Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C tại điểm uốn và chứng minh d là tiếp tuyến của C có hệ số góc nhỏ nhất.. Khảo sát sự biến t
Trang 1Chủ đề 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm M x y có phương trình ( 0; 0) ' ( )
y y− = f x x x− với
0 ( )0
y = f x
Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004) Cho hàm số 1 3 2
3
y= x − x + x (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ
số góc nhỏ nhất
Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho hàm số 2
2 3
x y x
+
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2005) Cho hàm số 1 3 2 1
m
y= x − x + (Cm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vễ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
2 Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Bài 4: Cho hàm số y x= + −3 1 m x( +1) (C m)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=3
2 Tìm m để tiếp tuyến của (C tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác m)
có diện tích bằng 8
Bài 5: Cho hàm số
2
3 2
−
−
=
x
x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 6: Cho hàm số y = (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất
Bài 7: Cho hàm số y x= −3 2x2+8x+5 (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Chứng minh không có bất kỳ hài tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
Bài 8: Cho hàm số 3
3 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2
3 Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N
Bài 9 : (đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010) Cho hàm số y= − − +x4 x2 6
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: 1 1
6
y= x−
Bài 10 : (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2011) Cho hàm số 1 3 2
2x 3x 1 ( ) 3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Bài 11: (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A,A1,B,D năm 2012) Cho hàm số 2 3 ( )
1
x
x
+
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết rằng d vuông góc với đường thẳng y x= +2
Trang 2Bài 12: Cho hàm số 2 3 ( )
2
x
x
−
=
−
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại M, N và chu vi tam giác IMN bằng 5+ 17, I là giao của hai đường tiệm cận
Bài 13: Cho hàm số 1 ( )
3
x
x
−
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại M, N I là giao của hai đường tiệm cận Thỏa
Trang 3Chủ đề 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm M x y có phương trình ( 0; 0) ' ( )
y y− = f x x x− với
0 ( )0
y = f x
Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004) Cho hàm số 1 3 2
3
y= x − x + x (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ
số góc nhỏ nhất
Giải
1 Tự giải
2 Ta có y' =x2−4x+ ⇒3 y'' =2x−4 Vậy điểm uốn của đồ thị là 2;2
3
Khi đó ' '
0
( ) (2) 1
y x = y = −
Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm 2;2
3
có phương trình ' ( )
y y− = f x x x−
suy ra 2 1( 2)
3
3
y= − +x
Tiếp tuyến d có hệ số góc k = −1
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc
' 2
Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho hàm số 2
2 3
x y x
+
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ
Giải
1 Tự giải
2 Ta có : ' 2
1 (2 3)
y
x
−
=
+
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là: k = ±1 Khi đó gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có ( 0; 0) '
0 ( ) 1
y x = ±
0 2
0 0
2 1
1
1 (2 3)
x x x
= −
−
Với x0 = −1 thì y0 =1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y= −x (trường hợp này loại vì tiếp tuyến đi qua góc
tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)
Với x0 = −2 thì y0 = −4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y= − −x 2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y= − −x 2
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2005) Cho hàm số 1 3 2 1
m
y= x − x + (Cm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vễ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
2 Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Giải
1 Tự giải
2 Ta có y' =x2−mx
Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có y'( 1) 5− = ⇔ + = ⇔ =m 1 5 m 4
Trang 4Khi m=4 ta có hàm số 1 3 2 2 1
y= x − x + ta có x0 = −1thì y0 = −2 Phương trình tiếp tuyến có dạng '
Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d
Vậy m=4 là giá trị cần tìm
Bài 4: Cho hàm số y x= + −3 1 m x( +1) (C m)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=3
2 Tìm m để tiếp tuyến của (C tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác m)
có diện tích bằng 8
Giải
1 Tự giải
2 Ta có M(0;1−m) là giao điểm của (C với trục tung m)
' 3 2 '(0)
y = x − ⇒m y = −m
Phương trình tiếp tuyến với (C tại điểm m là m) y= −mx+ −1 m
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ
1
( m;0)
A
m
−
và (0;1B −m)
Nếu m=0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này
Nếu m≠0 ta có
9 4 5 1
OAB
m m
m
= ±
−
−
= − ±
Vậy có 4 giá trị cần tìm
Bài 5: Cho hàm số
2
3 2
−
−
=
x
x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải
1 Tự giải
2 Ta có: , x 2
2 x
3 x
; x
0
0
−
−
0 0
2 x
1 )
x ( ' y
−
−
=
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng: ( ) x 2
3 x ) x x ( 2 x
1 y
:
0
0 0 2
− +
−
−
−
=
∆
Toạ độ giao điểm A, B của ( )∆ và hai tiệm cận là: ; B( x 2;2)
2 x
2 x
; 2
0
−
−
Ta thấy A B 0 x0 xM
2
2 x 2 2
x
0
0 B
2 x
3 x 2
y
−
−
=
+
suy ra M là trung điểm của AB
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
− +
− π
=
−
− +
− π
=
) 2 x (
1 )
2 x ( 2
2 x
3 x )
2 x (
0
2 0 2
0
0 2
0 2
Dấu “=” xảy ra khi
=
=
⇔
−
=
−
3 x
1 x )
2 x (
1 )
2 x (
0
0 2
0
2 0
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 6: Cho hàm số y = (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất
Trang 51 Tự giải
2 Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : 2 0 0
1
x
2 0
1
0
x
x y
Ta có d(I ;tt) = 0
4 0
2 1 1 1 ( 1)
x x
− + +
Xét hàm số f(t) = 2 4 ( 0)
1
t t
t >
+ ta có f’(t) =
2
(1 )(1 )(1 ) (1 ) 1
f’(t) = 0 khi t = 1
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay 0 0
0
2
1 1
0
x x
x
=
+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4
Bài 7: Cho hàm số y x= −3 2x2+8x+5 (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Chứng minh không có bất kỳ hài tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
Giải
1 Tự giải
2 Ta có y x'( ) 3= x2−4x+8
Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) vuông góc với nhau Gọi x x tương ứng là các hoành độ 1, 2 của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó Gọi k k lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm 1, 2 trên (C) có hoành độ x x Khi đó1, 2
Tam thức f t( ) =3t2− +4t 8 có ∆ <' 0 nên f t( ) > ∀ ∈0 t R từ đó và từ (1) suy ra mâu thuẫn.
vậy giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)
Bài 8: Cho hàm số 3
3 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2
3 Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N
Giải
1 Tự giải
2 Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ x0 = ⇒2 y0 =3
Ta có 2
0 '( ) 3 3 '( ) '(2) 9
y x = x − ⇒y x = y =
Phương trình tiếp tuyến d tại điểm m của đồ thị (C) là
Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là y=9x−15
3 Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N
4
x
x
=
Vậy N(− −4; 51) là điểm cần tìm
Trang 6Bài 9 : (đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010) Cho hàm số 4 2
6
y= − − +x x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: 1 1
6
y= x−
Giải 1.Tự giải
2 Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 1 1
6
y= x− nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng -6 Gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C)( 0; 0)
Ta có y'= −4x3−2x Hệ số góc của tiếp tuyến là ( ) 3
Phương trình tiếp tuyến là y= y x'( ) (0 x x− 0)+y0⇒ = −y 6(x− + ⇒ = − +1) 4 y 6x 10
Vậy phương trình tiếp tuyến là y= − +6x 10
Bài 10 : (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2011) Cho hàm số 1 3 2x2 3x 1 ( )
3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Giải
1 Học sinh tự giải
2 Tọa độ giao điểm của (C) với trục tung là M(0;1)
Ta có y'= − +x2 4x 3− hệ số góc của tiếp tuyến là '(0)y = −3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là y= −3(x− + ⇒ = − +0) 1 y 3x 1
Vậy phương trinh tiếp tuyến là y= − +3x 1
Bài 11: (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A,A1,B,D năm 2012) Cho hàm số 2 3 ( )
1
x
x
+
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết rằng d vuông góc với đường thẳng y x= +2
Giải
1 Học sinh tự giải
2 d vuông góc với đường thẳng y x= +2 nên d có hệ số góc bằng -1
0 0
0 1
2 ( 1)
x
x x
=
−
Với x0 =0 phương trình tiếp tuyến d là y= − +x 3
Với x0 = −2 phương trình tiếp tuyến d là y= − −x 1
Bài 12: Cho hàm số 2 3 ( )
2
x
x
−
=
−
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại M, N và chu vi tam giác IMN bằng 5+ 17, I là giao của hai đường tiệm cận
Giải
Bài 13: Cho hàm số 1 ( )
3
x
x
−
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại M, N I là giao của hai đường tiệm cận Thỏa
Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước:
Trang 7Phương pháp giải bài toán này là:
- Quy về bài toán loại 1
- Sử dụng mệnh đề về điều kiện để hai đường tiếp xúc với nhau:
Cho hai đường y= f x( ) và y g x= ( ) Hai đương tiếp xúc với nhau tại điểm M có hoành độ x 0 nếu như hệ sau đây thỏa mản :
( ) ( )
'( ) '( )
=
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008)
Cho hàm số: y=4x3−6x2+1 ( )C
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(− −1; 9)
Giải
1 Tự giải
2 Đường thẳng x= −1 đi qua điểm M(− −1; 9) không phải là tiếp tuyến của đồ thị (C)
đường thẳng d đi qua điểm M(− −1; 9) có hệ số góc k có phương trình y k x= ( + −1) 9
đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x thì 0 x thỏa mãn hệ phương trình0
2
Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta có:
0
1
4
x
x
= −
=
Khi x0 = −1 thì k =24 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y=24x+15
Khi 0
5
4
x = thì 15
4
k = lúc đó phương trình tiếp tuyến là 15 21
y= x−
KL……
Ví dụ 2:
Cho hàm số 1 4 2 3
y= x − x + C
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm 0;3
2
Giải
1 Tự giải
2 đường thẳng x=0 đi qua điểm 0;3
2
không phải là tiếp tuyến của đồ thị (C)
Đường thẳng d đi qua điểm 0;3
2
có hệ số góc k có phương trình
3 2
y kx= +
đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tai điểm có hoành độ là x thì 0 x là nghiệm của hệ phương 0 trình
3
Thay (2) vào (1) rồi rút gọc ta được 2( 2 ) 0
0 0
0
0
2 0
2
x
x x
x
=
− = ⇔
= ±
Trang 8Khi x0 =0 thì k=0 lúc đó phương trình tiếp tuyến là 3
2
y=
Khi x0 = − 2 thì k=2 2 lúc đó phương trình tiếp tuyến là 2 2 3
2
y= x+
Khi x0 = 2 thì k = −2 2 lúc đó phương trình tiếp tuyến là 2 2 3
2
y= − x+
Từ đó suy ra có ba tiếp tuyến là 3
2
y= ; 2 2 3
2
2
y= − x+
Ví dụ 3:
Cho hàm số : y x= +3 3x2 ( )C
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Giải
1 Tự giải
2 Gọi M a( );0 là điểm thuộc trục hoành, Tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua M có hệ số góc k có dạng:
y k x a= −
Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì 0 x thỏa mãn hệ phương trình0
2
Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta có kết quả:
( ) 2 3 1 6 0 (4)
x
=
Để (3) và (4) có ba nghiệm phân biệt thì (4) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0
điều đó xảy ra khi:
0
(*)
3
a
a
≠
≠
Tại điểm M1 có hoành độ 0 thì theo (2) suy ra tiếp tuyến với (C) tại M1 song song với Ox Vì mọi đường thẳng song song với Oy không phải là tiệp tuyến với (C) Nên để thỏa mãn điều kiện đầu bài thì các tiếp tuyến với (C) tai điểm M2, M3 phải vuông góc với nhau, hoành độ M2, M3 tương ứng là các nghiệm t1,t2 của phương trình:
2
2t +3 1−a t−6a=0 5
Hệ số góc tương ứng của tiếp tuyến theo (2) là: k1=3t12+6 ;t k1 2 =3t22+6t2
Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau khi và chỉ khi
1 2 1 31 61 32 62 1 9 1 2 181 2 1 2 361 2 1 6
Áp dụng định lý Viét ta có
1 2
1 2
2 3
a
t t
+ =
Nên từ (6) sau khi rút gọn ta được 27 1 0 1
27
Vậy 1 ;0
27
là điểm duy nhất trên (C) cần tìm.
Bài 2: BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Loại 1: Các bài toán về sự tồn tại cực trị
Trang 9Loại bài toán này thường có dạng sau: Tìm tham số để các hàm số có cực trịn và các cực trị này thỏa mãn những điều kiện nào đó cho trước
Phương pháp giải bài toán này là sử dụng điều kiện tồn tại cực trị của hàm số (các hàm số đa thức) kết hợp với việc sử dụng các kết quả về tam thức bậc hai, định lý viét, lý thuyết về phương trình và bất phương trình
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007)
Cho hàm số y= − +x3 3x2+3(m2−1)x−3m2−1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đề góc tọa độ
Giải
1 Tự giải
2 Ta có 2 ( 2 )
y = − x + x+ m −
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt
Khi và chỉ khi 2 ( 2 ) 2 ( 2 )
3x 6x 3 m 1 0 x 2x m 1 0
Khi và chi khi ∆ = +' 1 m2− > ⇔ ≠1 0 m 0 (2)
Khi thỏa mãn (2) hàm số có cực trị tại ( 3)
1 ; 2 2
1 ; 2 2
Theo bài ra ta có ( )2 ( 3)2 ( )2 ( 3)2 3 1
2
OA OB= ⇔ −m + − − m = +m + − + m ⇔ m = ⇔ = ±m m
Vậy 1
2
m= ± là các giá trị cần tìm
Ví dụ 2 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2002)
Cho hàm số y mx= 4+(m2−9)x2+10 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
2 Tìm m để đồ thị (1) có ba cực trị
Giải
1 Tự giải
2 Ta có y' 4= mx3+2(m2−9)x
Đồ thị (1) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0y = có ba nghiệm phân biệt.
Ta có y' 0= ⇔4mx3+2(m2−9)x=0 (2)
0
x
=
Như vậy (2) có ba nghiệp phân biết khi và chỉ khi ( ) 0h x = có hai nghiệm phân biệt khác 0 tức là khi và
chỉ khi
2
2
3
0 2
m
m
Vậy (3) là tập hợp các giá trị cần tìm
Ví dụ 3 :
2( 1) ( 4 1) 2( 1)
y x= + m− x + m − m+ x− m + (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0
2 Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 ( 1 2)
1 2
1 1 1
2 x x
Giải
1 Tự giải
' 3 4( 1) ( 4 1)
y = x + m− x+ m − m+
Đồ thị (1) có cực trị khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt
' 0 3 4( 1) ( 4 1) 0
y = ⇔ x + m− x+ m − m+ = (2)
Trang 10(2) có nghiệm ' 4( 1)2 3( 2 4 1) 0 2 4 1 0 2 3
2 3
m
m
< − −
> − +
Khi m thỏa mãn (3) đồ thị hàm số đạt cực trị tại x x là hai nghiệm của phương trình (2)1, 2
Theo định lý viét, ta có
1 2
2
1 2
4 1
3
4 1
3
m
x x
x x
+ =
1 2
0
2
x x
+ =
+
Vậy 2
0 3
1
4 1
3
m
m
−
Đối chiếu với điều kiện (3), suy ra có hai giá trị cần tìm của m là m=1 và m=5
Ví dụ 4 :
Cho hàm số 1 3 ( ) 2 ( )
3
y= x + m− x + m+ x+ m+ (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=0
2 Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 x1< <2 x2
Giải
1 Tự giải
2 Ta có 2 ( ) ( )
y =x + m− x+ m+
Đồ thị hàm số (1) có cực trị khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt
y = ⇔x + m− x+ m+ = (2)
(2) có hai nghiệm phân biết ( ) (2 ) 2 0
9
m
m
<
Khi m thỏa mãn điều kiên (3) đồ thị (1) có cực trị tại x x là hai nghiệm của phương trình (2)1, 2
Để thỏa mãm điều kiện x1< <2 x2 ta cần có
(x1−2) (x2− < ⇔2) 0 x x1 2−2(x1+x2)+ <4 0
Theo định lý viét, ta có 1 2
1 2
2(2 )
5 4
Ta có 5m+ −4 2.2(2−m) 4 0+ < ⇔9m< ⇔ <0 m 0
KL : m<0 là các giá trị cần tìm
Ví dụ 5 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2011)
Cho hàm số y x= 4−2(m+1)x2+m (1) m là tham số
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho OA BC= , trong đó O là góc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là 2 điểm cực trị còn lại
Giải
a Học sinh tự giải
' 4 4( 1) 4x( 1)
y = x − m+ x= x − −m
( )
2
2
0 ' 0 4x( 1) 0
1 2
x
=
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ > −m 1 (*)
