Tính chất tiệm cận của phương trình vi phân đại số chính quy hóa

Giới thiệu Trong bài báo này chúng ta xem xét tính chất tiệm cận của một phương pháp qui chuẩn cho phương trình vi phân đại số tuyến tính hoàn toàn ẩn của Dae.. Theo phân tích, quan hệ

Tính chất tiệm cận của phương trình vi phân-đại số chính qui hóa

Michael Hanke Antonio R Rodriguez

1 Giới thiệu

Trong bài báo này chúng ta xem xét tính chất tiệm cận của một phương pháp qui chuẩn cho phương trình vi phân đại số tuyến tính hoàn toàn ẩn (của Dae)

A t x B t x t( ) ' ( ) ( ) 0, tt0, (1.1) Chúng tôi sẽ cho rằng A (t) là số ít cho tất cả các tt0, Các bài toán như vậy phát sinh tự nhiên trong một số ứng dụng, ví dụ như mạng lưới điện, hạn chế các hệ cơ học của vật rắn, động học phản ứng hóa học ít nhất làănsuwj tuyến tính hoá của các bài toán phi tuyến Đây là

lí do tại sao quan tâm lớn đã được dành cho việc phân tích, hình học và số trị của Dae trong những năm gần đây

Ngày nay, chúng ta đều biết rằng Dae (1.1) kết hợp rất nhiều tính năng mới so với các phương trình vi phân thông thường rõ ràng (tức là giải quyết cho các phương trình x' ) Một tiêu chuẩn thô phân biệt giữa các lớp khác nhau của Dae được cho bởi khái niệm chỉ số của Dae Mặc dù

có một số khái niệm khác nhau (với độ khác nhau mục đích và ứng dụng) được sử dụng phổ biến, mục tiêu chung của chúng là để phân loại một Dae cho sẵn khác với một phương trình vi phân thông thường rõ ràng đến mức nào Dae ình thường (nghĩa là A (t)) là không suy biến cho tất cả các tt0,) được đặc trưng bởi các chỉ số 0 Chỉ số 1 mô tả các lớp "đơn giản nhất" của Dae Phương trình chỉ số cao hơn có chỉ số lớn hơn 1 Theo phân tích, quan hệ đại

số chứa trong (1.1) làm cho phương trình chỉ số cao bao hàm nhiều bài toán vi phân dẫn đến những phương pháp sai phân hữu hạn trở nên không ổn định Sự bất ổn này có thể trở nên rất

nguy hiểm nếu hạch của A(t) thay đổi theo t ([9]) Mặt khác, một số phương thức số học có sẵn

cho các nghiệm của các Dae chỉ số 1 Vì vậy, một cách có thể để giải quyết bài toán chỉ số cao hơn là giảm chỉ số Trong bài báo này chúng ta xem xét một phương pháp qui chuẩn Phương trình (1.1) sẽ bị dao động bởi một tham số nhỏ ε dẫn đến hệ kết quả có chỉ số 1 và, cho   0, nghiệm của các hệ chính qui có xu hướng của (1.1) Chúng tôi xem xét phương pháp tiếp cận của [7] mà hội tụ các đặc điểm được phân tích trong [4, 5] Lưu ý rằng phương pháp này liên quan chặt chẽ đến các tham số hoá khác, trong số đó Baumgarte ổn định (cf [1])

Chúng tôi quan tâm đến tính ổn định của phương pháp qui chuẩn Cụ thể, chúng tôi sẽ cho thấy nếu (1,1) là tiệm ổn định (trong một ý nghĩa dưới đây), thì các hệ chính qui cũng như vậy Kết quả tương tự cho các hệ tựa tuyến tính tự trị được đưa ra trong [10] liên quan trên các tiêu chí ổn định đã được chứng tỏ trong [2] và [8] Chúng tôi nhấn mạnh rằng kết quả của

chúng tôi là hợp lệ nếu hạch của A(t) phụ thuộc vào t

Bài viết này được cấu trúc như sau Trong Phần 2 chúng tôi giới thiệu các phép biểu diễn nghiệm của các chỉ số tuyến tính 1 và chỉ số 2 của Dae Thúc đẩy bởi các khái niệm về tiệm cận ổn định theo số mũ [3], chúng tôi khái quát khái niệm này đến trường hợp của Dae Phần 4 xem xét sự chính qui hoá của phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 và 2 và một số

