trục đẳng phương phương tích

Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQ, OMP và OMQ bằng nhau.. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định.. K là giao đ

Bài 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các đường

thẳng AB và CD cắt nhau tại P, đường thẳng AD và đường thẳng BC cắt nhau tại

Q Chứng minh rằng: cos·POQ 2R 2

OP OQ

Hướng dẫn

Lấy điểm E trên PQ sao cho tứ giác PBCE

nội tiếp Ta có ·PEC =·ABC QDC=· nên

tứ giác QDCE nội tiếp

( ) ( )

2

PO R QO R

PC PD QC QB

PE PQ QE QP PQ

·

·

2

2

2

4 os

OP OQ PQ R

OP OQ POQ R

c POQ

OP OQ OP OQ

+

Dấu "=" xẩy ra khi OP = OQ

Bài 11 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi P, Q, M là lượt

là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và DC, AD và BC, AC và BD Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam

giác OPQ, OMP và OMQ bằng nhau

Hướng dẫn

Gọi S là giao điểm thứ 2 của đường tròn

ngoại tiếp tam giác PDA và PQ

Khi đó

(SA SP, ) (= AD PD, ) (= AB BC, )

(4 điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn)

Suy ra S, A, B, Q cùng nằm trên đường tròn

( )

( )

2 2 / AS

2 2 Q/ CS

P QB

QB

uuuruuur uuuruuur

uuuruuur uuuruuur

Tương tự: MQ2 =OQ2 +OM2 −2R2

suy ra OP2 −OQ2 =MP2 −MQ2 ⇒MO⊥PQ

Tương tự ta chứng minh được OP⊥MQ suy ra O là trực tâm của tam giác MPQ

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQ, OMP và OMQ bằng nhau

Bài 12.Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với

(O) Từ (O) hạ OH ⊥d tại H Giả sử M là một điểm bất kỳ trên d Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống MA, MB Chứng minh rằng đường kính KI luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn

Gọi J, T lần lượt là giao điểm của AB

với OH và OM Ta có

OM ⊥ AB do MA, MB là các tiếp

tuyến của đường tròn (O)

suy ra ·MTJ =900

Lại có MHJ· =90 do OH0 ⊥HM

MTJ MHJ

⇒ + = suy ra MTJH nội tiếp

vuông tại A có AT là đường cao

suy ra

2

OJ R

OH

= suy ra J cố định

Gọi N là hình chiếu vuông góc của H xuống AB, L là giao điểm của KI và OH

Ta có năm điểm M, H, O, A, B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM

Do K, I, N là hình chiếu vuông góc của H xuống MA, MB, AB nên K, I, N thẳng hàng, tính chất đường thẳng simson của tam giác MAB tương ứng với H

Vậy tứ giác HIBN nội tiếp do đó INH· =·IBH

Mặt khác IBH· =MOH· do tứ giác MOBH nội tiếp

Lại có HN / /OM cùng vuông góc AB nên ·MOH = ·JHN

vậy ·INH =·JHN hơn nữa tam giác JHN vuông góc tại N nên từ đó ta có L là trung điểm của JH Do J, H có định nên L cố định Vậy đường thẳng KI luôn đi qua điểm L cố định

Bài 13.Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay

quanh A, cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định

Hướng dẫn Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác MNB

Gọi C là giao điểm của AB và (I) Khi đó ta có:

A, (O) cố định)

Suy ra AC A O/( )

AB

℘

=

Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức

trên ta có C cố định

Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định

Bài 14.Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc

AB Từ điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn

Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy

ra I cố định và thuộc (K)

Gọi M là giao điểm của CD và AB

Vì CD là trục đẳng phương của (O) và

(K) nên ta có:

2

MH MI MC MD MA MB

MB BH MB BI MB MB BA

MB BH MB BH MB MB BA

MB BH MB MB BA

BH

BM

BA

Vì A, B, H cố định suy ra M cố định

Bài 15.Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường

thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A lên d thì A B A C′ . ′ âm và không đổi Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A’ lên AB, AC K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định

