5 Phối hợp các hình thức tổ chức dạy học một cách linh hoạt

Trong dạy học ở trường phổ thông có nhiều hình thức tổ chức khácnhau như: dạy học cá nhân, dạy học theo nhóm, dạy học theo lớp, dạy họcngoài trời, trò chơi học tập, tham quan, khảo sát địa phương, ngoại khóa, Mỗi hình thức tổ chức dạy học có chức năng và ý nghĩa khác nhau đối vớiviệc thực hiện các nhiệm vụ dạy học đòi hỏi phải phối hợp chúng một cáchlinh hoạt

6 Kết hợp nhiều loại hình kiểm tra, đánh giá trong dạy học

Một bài kiểm tra cần đạt các yêu cầu sau:

- Nội dung kiểm tra là những kiến thức và kĩ năng cơ bản, trọng tâmcủa bài, chương, có ý nghĩa thiết thực đối với học sinh

- Chú trọng cả kiến thức, kĩ năng, thái độ Trong kiến thức có cả câuhỏi sự kiện, kiểm tra trí nhớ và câu hỏi suy luận

- Độ khó của bài phù hợp với chuẩn đánh giá của môn học, nội dungbài làm phù hợp với thời lượng qui định

- Có sự phân hóa học sinh, tạo cơ hội bộc lộ sự sáng tạo của các em

1.1.3 Nhiệm vụ dạy học môn toán

Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ vị trí hết sức quan trọng vì

nó là môn học công cụ tri thức có tính trừu tượng và tính thực tiễn phổ dụng.Những tri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để học tập và dùng rộngrãi trong những môn học khác, đồng thời nó cũng là công cụ để nghiên cứunhiều ngành khoa học khác, là công cụ để tiến hành các hoạt động trong cuộcsống Cùng với tri thức môn toán cung cấp cho học sinh những kĩ năng như

vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năng đọc và vẽ biểu đồ, kĩ năng đo đạc ướclượng kĩ năng sử dụng các công cụ toán học và máy tính điện tử

Môn Toán còn hình thành và phát triển những phương pháp, phươngthức tư duy, hoạt động cho học sinh như toán học hóa tình huống thực tế, thựchiện và xây dựng thuật toán, phát hiện và giải quyết vấn đề

Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng toán họccần thiết, môn toán còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phântích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Rèn luyện những đức tínhphẩm chất người lao động mới đó là tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷluật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ…

Từ những đặc điểm và vị trí của môn Toán, trong quá trình dạy học,người thầy cần xác định rõ nhiệm vụ của việc dạy học toán đó là: Truyền thụkhiến thức, rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thựctiễn, cụ thể là cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức,

kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản và hiện đại sát với thựctiễn Theo tinh thần giáo dục tổng hợp, dạy toán cần hướng đến trau dồi chohọc sinh khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập cácmôn học khác, vận dụng vào đời sống lao động sản xuất, chiến đấu tạo tiềmlực tiếp thu khoa học kĩ thuật Nhiệm vụ của môn toán chính là:

- Trang bị kiến thức, rèn luyện kĩ năng

- Phát triển năng lực trí tuệ chung

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và tính thẩm mỹ

- Bảo đảm chất lượng phổ thông, đồng thời chú trọng phát hiện và bồidưỡng năng khiếu toán cho học sinh

Xuất phát từ mục tiêu chung của nhà trường Việt Nam, từ đặc điểm,vai trò, vị trí và ý nghĩa của môn toán, việc dạy học môn toán có các mụctiêu chung sau đây:

+ Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp toánhọc phổ thông cơ bản, thiết thực.

+ Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực, trí tuệ, hìnhthành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống

+ Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách laođộng khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thườngxuyên

+ Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung họcchuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướngphân ban

- Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học môn Toán người thầy cần chú trọngphối hợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hình thức truyền thụ kiến thức đểđạt được những mục đích đề ra

1.1.4 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán

Sự cấp thiết của việc cần phải đổi mới phương pháp dạy học đã đượcchỉ rõ trong các văn bản mang tính pháp lí của Đảng, Nhà nước và Bộ Giáodục - Đào tạo Định hướng chung của việc đổi mới phương pháp dạy học đãđược xác định là: Phương pháp dạy học phải hướng vào việc tổ chức chongười học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sángtạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Để đạt được những mục tiêu dạy học môn toán, cần phải đổi mớiphương pháp dạy học Công cuộc đổi mới này đề ra những yêu cầu mớiđối với hệ thống giáo dục, điều đó đòi hỏi chúng ta, cùng với những thayđổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về phương pháp dạy học

Các định hướng đổi mới phương pháp dạy học được thể hiện qua 6hàm ý sau đây đặc trưng cho phương pháp dạy học hiện đại:

1 Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập được thể hiện độc lập hoặc trong giao lưu.

2 Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm

3 Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.

4 Tự tạo và khai thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng sức mạnh của con người.

5.Tạo n iềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học.

6 Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế,

uỷ thác, điều khiển và thể chế hoá.