đặc điểm của nó Cuối cùng, phần 5, chúng tôi trình bày kết quả chính thu được liên quan đến tính ổn định tiệm cận theo số mũ của sự chính qui hoá

2 Tính ổn định tiệm cận mũ của phương trình vi phân đại số tuyến tính (Dae)

Trước hết, xét các phương trình vi phân thường :

 0 

x B t x t t  ( 2 1 )

với hệ số liên tục B C t   0,,L m , x t m

Định nghĩa 1 ([3, trang 84])

Nghiệm tầm thường của (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ (EAS) nếu có các hằng số α, K> 0 sao cho với mọi 0

t t x   các nghiệm của bài toán giá trị ban đầu



x B t x  tt 



  0

x t x

thoã mãn điều kiện:

0

| ( ) |x t K x e| |  t t , t t t

Ghi chú:

(i) Nếu các nghiệm tầm thường của (2,1) là ổn định tiệm cận mũ, thì chúng ổn định tiệm cận (theo nghĩa của Lyapunov)

(ii) Nếu B(t) B là một ma trận hằng, thì nghiệm tầm thường của (2.1) là ổn định tiệm cận

mũ khi và chỉ khi phần thực các giá trị riêng của B là âm

Định nghĩa 2.

Với mỗi tt0, giả sử V (t)là một không gian con của m

 Nghiệm tầm thường của (2.1) được gọi là tiệm ổn định tiệm cận mũ đối với V, nếu có các hằng số α, K> 0 sao cho với mọi 0  

0,

t t x V t , nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

  0





 thoả mãn điều kiện

0

|x t | K x e| |  t t , t t t

Trái với định nghĩa 1 tập các giá trị ban đầu có thể chấp nhận bị hạn chế Định nghĩa 2 dường

như thông dụng hơn Tuy nhiên nó rất hữu ích nếu không gian con V(t) là không gian nghiệm bất biến, tức là, nếu x(t) là một nghiệm của (2.1) trên   ;  với x t V t  thì x t V t với mọi tt;



Bây giờ ta xem xét phương trình tuyến tính

A t x B t x  ' ( ) 0, tt0, (2.2)

với các hệ số liên tục Giả sử rằng không gian không N(t) của A (t) là trơn, tức là tồn tại một

ma trận hàm khả vi liên tục 1     

Q C t  L  sao cho Q(t) là một phép chiếu lên N(t) Lưu ý rằng A(t) là không đổi Trường hợp tầm thường N(t) ≡ {0} là bị loại trừ Hơn nữa, giả sử P = I - Q Để đơn giản hoá, ta bỏ t trong cách viết đối với các phép chiếu với hệ số không gian không N của A(t) (hệ số ma trận hàng đầu) xác định hàm Cụ thể, AQ ≡ 0 tức là

' x ' (( ) ' ' )

Do đó, (2.2) có thể được viết lại

A Px( ) ' ( B AP x ') 0, tt0, (2.3)

Vì vậy, chúng ta tìm kiếm các nghiệm của (2.2) trong không gian hàm

N

Chính xác hơn, một hàm x t   : 0,  m được gọi là một nghiệm của (2.2) nếu nó thuộc về

1

0,

N

C t  và thoã mãn (2.2) Giả sử

B0 : B AP', A1 : A B Q0

Nếu x là một nghiệm của (2.2), khi đó, với mọi tt0,, ( )x t thuộc

 

( ) : m| ( )

trong đó R(A(t)) là kí hiệu hạng của A(t) (2,2) được gọi là chuyển được (hoặc chỉ số 1 Dae)

nếu, với mọi tt0,,

N t S t m (2.4)

(2.4) tương đương với điều kiện là A(t) là suy biến ([2, Định lý A.13])

Rõ ràng, (2,3) là tương đương với

A P Px1  'Qx B Px0 0 (2.5) Nếu (2,2) có chỉ số 1.Nhân vế trái của (2.5)với 1

1

QA

và 1

1

PA

ần lượt ta có hệ tương đương  

1

1

0

Qx QA B Px





 

Bổ đề 1 Nếu (2,2) có chỉ số Khi đó (2.2) tương đương với hệ

1

1

0

v QA B u





  tt0, (2.6) Tron đó u = Px và v = Qx Hơn nữa, nếu u0R P t    với một số tt0,,thì

nghiệm u của bài toán giá trị ban đầu  1    0

     ,  0, 

Chứng minh Bổ đề 1 là rõ ràng Để chỉ ra khẳng định thứ hai, đơn giản chỉ là nhân phương

trình vi phân với Q sẽ dẫn đến (Qu)′ − Q′Qu = 0.

