Sáng ki n kinh nghi mế ệ Gv: LÊ XUÂN
TH NGẮ
B T Đ NG TH C-“TH T Đ N GI N” Ấ Ẳ Ứ Ậ Ơ Ả I.Lý do ch n đ tài ọ ề
Khi gi i các bài toán đ c bi t là các bài toán v các b t đ ng th c tôi nh n th yả ặ ệ ề ấ ẳ ứ ậ ấ các em thường:
+ Các em thường s các b t đ ng th c b qua và kh ng cú h ng thỳ b i vợ ấ ẳ ứ ỏ ụ ứ ở ỡ
t i nh n th y c c em:ụ ậ ấ ở ỏ
+Lúng túng th đ ng không bi t t đâu,phân tích bài toán nh th nào ?.ụ ộ ế ừ ư ế
+Không n m v ng các b t đ ng th c quan tr ng cũng nh các h qu c aắ ữ ấ ẳ ứ ọ ư ệ ả ủ các b t đ ng th c nh côsi, bunhiacopski ,v…v…ấ ẳ ứ ư
+ Kh ng n m đụ ắ ược m t s b t đ ng th c đ n gi n thộ ố ấ ẳ ứ ơ ả ường g p và cú nhi uặ ề
ng d ng
+Khi gi i đả ược bài toán r i thì d ng l i, không ti p t c tìm tòi khai thác,ồ ừ ạ ế ụ
bi n đ i thay đ i gi thuy t và gi i bài toán b ng nhi u cách, t đó n u có th suyế ổ ổ ả ế ả ằ ề ừ ế ể
ra bài toán t ng quát.ổ
Đ kh c ph c để ắ ụ ược h n ch trên, đ nh hạ ế ị ướng các em t duy lôgíc Tôi m nh d nư ạ ạ
đ a ra m t vài kinh nghi m nh trong bài vi t này hy v ng các em h c t p hi uư ộ ệ ỏ ế ọ ọ ậ ệ
qu h n b ng cách ti p c n v n đ b ng m t b t đ ng th c h t s c quen thu c,ả ơ ằ ế ậ ấ ề ằ ộ ấ ẳ ứ ế ứ ộ
d ch ng minh d nh và đ c bi t cú r t nhi u ng d ng l p 10 cũng nh ễ ứ ễ ớ ặ ệ ấ ề ứ ụ ở ớ ư ở
chương tr nh ph th ng.ỡ ổ ụ
Bài toàn: V i hai s dớ ố ương x và y ta có: 1 1 1( 1)
4
+ (1)
Đ ng th c x y ra khi x =y ẳ ứ ả
B t đ ng th c (1) có nhi u cách ch ng minh đây đ a ra hai cách ch ng minh phấ ẳ ứ ề ứ ở ư ứ ổ
bi n nh t ế ấ
C ch 1 ỏ V i hai s dớ ố ương x và y ta cú:
(x+y) 2 ≥ 0 ⇒(x + y)2 1 1 1 1
4
xy
+
R ràng, đ ng th c x y ra khi x = y.ừ ẳ ứ ả
C ch 2 ỏ áp d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s dụ ấ ẳ ứ ố ương ta có
x+ y ≥2 xy, 1 1 2 1 1 2
T đó: ừ (x y+ )(1 1) 4 1 1 1( 1)
4
+
Và đ ng th c x y ra khi x =y.ẳ ứ ả
T ng qu t ổ ỏ : Cho hai s x, y dố ương và a, b là hai s b t k ta cú: ố ấ ỡ
( )2 2 2
+
( )2
2 2 (a b ) a b
+
+ .
Trang 2Sáng ki n kinh nghi mế ệ Gv: LÊ XUÂN
TH NGẮ
D u b ng s y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ a b
x = y ( ch ng minh b t đ ng th c này cũng cúứ ấ ẳ ứ
nhi u c ch ch ng minh xin dành cho b n đ c).ề ỏ ứ ạ ọ
II Bi n pháp th c hi n ệ ự ệ
Đ làm để ược vi c này c n có nhi u vi c ph i làm.ệ ầ ề ệ ả
Th nh t: ứ ấ yêu c u và rèn luy n cho h c sinh n m v ng các lý thuy t c b nầ ệ ọ ắ ữ ế ơ ả
nh côsi,bunhiacopski,trêb sep,v…,v…và các cách ch ng minh thông thư ư ứ ường
Th hai ứ : Khi cho các em làm bài t p tôi đ c bi t hậ ặ ệ ướng cho các em phân tích các bài toán b ng cách tr l i câu h i:ằ ả ờ ỏ
-Vai trò các s h ng nhân t có bình đ ng không?ố ạ ử ẳ
-B t đ ng th c có x y ra d u b ng không? N u x y ra thì thì các s h ngấ ẳ ứ ả ấ ằ ế ả ố ạ
ph i tho mãn đi u ki n nào T đó cho phép áp d ng bât đ ng th c h p v i giả ả ề ệ ừ ụ ẳ ứ ợ ớ ả thuy t c a bài toán.ế ủ
Th ba ứ : Khuy n khích các em bi n đ i các b t đ ng th c v b t đ ng th cế ế ổ ấ ẳ ứ ề ấ ẳ ứ quen thu c đ c bi t là b t d ng th c (1)ộ ặ ệ ấ ẳ ứ
Th t : ứ ư Sau khi khuy n khích các em gi i bài toán theo nhi u cách, nhi uế ả ề ề công c T ng quát bài toán.Công vi c này r t có l i cho t duy cũng nh kh năngụ ổ ệ ấ ợ ư ư ả
t ng h p ki n th c c a các em.ổ ợ ế ứ ủ
III Ph m vi nghiên c u ạ ứ
Sáng ki n này đế ược th c hi n các l p kh i t i trự ệ ở ớ ố ạ ường THPT Tri u S n 4.ệ ơ
V Th c hi n ự ệ
Bài to n 1 ỏ Cho ba s dố ương a, b, c, ta có:
1 1 1 1 1 1 1( )
2
Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả a = b = c.
Áp d ng (1) ta cú ngay đi u ph i ch ng minh.ụ ề ả ứ
* Ph t tri n: Áp d ng (2) cho 3 s ỏ ể ụ ố a+b, b+c, c+a ta được:
* K t h p (2) và (3) ta cúế ợ
Bài to n 2 ỏ V i ớ a, b, c là các s dố ương:
1 1 1 1 1 1 1( )
Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả a = b = c.
Chỳ ý: N u th m gi thi t ế ờ ả ế 1 1 1 4
a b c+ + = th bài to n 2 là n i dung cõu V, Đỡ ỏ ộ ề thi Đ i h c và Cao đ ng kh i A, năm 2005.ạ ọ ẳ ố
Trang 3Sáng ki n kinh nghi mế ệ Gv: LÊ XUÂN
TH NGẮ
Bài to n 3 ỏ Ch ng minh r ng v i ứ ằ ớ a, b, c dương:
Gi i: ả V n d ng b t đ ng th c (1) ta có:ậ ụ ấ ẳ ứ
1 1 4 2
1 1 4 2
C ng v v i v c c b t đ ng th c trên và rút g n ta cú b t đ ng th c (5)ộ ế ớ ế ỏ ấ ẳ ứ ọ ấ ẳ ứ
Đ ng th c x y ra khi:ẳ ứ ả
+ = + + ⇔ = =
+ = + +
Bài to n 4 ỏ Hóy x c đ nh d ng c a tam giác ABC n u các góc c a nó luônỏ ị ạ ủ ế ủ
th a món đ ng th c sau:ỏ ẳ ứ
2 2 2 1
Gi i ả : Đ t ặ x=tg , ,
y tg= z tg= th th ế ỡ x, y, z dương và xy + yz + zx=1
H th c tr thành: ệ ứ ở 1
Ta cú:
1 4
Đ ng th c x y ra khi và ch khi: ẳ ứ ả ỉ x = y = z hay tam giác ABC đ u.ề
Trang 4Sáng ki n kinh nghi mế ệ Gv: LÊ XUÂN
TH NGẮ
Bài to n 5 ỏ Cho x, y, z là c c s th c th a món đi u ki n ỏ ố ự ỏ ề ệ x + y + z = 0, x +
1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0 Hóy t m gi tr l n nh t c a ỡ ỏ ị ớ ấ ủ
Q
Gi i: ả Đ t ặ a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0 Ta cú: a + b + c = 6
và
Q a 1 b 1 c 4 3 1 1 4
Theo b t đ ng th c (1) ta có: ấ ẳ ứ
3
8 1 3
3 3
Q
⇒ ≤ − =
Đ ng th c x y ra khi và ch khi: ẳ ứ ả ỉ
6
a b
a b c
a b c
=
+ + = = = −
V y: ậ 1
3
MaxQ = đ t đạ ược khi
1 2 1
z
= =
= −
Bài to n ỏ 6 : Ch ngứ minh r ngằ :
+ + + v i x, y, z là các s dớ ố ương D u b ngấ ằ
s y ra khi nàoả ?
Gi iả :
( )2
x
+
+ + Tương tự ta cũng có
;
+ + C ng t ng v b t d ng th c trên ta cóộ ừ ế ấ ẳ ứ
b t d ng th c c n ch ng minh D u b ng s y ra khi và ch khi x=y=z=1.ấ ẳ ứ ầ ứ ờ ằ ả ỉ
Bài to n 7 ỏ : Cho 3 s th c dố ự ương a, b và c tho :ab+bc+ca = abc ch ng minhả ứ
r ng :ằ
(43 43) (43 43) (43 43) 1
Trang 5Sáng ki n kinh nghi mế ệ Gv: LÊ XUÂN
TH NGẮ
Gi i: ta có ab+bc+ca = abc ả 1 1 1 1
a b c
⇔ + + = Đ t ặ x 1; y 1; z 1 x+y+z=1
Khi đó ta có:
2
x y
x y
xy x y
x y
x y
x y x x y y x y x y x y
+
+
+
Tương t ta có ự ( ) ( )
C ng v v i v ba b t đ ng th c trên ta có ộ ế ớ ế ấ ẳ ứ
Suy ra đi u ph i chề ả ứng minh
Bài to n 8: ỏ T m gi tr nh nh t c a bi u th cỡ ỏ ị ỏ ấ ủ ể ứ
A x t t y y z z x
V i x, y, z, t là các s dớ ố ương
Gi i ả : Ta cú:
4
4 0
A
x y z t
z y z t
+ + +
+ + +
V y ậ MinA=0 khi x = y = z = t.
Trang 6Sáng ki n kinh nghi mế ệ Gv: LÊ XUÂN
TH NGẮ
Trên đây là m t s bài toán áp d ng b t đ ng th c (1) sau đây là m t s bài t p ộ ố ụ ấ ẳ ứ ộ ố ậ
t ươ ng t : ự
Bài 1 Cho a, b, c là các s th c dố ự ương Ch ng minh các b t đ ng th c:ứ ấ ẳ ứ
2 /
Bài 2 Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế a, b, c là các s th c dố ự ương th a món đi uỏ ề
ki n ệ abc = ab + bc + ca th :ỡ
1 1 1 17
Bài 3 Cho x > 0, y > 0 th a món x + y ỏ ≤ 1 T m gi tr nh nh t c a:ỡ ỏ ị ỏ ấ ủ
A 2 1 2 xy2 4xy
+
Bài 4 Cho tam gi c ABC cú chu vi ỏ a + b + c = k (không đ i), BC = a, CA =ổ
b, AB = c T m gi tr l n nh t c a bi u th c:ỡ ỏ ị ớ ấ ủ ể ứ
T
Bài 5 Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là đ dài 3 c nh) Ch ngộ ạ ứ minh r ng:ằ
1 1 1 2 1 1 1
III M r ng ở ộ
Cho x, y,z là ba s dố ương ch ng minh r ng:ứ ằ
( )
9
+ + ;D u b ng s y ra khi và ch khi x=y=zấ ằ ả ỉ
T ng qu t: ổ ỏ
Cho ba s a, b, c b t k , x, y, z la ba s th c dố ấ ỡ ố ự ương ta cú:
( ) ( )2
6
a b c
+ +
+ + .(B t đ ng th c s-vac) D u b ng s y ra khi và chấ ẳ ứ ấ ằ ả ỉ khi a b c
x = =y z.
Ch ng minh:ứ
Áp d ng b t đ ng th c bunhiacopski ta cú:ụ ấ ẳ ứ
Trang 7Sáng ki n kinh nghi mế ệ Gv: LÊ XUÂN
TH NGẮ
2
2
a b c
T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứ
IV Áp d ng ụ
Bài to n 1: ỏ Ch ng minh r ngứ ằ :
a b c
b + c + a ≥ + + v i a, b, c là các sớ ố
th c dự ương
Gi iả :Áp d ng b t đ ng th c (6) ta cóụ ấ ẳ ứ :
( )2
a b c
+ +
+ + Suy ra đi u ph i ch ng minh D u b ng s yề ả ứ ấ ằ ả
ra khi và ch khi ỉ a b c a b c
b = c = a ⇔ = =
Bài to n 2 ỏ : Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
B
+ + + trong đó a, b, c là các s th c dố ự ương th a mãnỏ 1
a b c+ + =
Gi iả :
Áp d ngụ b tấ đ ngẳ th cứ (6) ta có :
2
3 3 3
B
đ ng th c Bunhiacovski ta cóẳ ứ :
2 2
1
9
V y ậ 1
18
B≥
Bài to n 3 ỏ : Cho các s th c dố ự ương x, y, z, t th a mãn xyzt=1 ch ng minhỏ ứ
3
Gi iả :