Với định hướng đó, dạy học ngày nay phải lấy “Học” làm trung tâm thay vìlấy “Dạy” làm trung tâm như kiểu dạy học trước đây Trong phương pháp dạyhọc như vậy người học vừa là đối tượng của hoạt động “Dạy”, đồng thời làchủ thể của hoạt động “Học” Người học phải được cuốn hút vào các hoạtđộng do giáo viên tổ chức và chỉ đạo Thông qua đó người học tự giác thamgia vào quá trình khám phá những điều mình chưa rõ, chưa biết (trong phạm

vi chương trình dạy học quy định) chứ không phải thụ động tiếp thu những trithức đã được giáo viên sắp đặt Người giáo viên phải có nhiệm vụ kích thíchtính tự giác, tinh thần tự học, tự tìm hiểu của học sinh Khi đứng trước mộtvấn đề, người học không đơn giản chỉ là tiếp thu nó một cách thụ động màphải biết tự đặt câu hỏi cho mình: kiến thức này xuất phát từ đâu? Không aikhác, chính giáo viên là người trả lời những câu hỏi đó hoặc phải là người tổchức, sắp xếp, hướng dẫn học sinh tự tìm hiểu, tự trả lời Từ đó nắm đượckiến thức kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp “làm ra” kiến thức kỹnăng đó, không dập theo một khuôn mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huytiềm năng sáng tạo

1.2 KĨ NĂNG THỰC HÀNH TOÁN HỌC VÀ VAI TRÒ CỦA VIỆC RÈNLUYỆN KĨ NĂNG THỰC HÀNH TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC

1.2.1 Khái niệm kỹ năng

Trong thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức haythực hành nhất định cho con người Để giải quyết được công việc con ngườivận dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt củahiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫntới chỗ giải quyết được nhiệm vụ Với quá trình đó con người dần hình thànhcho mình cách thức (kĩ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra

Có nhiều cách nhìn nhận về kĩ năng dưới nhiều góc độ, nhiều lĩnh vực

khác nhau: Theo giáo trình Tâm lý học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử

dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng

để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”.

Từ điển Tâm lý học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa: “Kĩ năng là

năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng”.

Theo G.Pôlya trong cuốn “Sáng tạo toán học”: Kỹ năng là một nghệthuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mụcđích của mình; kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhấtđịnh; cuối cùng, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp Trong toánhọc, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũngnhư phân tích có phê phán các lời giải và các chứng minh nhận được

Từ điển Tiếng Việt có viết: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến

thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”.

Như vậy ta có thể hiểu rằng: Kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả

một hành động hay một hoạt động nào đó trong những điều kiện nhất định, bằng cách vận dụng và lựa chọn những tri thức và kinh nghiệm đã có.

Trong dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng, chúng ta thấy họcsinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và nhữngnguyên tắc đã lĩnh hội được vào việc giải quyết những bài toán cụ thể Họcsinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đốitượng nhận thức, đồng thời cũng không phát hiện được mối liên hệ bản chấtgiữa tri thức và đối tượng đó Trong trường hợp này tri thức không biến thànhcông cụ của hoạt động nhận thức mà chúng trở thành một khối tri thức chết,không gắn liền với thực tiễn và không biến thành cơ sở của các kĩ năng

Tri thức về các sự vật rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh nhữngthuộc tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặtphù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định

Như vậy, để tri thức trở thành kĩ năng thì cần phải biết lựa chọn và vậndụng đúng vào các tình huống sao cho hành động thực hiện được và đạt đượcmục tiêu

Ví dụ 1.1 Tìm m để hàm số:

y = 1 3 2 ( 2) 1

3x  mx  m x đồng biến trên R.

Có nhiều học sinh trong quá trình giải đã cho rằng y  với' 0)

Để giải bài toán này yêu cầu các em phải có kĩ năng nhận thức rằng: y  với' 0

Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi y  với ' 0 x R, trong đótập hợp các giá trị của x làm cho y’= 0 không tạo nên các khoảng có độ dàilớn hơn 0 trên trục số Vì y’ trong trường hợp này là tam thức bậc 2 nên điềukiện trên đây tương đương với điều kiện y  , ' 0 x R Ta có

0'

y  , x R  x2  2mx m   , 2 0 x R  'x 0  m2  m 2 0



 với x [-2; 0]

Một số học sinh đã làm như sau:

x x y

x





 Bảng biến thiên của y với x [-2; 0]

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy vô lí: Khi x tăng từ

-2

3 đến 0 thì y

1.2.2 Kĩ năng thực hành

Trong tâm lí học, người ta đề cập đến 5 loại kĩ năng của học sinh Đó làcác loại kĩ năng sau đây:

- Kĩ năng nhắc lại (lặp lại): ghi nhớ và tái hiện lại, khôi phục lại một

nội dung kiến thức, một quy trình thao tác, hành động đã được tiếp nhận Kĩnăng này có 3 cấp độ: nhắc lại một cách y nguyên; nhắc lại có sự chuyển đổitrong ngôn ngữ thể hiện; kỹ năng lặp lại các thao tác có tính hệ thống

- Kĩ năng nhận thức: Đây là một tổ hợp gồm nhiều nhóm kĩ năng liên

quan đến các hoạt động đòi hỏi có sự biến đổi những thông tin được cung cấphay tự tìm tòi để tạo ra nhận thức riêng thông qua sự nhận biết, so sánh, phântích, tổng hợp, tổ hợp, sắp xếp, … Kĩ năng nhận thức có thể chia thành các kĩnăng nhận thức có liên hệ với các tri thức sự vật; các kĩ năng nhận thức cóliên quan đến các tri thức phương pháp, tri thức chuẩn và tri thức đánh giá

- Kĩ năng hoạt động chân tay: Đây là loại kĩ năng có liên quan đến sự

vận động, đến các hoạt động của chân, tay với chức năng làm chủ các cảmgiác vận động Các kĩ năng sử dụng các dụng cụ, vẽ hình, cắt, gọt, gấp, thiếtlập mô hình với các loại vật liệu, sử dụng các thiết bị kĩ thuật, … đều thuộcloại này