Đặc biệt, (2.6) có nghĩa 1  1 

  : 11 0 

s

 là chiếu của m

 vào N(t) dọc theo S(t) Thứ nhất thành phần Px của

nghiệm sẽ tìm được, các thành phần của không gian không được xác định đơn giản bởi một phép gán Do đó, điều kiện ban đầu có thể chỉ xác định cho Px t  Điều này được thể hiện ở định nghĩa sau đây

Định nghĩa 3

Giả sử (2.2) là một Dae chỉ số 1 Nghiệm tầm thường của (2,2) được gọi là ổn định tiệm cận

mũ nếu có các hằng số α, K> 0 sao cho với mọi 0

t t x   , nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

     0

0



thoã mãn đấnh giá:

    0  

0

|x t | K P t x e| | t t , t t t 0

Ghi chú: Trong [2, tr 74] ổn định tiệm cận theo nghĩa của Lyapunov được định nghĩa cho

phương trình Dae chuyển nhượng phi tuyến tổng quát Nếu nghiệm tầm thường của (2.2) là ổn định tiệm cận mũ, thì nó là ổn định tiệm cận theo nghĩa của định nghĩa cuối cùng

Định lý 1 Giả sử 1

s

 bị chăn trên t 0,  Khi đó, nghiệm tầm thường của (2.2) là ổn định tiệm cận mũ nếu và chỉ nếu các nghiệm tầm thường của

     ,là ổn định tiệm cận mũ đối với R(P(t))

Chứng minh được suy ra từ (2,6) và biểu diễn x (I QA11B0)Pu



Chú ý:

Trong [2, tr 78] một khái niệm của tính rút gọn cho phi tuyến của Dae chuyển nhượng được xác định Bổ đề 1.2.44 của tài liệu chuyên khảo cho thấy tính rút gọn ngụ ý sự ổn định mũ tiệm cận

Trái với (2.4),phươngtrình vi phân đại số có chỉ số cao được đặc trưng bởi tính không tầm thường của giaoN t S t  Tương đương, A1lúauy biến Giả sử Q t1 là phép chiếu lên hạt nhân củaA t1 

Phương trình vi phân đại số (2.2) được có thể giải được với chỉ số 2 nếu với mọi ấnuy biến nhưng A t2  không suy biến Trong trường hợp này (2.3) tương đương với

A P P Px2[ {1  'Qx}Q x1 ]B P x1 1 0 (2.7)

Nhờ Bổ đề A.13 của [2] Q A B t1 2 1 1 

là một phép chiếu lên N A t 1   Giả sử rằng

chúng ta chọn phép chiếu đặc biệt này ngay ,nghĩa là 1

 Đặc biệt,Q Q 1 0là đúng sao cho Q PQ PP, 1, 1 cùng là các phép chiếu và tích của chúng triệt tiêu Khi đó, x có thể được

xác định như sau:x Qx PQ x PP x  1  1 Bây giờ nhân (2.7) lần lượt với 1 1

PP A PQ A 

và

1

1 2

QP A

tương ứng ta được

1

1 1

0

PQ x







với Q1 là khả vi liên tục

Bổ đề 2

Giả sử phương trình (2,2) chuyển đượci với chỉ số trong đó 1

 khả vi liên tục Khi

đó phương trình (2.2) tương đương với hệ

 

1

1

0

'

y







) 8 2 (

trong đó z PP x y PQ x 1 ,  1 và v Qx Hơn nữa, nếu 0    

1

z R PP t với một số tt0,, thì nghiệm z của bài toán giá trị đầu  1      0

   1  ,  0, 

minh với điều kiện đầu z t R PP t 1   Một lần nữa chú ý rằng

       1     

   cũng là một phép chiếu với N( )t  N PP t 1   Tương tự với trường hợp chỉ số 1,các điều kiện đầu chỉ có thể được xác định cho PP t1 

