CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

Điều kiện tồn tại Nếu hàm biến thựcxtthoả mãn 3 điều kiện sau: 1.. xtliên tục từng khúc 3.. Các tính chất của phép biến đổi Laplace 1... Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải phương trìn

Trang 1

3/16/2015 (1)

2.1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1.1 Phép biến đổi Laplace

2.1.1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace

0





L 2.1.1.2 Điều kiện tồn tại

Nếu hàm biến thựcx(t)thoả mãn 3 điều kiện sau:

1 x(t)= 0 với mọi t < 0

2 x(t)liên tục từng khúc

3 x(t)không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t

Thì tồn tại biến đổi Laplace X(s) xác định và giải tích tại mọi số phức

s ═  i sao cho thỏa mãn0 lim ( ) 0

) Re(







s X

s

0 ) ( lim

) Re(







s X







0

) ) ( ) (





0



O

Miền giải tích của X s ( )

CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

Ví dụ 2.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function)











 0

0 1

0 )

t

nÕu



1

st

st e









0

1

st

s











Ví dụ 2.4: Biến đổi Laplace của hàmsin t

2.1.1.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

1 Tính tuyến tính L  Ax t )  By t )   A L  x t )   B L  y t ) 













a

s X a at

L

3 Tính dịch chuyển ảnh L  e x tat ( )   X s   a 

4 Tính trễ L   ( t  a x t ) (  a )   esaX s  

5 Biến đổi của đạo hàm

x t  s X s  s x  s  x    x 

L

 x t '( )   sX s    x (0)

L

Trang 2

3/16/2015 (5)

6 Biến đổi Laplace của tích phân  

s s X du u x

t





 0

) (

L

7 Đạo hàm ảnh  ( )    1  

n n n

n

d

ds

 

L

8 Tích phân ảnh 













s

du u X t t x

) ( )

L

9 Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn   0

( )

1

T st

sT

e x t dt

e





L

10 Ảnh của tích chập L  x t ( )  y t ( )   X s Y s ( ) ( )

Ví dụ 2.5:  5 4sin  5   1 4  sin  5 24

1

s s



1

t

s s





 



 

 

L

at





1



2

at



s a





L

at at



Ví dụ 2.8:  

s

e a t

as





 )

(



L

Ví dụ 2.9: Hàm xung (Impulse)











b t b t a a t

t t x

nÕu nÕu nÕu

0 )

0

Hàm xung đơn vị trên đoạn [a ; b]

,

0

a b

t a

t b







nÕu

a b

s

  

Hàm xung bất kỳ có thể biểu diễn qua hàm xung đơn vị

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b( ) ( )

x t   t  a  t   t b   t   t  t

Ví dụ 2.10:













t t

t

t t x

nÕu nÕu nÕu

0 sin

0

) sin(

) ( sin ) sin ) ( sin ) )   t t   t   t   t t   t   t  

t x

1

1 1 1

1 )

2 2











s

e s

e s t x

s



L

Trang 3

3/16/2015 (9)

Ví dụ 2.11: Hàm bậc thang

















3 2

2 1

1 0

3 0

1

4

2

0

)

t t t t t

t

x

nÕu

hoÆc nÕu

) 3 ( ) 2 ( 3 )

1

(

2

)

2  ( ) t  ( t 1) 4 2 (  t 1)  ( t 2)  ( t 2)  ( t 3)

 

s e e e t

x

s s

2 2 )







L

Ví dụ 2.12:  

'



 

Ví dụ 2.13:

0

sinh (3 ) sin( )

t



L

Ví dụ 2.14:

    1 1 !1

n n n

t

s

 

L

0

0 ( ) 1

t

u t a



 







 



nÕu nÕu nÕu

0

( ) t a( ) ( ) t ( ) t ( ) ( ) t ( ) t a ( )

 ( )  12 2 1 2

u t

Ví dụ 2.16:

Hàm xung tam giác đơn vị





















2 2 1 1 0 0

0 2

0 )

t t t t

t

t t

nÕu nÕu nÕu nÕu

 ) ( 1) 2  ( 1) ( 2)

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 2

2

1

( )

s

t



Ví dụ 2.17:

2

s







L

Hàm tích phân sin

0

sin

t u

u

0

arctan

t u du



L

Trang 4

3/16/2015 (13)

Ví dụ 2.18: Không tồn tại biến đổi Laplace của c o s t

t

Tuy nhiên có biến đổi Laplace

s





L

u s





Ví dụ 2.19: Tìm biến đổi Laplace của hàm gốc tuần hoàn chu kỳ T >0

/ 2

1 ( )

e

e x t dt e dt e dt



2

/ 2

sinh

4

4 1

4

sT sT

sT sT sT sT

sT

X s

sT









( )

/ 2

x t

 



 



nÕu

X s s

  Tổng quát hơn

( )

x t



 

 



nÕu nÕu

/ 2

4





/ 2

( )

sT

X s





Ví dụ 2.21: x t ( )  sin(  t T / ) , 0   t T





2

sT sT

X s





Trang 5

3/16/2015 (17)

0

1 sinh 2 cos 3( ) sinh 2 cos 3

t

s

L

e t 1 1  (t 1) e t 2 1  (t 2)

2.1.2 Phép biến đổi Laplace ngược

1

i t x

i

st















2

1 )

( )

x t

( )

X s

Một vài phương pháp tìm hàm ngược

1 Sử dụng các tính chất của biến đổi thuận và tính duy nhất

của biến đổi ngược

1X s ( a ) e x tat ( )

L

1e as X s( ) x t( a) (t a)

L

1

0

( )

t

X s

x u du s



L

1

X s tx t

L

1 X s ax at ( )

a

   



   

 

L

1 X s Y s ( ) ( ) x t ( ) y t ( )

L

Ví dụ 2.27:

5

5!

4

s s



  5

4 3

3

5!



 

Ví dụ 2.28:

1 2

'

a

1

1 sin( ) 2

s

a





 L

Trang 6

3/16/2015 (21)

Ví dụ 2.29: Đặt x t ( ) 1ln s a

s b



s b





L

tx t( ) d lns a dln(s a) dln(s b) 1 1



L



Cũng với phương pháp này ta có





2 Khai triển thành chuỗi lũy thừa







5 4 4 3 3 2 2 1 0 )

s a s a s a s

a s

a s X

 

3

0 1

a t

x t  X s a a t

Ví dụ 2.30

1

s

e

1

(2!) (3!) (4!)

s





L

       

2 0

0

( 1)

1! (2!) (3!) (4!) ( !)

k







trong đó J0là hàm Bessel bậc 0

3 Sử dụng thặng dư của tích phân phức

Giả sử hàm X(s) chỉ có một số hữu hạn các điểm bất thường

cô lập a1, …, a n trong nửa mặt phẳng Re(s)  ;   0

 

1

n st k k



Công thức Heaviside

1

1 ( ) ( )

( )

k

n

a t k k k

P a

P s







L

Với Q(s) chỉ có các không điểm đơn là a1, a2, …, a n

Ví dụ 2.31 Tìm hàm gốc









) 3 )(

2 )(

1 (

5 3 )

2 1

s s s s s t

) 3 )(

2 )(

1 (

5 3 )

(









s s s s s s Q s P

có các cực điểm đơn là 1, 2, 3

1

( )s 4

P s

Q s   

( )

2

( )

1 '( )s

P s

Trang 7

3/16/2015 (25)

có các cực điểm đơn: 2, 2  2i, 2 2i

2

( )

1

( )

s

P s

Q s





Ví dụ 2.32 Tìm hàm gốc

2 1

2

( )

x t

L

2



4 1

)

(

'

)

(

2

i s

Q

s

P

i

s







) 2 2 ( )

' ) 2 2

i i i Q i P s

Q s P

i s





























x t e  e   e 

















e t e t e it e it i et e it eit e t et t sin2t

2

1 2 cos 2 4

2 2 2 2 2 2

2

Tìm hàm gốc của các phân thức hữu tỉ

Mọi phân thức hữu tỉ thực sự có dạng đều có thể phân tích thành tổng của các phân thức tối giản loại I và loại II)

) )

s Q s P s

Các phân thức hữu tỉ loại I

at

e a









1 1

L

)!

1 ( ) (

1









n

t e a s

n at n L

Các phân thức hữu tỉ loại II

( )2 2n

Ms N



 2 2n

s

1

n

s  

Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh ta có thể đưa các phân thức tối giản loại II về một trong hai dạng sau

Trường hợp n  1

t s

s



2 cos 2

1















L



t s

sin 1

2 2













L

1

2

sin 2

s







L

1

2

s







L

2 1

sin cos 8

s







L

 2 2

1

8

s





L

Ví dụ 2.33:

2 2

( )

X s



4 ) 2 (

1 4 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 1 8 4 3 2 2

1

















s s

s X

2

L

Ví dụ 2.36:

3 2 ) 2 )(

1 (

11 15 5 )









s s s s s X

3 2 3

2

) 2 ( 7 ) 2 (

4 2 3 1 1 3 1 ) 2 )(

1 ( 11 15 5 )

























s s s s s s s s s X

t t t

e s

s s s t

3

2 1

2

7 4 3 1 3 1 ) 2 )(

1 ( 11 15 5









Tìm hàm gốc của

Trang 8

3/16/2015 (29)

2.1.3 Ứng dụng của biến đổi Laplace

2.1.3.1 Ứng dụng của biến đổi Laplace để tính tích phân

s a

e x t dt e x t dt X s



Ví dụ 2.37:

  3

2 3

3 0

10 1

t

s









 

2 2

2

25

t

s











( )

x t

dt X s ds t



3

0

ln ln 3

t t

Ví dụ 2.39:

Nếux(t)là hàm gốc với chỉ số tăng 0 0, thay s = 0 ta được

arctan

2 1

t







Ví dụ 2.41: 2

2

t

0

(1 cos 2 )

4 ( 4)





2

0

arctan



2.1.3.2 Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải phương trình

vi phân tuyến tính

1 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

Ví dụ 2.42: x "  2 x '  2 x  2 etcos t

thỏa mãn điều kiện đầu x ( 0 )  x ' ( 0 )  0

2

X s e t t te t t

2

sin 2 )

Tìm nghiệm của phương trình

2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

Ví dụ 2.45:















x y y y x x

2 ' 3 2 '

với điều kiện đầu







 3 ) 0 ( 8 ) 0 (

y x

Hệ phương trình ảnh















X Y sY

Y X sX

2 3 3 2 8

( 1)( 4) 1 4

s X

s Y







4 4



 



Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân

Trang 9

3/16/2015 (33)

2.1.3.2 Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải các bài toán

mạch điện

1

2( ) 1( ) ( ) ,

u t u t R i t 3( ) 2( ) di t( ),

u t u t L

dt

0

1

t

u t u t i t dt q

C

 

( ) ( )

I s L i t U s( )L u t( )

I

U

Z  Z R Z ; Ls Z ; 1

Cs

1

Z

2

Z

1

I

2

I

2 1

1 1 1

Z Z

Xét mạch RLC nối tiếp vớiR═110 ,L═1H,C═0,001F và một ắc quy cung cấp sức điện động90V.Đóng mạch tại thời điểmt═0và đến thời điểmt═T(T=1s)ắc quy sẽ được tách ra khỏi mạch, lúc đó mạchRLCcũng đóng nhưng không còn sức điện động Tìm cường

đội(t)của dòng điện trong mạch tại thời điểmt>0

C

R

0

E

 



0

t 

Ví dụ 2.51:

0

1

( ),

t

di

   E t ( )  90   ( ) t   ( t  1) 

90

s

e



2

110 1000

s

s e



i t  e  e  e   e   t 

Ví dụ 2.52: Xét một mạch điện Suất điện động E(t)=E0= hằng số Đóng mạch tại thời điểm t = 0

Tìm cường độ i1(t), t > 0

1

I là cường độ ảnh của mạch R 1 C

2

I là cường độ ảnh của mạch R 2 L

1

Z là trở kháng ảnh của mạch R 1 C

Cs R

Z1 11

2

Z là trở kháng ảnh của mạch R 2 L Z2R2Ls

Zlà trở kháng ảnh tương đương của hai đoạn mạchR 1 C và R 2 L

Trang 10

3/16/2015 (37)

(*)

Z

ZZ Z  Z Z  Z Z Z

1

(**)

Z

I Z I Z I Z I I

Z

Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch vòng ta có

0

R Z I

s

Từ (*), (**) và (***) suy ra

1

Z I

0 2 1

E R Ls I

s RL R L s RR RR R R





Đặt

C

R C

L R R RR RR L

R













s Ls R e s Ls R E t

2 2 2 1

1 2 0 1 2 )







