PP Điểm rơi http://mathisthinking.tk/ Ch n i m r i Bản chất ñiểm rơi là chọn những hệ số phù hợp cho quá trình sử dụng bất ñẳng thức ñược thuận lợi và dấu bằng có thể xảy ra.. Để rơi thà
Trang 1PP Điểm rơi http://mathisthinking.tk/
Ch n i m r i
Bản chất ñiểm rơi là chọn những hệ số phù hợp cho quá trình sử dụng bất ñẳng thức ñược thuận lợi và dấu bằng có thể xảy ra Để rơi thành công thì chúng ta cần biết 1 số ñiều:
• Thông thường dấu bằng xảy ra với những biến có vai trò như nhau sẽ bằng nhau Biến có vai trò
như nhau thì khi ñổi chỗ vị trí của biến bài toán không thay ñổi VD: Choa b+ +2c= Tìm 4 Min M =a3+b3+3c4thì a,b là các biến có vai trò như nhau
• Do dấu bằng của BĐT Cô-si xảy ra tại các biến bằng nhau nên ta thường sử dụng pp tách: Tách
a thành m số: a a a a
= + + + , tách a m=a a a
• Hệ số phụ thuộc vào các yếu tố sau :
+Dấu bằng của BĐT +Mục ñích của BĐT (hạ bậc, khử biến, tạo giả thiết,…) +Tỉ lệ hệ số trong biểu thức cần tìm cực trị và giả thiết
• Dấu bằng thường xảy ra trùng với dấu bằng ở các BĐT trong giả thiết (nếu có)
• Ta chỉ cần chọn hệ số
Bài toán chọn lọc:
Cho , ,a b c >0và 21ab+2bc+8ca≤12 Tìm min M 1 2 3
= + +
Tư duy: Rất ñơn giản là từ giả thiết mà CS ta có a b c m n p ≤?.Rồi CS M sao cho cũng tạo ra
ñược ở mẫu m n p
a b c .Nhưng nói là vậy còn làm thì sao ? Bài giải:
Để M dễ nhìn ta ñặt a 1,b 1,c 1
= = = giả thiết sẽ thành 2x+8y+21z≤12xyz và
M = +x y+ z
Giờ thì rơi z x y
= = sẽ có
1
21
21 8 21 2 2 8
?
+ +
Đến lượt M rồi
1
3
+ +
= + + = + + ≥ + +
Bài toán sẽ thành công khi m: 2 : 3n =(21 8 ) : (21 2 ) : (2+ n + m m+8 )n Ta sẽ viết thành
2
n
Thế vào thằng thứ 2 sẽ có
2
vào giải mà lấy FX sẽ cho ngay 9 15
m= → =n Từ ñây ta cũng tìm ra ñược
x= y= z=
Important Note: Haizz! Đọc xong lời giải trên cũng thấy ñau cả ñầu, nhưng ñừng lo, mục ñích
cuối cùng của bài viết cũng chỉ là ñể các bạn làm ñược các bài dễ hơn hoặc bằng ở trên thì tác
giả ñã mừng lắm rồi !