- Kĩ năng xử sự (ứng xử): Đây là loại kĩ năng của con người thể hiện

cách nhận thức của bản thân mình, cách đánh giá, lựa chọn và ứng xử trướctình huống Việc hình thành các thói quen có liên quan đến các kĩ năng loạinày

- Kĩ năng tự phát triển: Đây là loại kĩ năng liên quan đến cách thức

hoạt động theo dự án Loại hoạt động này thường phức hợp, trải qua nhiềugiai đoạn và các hoạt động mang tính tích hợp

Trong môn Toán hoạt động giải toán mang tính phức hợp và đòi hỏingười học sinh cần có tất cả các loại kĩ năng nói trên Mặt khác, chính hoạtđộng giải toán cũng có tác dụng hình thành và rèn luyện các kĩ năng đó.Chúng tôi tích hợp việc rèn luyện các kĩ năng cho học sinh thông qua dạy họcgiải toán thành hai nhóm: kĩ năng vận dụng kiến thức vào hoạt động giải toán(gọi tắt là kĩ năng giải toán) và kĩ năng vận dụng kiến thức môn toán vào thựctiễn (thông qua hoạt động thực hành và khai thác các bài toán có nội dungthực tiễn)

1.2.2.1 Hoạt động giải toán

Hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt độngtoán học đối với học sinh Khi thực hiện hoạt động này đòi hỏi người học sinh

phải nhớ lại kiến thức đã học, phân tích dữ kiện của bài toán, vận dụng cácquy tắc suy luận, thực hiện các phép biến đổi, thực hiện quá trình tính toán,

đo, vẽ, nhận định, kiểm chứng, … Tóm lại, hoạt động giải toán là cơ hội tốt

để rèn luyện các kỹ năng liên quan đến việc tìm lời giải các bài toán Nó làđiều kiện để thực hiện các mục đích của việc dạy học môn toán ở trường phổthông

Ví dụ 1.3 Khi học sinh đã học định nghĩa đạo hàm thì sẽ rút ra được các bước

tính đạo hàm từ đó xây dựng quy tắc tính, qua quy tắc tính rút ra được côngthức đạo hàm các hàm số cơ bản, hoặc từ những công thức đã có

Từ (sinx)’= cosx, (f(u))’= f’u.u’x ta có thể tính đạo hàm của tất cả cáchàm số được biến đổi về dạng sinu Tính đạo hàm của hàm số y = cosx (Khichưa học đạo hàm của hàm y = cosx) bằng cách biến đổi cosx = sin( - x)

Kĩ năng vận dụng tri thức một cách có hiệu quả vào hoạt động giải toáncủa học sinh còn được huấn luyện trong quá trình học tìm tòi lời giải của bàitoán Quá trình này thường được tiến hành theo bốn bước: tìm hiểu nội dungbài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, kiểm tra vànghiên cứu lời giải tìm được

Trong hoạt động giải toán, cần chú ý rèn luyện cho học sinh kĩ năngchuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, đó là điều kiện quan trọng để nắmvững và vận dụng kiến thức, đó là một phần của tư duy toán học

Trong dạy học, cần chú ý rèn cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều

và ngược chiều song song với nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởngngược diễn ra đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận

1.2.2.2 Hoạt động ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn

Các bài toán có nội dung thực tiễn trong chương trình môn toán đượclựa chọn nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết vận dụng những kiến thức toánhọc trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây hứng thú học tập, giúp họcsinh nắm được ý nghĩa thực tế của nội dung học tập và tránh hiểu các sự kiệntoán học một cách hình thức, xa rời cuộc sống

Để rèn luyện cho học sinh kĩ năng toán học hóa các tính huống thựctiễn và ứng dụng kiến thức toán vào thực tiễn, trong dạy học giáo viên cầnchú ý lựa chọn các bài toán có nội dung thực tế của khoa học, kĩ thuật, của

các môn học khác và nhất là thực tế đời sống thường ngày quen thuộc với họcsinh

Trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông, nhiều giáo viênthường ít quan tâm đến những bài toán có nội dung thực tiễn Các thầy cô cóthể luyện cho học sinh nhiều dạng toán, nhưng chỉ là những dạng mang màusắc toán học một cách thuần túy Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng:Giảng dạy toán học không nên xa rời với thực tiễn “Loại bỏ ứng dụng ra khỏiToán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không

có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào”.[34]

Trong môn Toán ở trường phổ thông, nhiều chủ đề kiến thức có thểkhai thác để rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán họcvào việc giải các bài toán thực tiễn Nội dung chương ứng dụng đạo hàmtrong Giải tích 12 là điều dễ hiểu vì: Lớp 12 là lớp cuối cấp, các kiến thức vềVật lý, Hóa học, Sinh học, Hình học không gian, … đã được học một cáchtương đối đầy đủ Mặt khác, những ứng dụng của đạo hàm cho phép tìm cựctrị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số một cách hiệu quả hơn Dovậy, thông qua việc dạy học chủ đề “Ứng dụng đạo hàm của hàm số” có thểcho học sinh giải những bài toán có nội dung thực tiễn khá hấp dẫn và mangnhiều ý nghĩa Tuy nhiên, trong dạy Đại số lớp 10 và lớp 11, tiềm năng có thểkhai thác vấn đề này ít hơn hẳn so với Giải tích 12 vì những lý do: chưa họcđạo hàm nên chưa có nhiều công cụ để tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất các kiến thức của môn khác chưa học hết, …

Ví dụ 1.4 Cho một đoạn dây thép dài 80cm Làm thế nào để uốn đoạn dây đó

thành hình chữ nhật mà diện tích lớn nhất

Với bài toán này học sinh sẽ nghĩ ngay đến việc có thể áp dụng sự biếnthiên của hàm số để suy ra kết quả Muốn vậy, phải tạo ra được một hàm sốbiểu thị cạnh của hình chữ nhật với diện tích của nó Nghĩa là, nếu gọi diệntích của hình chữ nhật là S và x (0 < x < 40) là một cạnh của hình chữ nhật,cạnh kia sẽ là 40 – x (Hình 1) thì ta có diện tích của hình chữ nhật là:

S(x) = x(40 - x) = 40x – x 2

Ta có: S'(x) = 40 – 2x ; x

S'(x) = 0  x = 20

40 - x

S(x) có một cực trị duy nhất là cực đại và có giá trị 400.

Vậy, muốn uốn đoạn dây đó thành hình chữ nhật có diện tích lớn nhấtthì phải uốn thành hình vuông mà mỗi cạnh dài 20cm

Như vậy, qua ví dụ như trên góp phần giúp học sinh bước đầu hìnhthành nhận thức về kĩ năng cơ bản trong việc giải những bài toán có nội dungthực tiễn

Để tạo điều kiện vận dụng tri thức vào thực tế, còn phải có những kĩnăng thực hành cần thiết Đó là các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đo đạc

Trong hoạt động thực tế ở bất kì lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tínhtoán: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí, cùng với các đức tính cẩn thận, chuđáo, kiên nhẫn Để rèn luyện cho học sinh các kĩ năng này, cần tránh tìnhtrạng ít ra bài tập đòi hỏi tính toán, cũng như khi dạy giải bài tập chỉ dừng lại

ở "phương hướng" mà ngại nỗ lực, làm các phép tính cụ thể để đi đến kết quảcuối cùng Giáo viên cũng cần thường xuyên khuyến khích học sinh tìm tòicác cách tính toán khác nhau và biết chọn phương án hợp lí nhất, chẳng hạntăng cường khả năng tính nhẩm, rèn luyện kĩ năng tính ước chừng khi họcsinh sử dụng máy tính điện tử

1.2.3 Sự hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Quá trình hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững được một

hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tinchứa đựng trong các bài tập Bàn về kĩ năng cần lưu ý một số điểm sau đây:

Hình 1

- Kĩ năng trước hết là mặt kỹ thuật của một thao tác hay một hành độngnhất định, không có kĩ năng chung chung, trừu tượng tách rời hành động cánhân của con người Khi nói tới kĩ năng là nói tới một hành động cụ thể đạttới mức đúng đắn và thuần thục nhất định.

- Thành phần của kĩ năng bao gồm tri thức, kinh nghiệm đã có, quátrình thực hiện hành động, sự kiểm soát thường xuyên trực tiếp của ý thức vàkết quả của hành động

- Tiêu chuẩn để xác định sự hình thành và mức độ phát triển của kĩ nănglà: tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và sự phối hợp nhịp nhàng cácđộng tác trong hành động Hành động chưa thể trở thành kĩ năng nếu hành độngcòn vụng về, còn tiêu tốn nhiều công sức và thời gian để triển khai

Hình thành các kĩ năng là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp cácthao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thuđược từ các đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hànhđộng

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết cácnhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phântích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới

Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng hợp, trừutượng hoá - khái quát hoá cho tới khi hình thành được mô hình về một mặtnào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải quyết nhiệm vụ đặt

ra Ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng,thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo của tư duy Vìcác khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm mới, tưduy diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần

Như vậy, muốn hình thành kỹ năng cho học sinh, chủ yếu là kỹ nănghọc tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:

- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giảiquyết các đối tượng, các bài tập cùng loại

- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiếnthức tương ứng

Chẳng hạn khi rèn luyện kỹ năng vẽ đồ thị của hàm số, cần chú ý giúphọc sinh nhận ra mối quan hệ giữa các hàm số có liên quan với nhau như thếnào, khi đó việc vẽ đồ thị sẽ đơn giản và dễ dàng hơn

Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông,theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: “Trong khi dạy học môn toán cầnquan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khácnhau đó là:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống

Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụquan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông

Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thựctiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:

1 Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bảnxuyên suốt chương trình phổ thông

2 Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian

- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sángtạo

3 Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán,gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình,

vẽ đồ thị

4 Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như:Tính cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thểgặp

1.2.4 Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Để rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh ta cần phải có mộtgiải pháp đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:

a Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng.

Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập làđảm bảo cho học sinh nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thứcquy định trong chương trình Căn cứ vào chương trình, giáo viên cần phải xácđịnh và chọn lọc các kiến thức, kỹ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành,phát triển cho học sinh.

Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy học,trong quá trình dạy học, người giáo viên cần tổ chức các hoạt động học tập đểhọc sinh tham gia, cụ thể là:

- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nộidung và mục tiêu dạy học

- Học sinh hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giaolưu giữa học sinh với học sinh, giữa giáo viên với giáo viên

- Giáo viên có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: giúp

đỡ học sinh vượt qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt độngthành những phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp cho học sinh tri thức phươngpháp và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sựphân bậc hoạt động

- Giáo viên giúp học sinh xác nhận những tri thức đã đạt được trongquá trình hoạt động, đưa ra những bình luận cần thiết để học sinh hiểu tri thức

đó một cách sâu sắc, đầy đủ hơn

b Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh

Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thực hành giải toántheo quy trình 4 bước của Pôlya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải toán theoquy trình này

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bàitoán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, ký hiệu hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đềbài

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã

cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải vớibài toán tương tự.

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặcbiệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liênquan

- Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lýnhất

Bước 3: Trình bày lời giải

- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành mộtchương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước

đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấnđề

Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với nhữngtri thức phương pháp về những nội dung Toán học cụ thể học sinh có thể tìmtòi, khám phá để tìm đến lời giải bài toán

Thông qua dạy học sinh giải một số bài toán để dần hình thành cho họcsinh cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lờigiải các bài toán, hình thành phương pháp giải một lớp các bài toán có dạngquen thuộc Từ đó hình thành kỹ năng giải quyết loại bài toán đó

Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán

Một câu hỏi đặt ra là làm thể nào để học sinh hiểu được và vận dụngđược phương pháp chung vào việc giải những bài toán mà họ gặp trongchương trình Học phương pháp chung để giải toán không phải là học mộtthuật giải mà là học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, pháthiện Cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải bài toán như sau:

- Thông qua việc giải những bài toán cần nhấn mạnh để học sinh nắmđược phương pháp chung 4 bước của Pôlya và có ý thức vận dụng 4 bước nàytrong quá trình giải toán

- Cũng thông qua giải những bài toán, cần đặt cho học sinh những câuhỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những câu hỏi

này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện đểthực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câu hỏi này lúcđầu do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biến thành vũkhí của bản thân cho học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ đểgợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.

Như vậy trong quá trình học phương pháp chung giải toán là một quátrình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toáncủa bản thân, thông qua việc giải hàng loạt các bài toán cụ thể Từ phươngpháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặngđường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tốsáng tạo “Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh’’ (Pôlya - 1975)

c Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua quá trình luyện tập, củng cố

Việc củng cố tri thức kỹ năng một cách có định hướng và có hệ thống

có một ý nghĩa to lớn trong dạy học Toán Điều đó trước hết là do cấu tạo củaSách giáo khoa ở phổ thông theo cách là mỗi lĩnh vực nội dung mới đều dựavào những lĩnh vực nội dung đã được học trước kia

Trong môn Toán củng cố diễn ra dưới các hình thức luyện tập, đào sâu,

ứng dụng, hệ thống hoá và ôn

Luyện tập: Trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kỹ năng kỹ sảo luyện

tập không phải chỉ đối với tính Toán mà còn cả đối với việc dựng hình, vẽ đồthị của hàm số, giải phương trình, bất phương trình, sử dụng thước, máytính, v.v

Các hình thức khác của củng cố :

- Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết

những vấn đế liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía cạnhkhác nhau của tri thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức

- Ứng dụng: là vận dụng những tri thức và kỹ năng đã được lĩnh hội

vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ môn Toán cũng như trongthực tiễn Ngoài dạng bài tập chứng minh, tìm tòi, mặt quan trọng nữa lànhững ứng dụng thực tế của Toán học Trong trường hợp này, cần làm nổi bật

và dần dần khắc sâu cách tiếp cận và giải quyết vấn đề như sau:

Bước 1: Toán học hoá tình huống thực tế

Bước 2: Dùng công cụ Toán học để giải quyết bài toán trong mô hìnhnày.

Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình Toán học sang lời giải của bàitoán thực tế

- Hệ thống hoá: Nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã

đạt được, nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ nhữngmối quan hệ giữa chúng Nhờ đó người học đạt được không chỉ những tri thứcriêng lẻ mà còn cả hệ thống tri thức

- Ôn tập: Là nhắc lại tri thức, luyện lại kỹ năng đã có Ôn giữ một vị

trí đặc biệt so với bốn hình thức khác của củng cố, bởi vì nó thường được kếthợp với các hình thức đó, thậm trí đan kết, hoà nhập vào các hình thức đó Ônlại không phải chỉ là những gì lĩnh hội được trong bài lý thuyết mà khi cầnthiết có thể nhắc lại cả tri thức đã đạt được trong các khâu của củng cố

d Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua các tiết tự chọn

Theo chương trình đổi mới nội dung dạy học đối với học sinh trung họcphổ thông, ở mỗi lớp học chương trình cơ bản hay học chương trình nâng caođều có hình thức học tự chọn một số môn học nào đó với mỗi tuần 4 tiết tựchọn, với hai hình thức là: tự chọn nâng cao theo chuyên đề; tự chọn bám sátchương trình Mục tiêu của các tiết tự chọn là nhằm củng cố tri thức, rènluyện kỹ năng học tập bộ môn, đặc biệt đối với môn Toán là rèn luyện kỹnăng giải toán, bổ sung kiến thức nâng cao, học các chuyên đề tự chọn dogiáo viên hay học sinh đề xuất Trong quá trình lựa chọn và xây dựng cácchuyên đề tự chọn cho học sinh cần chú ý như sau:

- Thời gian (số tiết) mỗi chuyên đề phù hợp với yêu cầu phân phốichương trình của môn học

- Chọn chuyên đề gây được hứng thú học tập cho học sinh, tránh trùnglặp nhiều những nội dung hay bài toán mà trên lớp học sinh đã được luyện tập

và đã có kỹ năng

- Nên lựa chọn những chuyên đề nhằm bổ sung, nâng cao kiến thứchay những chuyên đề học tập có tính liên môn nhằm hỗ trợ học tập các mônhọc khác

- Không nên quá tham vọng xây dựng những chuyên đề lớn như đốivới các trường chuyên Vì mục đích của các chuyên đề tự chọn là rèn luyện

và củng cố tri thức, kỹ năng giải toán

- Một số chuyên đề tự chọn đối với môn Toán lớp 12 là: ứng dụng củađạo hàm để giải toán như: chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị đại số, cựctrị hình học, giải phương trình, bất phương trình, biện luận số nghiệm củaphương trình; Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số; chuyên đề giảiphương trình, bất phương trình mũ, logarít; Tích phân và ứng dụng của tíchphân; ứng dụng số phức trong giải toán v.v…

1.2.5 Vai trò của việc rèn luyện kĩ năng thực hành toán học trong dạy học

Toán học có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong các nghànhkhoa học “Mỗi khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng đượcphương pháp của Toán học” (K Marx)

Môn Toán có vị trí rất quan trọng trong nhà trường trung học phổthông Nó có khả năng to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ chung mà bất kìmôn học nào cũng có Vì thế trước thực trạng dạy và học ở trường phổ thônghiện nay chúng ta cần nhận thấy rõ tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹnăng, sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với môn Toán, vì từ vị trí củamôn Toán trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo có chất lượng người lao độngmới, năng động, sáng tạo, phát triển toàn diện, môn toán có bốn nhiệm vụ sauđây:

Nhiệm vụ thứ nhất, truyền thụ tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng

vận dụng Toán học vào thực tiễn Làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiếnthức và phương pháp toán học cơ bản, phổ thông, theo quan điểm hiện đại vàtinh thần của giáo dục kĩ thuật tổng hợp và có khả năng vận dụng được nhữngkiến thức và phương pháp toán học vào kĩ thuật lao động, quản lý kinh tế, vàoviệc học các môn học khác (như vật lý, sinh học, hoá học, ) Đây là nhiệm

vụ rất quan trọng vì chỉ có trên cơ sở nắm vững và vận dụng được kiến thức,phương pháp toán học mới có điều kiện rèn luyện các mặt khác

Nhiệm vụ thứ hai, phát triển năng lực trí tuệ chung Làm cho học sinh

nắm được phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp họctập để từ đó rèn luyện năng lực tư duy lôgic, độc lập, chính xác, linh hoạt và

sáng tạo, phát triển trí tưởng tượng không gian, có tiềm lực tập dượt nghiêncứu khoa học, có khả năng tự học, có hiểu biết về nhận thức luận duy vật biệnchứng trong Toán học.

Để thực hiện nhiệm vụ này, môn Toán cần được khai thác nhằm gópphần phát triển những năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng và trítưởng tượng không gian, tư duy lôgic và tư duy biện chứng, rèn luyện cácthao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, các phẩm chất

tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo,

Nhiệm vụ thứ ba, giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và

thẩm mĩ Góp phần rèn luyện, giáo dục cho học sinh ý thức làm chủ, lòng yêunước, yêu chủ nghĩa xã hội, yêu lao động được thể hiện qua động cơ hăng sayhọc tập, có hoài bão lớn góp sức mình xây dựng đất nước trong thời kỳ côngnghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước

Nhiệm vụ thứ tư, đảm bảo chất lượng phổ cập, đồng thời chú trọng phát

hiện và bồi dưỡng năng khiếu về Toán Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuấtphát từ yêu cầu khách quan của xã hội và từ khả năng thực tế của học sinh.Một mặt, xã hội đòi hỏi mỗi học sinh ra trường phải đảm nhiệm công việc laođộng xây dựng và bảo vệ tổ quốc, nếu cơ sở Toán học không vững thì sẽ ảnhhưởng tới năng suất lao động, tới hiệu suất công tác

Chính vì vậy chúng ta cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức vàrèn luyện kỹ năng, đặc biệt là kĩ năng thực hành cho học sinh trung học phổthông

Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách (Nguyễn CảnhToàn) Trong đó kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không

có kỹ năng thì sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng đượcnhu cầu giải quyết vấn đề

Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệgiữa học với hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biếthọc thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạovào việc giải bài tập

1.3 THỰC TRẠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG THỰC HÀNH TOÁNHỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNGTRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1.3.1 Một số số liệu điều tra

Để tìm hiểu thực trạng dạy học rèn luyện kĩ năng thực hành toán họccho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học phổ thông, chúngtôi đã sử dụng phiếu thăm dò ý kiến trao đổi với các đồng nghiệp tiến hành dựgiờ thăm lớp và dạy một số tiết

Mẫu phiếu thăm dò như sau:

ThỉnhThoảng Ít khi

Khôngbao giờ

Tổ chức các hoạt động học tập đảm

bảo tính chủ động, tích cực, độc lập

của học sinh trong quá trình chiếm

lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng

Trang bị các tri thức về phương

pháp giải toán cho học sinh

Rèn luyện kỹ năng giải toán thông

qua quá trình luyện tập, củng cố

Rèn luyện kỹ năng giải toán thông

Thỉnhthoảng Ít khi

Không bao giờ

học sinh

Rèn luyện kỹ năng giải toán

thông qua quá trình luyện

tập, củng cố

10(10%) 20(10%) 15(15%) 55(55%)

Rèn luyện kỹ năng giải toán

thông qua các tiết tự chọn 10(10%) 15(15%) 25(25%) 50(50%)Kết hợp cả bốn cách trên 10(10%) 15(15%) 5(5%) 70(70%)

Qua điều tra chúng tôi nhận thấy:

Hầu hết các giáo viên (có 10%) sử dụng cách dạy “Tổ chức các hoạt

động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng” trong quá trình dạy học

Còn 10% giáo viên sử dụng cách dạy “Trang bị các tri thức về phương

pháp giải toán cho học sinh” trong quá trình dạy học.

Có 10% giáo viên sử dụng cách dạy “Rèn luyện kỹ năng giải toán thông

qua quá trình luyện tập, củng cố” trong quá trình dạy học.

Còn 10% giáo viên sử dụng cách dạy “Rèn luyện kỹ năng giải toán

thông qua các tiết tự chọn” trong quá trình dạy học.

Để kết hợp cả bốn phương pháp trên chỉ có 10% giáo viên sử dụng

1.3.2 Thực trạng rèn luyện kĩ năng thực hành toán học cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường phổ thông

Qua kết quả thăm dò điều tra ở một số giáo viên cho thấy giáo viên toán

ở trường trung học phổ thông hiện nay tuy có rèn luyện kĩ năng thực hànhtoán học cho học sinh nhưng rất ít, về nguyên nhân có thể do điều kiện kháchquan như nội dung chương trình khá nặng, phân phối chương trình chưa hợp

lí, lớp học còn quá đông; Việc đổi mới Sách giáo khoa và đổi mới kiểm trađánh giá chưa đồng bộ, ý thức học tập của học sinh còn yếu; Việc đổi mớiphương pháp dạy học ở một bộ phận giáo viên còn hình thức vẫn đang nặngtheo kiểu thuyết trình, chưa phát huy được năng lực nhận thức của học sinhdẫn đến hiệu quả chưa tốt, do đó việc rèn luyện kĩ năng thực hành cho họcsinh chưa được triệt để

Có một số giáo viên trong quá trình dạy học đã quan tâm đến việc dạycho học sinh các kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải Toán, kỹ năngtính toán, kỹ năng trình bày lời giải, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc, vẽhình, nhưng thông thường họ chỉ đưa thêm các bài toán một cách rời rạc,chưa có sự liên kết, hướng dẫn cuốn hút học sinh vào việc đào sâu để tậpluyện các kĩ năng thực hành một cách thành thạo biết phân tích, mở rộng, kháiquát hóa, đặc biệt hóa các bài tập và lý thuyết ở Sách giáo khoa Về chủ đề

“Ứng dụng của đạo hàm” là phần kiến thức rất cơ bản của bộ môn Giải tích,

là chủ đề chiếm vị trí quan trọng trong các đề thi tốt nhiệp và thi đại học, nó

đã được đưa vào chương trình từ lâu Nhưng việc nghiên cứu các ứng dụngcủa nó ở chương trình phổ thông chủ yếu là giới thiệu và tập trung vào phầnkhảo sát hàm số, còn các định lý, khái niệm mang tính trực quan công nhậnchứ chưa đi sâu vào việc nghiên cứu chúng Do đó việc tiếp thu đối với họcsinh nhiều lúc, nhiều nơi còn hời hợt, chưa đào sâu kiến thức

Thực trạng cho thấy ở các trường phổ thông hiện nay học sinh “có vẻ”hiểu biết nhiều Qua các kỳ thi, khi được hỏi về độ khó dễ của đề bài thì nhiều

em đã trả lời đề không khó, nhưng cuối cùng kết quả điểm không cao Ở đây

do kỹ năng làm bài của các em còn yếu, đó là kĩ năng về sự gắn kết giữa cácgiả thiết và kết luận, đồng thời thiếu kỹ năng về logic trình bày, nên dễ bị mấtđiểm

Tóm lại, việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hành giải toán nói

chung và kỹ năng thực hành giải toán ứng dụng của đạo hàm nói riêng là mộtphần không thể thiếu trong chương trình toán phổ thông Qua đó học sinh rènluyện được các kỹ năng khác mà ở vai trò vị trí của việc học môn toán đãnói

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1 luận văn đã trình bày một số vấn đề lí luận về kỹ năng

và việc rèn luyện kỹ năng trong dạy học toán Chương này cũng đã đề cậpđến vấn đề đổi mới phương pháp dạy học nói chung, phương pháp dạy họcmôn toán nói riêng và một số giải pháp đổi mới phương pháp dạy học Tácgiả cũng đã nghiên cứu và tìm hiểu về thực trạng rèn luyện kĩ năng thực hànhtoán học cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

Từ đó làm cơ sở cho việc đưa ra các định hướng nhằm tăng cường rèn luyện

kĩ năng thực hành giải toán ứng dụng đạo hàm cho học sinh trong chương 2

CHƯƠNG 2

DẠY HỌC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

THỰC HÀNH CHO HỌC SINH

2.1 KHÁI QUÁT VỀ CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

Những kiến thức cơ bản của chủ đề ứng dụng đạo hàm trong chươngtrình môn toán (chương trình chuẩn) bao gồm:

2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1) Kiến thức cơ bản

Học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản sau:

* Các qui tắc và công thức tính đạo hàm

* Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K có thể là khoảng (a; b) là đoạn

[a; b] hay nửa đoạn)

+ Hàm y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x 1 , x 2 K mà x 1 <x 2 thì

f(x 1 ) < f(x 2 )

+ Hàm y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x 1 , x 2 K mà x 1 <x 2 thì

f(x 1 ) > f(x 2 )

* Điều kiện cần để hàm số có tính đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I Khi đó:

+ Nếu hàm số f(x) đồng biến trên I thì f x  với mọi x'( ) 0 I

+ Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên I thì f x  với mọi x'( ) 0 I