Hướng dẫn

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác A’MN và I là giao điểm

của OK và MN Ta thấy O chính là

trung điểm của AA’

Gọi D và P là giao điểm của AA’

với (ABC) và MN

AM AB AA= ′ = AN AC

Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp

Nên ·AMN =·ADB

Suy ra MPDB nội tiếp

Do đó ta có AP AD AM AB AA. = . = ′2

Mà A, A’ và D cố định suy ra P cố định

Gọi H là hình chiếu của K trên AA’

4

OP OH OI OK ON= = = AA′

Mà O, P, A’ cố định suy ra H cố định

Vậy K thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với AA’

Bài 16.Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường

tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Lấy

P là một điểm trên XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui

Hướng dẫn:

Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và

AM với XY Ta cần chứng minh Q Q≡ ′

Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra

PM PC PQ PZ=

Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra

PQ PZ′ =PN PB

Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của

đường tròn đường kính AC và đường tròn

đường kính BD nên

.

Suy ra PQ PZ = PQ PZ′ ⇒ ≡Q Q′

Vậy XY, AM và DN đồng quy

Bài 17 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn

AB Đường thẳng qua H cắt đường tròn tại C Đường tròn đường kính CH cắt

AC, BC và (O) lần lượt tại D, E và F

a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy

b) Đường tròn (C, CH) cắt (O) tại P và Q Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng hàng

Hướng dẫn

a) Ta có CA CD CH. = 2 =CB CE. , suy ra ADEB nội tiếp Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp đường tròn trên nên chúng đồng quy

b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C)

và (O) nên OC ⊥PQ Ta cũng dễ thấy

OD⊥DE

Hơn nữa M chính là tâm đẳng phương của

ba đường tròn (O), (C, CH) và đường tròn

đường kính CH Suy ra PQ đi qua M

Vậy DE, PQ cùng đi qua M và cùng vuông

góc với OC nên trùng nhau Hay D, E, P, Q

thẳng hàng

Bài 18 Cho tam giác ABC có đường cao

BD và CE cắt nhau tai H M là trung điểm của BC, N là giao điểm của DE và

BC Chứng minh rằng NH vuông góc với AM

Hướng dẫn

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của

AH, MH

Ta có

DEH DAH DBC FEH

FED FEH DBC DMC

Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp

Từ đó ta có NE ND NF NM. = . , suy

ra N nằm trên trục đẳng phương của

đường tròn

(O, OH) và đường tròn (I, IH)

Mặt khác H là giao điểm của đường tròn

(O, OH) và đường tròn(I, IH), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I)

Suy ra NH ⊥OI , mà OI // AM, do đó NH ⊥ AM

Bài 19 Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB,

AC tại D và E Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của

DE với BP và CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q Chứng minh rằng

AQ OI⊥

Hướng dẫn.

Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG),

N là giao thứ hai của AC và (PFG)

Ta có ·AMP PGD= · và PGD PCB· = · (đồng vị),

suy ra ·AMP PCB= · , suy ra BMPC nội tiếp

Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp

Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra AM AB AN AC. = .

Mà AD AE

AB = AC (Định lý Thalet)

Suy ra AM AD AN AE. = .

Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ OI⊥

Bài 20 Cho tam giác ABC là tam giác nhọn và không phải tam giác cân

nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi sao cho vuông góc với OA và luôn cắt tia AB, AC Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d

và AB, AC Giả sử BN và CN cắt nhau tại K, AK cắt BC

a) Gọi P là giao của AK và BC Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi H là trực tâm của tam giác AMN Đặt BC = a và l là khoảng cách từ A đến HK.Chứng minh KH đi qua trực tâm của tam giác ABC, từ đó suy ra: l≤ 4R2 −a2

Hướng dẫn.

a) Gọi Q là giao

điểm của MN và BC,

E là trung điểm BC

Xét tứ giác BMNC thì

ta biết rằng Q, P, B, C

là hàng điểm điều hòa

Suy ra (QPBC) = - 1

Khi đó ta có:

2

Mà tứ giác BMNC cũng nội tiếp vì có ·NCB xAB AMN=· =· (Ax là tia tiếp tuyến của (O)) Suy ra QM QN QB QC =

Từ đó suy ra QM QN QP QE = , suy ra tứ giác MNIP nội tiếp, suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua điểm E cố định

b) Giả sử 3 đường cao AD, BF và CJ của tam giác ABC cắt nhau tại I; ba đường cao MX, AY, NZ của tam giác AMN cắt nhau tại H Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng

Xét đường tròn tâm (O1) đường kính BN và tâm (O2) đường kính CM

Ta thấy:

KC KM KB KN

IC IJ IB IF

HM HX HN HZ

=

=

=

Suy ra K, I, H cùng thuộc trục đẳng phương của (O1) và (O2) nên thẳng hàng

Từ đó suy ra AL AI≤

4

BC

Nên AL l= ≤ 4R2 −a2

Bài 21 Cho hình chữ nhật OABC, đường tròn (O ; OA) cắt BC tại D, tiếp

tuyến tại D của (O ; OA) cắt OC tại E Chứng minh : AE ⊥OB

Hướng dẫn.

Cách 1

Ta có: OD2 =OC OE

2

OA OC OE

OA OE

OC OA

OA OE

AB OA

⇒∆ OAB ∼∆ EOA ( c.g.c )

BOA OEA

EA OB

Cách 2:

Có OD2 =OC OE ⇒OA2 =OC OE

2

AE OB= AO OE OA OC+ + = −OA +OE OC O=

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AE OB

Cách 3:

Xét 2 đường tròn (O) và đường tròn (ABCO) có OB là đường nối tâm

/( ) /( ) 0

A O A ABCO

2 /( ) , /( )

⇒℘E O/( ) =℘E ABCO/( )

Vậy AE là trục đẳng phương của 2 đường tròn (O) và (ABCO)

AE OB

⇒ ⊥ ( trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm )

Cách 4:

Nhận xét: tứ giác ABCD có AC ⊥BD⇔ AB2 − AD2 =CB2 −CD2

Áp dụng: EA OB⊥

EO EB AO AB

0 0

2 2 0

OD OA

⇔ − = ( luôn đúng )

Bài 22.Cho tam giác ABC , trực tâm H O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác HBC AA’, BB’, CC’ là các đường cao Gọi M là giao điểm của A’C’ với BB’, N là giao điểm của CC’ với B’A’ Chứng minh : AO vuông góc với MN

Hướng dẫn.

Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp

∆ABC, E là tâm đường tròn Ơle của

⇒ đường tròn (E) đi qua A’, B’, C’ và E

là trung điểm KH

Ta có AH = KO, AH // KO ⇒ AHOK

là hình bình hành

⇒ A, O, E thẳng hàng (1)

Mặt khác , tứ giác BC’HA’ nội tiếp ⇒MC MA' '=MB MH

hay ℘M/(E) =℘M/(HBC).

tương tự ℘N/( )E =℘N/(HBC)

⇒ MN là trục đẳng phương của đường tròn (E) và đường tròn (HBC)

⇒ MN ⊥EO (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN ⊥ AO

Bài 23 Cho tam giác ABC, D thuộc đoạn BC, E thuộc đoạn AD Đường tròn

ngoại tiếp ∆BDE cắt AB tại K Đường tròn ngoại tiếp ∆CDE cắt AC tại L Gọi

M là giao điểm của DK với BE, N là giao điểm của DL với CE, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC Chứng minh : AO vuông góc với MN

Hướng dẫn.

Cách 1:

Nhận xét:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp

đường tròn (O) Gọi I là giao điểm

của AC và BD, E là giao của AB và

CD, F là giao của AD và BC Khi đó

2 /( ) /( )

2 F/( ) I/( )

2 I/( ) E/( )

(*) (**)

EF FI IE

Chứng minh nhận xét :

Trên EF lấy K =(ADE) EF(K E)∩ ≠

tứ giácAEKD nội tiếp ⇒EAF· = ·DKF(1)vàFE FK. =FD FA.

tứ giác ABCD nội tiếp ⇒FD FA. = pF/(O)

Do đó pF/(O) =FE FK. (2)

Do (1) và ·EAD DCB= · nên tứ giác CDKF nội tiếp suy ra ℘E O/( )

ED EC EK EF

Từ (2) và (3) suy ra: ℘E O/( ) +℘F O/( ) = EF2

Hệ quả: O là trực tâm ∆IEF

Chứng minh hệ quả:

(*) ⇔OE2+OF2 −EF2 =2R2

2

(**) ⇔OF2 +OI2 −IF2 =2R2

2

Do đó OE OF OF OIuuur uuur uuur uur. − . =0

OF IE

OF IE

Chứng minh tương tự: OE⊥IF

nên O là trực tâm ∆IEF

Cách 2: từ (*) và (**) suy ra: IE2

-IF2 =℘E O/( )−℘F O/( )

2 2

OF

OE

Do đó OI EF⊥

Chứng minh bài toán:

Ta có: AM2 - AN2 =

A/( ) M/( ) A/( ) N/( )

M/( ) N/( )

M/( )O N/( )O

= (MO2 −R2) (− NO2 −R2)

= MO2 − NO2

Vậy AO⊥MN

Bài 24 Cho tam giác ABC, D thuộc đoạn BC, E thuộc đoạn AD Đường thẳng

CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD tại Q và P, đường thẳng BE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại M và N

a) Chứng minh : M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MPNQ Chứng minh : OD⊥

BC

Hướng dẫn.

a) Ta có: EP EQ EA ED =

EP EQ EM EN

⇒ M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường

tròn

b) Ta có:

2 2 ( 2 2) ( 2 2)

= ℘B O/( ) −℘C/( )O

= BM BN CP CQ −

= BC BD CD( + )

= (BD CD BD CD− )( + )

= BD2 −CD2

Vậy OD⊥BC

Bài 25 Cho tam giác ABC Dựng ra ngoài 2 tam giác cân tại A là tam giác ABP

và ACQ thoả mãn ·ABP ACQ= · Gọi R là giao điểm của BQ và CP, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR Chứng minh : AO ⊥BC

Hướng dẫn.

Có ∆APC = ∆ABQ c g c( )

·APC ·ABQ

·AQB ACP=·

⇒tứ giác APBR và tứ giác

AQCR nội tiếp

Gọi M = AC∩(APBR)

N = AB∩ AQCR

⇒tứ giác BNMC nội tiếp.

( ) ( )

AB AB BN AC AC CM

AB AC BR BQ CR CP

AB AC BO R CO R

AB AC BO CO

AO BC

Bài 26 Cho tam giác ABC Dựng các hình vuông ACZT, ABVU, BCYX Gọi A1

là giao của BT và CU, A2 là giao của BZ và CV, B1 là giao của AX và CV, B2 là giao của AY và CU, C1 là giao của AY và CZ, C2 là giao của AX và BT Chứng minh : A1A2, B1B2, C1C2 đồng quy

Hướng dẫn.

Xét 3 đường tròn đường kính AA2, BB2, CC2

Có ℘A /(BB )1 2 = ℘0, A /(CC )1 2 =0 (1)

tứ giác BB1CX và tứ giác BC1CY nội tiếp suy ra tứ giác BB1C1C nội tiếp

2 2 1 2 2 1

A B A C A C A B

⇒℘A /(BB )2 2 =℘A /(CC )2 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A1A2 là trục đẳng phương của (BB2) và (CC2)

Tương tự B1B2 là trục đẳng phương của (AA2) và (CC2)

C1C2 là trục đẳng phương của (AA2) và (BB2)

Vây A1A2, B1B2, C1C2 đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn đã xét