Trang 2PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/
I.Tính chất hạ bậc
• Hạ bậc ñơn biến CS m biến x m và m-n hằng sốα
(x m+x m+ + x m)+(α α+ + + α)≥m mαm n− x n
• Hạ bậc ña biến CS a biến m
x và b biến n
y sẽ tạo ra ñơn thức tích xy có tỉ lệ bậc là am
bn)
ax +bx =x +x + +x +y +y + y ≥ a b+ + x y
Nhận xét:
-Hạ bậc cho phép ta mô tả ( , , ) f a b c từ ( , , ) g a b c trong ñó bậc của g lớn hơn f -Điểm rơi giúp ta chọn m,n,α
Chú ý:
-Hai dạng nêu trên chỉ mang tính tiêu biểu còn trong quá trình làm bài xin nhớ cho nguyên tắc:
Mỗi số ñều có thể tách thành m số như nhau và CS cùng hệ số α (ña thức bậc không) ->khi ñó bậc sau
CS sẽ thay ñổi
VD1.Cho a b c, , >0, a b c+ + = Tìm Min 3 M =a3+64b3+ c3
Do a,c có vai trò như nhau nên ta giả sử dấu bằng xảy ra tại a= =c m b, = ⇒n 2m n+ =3 (*).Khi ñó
3 ( )
a +m +m ≥ m a |=>ñể dùng ñược giải thiết thì hê số của a,b,c bằng nhau tức
3 ( )
a +m +m ≥ m c |3m2 =64.3n2 (**)
64b +64n +64n ≥64.3n b( ) | Từ (*) và (**) rút thế ta có m=24/17 và n=3/17
VD2.Cho a b c, , >0, 2a+4b+3c2=13Tìm Min M =a2+b2+ c3
Giả sử dấu bằng xảy ra tại a=m b, =n c, = ⇒p 2m+4n+3p2 =13 (*).Ta CS như sau
2 ( )
2 ( )
3 ( )
+ + ≥
+ + ≥
=> ñể dùng ñược giải thiết thì
2
(**)
m= n = p
Xử lý (*) và (**) bằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có
2
1, 2, 1
VD3.Cho a b, >0, a2+b5= Tìm Min 5 3 6
M =a + b
Giả sử dấu bằng xảy ra tại a=m b, = ⇒n m2+n5=5(*).Ta CS như sau
3 ( )
6
6 ( )
( )
≥ − +
=>ñể dùng ñược GT thì
(**)
=
Từ (*) và (**) ta có thể rút thế ñể có 2 20, 5 25
VD4 Cho a b, >0, a b2 3=2011Tìm Min M =a7+b5
Ta khoan quan tâm ñến dấu bằng mà hãy ñem CS m số a và n số 7 b như sau: 5
m n
m n
m n
m n
+ + + + + + + + ≥ + =>ñể dùng ñược giải thiết thì 7 2
m
n = nên ta chọn m=10 và n=21 Dấu bằng xảy ra khi
10 21
= và a b =2 3 2011(luôn có a và b ñó !)
VD5 Cho 2 2 2 16
4 25
a +b +c + ab = Tìm Max M =ab+bc+ca
Trang 3PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/
Giống như VD1 dấu bằng xảy ra tại a=b Ta CS như sau:
=>Ta ñã làm xong quá trình mô tả các biến nhưng thế là chưa ñủ vì các biến còn mang theo mình hệ số Lần lượt nhân các BĐT với x,y,z,t ta sẽ có hệ thức
Giờ thì sẽ cần có
1 (nhìn ào GT)
16 / 25
2 2 2 ( ook at M)
y z v
t
1
16
25
y
+
Có m rồi thì dấu bằng còn chi là khó khi 50, 2 2 2 16 4
a= =b c a +b +c + ab= Thôi tự giải tiếp nhé
II.Tính khử kiểu tích
Xét phân số A
B
• Khử nội phân số: ta phân tích B thành nhân tử và tách A làm các thừa số sao cho sau CS
có ñược ñiều mình muốn
?
1 2
?
A A
• Khử mở rộng: phân tích B thành nhân tử rồi cộng cả phân số với các nhân tử của B sao cho CS có ñược ñiều mình muốn ?
1 2
?
A
Nhận xét:
-Việc nhìn nhận B B1, 2 khá dễ dàng -Điểm rơi giúp ta chọn hệ số cho các biến ñem CS sau cho phù hợp
VD1.Cho x,y,z>0 thoả mãn x+ + =y z 3CMR: + +
2 2 2
4 (
9
8 8 8
Vai trò x,y,z như nhau nên dấu bằng khi chúng bằng nhau và bằng 1
Ta phân tích bài toán ñể tìm biến CS nhé :
=
8 ( (
4
nên ta sẽ chọn thêm 2 biểu thức y+ y− y +
( , ( 4 ñể thực hiện
+
x y
1
9 8
, (y+2)=3, y− y+
( 4=3 nên ta sẽ làm như sau x y y y x
y
2
4
3 8
+
2 2 2
1 0( ( 1
2 2 2 1 (
(Ẹnoy!)
VD2.CMR
a b
b c+ca+ a ≥ + với , ,a b c > 0
2( )
2 ( )
2 ( ) ( )
ab ab
≥
( )
tab t ab
Trang 4PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/
Nhìn vai trò a,b,c không hề như nhau nhưng hãy cứ thử cho a=b=c ta ñược dấu bằng
Nếu ñược thế thì cùng thử liều xem
4
2
2 2
4
2
a
b c
c
a
+ + + ≥
+ ≥
.Bài này xoáy thật !
VD3.CMR
9
c a b
b c+c a+a b≥ − − + + + với , ,a b c > 0 Nhìn ñi: a,b có vai trò như nhau nên ta sẽ ñăt a=b=mc thì dấu bằng xảy ra tại
Nhét vào Fx570ES sẽ cho ra m=2.Và khi ñó ta sẽ làm như sau:
2
2
16
a
b c
c
a b
+
+
VD4.Cho x,y>0 x+y=4 Tìm Min M 2x 3y 6 10
Ta CS như sau
6
2 6 10
2 10
x
y
+ ≥
=> Dấu bằng xảy ra tại
2
2
4(*) 10
mx
ny
=
Và phần còn lại của M là (2−m x) + −(3 n y) ñể giải quyết ñược cần 2−m= − hay 3 n n=m+ (**) 1
Từ (*) và (**) ta có 6 10 4
1
+ nhét và máy tính ñi sẽ cho m=3/2 -> n=5/2
VD5.Cho a ≥ Tìm Min 2 M a 12
a
= +
Có dấu bằng là a=2 rồi thì cứ thế mà làm 3
.2 3
a a
a
VD6 Tìm Min M (1 x)(1 y)(1 9 )2
Ta sẽ CS 1+x bằng cách tách thành a số và x thành b số Khi ñó sẽ tạo ra a b b
x
+ Và thằng này chỉ
có thể khử khi CS (1 y)
x
+ bằng cách tách ra a số và y
x ra b số tức tạo ra
b
a b b
y x
+ Nếu làm như vậy
dấu bằng xảy ra tại
2
thể bằng 3 và y sẽ là 9 Lời giải chuẩn như sau
2
M
Trang 5PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/
(1 3 )( 8 )( 9 )( 6)
xy M
=
Ta sẽ CS mỗi thừa số của tích như sau
(1 3 )+ x tách thành a số x thành b số sẽ tạo ra biến a b+ x b và dấu bằng tại 1 3x
a = b
Để khử ñược x (bậc1) ở từ thì (x+8 )y tách x thành a số và y thành b số sẽ tạo ra biến a b+ x y a b Dấu
bằng tại x 8y
a= b
Lập luận tương tự có
4
2, y , 1,
Lời giải hoàn chỉnh như sau
4
VD8.Tìm Min
2
3
3 1
M
x
− +
=
−
1−x = 1−x 1+ +x x nên cần tìm m,n sao cho
3
m n
m −x +n + +x x =x − + =x nx + n m x− + + ⇒ = − =m n n m n + ⇒m= n=
Bài toán ñược giải như sau
2 2
M
z 3
x+ xy+ xy = CMR M = + + ≥ x y z 1
4
x+ + ≥y z x+ xy+ xy Để CS ta cần tách x làm 3 số, y làm 2 số như sau
3 3
3
2
3
4 3
8
1 ( ách tác )
( ) 4
a
l k
bd
ce
=
và
1 1
1
1 1 1
4
d e
b c
+ =
+ =
Rút thế lung tung ta sẽ có
3 2
(3 / 8) 1
1
1 / 4 1 /c c 4
+ =
− .Nhờ Fx570ES cho c=16 rồi thế là
16 3
b = ,e=4, 4
3
d =
Lời giải sau khi có dấu bằng 1 13 4
x+ x y+ x y ≤ x+ +y z
III.Tính khử kiểu tổng
Ta thường tách từ A thành m biến A rồi dùng ñiểm rơi chọn hệ số phù hợp cho các biến m
VD1.Cho x ∈[0;2]Tìm Max M =x3(2−x)5
Trang 6PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/
Để khử ñược hết x ta phân tích M ra các thừa số x bậc 1 và chọn hệ số cho chúng như sau
3
5
m n x
M
n
+
−
VD2 Cho x ∈[0;1] Tìm Max M =13 x2−x4 +9 x2+x4
Ta làm như sau
Để dấu bằng xảy ra và khử hết biến x thì
Lại nhờ Fx cho ta
,
m= n=
IV.Bài toán khó
1.Dùng các phép thử ñơn giản tìm dấu bằng
VD1:Cho , ,a b c>0, a+2b+3c≥20CMR 3 9 1 5
2
= + + + + + ≥ (a=2,b=3,c=4)
VD2:Cho , ,a b c>0, ab≥12, bc≥ CMR 8 2( 1 1 1 ) 8 121
12
ab bc ca abc
VD3:CMR
22 12 24
bc+ ca + ab ≥ − − với , ,a b c > (a=2b=4c) 0
VD4:Cho (a2+ +a 2)(b+1) (2 c2+3 )c =64Tìm Max 3 4 5
M =a b c (a=b=c=1)
VD5:Cho a=max a b c{ , , }Tìm Min M a 2 1 b 3 13 c
2.Giả thiết lừa
VD1:Cho 0< ≤ Tìm Min x 2 1995
2011
1
x x
+
Đã là lừa thì cứ làm bình thường mà tách 1995
x ra 2011 số còn 20111
x ra 1995 số
VD2:Cho
4, 2, 1995
2011
a b c
+ + = Tìm Max M =abc
Bài toán này thì không ñơn giản Nếu nhìn vào bài toán ta sẽ thấy cả 3 biến khác biệt nhau rất nhiều
Tuy nhiên hãy xem ñến 1995 dường như ñặc biệt hơn cả 4 và 2 Ta có thể dự rằng dấu bằng tại a=b=8
và c=1995 Khi ñó
3
a b
V.Vài c m nh&n nhỏ
*1.Cho x ∈[0;1] CMR t2−2t+ +3 t2+4t+ ≤6 2+ 11
2
2 2
1
13(1 ) 9( 1)
2 1
Trang 7PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/
Dấu bằng khi t=1 nhưng nếu ta CS sẽ có
2
( )
t
+
Nhưng tam thức bậc 2 ñó max tại t=-1 ?????
… =>Qua bài toán này tôi muốn nói rằng không phải bất cứ khi nào có dấu bằng cũng có thể làm
ñược Bài toán trên bình phương lên rồi xét hiệu sẽ có ñáp án !