Đinh nghĩa 4

Giả sử phương trình (2.2) chưa được giải với chỉ số 2, ửong đó 1

 liên tục khả vi

Nghiệm tầm thường của phương trình (2.2) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu có hằng số α, K> 0 sao cho với mọi m

R x t

t0, 0 nghiệm của các bài toán giá trị ban đầu

, ,

0 '

0









x t x t PP

t t x

t B x t A

thoã mãn đánh giá:

 t K PP t x e  tt t tt

0 0

|

|

Bổ đề 2 và định nghĩa 4 cho ta kết quả định lý sau

Định lý 2

Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2 được thoã mãn Thêm vào đó, giả sử QQ1' và 1

1 2

bị chặn Khi đó, nghiệm tầm thường của phương trình (2,2) là ổn định tiệm cận mũ nếu và chỉ nếu nghiệm tầm thường nghiệm của phương trình:

2

PP z

là ổn định tiệm cận mũ đối với RPP1 t 

Chú ý:

(I) Một lần nữa, nghiệm tầm thường của phương trình (2,2) là ổn định tiệm cận mũ thì nó ổn định theo nghĩa của Lyapunov

(Ii) Các kết quả liên quan đến sự ổn định Lyapunov của các hệ ô to nôm có chỉ số 2 và 3 có thể được tìm thấy trong [8]

(Iii)Với các giả thiết của Định lý 2, tính rút gọn được định nghĩa trong [6] là điều kiện đủ đối với ổn định tiệm cận mũ của nghiệm tầm thường

3.Chính quy hoá của phương trình vi phân Đại số có chỉ số 2.

Phương pháp xấp xỉ đối với phương trình vi phân đại số có chỉ số cao hơn là phương pháp giảm chỉ số Chúng ta sẽ xem xét một phương pháp dựa trên chính quy hoá Chính xác hơn, phương trình vi phân Đại số có chỉ số 2 (2.3) được thay thế bởi phương trình vi phân đại số có nhiễu [4]

AB0PPx' B0x 0 (3.1)

Dễ dàng để thấy rằng với ε nhỏ đủ   0, (3.1) là một phương trình vi phân Đại số chỉ số 1 nếu (2,2) là chuyển được với chỉ số 2 Ký hiệu A A B0P

Đối với không gian không ta có NA t NA t  với mọi tt0, .Rõ ràng,

 

A t  NA  t 

N   Nếu, với một số tt0,, zNA t , thì

A B P B Q B PQ z

z

0       Nhân phương trình này với 1

2 1



A

Q ta được Q1z 0 (Lưu ý rằng Q Q A B P A B QQ

0

1 2 0

1 2 1

2 1



A

PP ta được

0 1 0

1 2 1

1 2

là hoàn toàn bị chặn trên t0, , PP1z  0với ε

đủ nhỏ Nhưng điều này tương đương với z  NA t  vì PQ1z 0 Ma trận có thích hợp để chỉ ra tính chuyển nhượng đ ược của (3,1) là:

Q B P B A Q B A

A1,    0    0  0 (3.2) Sựkhông suy biến của A1 ,  có thể biểu thị tương tự Thật vậy, giả sử, cho A1,z y với các giá trị cố định tt0,  Vì A1, A2 B0PQ1 B0P, ta có được bằng cách nhân trái

2 1

1 2

1A , PP A

2



QA tương ứng,

y A Q z

2 1 1







I PP A B PP z PP B PQ z PP A 1y

2 1 1

0 1 1

0

1 2 1











P Q z QA y P

B QA z

QQ

2 1

1 0

1 2 1











Với y m được cho trước,từ phương trình đầu tiên ta tính được cho Q1z, phương trình thứ hai có thể được giải với PP1z rằng ε là đủ nhỏ và 0

1 2

hoàn toàn bị chặn

Thành phần của không gian không được xác định bởi phương trình thứ ba.Điều này chỉ ra

sự không suy biến Lưu ý rằng   1  1

,

2 1 1





Tính hội tụ của các nghiệm của bài toán giá trị đầu đối với (3.1) theo hướng của (2.2) có thể đặc trưng bởi sự mở rộng tiệm cận trên các khoảng Compac Để chính xác hơn, xét (2.2) trên đoạn Compac t ,0 Tcùng với các điều kiện đầu

