Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)

Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các khái niệm cơ bản 4

1.2 Phương trình chuẩn của hyperbol 5

1.3 Đường tiệm cận của hyperbol 8

1.4 Hyperbol với tâm là điểm cho trước 13

1.5 Quan hệ với các đường cônic khác 18

1.6 Tính chất phản xạ của hyperbol 21

1.7 Một số bài tập ứng dụng 23

Chương 2 ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HYPER-BOL 33 2.1 Giới thiệu khái quát 33

2.2 Hyperbol trong hàng hải 34

2.3 Hyperbol trong kiến trúc, xây dựng 38

2.3.1 Kiến trúc 38

2.3.2 Năng lượng hạt nhân 39

2.4 Hyperbol trong Vật lý thiên văn 40

2.4.1 Khoa học không gian 40

2.4.2 Hyperbol với hệ mặt trời 42

2.5 Hyperbol trong đời sống 43

2.5.1 Gương hyperbol 43

2.5.2 Hệ thống định vị từ xa 44

2.5.3 Mô hình hóa bằng hyperbol 452.5.4 Nghệ thuật nhiếp ảnh 462.6 Một số bài tập áp dụng 47

Danh sách hình vẽ

1.1 Hyperbol 5

1.2 Vẽ một Hyperbol 5

1.3 Hyperbol với tiêu điểm trên Ox 6

1.4 Hyperbol với tiêu điểm trên Oy 6

1.5 Đường tiệm cận của hyperbol 8

1.6 Hyperbol với tiêu điểm trên Ox 9

1.7 Hyperbol với tiêu điểm trên Oy 9

1.8 Ví dụ 1.2a) 11

1.9 Ví dụ 1.2b.) 11

1.10 Ví dụ 1.2c) 12

1.11 Tâm của hyperbol tại điểm (h, k) trong hai trường hợp: trục thực nằm ngang và trục thực nằm dọc 13

1.12 Tâm của hyperbol tại điểm (h, k) = (2, 2) 14

1.13 Các đường tiệm cận của hyperbol tâm là (h, k) 14

1.14 Tìm phương trình chuẩn nhờ đường tiệm cận 15

1.15 Ví dụ 1.4.4 17

1.16 Đồ thị của hyperbol ở Ví dụ 1.4.6 17

1.17 Tâm sai e lớn 18

1.18 Tâm sai e nhỏ 18

1.19 Thiết diện cônic 19

1.20 Tiêu điểm và đường chuẩn của các đường cônic 20

1.21 Tính chất phản quang 22

1.22 Góc tới bằng góc phản xạ 22

1.23 Hình bài tập 1.7.6 29

1.24 Hình bài tập 1.7.7 30

2.1 Sao chổi quanh mặt trời 34

2.2 Cung thiên văn St Louis 34

2.3 Xác định vị trí con tàu 35

2.4 Hyperbol với d1 − d2 = 50 35

2.5 Xác định vị trí con tàu nhờ ba trạm phát tín hiệu 36

2.6 Xác định vị trí của vụ nổ trên một nhánh hyperbol 37

2.7 Hyperbolic paraboloid 38

2.8 Phần hyperbol của vòm 38

2.9 Tháp làm mát hạt nhân 40

2.10 Phần hyperbol của vỏ tháp 40

2.11 Gương không gian 41

2.12 Sơ đồ gương 41

2.13 Quỹ đạo của sao chổi 43

2.14 Gương hyperbol 43

2.15 Hệ thống định vị từ xa 45

2.16 Thiết diện hyperbol 45

2.17 Tiếng ồn máy bay 48

2.18 Bài tập2.6.3 48

2.19 Hạt chuyển động bị lệch hướng 50

2.20 Xác định vị trí vụ nổ 50

2.21 Hai tòa nhà hình hyperbol 51

Mở đầu

Các đường cônic, nói riêng đường hyperbol, đã rất quen thuộc trongkhoa học, ở các trường phổ thông, cũng như trong đời sống Chúng là môhình cho nhiều quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên: quĩ đạo của cácthiên thể hay quĩ đạo của các hạt điện tích (như electron) là các đườngcônic, nói riêng một số sao chổi chuyển động quanh mặt trời theo quĩđạo là một nhánh hyperbol Trong thực tế, ta cũng thường thấy một sốcông trình kiến trúc (nhà thờ, trung tâm văn hóa, cung thiên văn, thápcao làm mát của nhà máy điện nguyên tử ) hay một số đồ vật có hìnhdạng đường cong hyperbol, trong kỹ thuật còn có các thấu kính, gương

và bánh răng cưa hình hyperbol, Như vậy, đường cong hyperbol cónhững tính chất rất đáng chú ý, đã và đang được sử dụng nhiều trongtoán học, vật lý, thiên văn, địa lý, kiến trúc, xây dựng và cả trong kỹthuật

Đề tài luận văn "Một số tính chất hữu ích của đường cong hyperbol "

có mục đích tìm hiểu và trình bày các tính chất của đường cong hyperbol

và một số ứng dụng của đường hyperbol trong khoa học, kỹ thuật vàtrong đời sống thường ngày Luận văn chủ yếu tìm hiểu các định nghĩa,các khái niệm và các tính chất cơ bản của hyperbol, đặc biệt là tính chấtphản xạ (ánh sáng), cách biểu diễn đại số, các dạng phương trình củahyperbol, , các ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và đời sống, đặcbiệt là bài toán xác định vị trí tàu thuyền trên biển, vật bay trên không,xác định nơi xẩy ra tiếng nổ, , cùng với một số bài tập áp dụng đơngiản

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo lấy từnguồn Internet, không trùng lặp với bất cứ tài liệu tiếng Việt nào đã cótrước đó.

Nội dung luận văn gồm hai chương:

Chương 1 "Đường cong hyperbol " trình bày các định nghĩa và các kháiniệm cơ bản về đường cong hyperbol, cách vẽ một hyperbol, thiết lậpphương trình dạng chuẩn của hyperbol, đường tiệm cận của hyperbol,cách vẽ đồ thị một hyperbol, quan hệ hyperbol với các đường cônic khác

và tính chất phản xạ của hyperbol Cuối chương, nêu một số bài tập ứngdụng về đường cong hyperbol

Chương 2 "Áp dụng các tính chất của hyperbol " trình bày một số ứngdụng thường gặp của đường cong hyperbol trong kỹ thuật (sóng vô tuyến,thấu kính, gương, bánh răng), trong kiến trúc xây dựng công trình (lâuđài, nhà thờ, cung điện, tháp làm mát ở nhà máy điện hạt nhân ), quĩđạo hyperbol (vệ tinh, sao chổi) trong các ngành thiên văn, địa lý, xácđịnh vị trí tàu thuyền (trên biển, trên không), nơi xẩy ra tiếng nổ Cuốichương một số bài tập ứng dụng cũng được chỉ ra

Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìmhiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã cótheo chủ đề đặt ra với những lập luận, diễn giải đơn giản, dễ hiểu nhất

có thể và với nhiều ví dụ và hình vẽ minh họa phong phú, cụ thể

Sau một thời gian cố gắng và nỗ lực làm việc nghiêm túc dưới sự hướngdẫn của thầy, GS TS Trần Vũ Thiệu, đến nay luận văn của tôi đã đượchoàn thành Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và lờicảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã luôn tận tình giúp đỡ tôi trong suốtquá trình làm luận văn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học, ViệnCông nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt

Toán-Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi họctập và nghiên cứu.

Tôi xin cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Yên Bái, nơitôi công tác và giảng dạy, đã luôn tạo mọi điều kiện thuận lợi về thờigian và tinh thần để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình

Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình,bạn bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích

lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Tuyết Mai

Chương 1

ĐƯỜNG CONG HYPERBOL

Chương này trình bày các định nghĩa, các khái niệm cơ bản về đườngcong hyperbol, cách vẽ một hyperbol, phương trình chuẩn của hyperbol,đường tiệm cận của hyperbol và tính chất phản xạ của hyperbol Xét mốiliên hệ giữa đường hyperbol với các đường cônic khác (elip, parabol) Nộidung của chương được tham khảo chủ yếu từ [1- 3] và [5]

1.1 Định nghĩa và các khái niệm cơ bản

Có nhiều định nghĩa về hyperbol Sau đây là một định nghĩa thôngdụng

Định nghĩa 1.1.1 Một hyperbol (hyperbola) là tập hợp của tất cả cácđiểm P trong mặt phẳng sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu giữa haikhoảng cách từ P tới hai điểm cố định trong mặt phẳng là một hằng sốdương

Hai điểm cố định, ký hiệu F và F0, được gọi là hai tiêu điểm (focus).Các giao điểm V và V0 của đường thẳng đi qua hai tiêu điểm và hainhánh của hyperbol gọi là các đỉnh (vertices) Đoạn thẳng V V0 gọi làtrục thực (transverse axis) Trung điểm của trục thực gọi là tâm (center)của hyperbol (xem Hình 1.1)

Để vẽ một hyperbol ta dùng thước kẻ, bút chì, đinh ghim và một sợidây (xem Hình 1.2) Cắm hai đinh ghim trên một tấm bìa cứng Những

Hình 1.1: Hyperbol Hình 1.2: Vẽ một Hyperbol.

điểm này tạo thành tiêu điểm của hyperbol Đặt góc thước kẻ vào tiêuđiểm F0 sao cho nó có thể xoay tự do quanh điểm này Lấy một đoạndây ngắn hơn chiều dài thước kẻ và buộc chặt một đầu dây vào góc A

của thước kẻ và đầu dây còn lại buộc vào điểm F

Bây giờ dùng bút chì đẩy sợi dây lên sát vào mép thước kẻ tại điểm

B Giữ dây căng và xoay thước kẻ quanh F0, luôn giữ góc thước kẻ tại

F0 Đường cong thu được sẽ là một nhánh của hyperbol Nhánh còn lạicủa hyperbol được vẽ bằng cách thay đổi vị trí của thước kẻ và sợi dây

Để thấy đường cong vẽ ra thỏa mãn điều kiện của định nghĩa, ta lưu ýrằng hiệu số khoảng cách BF0 và BF bằng

BF0− BF = BF0 + BA − BF − BA

= AF0 − (BF + BA)

= (chiều dài thước kẻ) - (chiều dài sợi dây)

= hằng số dương

1.2 Phương trình chuẩn của hyperbol

Sử dụng định nghĩa của hyperbol và công thức khoảng cách giữa haiđiểm, ta có thể đưa ra phương trình chuẩn của hyperbol trong hệ tọa độ

vuông góc.

A Ta bắt đầu bằng một hyperbol trong hệ tọa độ mà cả hai tiêu điểmnằm trên trục Ox, có tọa độ là F0(−c, 0) và F (c, 0) với c > 0, như ởHình 1.3

Hình 1.3: Hyperbol với tiêu điểm

|d1 − d2| = 2a < 2c ⇔ a < c (1.1)

Ta sẽ sử dụng (1.1) để rút ra phương trình của hyperbol

Trở lại Hình 1.3, điểm P (x, y) nằm trên hyperbol khi và chỉ khi

Ta được phép chia cả hai vế của phương trình (1.2) cho a2(c2− a2), vì cả

a2 và c2 − a2 đều khác 0 Theo (1.1), a < c nên a2 < c2 và c2 − a2 > 0.Hằng số a được chọn từ trước

Để rút gọn phương trình (1.3) hơn nữa, ta đặt

Bất đẳng thức cuối được thỏa mãn với mọi y ∈ R.

B Nếu ta bắt đầu với các tiêu điểm trên trục Oy vớiF0(0, −c)và F (0, c)

như ở Hình 1.4, thay vì trên trục Ox như ở Hình 1.3, thì lập luận tương

tự như trên ta thu được phương trình hyperbol

1.3 Đường tiệm cận của hyperbol

độ (xem Hình 1.5)

Hình 1.5: Đường tiệm cận của hyperbol.

Hình chữ nhật tâm O với các cạnh độ dài 2a và 2b như ở Hình 1.5 gọi

là hình chữ nhật tiệm cận (asymptote rectangle) Hai đường chéo củahình chữ nhật tiệm cận chính là hai đường tiệm cận của hyperbol

• Tương tự, các đường tiệm cận của hyperbol có phương trình (1.6) là

y = ±a

Đường phân đôi hình chữ nhật vuông góc với trục thực, kéo dài từ mộtcạnh của hình chữ nhật tiệm cận tới cạnh kia của hình chữ nhật đó, đượcgọi là trục ảo (conjugate axis) của hyperbol

Nhận xét 1.3.1 Khoảng cách từ tâm tới mỗi tiêu điểm bằng khoảngcách từ tâm tới một đỉnh của hình chữ nhật tiệm cận, hay đường tròn

có tâm là gốc tọa độ và đi qua tất cả bốn đỉnh của hình chữ nhật tiệmcận cũng đi qua cả hai tiêu điểm của đường hyperbol

Chúng ta tóm tắt các kết quả trên đây trong định lý sau để tiện theodõi

Định lý 1.3.2 Phương trình chuẩn của một hyperbol với tâm tại (0, 0):

Các điểm chắn x không có, các điểm chắn y: ±a

Hai tiêu điểm: F0(0, −c), F (0, c), c2 = a2 + b2

Độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b

Đường tiệm cận y = ±a

bx.

Trục đối xứng: Ox, Oy, tâm đối xứng: O(0, 0)

Hình 1.6: Hyperbol với tiêu điểm

trên Ox.

Hình 1.7: Hyperbol với tiêu điểm trên Oy.

Ví dụ 1.3.3 Đường thẳng đi qua tiêu điểm F của một hyperbol vàvuông góc với trục thực cắt hyperbol tại hai điểm G và H Với mỗi mộttrong hai phương trình chuẩn của hyperbol tâm tại (0, 0), hãy tìm khoảngcách từ G tới H theo a và b.

Lời giải a) Gọi điểm G(c, y), thay tọa độ điểm G vào (1.5) ta có

Ta có c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5 Như vậy hai tiêu điểm là

F0(−5, 0) và F = (5, 0) Độ dài trục thực bằng 2a = 2 × 4 = 8 Độ dàitrục ảo bằng 2b = 2 × 3 = 6

5 ≈ 4,47 Độ dài trục ảo bằng 2b = 2√

Nhận xét 1.3.5 Khi vẽ một hyperbol, ta thường gặp một sai lầm chung

là vẽ hyperbol ngửa lên, úp xuống mà lẽ ra phải vẽ hyperbol theo hướngtrái - phải, hay ngược lại Để tránh mắc phải sai lầm này, ta nên xácđịnh trước các điểm chắn (trên trục Ox hay Oy) một cách cẩn thận, tức

là trục thực nằm ngang hay dọc

Ví dụ 1.3.7 Viết phương trình của một hyperbol với các tiêu điểm là(0, −3) và (0, 3), và các đỉnh có tọa độ (0, −2) và (0, 2).

Lời giải Trục thực của hyperbol là trục dọc, vì các tiêu điểm và đỉnhcủa hyperbol nằm trên trục Oy Tâm là gốc tọa độ, bởi vì các tiêu điểm

và đỉnh cách đều gốc tọa độ Các tiêu điểm cách gốc tọa độ 3 đơn vị nên

c = 3 Tương tự, các đỉnh cách gốc tọa độ 2 đơn vị nên a = 2 Để tìm b,

1.4 Hyperbol với tâm là điểm cho trước

Nếu tâm của hyperbol là điểm (h, k) trong hệ tọa độ vuông góc thìphương trình chuẩn (1.5) trở thành

Hình 1.11: Tâm của hyperbol tại điểm (h, k) trong hai trường hợp: trục thực nằm ngang và trục thực nằm dọc.

Ví dụ 1.4.1 Viết phương trình của một hyperbol với các tiêu điểm là(−1, 2) và (5, 2), và các đỉnh có tọa độ (0, 2) và (4, 2)

Lời giải Tâm hyperbol là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểmnên có tọa độ (2, 2) Hơn nữa, c = 5 − 2 = 3 và a = 4 − 2 = 2 Từ đó,

Hình 1.12: Tâm của hyperbol tại điểm (h, k) = (2, 2).

• Phương trình của đường tiệm cận của hyperbol: Mỗi hyperbol có haiđường tiệm cận cắt nhau tại tâm của hyperbol, như vẽ ở Hình 1.13 Cácđường tiệm cận đi qua các đỉnh của một hình chữ nhật với tâm là (h, k)

và độ dài hai cạnh là 2a và 2b Đoạn thẳng có độ dài 2b nối (h, k − b) và(h, k + b) (hoặc (h − b, k) và (h + b, k)) và nằm trên trục ảo gọi là trụcliên hợp (conjugate axis) của hyperbol

Hình 1.13: Các đường tiệm cận của hyperbol tâm là (h, k).

Phương trình các đường tiệm cận của hyperbol là

y = k ± b

a(x − h) (trục thực nằm ngang),

y = k ± a

b(x − h) (trục thực nằm dọc).

Ví dụ 1.4.2 (Sử dụng các đường tiệm cận để tìm phương trình chuẩn)Tìm phương trình chuẩn của hyperbol có các đỉnh là (3, −5) và (3, 1) và

có các đường tiệm cận y = 2x − 8 và y = −2x + 4, như vẽ ở Hình 1.14

Hình 1.14: Tìm phương trình chuẩn nhờ đường tiệm cận.

Lời giải Ta có tâm của hyperbol là (3, −2) Hơn nữa, hyperbol có trụcthực nằm dọc vớia = 3 Từ các phương trình ban đầu, ta có thể xác định

hệ số góc của các đường tiệm cận là m1 = 2 = a

Ví dụ 1.4.4 Vẽ hyperbol cho bởi phương trình4x2− 3y2+ 8x + 16 = 0

Tìm phương trình của đường tiệm cận và các tiêu điểm của hyperbol đó

Lời giải Biến đổi phương trình hyperbol ta có

đi qua các đỉnh của hình chữ nhật Với a = 2 và b = √

3 ta có thể kếtluận rằng phương trình của các đường tiệm cận là

Nhận xét 1.4.5 Các bước vẽ đồ thị hyperbol với tâm là (h, k):

Bước 1 Xác định trục thực của hyperbol nằm ngang hay nằm dọc.Bước 2 Xác định hai đỉnh của hyperbol: 2 điểm trên trục thực, cách tâm

là a Xác định hai điểm trên trục ảo, mỗi điểm cách tâm là b

Bước 3 Vẽ hình chữ nhật có 4 đỉnh là (h − a, k − b),(h − a, k + b),

2 Đỉnh của hyperbol là (h, k − a) = (3, 3) và (h, k + a) = (3, 7) Haiđiểm trên trục ảo (h − b, k) = (−2, 5) và (h + b, k) = (8, 5).

3 Vẽ hình chữ nhật đi qua 4 điểm (3, 3), (3, 7), (−2, 5) và (8, 5)

4 Vẽ hai đường tiệm cận y = k ± a(x − h)

b = 5 ± 2

(x − 3)

5 .

5 Vẽ hyperbol qua hai đỉnh (3, 3), (3, 7) và tiến dần tới các đường

Định nghĩa 1.4.7 Tâm sai hay độ lệch tâm (eccentricity) của mộthyperbol là e = c

a và do c > a nên e > 1 Nếu tâm sai lớn thì các nhánh

của hyperbol gần như bẹt ra (Hình 1.17) Nếu tâm sai càng gần 1 thì cácnhánh sẽ hẹp hơn (Hình 1.18)

Hình 1.17: Tâm sai e lớn Hình 1.18: Tâm sai e nhỏ.

1.5 Quan hệ với các đường cônic khác

Các đường cônic (bao gồm đường elip, parabol, hyperbol) đã được biết

từ 200 năm trước Công nguyên và Apollonius là người đầu tiên nghiêncứu có hệ thống các tính chất của chúng

Trong tự nhiên, các đường cônic có một vai trò rất quan trọng, vìchúng là mô hình cho nhiều quá trình vật lý xảy ra trong tự nhiên Cóthể chỉ ra rằng một vật thể bất kỳ dưới tác động của lực vạn vật hấpdẫn phải có quỹ đạo là một đường cônic Các thiên thể hút lẫn nhau với

lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng (địnhluật Newton) Vì thế quỹ đạo của các thiên thể là các đường cônic Quỹđạo của các hạt điện tích (chẳng hạn, êlêctron) cũng là các đường cônic.Như vậy, từ thế giới vĩ mô đến thế giới vi mô, các đường cônic xuất hiệntrong tự nhiên.

Hình 1.19: Thiết diện cônic.

Các đường cônic có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau.Định nghĩa 1.5.1 (Định nghĩa hình học) Các đường tròn, elip, parabolhay hyperbol có tên gọi chung là thiết diện cônic (conic sections) hayđường cônic (conic) Đường cônic là giao tuyến giữa một mặt nón (cone)tròn xoay hai tầng với một mặt phẳng, theo các góc nghiêng khác nhau(xem Hình 1.21)

+ Khi giao của mặt nón và mặt phẳng là một đường cong khép kín,tức là mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh và không song song với đườngsinh nào, thì ta có thiết diện là một elip, trường hợp riêng là một đườngtròn khi mặt phẳng nằm ngang cắt mặt nón, nhưng không đi qua đỉnhcủa nón

+ Khi mặt phẳng song song với một đường sinh của mặt nón, đườngcôníc nhận được là một parabol

+ Khi mặt phẳng cắt cả hai mặt nón có chung đỉnh (đồng thời cắt cả

hai đáy của hai hình nón này) sẽ tạo nên hai đường cong tách biệt, gọi

Điểm F gọi là tiêu điểm (focus), L gọi là đường chuẩn (directrix) và

e gọi là tâm sai hay độ lệch tâm (eccentricity) của đường cônic Từ định

Hình 1.20: Tiêu điểm và đường chuẩn của các đường cônic

nghĩa trên có thể thấy:

• Elip là đường cônic tâm sai e < 1 (Hình 1.20a)

• Parabol là đường cônic tâm sai e = 1 (Hình 1.20b)

• Hyperbol là đường cônic tâm sai e > 1 (Hình 1.20c)

Đối với elip và hyperbol, có hai cặp "tiêu điểm - đường chuẩn" Cáccặp này tạo nên một elip hoặc hyperbol hoàn chỉnh, đồng thời chúng tạo

ra tâm đối xứng (trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm) Theo đó,elip và hyperbol còn có thể định nghĩa theo một cách khác mà parabolkhông thể định nghĩa theo cách đó được Đó là

• Elip là tập hợp các điểm P sao cho P F1 + P F2 = 2a (hằng số),trong đó F1 và F2 là hai tiêu điểm

• Hyperbol là tập hợp các điểm P sao cho |P F1 − P F2| = 2a (hằngsố), trong đó F1 và F2 là hai tiêu điểm

Với định nghĩa này, parabol có thể xem như dạng suy biến của elipkhi tiêu điểm thứ hai bị đẩy ra xa vô tận Cũng vậy, đường tròn xem nhưdạng suy biến của elip khi hai tiêu điểm gộp lại thành một.

Nhận xét 1.5.3 Theo định nghĩa hình học, có một số dạng suy biếnkhác nhau của đường cônic, trong đó có trường hợp mặt phẳng đi quađỉnh của nón Giao tuyến trong trường hợp này có thể là một đườngthẳng; một điểm hoặc một cặp đường thẳng cắt nhau

Định nghĩa 1.5.4 (Định nghĩa đại số) Các đường cônic còn có thể xemnhư tập nghiệm của một phương trình bậc hai

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

Ký hiệu

∆ =

a b d

b c e

d e f

−b2x1(x1 − c) + a2y21

a2y1(x1 − c) + b2x1y1

=

b2(cx1 − a2)

cy1(cx1 − a2)

2 +a

b(x − 1) và y = 2 −

a

b(x − 1) Để có hai đường tiệm cận như đã cho,

ta phải có a = 2, b = 1 Từ đó, phương trình chuẩn của hyperbol là

Bài tập 1.7.2 (Trích đề 50- Bộ đề tuyển sinh đại học) Cho hyperbol(H) có phương trình chính tắc x2

1 −y

2

82 = 1 và đường thẳng d có phươngtrình 2x − y + m = 0 (m là tham số)

1 Chứng minh rằng với mọi m thì (H) và d luôn cắt nhau tại hai điểm

A và B thuộc hai nhánh khác nhau của (H)

2 Giả sửxA < xB, tìmm thỏa mãn BF2 = 2AF1, với F1(−3, 0),F2(3, 0)

là hai tiêu điểm của (H)

Lời giải 1 Xét hệ phương trình

4 < 0, ∀m ∈ R nên phương trình (1.9) luôn có hai nghiệm trái

dấu Vậy (H) và d luôn cắt nhau tại hai điểm A và B thuộc hai nhánhkhác nhau của (H)

2 Gọi hai giao điểm củadvà (H) làA(xA, yA)vàB(xB, yB), vớixA < xB

Từ giả thiết BF2 = 2AF1 ta có

... F1, P F2 tiếp tuyến với hyperbol điểm P, vẽ Hình 1.21 vàHình 1.22 Khi α = β (Đó tính chất phản xạ hyperbol: Ánhsáng hướng tới tiêu điểm gương hyperbol phản xạ hướng tớitiêu điểm... đổi tọa độ phương trình đường cong códạng

Bảng 1.1: Các đường cong bậc hai (thiết diện... d2− af < Hai đường thẳng song song ảo

= = d − af = Hai đường thẳng nhau

= = d2− af > Hai đường thẳng song song