*2.Cho x,y>0 và x+ = Tìm Min y 1 2 2
3 1 2 2 40 9
Ta sẽ dùng B.C.S như sau S= (a2+b2)(1 2+ x2)+ (c2+d2)(40 9+ y2)≥ +a 2bx+2 10c+3dy
Việc chọn a,b,c,d thỏa mãn
1
2 / 3
;
2 10
a
b
=
=
=
+ =
… => Như vậy khi ñã nắm ñược nguyên lý hoạt ñộng của pp này ta có thể dùng nó với mọi loại BĐT
chứ không riêng gì CS Sau ñây sẽ là một vài ví dụ
PP phân phối lại
Cho a,b,c>0 CMR
a b c
Không thể lấy
2
5
ab b
− + nên ta nghĩ ñến việc tìm m,n ñể
2
5
0 3
ma nb
ab b
−
+
(ma+nb ab)( +3 ) (5b − b −a )=a +ma b+(3m n ab+ ) +(3n−5)b ≥ 0
Kiến thức bổ trợ: Cho
1
( ) ( ) 0
f x ax bx cx d
f x
=
2
f x ≥ "x⇔ ax + bx + = c
Chia cho b và ñặt 3 x a f x( ) x3 mx2 (3m n x) (3n 5) 0
b
= ⇒ = + + + + − ≥ Dấu bằng lại xảy ra tại x =1nên
⇔
Trở lại bài toán ta có
2
5
3
ab b
−
+
b
Chú ý: Đây là một kĩ thuật khá mạnh trong chứng minh các bài toán phân thức có bậc vừa phải.Kiến
thức bổ sung chính là ñạo hàm bậc nhất của các hàm ña thức tuy nhiên không cần hiều gì về nó bạn
chỉ cần nhớ là với hàm ña thức bậc 4 ta sẽ ñi xét 4ax3+3ax2+2bx c + = Các bậc nhỏ hơn thì coi 0
như hệ số bậc lớn bằng 0
ÜSau khi ñọc xong bài toán trên chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát hơn khá nhiều cho các bài báo
“Hành trình ñi ñến bài toán tổng quát” (THTT số 371 tháng 8/2008) và “Một phương pháp chứng
minh bất ñẳng thức”(THTT số 403 tháng 1/1011)
Bài t p cho pp iểm r i
1 Cho
, , 0
47 12
a b c
a b c
>
+ + =
M = a + b + c
2 Cho a+b+c=2011 Tìm Max 4 2 1995
M =a b c
Trang 8PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/
3 Cho 0< ≤ ≤b a 4, a b+ ≤7, 2≤ ≤ ≤ Tìm Min c 3 d 2 2
M
+ + +
=
+
4 Cho a,b,c>0 và a b b c c a2 + 2 + 2 = Tìm Min 1 M =2(a3+b3)+ c3
5 CMR Với a,b,c>0 thì a2 b2 4c2 a 3b
b + c + a ≥ +
6 Cho a,b,c,d>0 và c+d=4, 2 2
4a +b = Tìm Max M=2ac+bd+cd 2
7 CMR Với a,b,c>0 thì 3 3 2
a
b c a +c a b +b c≥ +
8 Tìm Max M =(x+z y t)( + biết ) 2 2 2 2
x +y + z + t =
9 Tìm Min 11 4 1 72
2
M = x+ − x−x
11 Biết ,x y≥0,z≥60,x+ + =y z 100 Tìm Max M =xyz
12 Cho , ,x y z ≥ và 0 x+ + = Tìm Min y z 1
z
x y M
xy
+
=
14 Cho , ,x y z ≥ và 0 3x2+4y2+5z2 =xyz Tìm Min M =3x+2y+ z
15 Cho
1 1
a b a b
>
≥ +
M
16 Cho 2 2 2
3x +2y +z ≤ Tìm Tìm Min 1 M 3a 4b 5c
bc ca ab
Bài t p rèn luy n k n ng sử d ng ô-si
LT3:Cho 0≤ ≤x 3, 0≤ ≤y 4.Tìm max M =(3−x)(4−y)(2x+3 )y
LT4:Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh:
3 3
LT5:Cho x ∈[0;1]Tìm Min 2010 2011
1
M
−
LT6: Tìm Min M ab a b
+
+
LT7: Cho a,b,c>0 và a2 ≥b2+ Tìm Min c2
2
+
LT10: Tìm Min
2
2
2009 2010 1 2011
1
x M
x
=
−
( )(2 3)
− + với a>b>0
LT15: CMR Với a,b,c>0 thì
+ +
LT16: Cho x,y,z>0 và xy+yz+zx=3 Tìm Min 1 4
M
LT17: Tìm Max M =x2(1−x3) với 0<x<1 rồi tìm liên hệ cho LT4
Trang 9PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/
Tác giả ñã tham khảo quá nhiều tài liệu nên không thể nhớ rõ Mọi thông tin ñóng góp xin gửi về
hieuvghy@gmail.com