UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập –Tự do –Hạnh phúc
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN ; LỚP: 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi chính thức
Câu 1: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n M 24 với mọi n ∈ Z
b) Tính: sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750
Câu 2: (4 điểm)
2 n + 1 - n < < 2 n - n - 1
S= + + + +
Chứng minh rằng 18 < S < 19
Câu 3: (4điểm)
Giải phương trình:
x4 – 2x3 + 4x2 – 3x – 10 = 0
Câu 4: (4 điểm)
Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O Cho biết AOD=70· 0 ;
AC = 5,3 cm ; BD = 4 cm Tính diện tích tứ giác ABCD (làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân)
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng quy tại điểm O Chứng minh rằng: AC.cosA = BC.cosC
Hết
-Họ và tên:
Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi : TOÁN - LỚP 9
Đề thi chính thức
Trang 3Nội dung Điểm Câu 1: a) 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n = n(3n3 – 14n2 + 21n – 10)
= n(3n3 – 3n2 – 11n2 + 11n + 10n – 10)
= n(n – 1)(3n2 – 11n + 10)
= n(n – 1)(3n2 – 6n – 5n + 10)
= n(n – 1)(n – 2)(3n – 5)
= n(n – 1)(n – 2)(3n – 9 + 4)
= 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) + 4n(n – 1)(n – 2)
Mà n, n – 1, n – 2, n – 3 là 4 số nguyên liên tiếp nên có hai số chẵn liên
tiếp, một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 nên n(n – 1)(n – 2)(n – 3) M 8
⇒ 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) M 24
Mặt khác: n, n – 1, n – 2 là 3 số nguyên liên tiếp, có một số chia hết cho 2
và một số chia hết cho 3 nên n(n – 1)(n – 2)M 6
⇒ 4n(n – 1)(n – 2) M 24
Vậy 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n M 24 với mọi n ∈ Z
2 đ
b) sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750
= (cos2750 + sin2750) + (cos2650 + sin2650) +(cos2550 + sin2550) + sin2450
= 1 + 1 + 1 + 1
2 =
1 3 2
2 đ
Câu 2: Ta có:
1
= (1)
+ +
+ +
1
= (2)
n n
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
2đ
S= + + + +
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:
1 2 101 2 1 2 10 1,5 18
S
S
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:
1 2 100 1 1 2.9 19
S
S
Vậy 18 < S < 19
2 đ
Câu 3:
x4 – 2x3 + 4x2 – 3x – 10 = 0
⇔ x4 + x3 – 3x3 – 3x2 + 7x2 + 7x – 10x – 10 = 0
⇔ ( x + 1) ( x3 – 3x2 + 7x – 10) = 0
⇔ ( x + 1) ( x3 – 2x2 – x2 + 2x + 5x – 10 ) = 0
4 đ