* Điều kiện đủ để hàm số có tính đơn điệu

1 Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng I

+ Nếu f x  với mọi x  I thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I'( ) 0+ Nếu f x  với mọi x  I thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I'( ) 0+ Nếu f x  với mọi x  I thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng I'( ) 0

2 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên nửa khoảng [a;b) và có đạo hàm

trên khoảng (a; b)

+ Nếu f x  ,'( ) 0 x(a;b) thì hàm số đồng biến trên nửa khoảng [a;b)

+Nếu f x  ,'( ) 0 x(a;b) thì hàm số nghịch biến trên nửa khoảng[a;b)

+ Nếu f x '( ) 0 x(a; b) thì hàm số không đổi trên nửa khoảng [a;b)

2) Phương pháp giải

Để giải dạng toán này, học sinh cần phải nắm và vận dụng được mộtquy trình, phương pháp giải như sau:

Bước 1: Tính yf x'( )

Bước 2: Xét dấu đạo hàm y, f x'( )

Bước 3: Lập bảng biến thiên đối với y’ (dựa vào việc xét dấu của hàm

a) x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a;b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) D và f(x) < f(x 0 ) với mọi x  (a; b)\ {x 0 }.

Khi đó f(x 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b) x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) D và f(x) > f(x 0 ) với mọi x  (a; b)\ {x 0 }.

Khi đó f(x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì ta nói rằng hàm số f đạt cực

trị tại điểm x0 Kí hiệu điểm cực đại (tiểu) x CĐ, (x CT ), giá trị cực đại (tiểu)

y CĐ, (y CT ).

Nhận xét: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x 0  D là tại x 0 hàm

số xác định và f’(x 0 ) = 0 hoặc f’(x 0 ) không xác định Điểm x 0 như thế gọi là

điểm tới hạn.

*Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Dấu hiệu 1

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm

trên các khoảng (a; x 0 ) và (x 0 ; b) Khi đó:

a)Nếu f’(x 0 ) < 0 với mọi x (a; x 0 ) và f’(x 0 ) > 0 với mọi x  (x 0 ; b) thì

hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

b)Nếu f’(x 0 ) > 0 với mọi x(a; x 0 ) và f’(x 0 ) < 0 với mọi x(x 0 ; b) thì

hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

Dấu hiệu 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f’(x 0 )=0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 Khi đó:

a)Nếu f’’(x 0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

b)Nếu f’’(x 0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

0

Hình 2

Hình 2

Bước 3: Tìm các điểm tới hạn x i D.

Bước 4: Lập bảng xét dấu f’(x) Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Ví dụ: Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:

+ Nếu f’’(x i ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x i

+ Nếu f’’(x 0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x i

Ví dụ: Tìm cực trị của mỗi hàm số sau (áp dụng quy tắc 2):

Nhận xét: Để áp dụng được quy tắc 2 thì hàm số f(x) phải thoả mãn các

điều kiện của định lí 3

Hệ quả:

0 ) ( ' 0

0

x f

x f

0 ) ( ' 0

0

x f

x f

 hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x 0

2.1.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1) Kiến thức cơ bản

Học sinh cần nắm được một số kiến thức cơ bản sau:

Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (DR)

a) Nếu tồn tại một điểm x 0D sao cho f(x)f(x 0 ) với mọi xD

thì số M = f(x 0 ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D,

kí hiệu M max ( )D f x

b) Nếu tồn tại một điểm x 0D sao cho f(x)f(x 0 ) với mọi xD

thì số m = f(x 0 ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D,

Suy ra bảng biến thiên của y = x 2 - 2x - 3 trên [-2 ; 3].

Từ bảng biến thiên suy ra max[-2;3] y y( 2) 5  ; min2;3 y y (1) 4

Nhận xét : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì hàm số f đạt giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtđạt được tại các điểm cực trị thuộc khoảng a b hoặc tại a, b Từ đó ta có; 

các quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2)Phương pháp giải

x -2 1 3y’ - 0 + y

5 0 -4

Các quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Quy tắc 1 ( Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a; b])

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Ta có quy tắc sau:

Bước 1 Tìm các điểm x 1 , x 2 ,…,x m thuộc a b tại đó hàm số f có đạo; 

hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

Bước 2 Tính f(x 1 ), f(x 2 ), f(x m ), f(a) và f(b).

Bước 3 So sánh các giá trị tìm được.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a;b], Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất nhất của f trên đoạn [a;b].

Quy tắc 2 (Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

khoảng, nửa khoảng)

Bước 1 Tìm tập xác định D là khoảng, nửa khoảng.

Bước 2 Tìm f’(x), tìm các điểm tới hạn thuộc D

Bước 3 Lập bảng biến thiên (Chú ý các giá trị cực trị, các giới hạn) Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra kết luận.

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau

2.1.4 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số

a Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

- Cho hai đường (C): y = f(x) và (C’) : y = g(x)

Để xét sự tương giao của (C) và (C’), ta xét phương trình hoành độ giaođiểm của (C) và (C’) : f(x) = g(x) (1)

- Số giao điểm của (C) và (C’) là số nghiệm của (1)

- Hoành độ giao điểm là nghiệm của (1)

- (C) tiếp xúc với (C’) tại M1(x1 ; y1)  x1 là nghiệm kép của (1)

- (C) cắt (C’) tại M2(x2 ; y2)  x2 là nghiệm đơn của (1)

- (C) không có điểm chung với (C’)  (1) vô nghiệm

b Tiếp tuyến của đồ thị hàm số