Chuyên đề: Biến đổi lượng giác

Bài tập nâng cao Lớp 10A1 vuthanhbg@gmail.comCh ơng 1: Hàm số l ợng giác Biến đổi l ợng giác Bài 1 Giá trị các hàm số l ợng giác có mối quan hệ đặc biệt A lý thuyết Cung đối Cung bù Cu

Bài tập nâng cao Lớp 10A1 vuthanhbg@gmail.com

Ch

ơng 1: Hàm số l ợng giác Biến đổi l ợng

giác Bài 1 Giá trị các hàm số l ợng giác có mối

quan hệ đặc biệt

A lý thuyết

Cung đối

Cung bù

Cung hơn kém pi

Cung phụ

Cung hơn kém pi/2

B Bài tập

Dạng 1: tính giá trị của các hàm số lợng giác và

rút gọn

Bài 1: tính giá trị

Cos1200 tg1300 sin(-7800)

Bài 2: Tính giá trị

Sin1500 , cotg1350 , tg1500

Sin2100 , cos2250 , tg2400 , cotg2250

Bài 3: Chứng minh rằng

2 0

25 2

cos



2)

1



HD: Biến đổi về góc nhỏ hơn 90 độ

Bài 4: Rút gọn biểu thức sau

2sin 2550 cos 188 1

A





0

cot 72 cot 18 cos316

C

Bài 5: Rút gọn biểu thức sau

0

36

cos





0

cot 44 226 s 406

72 cot 18 316

cos



C cos cos cos  cos cos

Bài 6: Rút gọn biểu thức sau

A x cos  x g  x tg   x

B co  x  x   g x cotg    x

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức

2 sin

cos x cosx x x

x cos x



Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau 1)

2

2

sin

x cosx

x cosx tg x



2)

tg x g x tg x g x



Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau

2) tg1050tg2850 tg4350 tg750 0

1





Bài 3: CMR nếu tam giác ABC thoả mãn hệ thức

cos  cos thì tam giác đó cân

HD: Chia cả tử và mẫu cho

cos cos

Bài 4: CMR

1

cos A cos B





thì tam giác đó cân HD: sin2 A sin2B2 0

Bài 5: Đơn giản biểu thức sau

2





3 sin

Bài 6: Cho 4 4 98

81

x cos x

Tính A2sin4x3cos x4 HD: đặt

4 4

sin

y cos x

 









Giải hệ phơng trình theo A và hằng số để tìm A thay x , y vào phơng trình

sin x cos x  1 x y 1

Bài 2 Công thức cộng

Dạng 1: tính giá trị của các hàm số lợng giác và rút gọn

Bài 1 Tính giá trị các hàm số lợng giác 1)  150 7

12

x 

2) x 2850 103

12

x 

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức

HD:Sử dụng cung liên kết

Dùg công thức cộng theo chiều xuôi chiều

ngợc

 0  0  0  0

C







D cos cos co cos  cos

cos

A tg x    biet x

Với 3

2



4

tgx tg

A

tgx tg











Bài 4 Tính A cos a b   .cosa b  Biết 1

cos

3

a 

Với 3

2



 

4

tgx tg

A

tgx tg











Bài 5 Cho a,b là các góc nhọn với

a tgb

Tính sina b , cos a b  , tg a b  

a b  a b  tga tgb

1) Tính tga tgb

2) Tính tga tgb, từ đó tính a,b

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức và rút gọn đẳng

thức

Bài 1 Chứng minh rằng

tg a tg b

cos a cos b

2)

2

3

tg a tg a

tga tg a

tg a tg a





hiện tg a a tg a a2   2  

HD Chia 2 vế cho 2

Chú ý

cos cos cos

a b c tga tgb tgc tga tgb tgc

 



.sin

cos a b

tg a g b





.co

co a b co a b

tg a tg b cos a s b

 

Bài 2 Rút gọn biểu thức sau

A x  cos  x   x cos x    

B x g x cos x

2

C tgx tg x    tg  x

D co x  cos x co  x cos x    

HD: NX

Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc và x

A cos x co  x cos   x

B x x      x

2

C x co x  cos x

2

2 3

D tgx tg x tg x tg x

tg x tgx





Bài 4: Cho tam giác ABC CMR 1) sinAsin B cosCsin C cosB

co cos

3) tgA tgB tgC tgA tgB tgC  

tg tg tg tg tg tg 

Bài 5:

1) Cho cos a b   k cos a b   , k#1

CMR 1

1

k tga tgb

k







2) Cho cos a 2b k cos a  , k# 1

CMR   1

1

k

tg a b tgb

k





HD: Sử dụng công thức cộng

cos a b k cos a b  a b k  a b k

Bài 6: CMR

Bài tập nâng cao Lớp 10A1 vuthanhbg@gmail.com

1)

cot

tg a g a

a a b cos a  

3) 2cos cos cosa b a b cos2acos2bsin2a b 

Bài 3 Công thức nhân

Dạng 1: Thực hiện phép tính bằng công thức nhân

Bài 1 Tính sin2a biết

sin

a va  a

co a va a

15

tga 

Bài 2 Tính giá trị của các hàm số lợng giác của

HD: 2a 450

Bài 3 Tính giá trị của biểy thức sau

1) A sin 6 sin 42 sin 66 sin 780 0 0 0

HD : nhân 2 vế với cos60

B co  co  co 

HD : nhân 2 vế với sin

7



3) C 16sin10 sin 30 sin 50 sin 70 sin 900 0 0 0 0

HD : nhân 2 vế với cos100

4)



Dạng 2: Thực hiện phép tính qua một số giá trị đã

biết

Bài 1

1) Tính A cos a 2 Biết 1

sin

cos

HD: bình phơng 2 vế

2) Cho 1

2

tga  ; 1

3

tgb với

a b





 



Tính sina 2b ; cos a b2  

a a a Tính

2

a tg

HD: Bình phơng 2 vế suy ra sin2a;tg2a

áp dụng liên tiếp 2 2

2 1

tga

tg a

tg a





Bài 2 CMR

4

cos x x x cos x x

AD: Tính

tgx tg  x tg  xtg x

A tg  tg  tg 

Dạng 3: Rút gọn biểu thức

x

cos

x cos x x cos x B

x





cot 2 sin 4

x

4)

D





cotg tg E

cotg tg







6)

2 2

cos a H





7)

 0 

sin 60

a F





Dạng 4: Chớng minh rằng

cos x cos x cos x

4

x cos x x x cosx

x cos x  cos x

cot

g x



cot

cos x

g x tg x cos x





6)

 

2

cos x y

HD: Sử dụng công thức nhân đôi

7)

cos

tgx





8) cos sin 2 s cos 2 4 2 450

2

x y

x y  n y  cos    

4 3

; #0; #

x cotgx cos x tgx cos x



10)

x co x

cos x

x  co x 

Bài tập:

CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào x

2 0

sin

B

D x x  x  x 

E x co x  x co x

8

F  x co x x co x cos x

Bài 4 Công thức biến đổi

Dạng 1: Biến đổi tổng thành tích và ngợc lại

Bài 1 Biến đổi thành tích

1) A cos a cos a 2  23

2) Bsin 3xsin 2x

3

C tgx 

4) D 1 cotgx

5) E cos 600xcos600 xcos x3

Bài 2 Biến đổi thành tích

2) B cos 460 cos220 2cos780

4) Dcosacosbsina b 

5) 1 sin x cos x 2

6) 1 2 cos x cos x 2

7) sin x cos x3 sin 4 x cos x2

8) cos x cos x cos x2  22  23 1

9) sin2x sin 22 xsin 32 x

2

tgx sinx  tgx x x

Bài 3 Biến đổi thành tổng

1) sina30 sin0 a 300

sin sin

3) 2sinx sin x 2 sin 3x

4) 8cos sin 2 sin 3x x x

x  x  cos x

6) 4cos a b cos b c cos c a         Dạng 2 Tính giá trị và rút gọn biểu thức Bài 1 Biến đổi thành tích

1) A cos a cos a 2  23

B  cos 

3) C sin 20 sin 40 sin 800 0 0

E cos  cos  cos 

F cos  cos  cos 

7) F tg 90 tg270 tg630 tg810

4sin 70 sin10

Bài 2 Tính gí trị của bểu thức

sin sin

A  Biết x 600

cos a cos a B





 Biết a 200

a cos a C

cos a cos a



 Biết

7

a

4) D tg 20 40 60 800tg 0tg 0tg 0 Bài 3 Rút gọn biểu thức



B      

C



Dạng 3 Chứng minh hằng đằng thức Bài 1 Chứng minh rằng

1) sina b .cosbsina c .coscsinb c .cosa b c  

tg a tg  a tg a

4) A cos a x 2  cos x2  2cos cos x a cos a x   5) Bsin 6 sin 4x x sin15 sin13x xsin19 sin 9x x

Bài 2 Chứng minh rằng

2

1 sin 2

x

x



HD:

2

2

x VT

x











: Biến đổi thành tích cả tử

và mẫu và thay theo tg và cotg Bài 3 tính giá trị của biểu thức

Bài tập nâng cao Lớp 10A1 vuthanhbg@gmail.com

1)

A tg tg tg  g  g  g

HD: nhóm thàn 3 nhóm A=8

2)

B

HD: thay tg800 cot 10g 0 B=1

Bài 4 CMR

HD: Biến đổi 4 3 1 1

x  cos x cos x

Thay từng hạng tử sau đó rút gọn

3 và công thức cộng

3) sin  sin  sin 

0

Bài 5

1) Cho a b c  CMR

a b c

2) Cho a b c d    CMR

Bài 6: Cho tam giác ABC CMR

1) sin 2Asin 2Bsin 2C4sin sin sinA B C

co A B C 

A B C cos cos cos

4) cos2 Acos2Bcos2C 1 2 s s sco A co B co C

Bài 5 Giải toán biến đổi l ợng giác

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lợng giác

Bài 1 CMR

2

3 3

1 3

tga tg a

tg a

tg a







2) cotgx tgx 2cotgx

x cos x  cos x

x cos x  cos x

x cos x  cos x cos x

Bài 3 CMR

cosx x

tg x





cosx cos  x cos  x cos x

tgx tg  x tg  xtg x

6)

Bài 3

thì y=sinx HD: nhân chia liên hợp

2

tgx

y



Thay vào biểu thức sin2x 2) CMR

tgna



HD: Nhóm các hạng tử lại biến đổi tổng thành tích

3) CMR

0

0

a

a

HD: chuyển về sin và cos thực hiện phép nhân Bài 4 Cho a k# 2 k thuộc Z CMR

1)

 1

sin 2

na

a



HD: nhân 2 vế với sin

2

a

2)

 1

sin 2

n a na

co cosa co a co a co na

a



3)

 1

sin 2

n a na

co cosa co a co a co na

a



 1 sin sin

sin sin sin 2 sin

sin 2

na x

a





Bài 5 Bài tập

3) 1

1

2 cos

x

x

4) sin3x1 cot gxcos3x1tgx sinxcosx

x x    x 

6) sin 3x 2sin 33 xcos 2 sinx xcos5 sin 4x x

Bài 6

1) Cho cos2xcos2 y m CMR

2) Cho tgx, tgy là nghiệm của phơng trình sau

at bt c  CMR

a x y b x y x y c x y 

3) Cho sinxsiny2sinx y Voi x y k   #

x y

tg tg 

4) Cho x y z t   2 CMR

     

cos xcos y cos zcos t2sin x y sin y z cos z x

Dạng 2: Rút gọn tính giá trị của một biểu thức

Bài 1 Tính

sin

12

2) Tính cos 2a tan 2a biết 4

sin

5

a  a là góc nhọn

3)

0

sin 60 3sin15 cos15



B

co

Bài 2 Thực hiện phép tính

2) sin6 s6

B  co 

Bài 3 Thực hiện phép tính

16sin sin

cos

4

a 

2) tan sin

B





tan

2 15

x



D



3 2

x  x

HD: Sử dụng công thức nhân đôi

Bài 4 Tính sin180 x

Hd: NX 18 2 36 ; 18 3 54 ; 540  0 0  0 0 360 900

Từ sin và cos cộng thức nhân ba suy ra phơng trình bậc 3 ẩn x Chú ý x>0

Bài 5 Rút gọn biểu thức sau

2) sin4 cos4 sin4 s4

B x x x co x 

3)

Bài 7 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x

1) Acos2 x 2 cos cos cosa x x a cos2x a  2) Bcos2 x 2sin cos sina x x a sin2x a  3)

2

Dạng 3: Hệ thức giữa các cung và các giá trị lợng giác thoả mãn điều kiện cho trớc

Bài 1 (ĐHTM 99) CMR nếu

 

# 2

x y  k









Thì tan  sin

y

x y

y



 







tan tan

1

m

m





