CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG

2.1.2 Hàm phân bố xác suất Các biến ngẫu nhiên được xét trong các phép thử khác nhau tương ứng với các không gian xác suất khác nhau nhưng quy luật phân bố xác suất của chúng có thể như

Trang 1

2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN

Gieo một con xúc xắc 6 mặt

Ký hiệu A1, A2, A3, A4, A5, A6lần lượt là biến cố “mặt 1 chấm

xuất hiện”, “mặt 2 chấm xuất hiện”, …, “mặt 6 chấm xuất hiện”

Nếu xét đại lượngXlà số chấm xuất hiện khi gieo con xúc

xắc thìXcó thể nhận các giá trị1,2,3,4,5,6một cách ngẫu

nhiên vàXnhận giá trịklà biến cốAk,

nghĩa là {X  k}  Ak, với k  1, 2, …, 6

Ta gọi X là một biến ngẫu nhiên có miền giá trị RX  {1, 2, …, 6}

2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiênXlà đại lượng nhận các giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên, nghĩa là với mọi giá trị thực

x thì “Xnhận giá trị nhỏ hơn bằngx”, ký hiệu{Xx}, là một biến cố

Tập hợp tất cả các giá trị của Xđược gọi là miền giá trị của X,

ký hiệu

X

R

Ví dụ 2.1: Nếu gọi Xlà tổng số chấm xuất hiện khi gieo hai con xúc xắc thì Xlà một biến ngẫu nhiên có miền giá trị

 2,3, ,12 

X

R 

XkA k k; 2, 3, ,12 và

CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG

Định nghĩa 2.2: Hai biến ngẫu nhiênX,Ylà độc lập nếuX

nhận các giá trị nào đó không phụ thuộcYvà ngược lại Nói

cách khác với mọi số thựcx,y;hai biến cố{X  x},{Y  y}là

độc lập

2.1.2 Hàm phân bố xác suất

Các biến ngẫu nhiên được xét trong các phép thử khác nhau

(tương ứng với các không gian xác suất khác nhau) nhưng

quy luật phân bố xác suất của chúng có thể như nhau

Quy luật phân bố xác suất được nghiên cứu thông qua hàm

phân bố xác suất

Xác suất bắn trúng bia của một xạ thủ là 0,8 Xạ thủ này bắn 10 viên, gọiXlà số viên bắn trúng bia thì xác suất để xạ thủ bắn trúngkviên là

10k(0, 8) (0, 2)k k, 0 10

Tương tự, giả sử tỷ lệ chính phẩm của lô hàng là 0,8 Chọn 10 sản phẩm kiểm tra, gọiYlà số chính phẩm phát hiện được thì xác suất chọn đượckchính phẩm là

10k(0,8) (0, 2)k k, 0 10

Bằng cách sử dụng dãy phép thử Bernoulli ta có kết quả sau

Như vậy Xvà Y có quy luật phân bố xác suất như nhau

Hàm phân bố xác suất(cumulative distribution function, viết

tắt CDF) của biến ngẫu nhiênXlà hàm số xác định với

mọixbởi công thức:

( )

X

F x

X

trong đó{X  x}là ký hiệu biến cố “biến ngẫu nhiênXnhận

giá trị nhỏ hơn hay bằngx”

Các tính chất của hàm phân bố

1 0  FX( ) 1 x  với mọi x

2 FX( ) x là hàm không giảm, liên tục bên phải Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì là hàm liên tục FX( ) x

3

P a  X  b  F b  F a

, ( ) lim ( )

x a x a

 

Trang 2

Ví dụ 2.3: Một nguồn thông tin sinh ra các ký hiệu ngẫu nhiên

từ bốn ký tự{a, b, c, d}với xác suấtP(a)=1/2,P(b)=1/4và

P(c)=P(d)=1/8

Mã hóa các ký hiệu này theo các mã nhị phân sau

Đặt X là biến ngẫu nhiên ký hiệu độ dài

của mã, đó là số các bit

1 Tìm miền giá trị của X

2 Giả sử các ký hiệu được sinh độc lập Tính các xác suất

P{X=1}, P{X=2}và P{X=3}

3 Tìm hàm phân bố xác suất F X( )x và vẽ đồ thị

1 Miền giá trị R X  1, 2, 3 

P X P a  P X P b  2

4

P X P c d P c P d 

1/ 2

1

0

( )

