Bai soan on thi lop 10

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang y=2x2-42m-1x+8m2-3 tại một điểm thì điểm đó là nghiệm của hai phơng trình vậy phơng trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

a) Điều kiện để A có nghĩa: A 0

b) Không phải bao giờ ta cũng có: A 2 A.( Chỉ xảy ra khi A0 )

Tổng quát:

2

A = /A/ Bằng A khi A0 ; Bằng –A khi A0

c) Không phải bao giờ ta cũng có:

B A B

A2 d) Chỉ có số không âm mới đa đợc vào trong dấu căn và đợc A2

Hớng dẫn giải: a) Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng

b) Nhân cả tử và mẫu với 2 rồi làm n câu a

( Hoặc đặt biểu thức là A rồi bình phơng hai vế.)

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc GiangHớng dẫn giải: Lập phơng hai vế đa về phơng trình bậc ba đối với ẩn là A, Giải ph-

216 2

8

6 3

1 : 3 1

5 15 2

15 2 8 6 2 5

1

1 ( : ) 1

1 1

x x

x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 4  2 3

1 1

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang c) Giải phơng trình B = 16 ta đợc: x = 26.

Bài 8 Cho biểu thức:

2 3 1 : 1 9

8 1 3

1 1 3

1

x

x x

x x

x

x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x = 6+2 5

d) Tìm x khi P =

5

6

b) x = 6+2 5=> x  5  1

Sau đó thay x voà P tính đợc: P =

41

5 15

c) P =

5

6  x1= 4 ; x2 =

25

9

Bài 9 Tính giá trị của:

a) A =

2007 2006 2006

2007

1

3 2 2 3

1 2

1 1 2

1

3 2

1 2

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

+ Đồ thị: Là đờng thẳng song song với đồ thị y = ax nếu b 0 cắt trục Oy tại

điểm có tung độ bằng b.Trùng với đồ thị y = ax nếu b = 0 (b đợc gọi là tung độ gốc) + cách vẽ đồ thị: Lấy hai giá trị khác nhau của x rồi lập bảng giá trị tơng ứng Biểu diễn hai điểm trên hệ trục Oxy kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó

+ Đờng thẳng y = ax + b (a 0) có a gọi là hệ số góc Và ta có: tg = a - Trong

đó  là góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a 0) với trục Ox

2 Hàm số: y = ax 2 (a 0)

+ Tính chất : * TXĐ : mọi x R

* Sự biến thiên : + Nếu a > 0 hàm số đồng biến với mọi x > 0 ; nghịch biến vứi mọi x < 0

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến với mọi x < 0 ; nghịch biến với mọi x > 0

+ Đặc điểm của giá trị hàm số y = ax2 (a 0)

 Khi a > 0 : Giá trị hàm số luôn > 0 với mọi x khác 0 y = 0 khi x = 0 => 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0

 Khi a < 0 : Giá trị hàm số luôn < 0 với mọi x khác 0 y = 0 khi x = 0 => 0 là giá trị lớn nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0

+ Đặc điểm của đồ thị hàm số : y = ax2 (a 0)

- là đờng cong đi qua gốc toạ độ nhận trục Oy là trục đối xứng

* Nếu a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành O là điểm thấp nhất của đồ thị

* Nếu a < 0 đồ thị nằm phía dới trục hoành O là điểm cao nhất của đồ thị

3 Tơng giao của đờng cong Parabol y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng y = bx + c

Toạ độ giao điểm (Nếu có) của Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng

ù = +

ùợ => phơng trình: ax

2 = bx + c (1) là phơng trình hoành độ Vậy:

+ Đờng thẳng (d) không cắt (P)  phơng trình (1) vo nghiệm

+ Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng cong (P)  Phơng trình (1) có nghiệm kép

+ Đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  phơng trình (1) có hai nghiệm phânbiệt

II Một số dạng bài tập thờng gặp.

Dạng1 Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.

Bài tập 1:

Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d,)

a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ

b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc GiangNhận xét:gặp dạng toán này học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao

điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồthị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x;y

GiảI:

a) vẽ đồ thị hai hàm số

b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:x+3=2x+1 x=2 suy ra y=5

Ví dụ 2: Cho 3 đờng thẳng lần lợt có phơng trình:

(D1) y=x+1

(D2) y=-x+3

(D3) y= (m2-1)x+ m2 - 5 (với m 1)

Xác định m để 3 đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy

Nhận xét: 3 đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy tại một điểm nào đó chẳng hạn điểm

A(x;y) thì rỏ ràng x;y là một nghiệm của 3 phơng trình trên hay x;y là nghiệm của 1

2

( ) ( )

D D

Hoành độ giao điểm B của (D1) ,(D2) là:-x+3=x+1 x=1 thay vào y=x+1suy ra y=2 để

3 đờng thẳng đồng quy thì (D3)phảI đi qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phơng trình(D3) ta có: 2=(m2-1)1+m2-5 m2=4 m=2;m=-2

Vậy với m=2;m=-2thì 3 đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua:

+ Hai điểm A (x1; y1) và B (x2 ; y2)

+ Điểm M (x0 ; y0) và song song (vuông góc) với đờng thẳng (d) cho trớc

Bài tập 2

Xác định phơng trình đờng thẳng (d) biết:

a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)

b) Đờng thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với đờng thẳng: (d’): y = - 1

a b

ỡùù ùùù ớù

=-ù = ùùùợ

a=- => (d):

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

Cho hàm số y = (m2 – 2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết:

a) Đồ thị (D) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2

b) Đồ thị (D) của hàm số vuông góc với đờng thẳng y = -3x -2

c) Đồ thị (D) đi qua điểm A (2; 3)

-Dạng 3 Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng đi qua.

* Phơng pháp: Họ đờng thẳng y = f(x;m) đi qua điểm cố định I( x 0 ; y 0 ) với mọi m

 phơng trình ẩn m: y 0 = f(x 0 ;m) có nghiệm với mọi m

Bài tập 4

Cho họ đờng thẳng (m – 2).x + 2m y + 1 = 0 (Dm)

a) Tìm giá trị m biết đờng thẳng (Dm) đi qua điểm A(-2; 4)

b) Tìm điểm cố định I mà họ đờng thẳng (Dm) đi qua với mị giá trị của m

Dạng 1: Bài toán chứng minh

Chứng minh rằng: Đờng thẳng (D): y= 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P):

y= 2x2 - 4(2m-1)x + 8m2 - 3

Nhận xét:

Gặp dạng toán này học sinh sẽ lúng túng để tìm phơng pháp giải vì học sinh không nắm

đợc đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3 tại một điểm thì điểm đó là nghiệm của hai phơng trình vậy phơng trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta có cách

Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện

Ví dụ:Chứng minh rằng đờng thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x2-x+3m

a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P)

b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ giao điểm A và B khi m=3

Nhận xét:tơng tự nh ví dụ trên ta sẽ đi xét sự có nghiệm của phơng trình bậc hai

nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung còn nếu có hai nghiệm thì (D) và (P) có hai điểm chung

Ví dụ:Cho đờng thẳng (D):y=ax+b tìm a và b biết:

a) đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x2

b)Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x2

c) đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x2-3x+2 tại điểm C(3;2)

Nhận xét:ở đây học sinh cần nhớ điều kiện để hai đờng thẳng song song va vuông góc

để tìm ra giá trị của a sau đó vận dụng kiến thức nh dạng hai để giải

Vậy phơng trình đờng thẳng (D) là:y=-2x+1/4

b)Ta có: x-2y+1=0 y=1/2x+1/2.Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng có phơng trình:x-2y+1=0 a.1/2=-1 a=-2 suy ra (D):y=-2x+b

Theo cách làm của dạng 2,ta tìm đợc b=1.Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=-2x+1

c)Ta có:C(3;2) (D)  2=3a+b b=2-3a

Theo cách làm của dạng 2 ta tìm đợc a=3 và suy ra b=-7 Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=3x-7

Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm.

Ví dụ:Cho parabol (P):y=x2-2x-3

Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đờng thẳng (D):y=-4x

Giải:

Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d)

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b 0).Hoành độ điểm chung của (p)

Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax2+bx+c thoả mãn:

a) (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D) :y=-5x+15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)

b) (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3

Giải : a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)

Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi

Do đú a = 1 ; b = -3 và c = 2

Dạng 6:Quỹ tích đại số

 Phơng pháp: Điểm M(x(m); y(m))

THCS TrÇn Hng §¹o – Lôc Ng¹n – B¾c Giang

Gäi lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn (x, y: Èn – a, b hÖ sè)

* Ph¬ng tr×nh (1) cã v« sè nghiÖm (x; y) vµ nghiÖm viÕt d¹ng tæng qu¸t

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang+ Hệ đẳng cấp (Bậc hai)

3 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình – hệ ph ơng trình.

1 Các công việc cần thiết trớc khi tiến hành trình bày giải toán bằng cách lập phơngtrình – hệ phơng trình:

+ Đọc kỹ đề, tóm tắt bài toán

+ Lập bảng thể hiện mối liên hệ giữa các đối tợng và các các đại lợng => PT hoặc hệpt

+ Căn cứ vào bảng trình bày giảI bài toán bằng cách lập pt hoặc hpt

II Một số bài toán điển hình.

Bài 1 Cho phơng trình: ax + (2a – 1).y + 3 = 0 (1)

a) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn là phơng trình bậc nhất hai ẩn với mọi giátrị của a

b) Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có nghiệm là (-6; 3) với mọi giá trị của a

Hớng dẫn giải.

a) Chứng tỏ a2 + (2a – 1)2 ạ 0 với mọi a

b) Thay cặp số (-6; 3) vào phơng trình thoả mãn với mọi a

Bài 2 Cho phơng trình: mx + (m + 1).y -5 = 0 (m là tham số).

a) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn là phơng trình bậc nhất hai ẩn với mọigiá trị của m

b) Tìm giá trị của m để (0; 3) là nghiệm của phơng trình

x R

ỡ ẻ ùù ùớ

-ùùợ

Bài 4 Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: mx – (3m – 1).y = 2

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

Chứng tỏ với mọi m (d) luôn luôn đI qua một điểm cố định.

ỡ =- + ùù

a) Viết nghiệm tổng quát của phơng rình (1)

b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1)

c) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình (1)

Hớng dẫn giải

a)

2 12

c) Đặt điều kiện cho x ³ 0; y ³ 0 Ta có: 0 Ê k Ê1 => hai nghiệm tự nhiên là: (12; 0) và (5; 5)

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

Bài 8 Cho tam giác ABC trên mặt phẳng toạ độ với A(-3;1); B( -2; 4); C(2; 2 )

a) Viết phơng trình đờng trung tuyến BM, CN của tam giác ABC

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

ùùùợ

=> G( -1; 7

3)

Bài 9 Mọt điểm H trong mtj phẳng toạ Oxy có toạ độ H(2m – 1; m + 3)

a) Tìm một hệ thức liên hệ giữa xH và yH độc lập với m

b) Chứng minh quỹ tích H là một đờng thẳng khi m thay đổi

* Bài toán: (SGK đại số 9)

Quãng đờng AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến b, ô tôthứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút Tínhvận tốc mỗi xe

* Hớng dẫn giải:

- Trong bài này cần hớng dẫn học sinh xác định đợc vận tốc của mỗi xe Từ đóxác định thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

- Thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe bằng quãng đờng AB chia cho vận tốccủa mỗi xe tơng ứng

- Xe thứ nhất chạy nhanh hơn nên thời gian đi của xe thứ hai trừ đi thời gian đi

của xe thứ nhất bằng thời gian xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai (42 phút = 7

- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối quan hệ giữa các

đại lợng: Quãng đờng, vận tốc, thời gian (S = v.t) Do đó, khi giải nên chọn một trong ba

đại lợng làm ẩn và điều kiện luôn dơng Xây dựng chơng trình dựa vào bài toán cho

- Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lu ý:+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịchvới nhau

+ Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phơng trình

nh sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm bằng thời gianthực đi trên đờng Nếu thời gian của dự định đến nhanh hơn dự định thì cách lập phơngtrình làm ngợc lại phần trên

- Nếu chuyển động trên một đoạn đờng không đổi từ A đến B rồi từ B về A thìthời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

- Nếu hai chuyển động ngợc chiều nhau, sau một thời gian hai chuyển động gặpnhau thì có thể lập phơng trình: S1 + S2 = S

2.Dạng toán liên quan đến số học:

* Bài toán: (SGK đại số 8)

Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng Nếu thêm chữ số 0 vào giữahai chữ số thì đợc số lớn hơn số đã cho là 180 Tìm số đã cho

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

- Khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tơng tự nh vậy.Dựa vào đó ta đặt điều kiện ẩn số sao cho phù hợp

3.Dạng toán về năng suất lao động:

* Bài toán: ( SGK đại số 9)

Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai tổ một

v-ợt mức 15%, tổ hai vv-ợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy, tính xem trongtháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?

Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết )

Điều kiện x nguyên dơng, x < 720

Khi đó tháng đầu tổ 2 sản xuất đợc: 720 - x ( chi tiết )

Vậy, trong tháng giêng tổ một sản xuất đợc 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất đợc

720 - 420 = 300 chi tiết máy

* Chú ý:

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc GiangLoại toán này tơng đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bảnchất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phơng trình và giải phơngtrình nh các loại toán khác.

Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán

4.Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng:

* Bài toán ( SGK đại số 8).

Hai đội công nhân cùng sửa một con mơng hết 24 ngày Mỗi ngày phần việc làm

đợc của đội 1 bằng 11

2 phần việc của đội 2 làm đợc Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ sửa

xong con mơng trong bao nhiêu ngày?

 x = 60 thoả mãn điều kiện

Vậy, thời gian đội 2 làm một mình sửa xong con mơng là 60 ngày

Mỗi ngày đội 1 làm đợc 3 1

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc Giang

5.Dạng toán về tỉ lệ chia phần:

* Bài toán: (SGK đại số 8).

Hợp tác xã Hồng Châu có hai kho thóc, kho thứ nhất hơn kho thứ hai 100 tấn.Nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ nhất

bằng12

13 số thóc ở kho thứ hai Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.

* H ớng dẫn giải:

Trớc khi chuyển x + 100 (tấn) x (tấn ), x > 0

Sau khi chuyển x +100 - 60 (tấn ) x + 60 ( tấn )

Phơng trình: x + 100 - 60 = 12

13 (x + 60 )

* Lời giải:

Gọi số thóc ở kho thứ hai lúc đầu là x (tấn ), x > 0

Thì số thóc ở kho thứ nhất lúc đầu là x + 100 (tấn )

Số thóc ở kho thứ nhất sau khi chuyển là x +100 -60 ( tấn )

Số thóc ở kho thứ hai sau khi chuyển là x + 60 ( tấn )

Theo bài ra ta có phơng : x + 100 - 60 = 12

.( 60)

13 x 

Giải phơng trình tìm đợc: x = 200 thoả mãn điều kiện

Vậy, kho thóc thứ hai lúc đầu có 200 tấn thóc

Kho thóc thứ nhất lúc đầu có 200 + 100 = 300 tấn thóc

6.Dạng toán có liên quan đến hình học:

* Bài toán: ( SGK đại số lớp 9 ).

Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Ngời ta làm một lối đi xung quanhvờn ( thuộc đất của vờn ) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2 Tínhkích thớc của vờn

* Hớng dẫn giải:

- Nhắc lại công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật

- Vẽ hình minh hoạ để tìm lời giải

* Lời giải:

Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x ( m ), điều kiện 4 < x < 140

Độ dài cạnh còn lại là: 140 - x (m )

THCS Trần Hng Đạo – Lục Ngạn – Bắc GiangKhi làm lối đi xung quanh, độ dài các cạnh của phần đất trồng trọt là x - 4(m) và

Vậy kích thớc của mảnh vờn hình chữ nhật là 60m và 80m

7.Toán có nội dung vật lý, hoá học:

* Bài toán: ( tài liệu ôn thi tốt nghiệp bậc THCS )

Ngời ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lợng nhỏ hơn nó200kg/m3 để đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 700kg/m3 Tìm khối lợng riêng củamỗi chất lỏng?

Trong đó: m là khối lợng tính bằng kg

V là thể tích của vật tính bằng m3

D là khối lợng riêng tính bằng kg/m3

* Lời giải:

Gọi khối lợng riêng của chất thứ nhất là x (kg/m3), điều kiện x > 200

Thì khối lợng riêng của chất thứ hai là: x – 200 (kg/m3)

Thể tích của chất thứ nhất là: 0,008