 0

' 2 



2

I





 '20 i t E L t R L e t

















1 2 )

Nếu R2

s L

  là một nghiện của s22s0 thì

2

0

1( )

L t R LE







0 1

2

LE I

L s R









2.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2.2.1 Chuỗi Fourier

2.2.1.1 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2

0 1

a







2 0 0

1 ( )

a x t dt



 

1, 2,

n 

2.2.1.2 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ T = 2l0

0 1







 2 0 0

1 ( ) ;

l

 

Định lý 2.15 (Định lý Dirichlet):

Giả sử hàm x(t) tuần hoàn, đơn điệu từng khúc và bị chặn (gọi là

điều kiện Dirichlet), tại các điểm gián đoạn ta ký hiệu

2 ) 0 ( ) 0 ( )x t x t

t x

Khi đó chuỗi Fourier hội tụ và có đẳng thức 0

1







Trang 11

3/16/2015 (41)

Ví dụ 2.56: Xét hàm số x(t)  | t |,   < t <  ; tuần hoàn chu kỳ 2

Áp dụng định lý Dirichlet ta có

Chẳng hạn thay t  0:

1

n





0



2

0

n

t

n













nÕu nÕu

2 1

cos

n





2

2 0

1













2.2.1.3 Dạng cực của chuỗi Fourier(Polar Fourier Series)

0





0

a

2.2.1.4 Dạng phức của chuỗi Fourier(Complex Fourier Series)

2 1

2

n

n c

l



2 / ) ( 2 / ) ( 2 / 0 0

n n n

ib a c

ib a c a c











Hoặc

) (

20 0

n n n

c c i b c c a c a









n

i t n n









Ví dụ 2.57: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn

chu kỳ 2 xác định như sau

( )

t t

t







 



 

  



nÕu nÕu

0





0

( ) cos cos 0

n





0

2

2 1

( ) sin sin

n





 





nÕu

1 2 sin 3 sin 5 sin 7

( ) sin





0

0 0

1 2

1

n

in

















nÕu nÕu ch½n nÕu lÎ

(2 1)

1

( )

m it

m

t

m



















Đẳng thức Parseval:















n n T

c

c dt t x T

2 2

0

0 ) 1

x(t) tuần hoàn chu kỳ T0= 2l

2.2.2 Phép biến đổi Fourier hữu hạn (qua miền tần số) Biến đổi Fourier hữu hạn của dãy tín hiệu rời rạc  





n

x ) (

( )  ( ) ( ) i2 nf

n







Công thức biến đổi ngược



0

x n  F X f   X f e  df

Trang 12

3/16/2015 (45)

Vớ dụ 2.61: Tỡm biến đổi Fourier hữu hạn của tớn hiệu rời rạc







lại ngược nếu

nếu 0

1 ) (

2 0

sin( ) 1

i Nf N

i f

f e





Biến đổi Fourier qua miền tần số gúc 

n









1

0

1

2

i n









Tớnh chất của phộp biến đổi Fourier hữu hạn

1 Tuyến tớnh F  Ax n ( )  By n ( )   A F  x n ( )   B F  y n ( ) 

0

X f F x n F x n n e  X f

0

X f F x n F e  x n X ff

0

( ) cos(2 )

2

X f f X f f

F

5 Liờn hợp phức  ( ) ( ) i2 nf ( )

n







F

6 Biến số đảo  ( ) ( ) i2 nf ( )

n







F

CHƯƠNG 2: CÁC PHẫP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

7 Tớch chập F  x n ( )  y n ( )   F  x n ( )   F  y n ( ) 

8 Tớch chập ảnh F  x n ( )  y n ( )   F  x n ( )   F  y n ( ) 

9 Biến đổi của hàm tương quan

x y

m





   F  rx y, ( ) n    X f Y f ( ) ( ) 

10 Đạo hàm ảnh ( )  ( )  ( ) ( )

2

i d X f

df



11 Đẳng thức Parseval

1

0

( ) ( ) ( ) ( )

n

x n y n X f Y f df





2

0

n

x n X f df







12 Quan hệ với biến đổi Z   

 

i f

X f X e











F

Z

CHƯƠNG 2: CÁC PHẫP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.2.3 Phộp biến đổi Fourier