     0 0

0 0

PP (3.3)

Do (3.1) có chỉ số 1, ta cần thêm điều kiện ban đầu đối vớiPQ1x t0 để xác định rõ có nghiệm duy nhất Trong quan điểm (2.10) điều đó là hợp lý để chọn PQ1x t0  0.Với  đủ nhỏ, ε>0,

giả sử x biểu thị nghiệm của (3.1) tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu (3.3) và

PQ1x t0  0 (3.4)

trên t ,0 T [4] chỉ ra rằng, với giả thiết độ tính trơn thích hợp, sự mở rộng tiệm cận có dạng:           











N

j

N j

j

x t

x

0

1







 (3.5)







t , |x j | Ce luôn đúng x0 là nghiệm của (2.2) thuộc (3.3) Nếu PQ1x t0 không phải được chọn thay thế (tức là (3,4)), một thuật ngữ được bổ sung   1

x với P x 1  0

xuất hiện Dạng (3.5) dẫn đến phỏng đoán rằng, nếu bài toán chỉ số 2 (2.2) là ổn định tiệm cận theo một số ý nghĩa, thì điều này cũng đúng đối với các hệ chính qui hoá Tuy nhiên nói chung điều này có vẻ không đúng Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ đưa ra điều kiện đủ để ổn định tiệm cận mũ Nhờ một số phương pháp chính qui hoá của các tác giả khác hoàn toàn được thay thế (3,1), cf [1], cũng mong cho kết quả tương tự

Rất thuận tiện để kết hợp (3,1) cũng như (2,10) (x [4])

Bổ đề 3 Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2 được thoả mãn Thêm nữa, giử sử 1

1 2 1



là khả vi liên tục và 1

1 2 1

 Khi đó thì (3.1) tương đương với hệ

  '   '   ' ' 1 0

1 1 1

1

y' PQ1'zI   PQ1'y0 (3.6)

 ' ' 1 ' '

2

C

trong đó zPP1x,yPQ1x,vQx Thêm nữa, nếu z0 RPP1 t 

 với một số tt0, , thì nghiệm của bài toán giá trị đầu             0

1

' 1 1 1

1

C

mãn z t R(PP1(t))với tt0,  và bất kỳ hàm liên tục y Một sự khẳng định tương tự cũng đúng đối với y như một nghiệm của phương trình thứ hai

4 Sự ổn định tiệm cận mũ của phương trình vi phân đại số chính qui hoá

Mục đích của phần này là chỉ ra rằng tính ổn định tiệm cận mũ của (2.2) chuyển sang (3.1) với một số giả thiết về tính bị chặn và tính trơn

Bổ đề 4 Giả sử M t C1t0,  sao cho M và M' bị chặn Khi đó, với ε đủ nhỏ thì:

(i) x t : I M t là không suy biến

(ii) x t  1bị chặn trên t0, và số bị chặn đó không phụ thuộc vào ε

( iii) x  t K

dt

d



  || 

|| 1 hoàn toàn trên t0, 

Chứng minh

(i) và (ii) đơn giản là hệ quả của Định lý Banach

(iii) suy ra từ

 t x    t x t x  t M    t x t x

dt

d

















Bổ đề 5: Xét hệ

x' At, x 0 , tt0,  (4.1)

với 0     0và hệ nhiễu

x' At, xFt, x, tt0,  (4.2)

Giả sử A,F:t0,0,0 Lm.là hàm ma trận liên tục Giả sử rằng

(i) (4.1) là ổn định tiệm cận đối với tập hợp của không gian con V, với các hằng số α(ε), K(ε),

(ii) RFt,  V t với mỗi tt0, và mỗi 0 ,0

(iii) ||Ft, ||  Kˆ hoàn toàn trên t0 , với mọi  0 ,  0, và

(iv)    K  K,  0 , 0

Khi đó (4.2) là ổn định tiệm cận mũ đối với V, và đánh giá sau là đúng:

 |       |  |, 0 , 0 , 0

với nghiệm của (4.2) thoả mãn điều kiện đầu x t x0V t Ở đây,  ˆ     K  Kˆ

Chứng minh:

Giả sử t , s,  kí hiệu là nghiệm cơ bản của (4.1) ứng với điều kiện ban đầu t,s, I Nhờ giả thiết (i), ta có:

      









K c e  t s t c

s

0

,

|

|

| , ,





Với c  V s Nghiệm của (4.2) ứng với điều kiện đầu x t x0được xác định là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân:

t

t

t t ds s x s F s t x

t t t











Vì Fs,   x s V s theo giả thiết (ii), (4.3) là đúng với x 0 V t



























t

t

s t t

t

t

t

s t t

t

ds s x e

K K e

x K

ds e

s x s F K e

x K t x

|

| ˆ

|

|

|

|

||

,

||

|

|

|

|

0

0





























(4.4)

Nhân bất đẳng thức cuối với e    t, và ký hiệu      

t

t

s x s ds e

t

ta có

  x e   K K y K









hoặc tương đương với

  ˆ   0  



Nhân với e K   Kˆt và tính tích phân ta có

  | ˆ|     ˆ  1

0



K

x t



Thay đánh giá này vào (4.4) ta có:

 t K  x e    K K t t

|



Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh kết quả chính

Định lý 3

Giả sử các giả thiết của Định lý 2 được thỏa mãn Thêm nữa, giả sử rằng:

  và PP1' hoàn toàn bị chặn trên t 0;  Nếu (2.2) là ổn định tiệm cận mũ thì (3.1) cũng ổn định tiệm cận mũ

Chứng minh: (3,1) là tương đương với (3,6) Ký hiệu x I C1 Hai phương trình đầu tiên của (3,6) bây giờ có thể được viết lại như sau:

 

1



(4.5)

Ở đây ta sử dụng đồng nhất thức 1 1

1

X I C X

  Thêm nữa, I PP1C1 0 và

thuộc:













I

t PP R t V

0

0 ) (

Theo Bổ đề 5, ta có thể chuyển sang xem xét hệ:

 

'

0 '

' '

1 1

1 1 1

1





























y PQ I

z PQ y

y PQ PP z PP C

z



(4.6)

ngay đầu tiên Ký hiệu M   t PQ  I





1 '

1 

 Ta giới thiệu phép biến đổi:

  











y

z t T y

z

 ,

với

 

























I PQ t

M

I t

T I PQ t M

I t

T

' ,

0 ,

, '

0 :

,

1 1

1 1

1









(4.7)

Vì M  t 1 I PQ1'1,T





 và T 1 bị chặn theo t và ε

Do đó, 







y

z

có các tính chất tiệm cận giống như 











y

z

Từ (4.6) suy ra

      



























































y

z t F y

z M

PQ PP C

PP y

z





, 0

' '

'

(4.8)

 

1

F t,









Theo giả thiết

t  K

||    hoàn toàn đối với t

Phần chính của (4,8) được viết lại

    









































z

y M

PQ PP C

PP y

z



0

' '

'

(4.9) Giả sử thêm rằng:













I

t PP R t V

0

0

Giả sử tt0,  va V t

y

z













 0

0

được cho trước Nghiệm y của (4,9) thỏa mãn phương trình

PQ  y y

y' 1  1 '



sao cho, với t  t,

t

t

s t t

e t

dẫn tới đánh giá sau:

t

t

s t t

e t



ở đây, γ kí hiệu là giới hạn của PQ1' Tương tự như các bước chứng minh Bổ đề 5 ta được  |y t | e  1 /   t  t |y0 |

   (4.10)

Giả sử φ(t, s) là nghiệm cơ bản của z' PP1'C1z ứng với điều kiện đầu φ(s,s)=I Giả sử

(2.2) là ổn định tiệm cận mũ; khi đó với đánh giá









 c e  t s t c

s

0

,

|

|

| ,

là đúng với mọi cRPP1 s  vì Định lý 2 (4.9) được viết lại

t

t

ds s y s PQ s PP s t z

t t t

Vì z0 RPP1 t 

PP1  ' s PQ1   s y s  PP1PQ1  ' s  PP1 s PQ1  ' s y s PP1 s PQ1    ' s y s RPP1 s , do

đó ta có: