Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)

Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ỜI C M ĐO N

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chƣa từng đƣợc công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Hoàng Văn Thi

ỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học

Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

đến thầy giáo PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC, người hướng dẫn khoa học, người

đã gợi ý đề tài, định hướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo công tác tại Viện Toán học Việt Nam; khoa Toán, Phòng Đào tạo (Bộ phận quản lý Sau đại học) Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tạo mọi điều kiện trang bị cho tác giả về kiến thức, về học liệu và kinh nghiệm nghiên cứu cũng như mọi thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu hoàn thành luận văn

Do thời gian nghiên cứu và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế, bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu, sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Tác giả

Hoàng Văn Thi

MỤC ỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 M T S KI N THỨC CHU N B 2

1.1 Đa tạp phức 2

1.2 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 3

1.3 Metric vi phân Kobayashi 5

1.4 Không gian phức Hyperbolic 5

1.5 Không gian phức nhúng Hyperbolic 7

1.6 Định lý Picard lớn và m rộng trong giải tích hyperbolic 9

1.7 Các hàm đ c trưng Nevanlinna 10

1.8 Các định lý cơ bản về phân bố giá trị hàm phân hình 12

Chương 2 NH Ạ CH NH H NH CHU N TẮC VÀ M T S Đ NH C ĐI N CỦ THU T HÀM 13

2.1 Ánh xạ chỉnh hình chu n tắc 13

2.2 Một số ví dụ về ánh xạ chỉnh hình chu n tắc 15

2.3 Ước lượng của các hàm đ c trưng 17

2.4 Tổng quát hóa định lý Picard lớn 21

2.5 Các giá trị tiệm cận 23

2.6 Tổng quát hóa định lý Lindel f trong giải tích hyperbolic 29

K T UẬN 31

TÀI IỆU TH M KHẢO 32

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về không gian phức hyperbolic đã được đưa ra b i S.Kobayashi vào những năm 1966 - 1970 và có ảnh hư ng không nhỏ đến việc nghiên cứu và phát triển của ngành giải tích phức Không những vậy, rất nhiều nhà toán học quan tâm và đã có những thành tựu đáng kể như Kiernan, Kwack, Joseph và Noguchi Cộng thêm việc Montel đưa ra khái niệm họ chu n tắc các ánh xạ chỉnh hình đã làm cho giải tích phức hyperbolic có mối liên hệ mật thiết với lý thuyết họ ánh xạ chu n tắc Những

đ c trưng của tính nhúng hyperbolic của các không gian phức có thể được nghiên cứu từ cách nhìn của ánh xạ chỉnh hình chu n tắc, tổng quát hóa một

số định lý và m ra những hướng đi mới trong ngành giải tích phức cũng như trong ngành toán học hiện đại

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chi tiết kết quả của Ken-Ichi unahashi năm 1984 về ánh xạ chỉnh hình chu n tắc trong các không gian phức trong mối liên hệ với lý thuyết các đa tạp hyperbolic và lý thuyết Nevanlinna

Luận văn gồm có hai chương Chương 1, chúng tôi trình bày những vấn

đề cơ bản về giải tích hyperbolic và lý thuyết Nevanlinna Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả

về các ánh xạ chỉnh hình chu n tắc và các m rộng một số định lý cổ điển của

lý thuyết hàm như định lý Picard lớn và định lý Lindelöf

Chương 1

M T S KI N THỨC CHU N B 1.1 Đa tạp phức

1.1.1 Định nghĩa

Cho X là một không gian tôpô Hausdorff

(1) C p ( , )U j được gọi là một bản đồ địa phương của X trong đó U là một tập m trong X, j :U® £ n nếu các điều kiện sau thỏa mãn

1.1.2 Ví dụ

D là miền trong £ n, khi đó D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương {( ,D Id D)}

1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức

(1) Cho M N, là hai đa tạp phức Ánh xạ liên tục f M: ® N gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương ( , )U j của M và bản đồ địa phương ( , )V y của N sao cho f U( )Ì V thì ánh xạ

và hữu hạn các hàm chỉnh hình j 1, ,j m trên V sao cho

XÇ =V xÎ V j x = i = m

(2) Cho M là đa tạp phức, không gian con phức đóng A của M được gọi là một divisor trên M nếu về m t địa phương tại mỗi điểm có thể xác định

b i một phương trình giải tích, tức là tại mỗi điểm có lân cận V của x trong

M sao cho A VÇ được xác định b i phương trình j = 0, với j là một hàm chỉnh hình nào đó trên V

1.2 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức

1.2.1 Khoảng cách Bergman - Poincare trên đĩa đơn vị

Giả sử D= {zÎ £,z< 1} là đĩa đơn vị m trong £

Xét ánh xạ rD: D D´ ® ¡ + xác định b i:

11

11

D

a b ba

a b ba

+-

-

Ta có rD là một khoảng cách trên D và gọi đó là khoảng cách Bergman

- Poincare trên đĩa đơn vị

1.2.2 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức

Nói cách khác d X là một giả khoảng cách trên X Giả khoảng cách d X đƣợc gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X

1.3 Metric vi phân Kobayashi

Giả sử M là đa tạp phức Khi đó ta định nghĩa K M là vi phân Kobayashi trên M đƣợc xác định b i :

Không gian phức X gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi d X là khoảng cách trên X, tức là:

:

-£a

Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, f(0)= x f p, ( )= y Do f làm giảm khoảng cách đối với d D và d£n nên ta có:

d p ³ d£ f f p Þ d£ x y £ r p Cho p® 0 ta có d£n( , )x y = 0 Vậy £ n không là hyperbolic

1.4.4 Định lí Barth (xem [2])

Giả sử X là không gian phức liên thông Nếu X là hyperbolic thì d X sinh ra tô pô tự nhiên của X

1.4.5 Mệnh đề (Bổ đề Eastwood)

Giả sử p: X® Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức Giả

sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y YÎ có lân cận U của y sao cho

Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó ta nói

X là nhúng hyperbolic trong Y nếu "x y, Î X x; ¹ y luôn tồn tại các lân cận

m U của x và V của y sao cho d X U Y X( Ç , ÇV)> 0 Trong đó d X là giả khoảng cách Kobayashi trên X

HI2 X là hyperbolic và { } { }x n , y n là các dãy trong X thỏa mãn

HI5 Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f Î H D X( , ) ta

có f H* £ H D

1.5.4 Định lí Kiernan

Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian phức Y Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu H D X( , ) là compact tương đối trong H D Y( , )

Chứng minh

Giả sử H D X( , ) là compact tương đối trong H D Y( , ) nhưng X không

là nhúng hyperbolic trong Y Theo định lí 1.4.3, HI5, thì với mỗi hàm độ dài

trên Y và với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một ánh xạ chỉnh hình

:

n

f D® X và z n Î D, sao cho df z v n( )n ³ n v với mọi

n

f ® y Theo giả thiết H D X( , ) compact tương đối trong H D Y( , ), sau khi lấy dãy con ta có thể giả thiết rằng { }f n hội tụ đều tới f trên một lân cận của 0 Do đó f n'(0)® f n(0) Điều này mâu thuẫn với (**) Vậy X là nhúng hyperbolic trong Y

Ngược lại, giả sử X là nhúng hyperbolic trong Y, theo định lí Ascoli,

vì X là compact tương đối trong Y, nên ta chỉ cần chứng minh H D X( , ) là đồng liên tục đối với một hàm khoảng cách d H sinh b i một hàm độ dài H

trên Y Nhưng điều này trực tiếp suy ra từ định lí 1.4.3, HI5 Vậy định lí

được chứng minh

1.6 Đ nh l Picard lớn và mở r ng trong giải t ch hyperbolic

Để thấy r ý nghĩa của việc nghiên cứu tính hyperbolic và tính nhúng hyperbolic của các không gian phức Trong phần này trình bày một số ứng dụng quan trọng, đó là việc m rộng định lý Picard lớn

f D X đều thác triển đư c thành ánh xạ chỉnh h nh : F DY

Với các kết quả của Kwack và Kobayashi, Kiernan đã m rộng định lý Picard lớn lên trường hợp nhiều chiều b i 3

K -định lý

Định l ( 3

K -định l )

Giả sử là divisor có giao chuẩn t c trong đa tạp phức Giả sử

là không gian con phức compact tương đối, nh ng hyperbolic trong không gian phức Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh h nh

f M AX thác triển đư c thành ánh xạ chỉnh h nh f M: Y

1( , ) ( , )

1( , ),

1( , ),

f       với 00  r 

1.7 Định nghĩa

Giả sử f M(( )K , với r ta định nghĩa:

+ Hàm xấp xỉ của hàm f trên đĩa [0; ] K r đƣợc xác định b i:

( , ) log ( , ) max{0, log ( , )}

i i

Giả sử f là hàm phân h nh trên đĩa (0, ) K r sao cho (0) f 0,  Khi đó,

f bị ch n trên đĩa (0, ) K r khi và chỉ khi ( , ) T  f bị ch n trên [0 ; ) r

Cho D là miền thuần nhất bị ch n trong n và N là không gian giải tích

phức Ta nói ánh xạ chỉnh hình :f DNlà chu n tắc nếu họ:

F { f g g; Aut D }

là chu n tắc, với Aut D là nhóm các tự đẳng cấu chỉnh hình của D

2.1.2 Định nghĩa

Ta nói tập con F của Hol D N là ( , ) Aut D - bất biến nếu f g F với

mọi f  F và gAut D

2.1.3 Mệnh đề

Cho ds là metric Bergman của miền thuần nh t bị ch n D trong D2 n

và ( ,N ds N2) là đa tạp Hermit compact Nếu ánh xạ chỉnh h nh f D: N thỏa mãn:

f ds C ds với C là h ng số hữu hạn, th khi đó f là ánh xạ chỉnh h nh chuẩn t c

compact nên F Hol D N( , ) là chu n tắc theo định lý Ascoli-Arzela Mệnh đề đƣợc chứng minh

2.1.4 Định l

Cho D là miền thuần nh t bị ch n trong n

và ( ,N ds D2) là đa tạp phức Hermit Nếu tập con F của Hol D N( , ) là họ chuẩn t c Aut D - b t biến th tồn tại một h ng số C thỏa mãn:

và là độ dài sinh b i metric phẳng trong n Ta chứng minh (0)C   với 0 D

Giả sử (0)C   Khi đó tồn tại dãy { }f n n1F và {x nT0 n, x n 1}

các vectơ tiếp xúc chỉnh hình sao cho:

(i) f n*ds N2(0,x n)n ds2 D2(0,x n),

đó ta có thể giả thiết rằng { }x hội tụ đến n x T 0 n Từ (i) ta có:

(ii) f x n* n N n.,

đó

N là độ dài sinh b i ds và N2  là hằng số dương

Từ F là compact tương đối trong Hol D N nên tồn tại dãy con ( , ) { } 1

(f g) *ds N( )z C g z( ( )).ds D( )z với mọi gAut D

Do đó ( ( ))C g z C z( ) Tương tự ta suy ra C g z( ( ))C z( ) Như vậy

(i) Ta lấy q điểm phân biệt tùy ý p1, ,p trong cầu Riemann q P Giả sử 1

F là họ các ánh xạ chỉnh hình từ  vào P thỏa mãn điều kiện (C) sau: 1

(C) Mỗi f trong F nhận các giá trị 1

trong đó ta đ t m i   trong trường hợp f bỏ qua p i

Khi đó f là chu n tắc [3] Đ c biệt, nếu ánh xạ chỉnh hình f : P 1

thỏa mãn điều kiện (C) thì f là ánh xạ chỉnh hình chu n tắc và là hàm phân hình

chu n tắc [9]

(ii) Cho T  /L là xuyến phức và lấy một điểm p trên T Họ F gồm tất

cả các ánh xạ chỉnh hình từ  đến T loại bỏ điểm p T Khi đó F là chu n tắc

Hơn nữa, mỗi f trong F đều là ánh xạ chỉnh hình chu n tắc

(iii) Cho V là diện Riemann compact có giống 2 Khi đó Hol( , )V là chu n tắc và hơn nữa mỗi ánh xạ chỉnh hình :f  V là chu n tắc

(iv) Cho N là không gian giải tích phức paracompact liên thông và M là không gian con nhúng hyperbolic trong N Khi đó Hol D M là compact ( , )tương đối trong Hol D N [7] Hơn nữa ánh xạ chỉnh hình từ D vào N là ( , )

chu n tắc nếu ảnh của f nằm trong M

2.2.2 Ví dụ

(i) Cho ds2 dzd z/ (1 z2)2 là metric Bergman trên đĩa đơn vị  Ta lấy tọa độ thuần nhất ( , )z z0 1 của P và đ t 1 wz1 /z0 (z0 0) Khi đó metric Fubini-Study của P được cho b i: 1

2 '

2 1

1( )

1

n i i

B   z   Metric Bergman của n

B đƣợc cho b i:

2 2

2 2 , 1

n

i j B

(ii) Nếu N là không gian xạ ảnh n

P , thì chiều ngƣợc lại của mệnh đề trên

là đúng Điều này đƣợc suy ra từ định lý 5.1 trong H ujimoto [3], do n

Một ánh xạ chỉnh hình f từ * tới một không gian giải tích phức N đƣợc

gọi là chu n tắc nếu f : N là ánh xạ chỉnh hình chu n tắc

2.4.2 Định l

Cho N là đa tạp phức paracompact Nếu f : * N là ánh xạ chỉnh

h nh chuẩn t c, thì f có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh h nh t  tới N

cận U của p , nếu 0  0 đủ nhỏ thì ({zf *, z }) bị chứa trong U, vì vậy

ta có thể xác định thác triển chỉnh hình của f tới  b i f(0) p0 Định lý đƣợc chứng minh

2.4.3 Nhận xét

(i) Định lý trên vẫn đúng nếu N là không gian giải tích phức liên thông paracompact B i vì N có một metric hermit h theo nghĩa thác triển mà sinh ra các tôpô ban đầu của N Áp dụng chứng minh trên đối với ( , ) N h [7] Ta có điều

phải chứng minh

(ii) Cho N là không gian giải tích phức liên thông paracompact, và M là không gian con nhúng hyperbolic của N Khi đó ánh xạ chỉnh hình : * f  N

với ( *)f  M là chu n tắc Do đó, định lý 2.4.2 là tổng quát hóa định lý Picard lớn trình bày trong S Kobayashi [8], chương V, định lý 6.1

2 Các giá tr ti m cận

Trong phần này, ta xem xét tổng quát hóa định lý Lindel f về các giá trị tiệm cận của các hàm chỉnh hình bị ch n

2.5.1 Định nghĩa

Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ miền liên thông đơn G tới không gian

giải tích phức N Ta định nghĩa một góc với đỉnh tại z0G là một miền A

được xác định như sau: lấy một điểm biên z1( z0) của G và một hằng số dương  , ta đ t:

A z  w z   , với ( )w z là độ đo điều hòa của cung nối giữa z và 0 z ứng với G 1

Ta nói f có giới hạn góc p tại 0 z0G nếu với mọi lân cận U của p và 0mọi góc A có đỉnh tại z , thì tồn tại một lân cận V của 0 z sao cho 0

f V A U

Định lý sau là một tổng quát của định lý 1 của Lehto - Virtanen trong [9]

2.5.2 Định l

Cho f là ánh xạ chỉnh h nh t đĩa đơn vị  tới không gian giải tích phức

N Giả sử f có một giá trị tiệm cận p0N tại một điểm z0G dọc theo một đường cong Jordan  n m trong  và f không có giới hạn góc p0 tại z0 Khi

đó tồn tại một lân cận nhỏ tùy ý U của p sao cho với 0  0 có một cung Jordan L trong  có điểm cuối là z0 với f z dần tới ( ) p0 và có dãy { }z n n1

trong  hội tụ đến z thỏa mãn điều kiện 0 f z( )n U và d z L( , ) với d

là khoảng cách hyperbolic trên 

Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề sau:

  Khi đó với mọi  0 ta có

lim sup{ ( ) ; 0f z argz , z } 0

Chứng minh

Chứng minh sau được đưa ra b i H ujimoto

Ta sử dụng lý thuyết của độ đo điều hòa ([10], III, §2) Lấy   Trường hợp r0 0 là tầm thường Ta có thể lấy r lớn hơn , khi đó đ t 0

D z  z Theo định lý về nghiệm của bài toán Dirichlet ([10],

II, §1, trang 22-23) tồn tại r10 sao cho:

'( )

 là độ đo điều hòa của {z , zr2} đối với {Imz0}

Ta thấy 2( ) 1 arg(z   zr2) / Khi đó:

Ngoài ra 2( )z 1( )z ( )z trên D theo nguyên lý cực đại Vì

Chứng minh nh l 2 .2

Ta có thể giả sử G{ ;0z argz / 2} và z0  , b i vì khoảng cách hyperbolic là bất biến bảo giác Giả sử  bắt đầu từ z 0 và chia G thành

hai phần G và 1 G Phần 2 G được giới hạn b i 1  và trục ảo Theo giả thiết

ta có f không hội tụ đều đến p trên góc 0 A: argz / 2 2  ( 0) Điều này cũng đúng đối với ít nhất một trong các G1A và G2A Ta giả

sử nó đúng trên G1A Lấy U là một lân cận đủ nhỏ của p , mà song chỉnh 0hình với một đa tạp con V trong miền bị ch n W trong m

b i ánh xạ  và biến p0 thành 0 trong m

Ta xét ánh xạ G lên góc phải của 01 argw / 2 và  lên trục thực dương , giữ 0,  cố định Ảnh của G1A nằm trong góc