Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Ta nói rằng hai đường cong y=fx và y = gx tiếp xúc với nhau tại điểm Mx 0 ;y 0 nếu M là một điểm chung của chúng và hai đường cong dó tiếp tuyến chung tại M.. Điểm M được gọi là tiếp đ

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

Bài tốn 1:

Sự tương giao của các đồ thị

(Tìm giao điểm của hai đồ thị )

Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đồ thị là (C )

và hàm số y = g(x) cĩ đồ thị là (C1) Hãy tìm các giao điểm của (C) và (C1)

Phương pháp chung :

B1: Phương trình hồnh độ giao điểm của (C )và(C1) là :

f(x) = g(x) (1)

B2: Tính các giá trị của y0 ,y1… tương ứng với

các giá trị x0 ,x1… tìm được ở (1).

B3: Ghi các giao điểm (x0,y0) ; (x1,y1)…

Chú ý : Ta cĩ thể làm ngược lại , cĩ nghĩa là dưạ vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình f(x) =g(x).

VÍ DỤ 1: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của

m < -1 ⇒ (C) và ∆ có 1 giao điểm

Khi đó : PT (1) có 1 nghiệm đơn

(C)

Ta có : y CĐ = 1 ; y CT = -1

VÍ DỤ 1: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của

m = -1 ⇒ (C) và ∆ có 2 giao điểm

PT (1) có 1 nghiệm đơn và 1

nghiệm kép

(C)

Ta có : y CĐ = 1 ; y CT = -1

VÍ DỤ 1: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của

VÍ DỤ 1: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của

m = 1 ⇒ (C) và ∆ có 2 giao điểm

PT (1) có 1 nghiệm đơn và 1

nghiệm kép

(C)

Ta có : y CĐ = 1 ; y CT = -1

VÍ DỤ 1: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của

m > 1 ⇒ (C) và ∆ có 1 giao điểm

PT (1) có 1 nghiệm đơn

(C)

Ta có : y CĐ = 1 ; y CT = -1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị (C ) của hàm số

luôn luôn cắt đường thẳng (d) ; y = -x + m

với mọi giá trị của m

Ta có : (C) luôn cắt (d) nếu phương trình sau luôn có

nghiệm với mọi m:

1 1

x y

Phương trình (2) có ∆ =m 2 + 8 > 0, ∀ m và x=-1 không thoả mãn

(2) nên phương trình luôn có 2 nghiệm khác -1.

Vậy : (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt

H1 :Chứng minh rằng đồ thị (C ) của hàm số

luôn luôn cắt đường thẳng (d) y = x - m tại hai

điểm phân biệt ,với mọi giá trị của m

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường

cong đã cho là nghiệm của phương trình:

2 2 1

x x y

x x

x m x

Phương trình (2) có ∆ =m 2 -2m+9 > 0, ∀ m và x=1 không thoả mãn

(2) nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Vậy : (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt

m

x x

2

Ví dụ 3: Cho đường cong (C ) : y=x3 - 4x2 + 4x và đường thẳng (d) : y = kx

Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt

(d) cắt (C)tại 3 điểm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C ) là:

(1) có 3 nghiệm phân biệt

VÍ DỤ 4: Với các giá trị nào của m, đường thẳng (d) : y = m cắt đường cong (C ) : y = x4 -2x2 -3 tại 4 điểm phân biệt.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d)và đường cong (C) là

nghiệm của phương trình: x4 -2x2 – 3 =m

Hay : x4 -2x2 – m- 3 = 0 (1)

Đặt t = x2 với t ≥ 0 thì ta có : t2 - 2t – m - 3 = 0 (2)

(d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt

∆’>0 và t1 t2 >0 và t1 + t2 >0(2) có 2 nghiệm dương phân biệt

VÍ DỤ 4: Với các giá trị nào của m, đường thẳng (d) : y = m cắt đường cong (C ) : y = x4 -2x2 -3 tại 4 điểm phân biệt.

Cách 2 : Đạo hàm y’ = 4x3 -4x

Cực trị : f(-1) = f(1) = -4 ; f(0) = -3

Để (d) cắt ( C) tại 4 điểm phân biệt thì : -4 < m < -3

y’ =0 ⇔ 4x3 -4x = 0 ⇔ x =0 ; x = 1 ; x = -1

Bài tốn 2: Sự tiếp xúc của hai đường cong

Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đồ thị là (C ) và hàm

số y = g(x) cĩ đồ thị là (C 1 ).

Hãy tìm điều kiện để (C) và (C 1 ) tiếp xúc với nhau.