2.2.3.1 Cụng thức tớch phõn Fourier

Giả sử hàm x(t) khả tớch tuyệt đối trờn toàn bộ trục thực và thoả món điều kiện Dirichlet, khi đú ta cú đẳng thức

1

2

n







1

2

n







1

F x u t u du







1 ( ) cos ( )

n





1





Cho l  

l



 



Trang 13

3/16/2015 (49)

0

2

x t d x u t u du d x u  t u du

i t u

x t d x u t u i t u du d x u e du



Đổi biến 2 f

2.2.3.2 Phép biến đổi Fourier







Công thức biến đổi ngược









Dạng biên độ - pha của phép biến đổi  X f ( )   X f e ( ) i( )f

X f( ) X f X f( ) ( ) , ( )f  X f( )

Tính chất của phép biến đổi Fourier

1 Tuyến tính F  Ax t ( )  By t ( )   A F  x t ( )   B F  y t ( ) 

2 Trễ  ( )  i2T f d  ( )

d

x t T   e  X f

F

3 Dịch chuyển ảnh  2 0  

0

i f t

e  x t  X f  f

F

0

( ) cos(2 )

2

X f f X f f

F

5 Liên hợp phức F x t( )X(f)

6 Đối ngẫu F X t( )x(f)

nếu x(t) là hàm thực chẵn thì  X f ( )  F  x t ( )   F   X t ( )   x f ( )

11 Tích chập F  x t ( )  y t ( )    X f Y f ( ) ( ) 

12 Tích chập ảnh F  x t ( )  y t ( )    X f ( )  Y f  ( )

10 Đạo hàm ảnh  ( )   2   ( )

n n n

n

d X f

df

 

F

7 Đồng dạng  ( )  1  ( / )

| |

a

F

(2 ) ( )

n

n n

d x t

if X f



F

t





F

Trang 14

3/16/2015 (53)

2.2.3.3 Định lý Parseval và định lý năng lượng Rayleigh

1 2



2



2.2.3.4 Biến đổi Fourier của các hàm đặc biệt

Ví dụ 2.64: Hàm phân bố mũ hai phía

2 4

t

e

f



  

F

x t  e  

0 , 4

2



















e t

F

Ví dụ 2.62:

( )

a

t







nÕu

Biến đổi Fourier của xung chử nhật hay hình hộp có độ dài 2a

Ví dụ 2.64:





 







 1

|

| 1

|

| 0

|

1

)

t t

t

nÕu

  ( ) t   sinc ( )2 f

F

Xung tam giác đơn vị

CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.2.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Tranform)

Giả sử tín hiệu được lấy mẫu tuần hoàn, chu kỳ 2

Các điểm mẫu tương ứng

Véc tơ mẫu x   x x0, , ,1 xn1 , xj x t ( )j x 2 j

n



1

0

n

k







trong đó x t ( )j  p t ( )j   j 0, , n  1

Trang 15

3/16/2015 (57)

Các hệ số c c0, , ,1 cn1là tọa độ của véc tơ

trong cơ sở trực chuẩn 0, 1, , n1

 x x0, , ,1 xn1

 x

 ( )   ( ) ( , , ,0 1 n1),

0

1

,

n jk

j

n





j j

n



 0, , ,1 n1  0, , ,1 n1

0

n jk

j





  E

Ví dụ 2.65: Xét trường hợp n = 4

i

cơ sở trực chuẩn

0 1,1,1,1 , 1 1, , 1, i i , 2 1, 1,1, 1 , 3 1, i , 1, i

c  x  x x x x c  x   x ix x ix

các giá trị mẫu

 

3

x  x x  x      x  x  x  x     

Xét tín hiệux t ( )    2 t t2

0 6,1685; 1 2, 4674; 2 1, 2337; 3 2, 4674

( ) 1, 2337 i t 2, 4674 it 6,1685 2, 4674 it



Re ( )p t 6,1685 4,9348cos t1, 2337 cos 2t

Các giá trị mẫu

Các hệ số Fourier rời rạc

Đa thức lượng giác nội suy của biến đổi Fourier rời rạc

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	474,96 KB