Định nghĩa: Giả sử hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x 0

Ta nói rằng hai đường cong y=f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau tại điểm M(x 0 ;y 0 ) nếu M là một điểm chung của

chúng và hai đường cong dó tiếp tuyến chung tại M

Điểm M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

Điều kiện: Hai đường cong y=f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ

khi hệ phương trình sau có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong:

Hoành độ tiếp điểm 2 đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ số góc của tiếp tuyến chung tai M là y’(0)=3/2

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại M là:

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại O(0;0)

VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng hai đường cong và

tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó

Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại tiếp điểm

x y

x

Hoành độ tiếp điểm 2 đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ số góc của tiếp tuyến chung tai M là y’(1/2)=2

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại M là:

VÍ DỤ 2: Chứng minh rằng hai đường cong y=x3+ 5x/4 -2 và

y = x2 +x-2 tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó

Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại tiếp điểm

Hoành độ tiếp điểm 2 đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ số góc của tiếp tuyến chung tai M là y’(1)=2

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại M là:

VÍ DỤ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;-2) và tiếp xúc với parabol (P) : y =x2 – 2x

Hoành độ giao điểm của (d) và (P)là nghiệm của phương trình:

Phương trình đường thẳng(d) qua A với hệ số góc m là: y=m(x-1)-2

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của (P) qua A là :

và

VÍ DỤ 4: Tìm các hệ số a và b sao cho parabol (P): y = 2x2+ax+b tiếp xúc với hypebol (H) : y = 1/x tại điểm M(1/2 ; 2).

Điểm M thuộc (P)

Khi x = 1/ 2 thì y = 1 nên điểm M thuộc (H)

Vậy : với a = - 6 và b = 9/2 thì (P) và (H) tiếp xúc với nhau tại M

Hệ số góc của tiếp tuyến của (H) tại M là : y’(1/2)= -4

Chú ý:

 Có thể áp dụng điều khẳng định sau để xét sự tiếp xúc của đường thẳng và parabol:

Đường thẳng y = px+q là tiếp tuyến của parabol

khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm

Phép biến đổi đồ thị

Với x ≠1, phương trình hoành độ tiếp điểm của d và (C ) là:

Gọi A(x1;m) và B(x2;m) là hai giao điểm Ta có :

x x

m x

m m

2> Cho hàm số y = (x 2 - 2x - 3)/(x -2) (C) Tìm m để d : y = -m +x cắt

2004A: Cho hàm số y = (-x2 +3x -3)/(2x-2) (C)

Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.

Cho hàm số y = (x - 2)/(x-1) (H)

Chứng minh rằng với mọi m≠ 0, đường thẳng d: y = mx – 3m cắt đường cong (H) tại 2 điểm phân biệt, trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 2

Cho hàm số y = (x - 1)2 /(x+1) có đồ thị là (C)

1> Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

2> Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x2 –(m+2)x –m + 1 = 0

Cho hàm số y = (x + 1)2 (x - 1)2 có đồ thị là (C)1> Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.

2> Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

(x2 -1)2 – 2m+1 = 0

Cho hàm số y = (x - 4)/ (1 - x ) có đồ thị là (H)

1> Khảo sát và vẽ đồ thị ( H ) của hàm số

2> Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (-1 ;0) có hệ số góc k.Biện luận theo k số giao điểm của (C ) và d

Dự bị 2-2006A

Cho hàm số y = (x2 +x + 1)/ (x+1 ) có đồ thị là (H)

1> Khảo sát và vẽ đồ thị ( H ) của hàm số

2> Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (-1 ;0) và tiếp xúc với đồ thị (H)

Phương trình tiếp tuyến d qua M(-1;0)

với hệ số góc k có dạng : y = k(x+1)

d tiếp xúc với (H) khi hệ

phương trình sau có nghiệm:

2

2

2

1 ( 1)1

2 ( 1)

Thay k vào ta có phương

trình hoành độ tiếp điểm

Củng cố

 Xác định số giao điểm của hai đồ thị:

B1: Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (C1) là :

f(x) = g(x) (1)

B2: Tính các giá trị của y0 ,y1… tương ứng với các

giá trị x0 ,x1… tìm được ở (1).

B3: Ghi các giao điểm (x0,y0) ; (x1,y1)…

 Sự tiếp xúc của hai đường cong

khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm và

nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong:

BÀI LUYỆN TẬP THÊM

Hãy nhớ các phương pháp tiến hành cho mỗi dạng toán và luyện tập để được

các kỹ năng cần thiết

Biện luận :

1) m = 8.Phương trình (2) có dạng:

⇒ (2) Vô nghiệm⇒ Không có giao điểm

2) m ≠ 8.Phương trình (2) có nghiệm duy nhất

nghiệm này khác -2 , vì nếu thì 3+2m = -16 + 2m

3 = -16 (vô lý) Vậy trong trường hợp này , có một giao điểm

là (x ;y) với

3 2 8

m x

m m

−

3 2

;8

b) Số nghiệm của (3) chính là số giao điểm của đường thẳng y = m

và đồ thị (C ) Ta vẽ thêm đường thẳng y = m và tìm số giao diểm cuả để suy ra số nghiệm của (3)

Biện luận:

a) m > 2 : (3) có một nghiệm

b) m = 2 : (3) có 2 nghiệm (một đơn , một kép) c) -2 < m < 2 : (3) có 3 nghiệm

d) m = -2 : (3) có hai nghiệm (một đơn , một kép) e) m < -2 : (3) có một nghiệm.