X

F x

3 / 4

2 3



1/ 2 1 2 ( )

3 / 4 2 3

X

x x

F x

x x







 

 



 3

Ví dụ 2.4: Xét phép thử ném phi tiêu vào một đĩa tròn có bán

kính bằng 1 Ký hiệuX là biến ngẫu nhiên đo khoảng cách từ

điểm mũi phi tiêu cắm vào đĩa đến tâm của đĩa Giả sử mũi phi

tiêu luôn cắm vào đĩa và đồng khả năng tại mọi điểm của đĩa

1

x

1 Tìm miền giá trị của X

2 Tìm hàm phân bố xác suất

và vẽ đồ thị

( )

X

1

0

( )

X

F x

2

x

1 Miền giá trị RX  x   0  x  1 

2 2 2 .1

x

P X  x    x

 2

Hàm phân bố xác suất

2

X

x









2.1.3 Phân loại

 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiênX là rời rạc nếu miền giá trị gồm một số

hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị, nghĩa là có thể

liệt kê các giá trị của miền giá trị thành một dãy Do đó

hàm phân bố có đồ thị dạng hình thang

 Biến ngẫu nhiên liên tục

Xlà biến ngẫu nhiên liên tục nếu miền giá trị của nó có thể

lấp đầy một hoặc một số các khoảng hữu hạn hoặc vô hạn

và xác suất biến ngẫu nhiên nhận giá trị tại từng điểm đều

bằng 0 (nghĩa làP{X = a}=0với mọia) Do đó hàm phân

bố xác suất là hàm số liên tục

Ví dụ 2.6:

 GọiXlà số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc thìXlà biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6

 GọiTlà tuổi thọ của một thiết bị đang hoạt động thìTlà biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong một khoảng

 GọiZlà số khách hàng vào một điểm phục vụ trong 1 đơn vị thời gian,Zlà biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2,

…

 Số cuộc gọi đến một tổng đài là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2, …

 Sai sốYkhi đo lường một đại lượng vật lý nào đó là biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong một khoảng

Trang 3

2.2 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

2.2.1 Hàm khối lượng xác suất và bảng phân bố xác suất của

biến ngẫu nhiên rời rạc

Hàm pX( ) x  P X   x 

được gọi là hàm khối lượng xác suất(probability mass

function) của biến ngẫu nhiên rời rạc X

Hàm phân bố của X

;

x x x R

Tính chất của hàm khối lượng xác suất

2 p X(x k)0, với mọi xk RX

( ) 1

k X

X k

x R

p x





 1

3 pX( ) x  0, với mọi x  RX

Nếu thì hàm phân bố xác suất có dạng: R Xx x1, 2, 

1

0 ( )

X

x x

F x





 

nÕu

Bảng phân bố xác suất

Bảng phân bố xác suấtcó hai hàng, hàng trên ghi các giá trị

mà biến ngẫu nhiên nhận được, hàng dưới là giá trị của hàm

khối lượng xác suất tương ứng

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên Xcó dạng

P



1 ( )

X

p x pX( x2)

Để trực quan hơn chúng ta biểu diễn hàm khối lượng xác

suất của biến ngẫu nhiên rời rạc thông qua bảng phân bố

xác suất

Ví dụ 2.8: Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ một túi có 6 bi đen, 4 bi trắng GọiXlà số bi trắng trong 3 bi vừa chọn thìXlà một biến ngẫu nhiên rời rạc Tìm bảng phân bố xác suất và hàm phân bố xác suất

Hàm khối lượng xác suất

(0) , (1) , (2) , (3)

( ) 0

X

p x  với mọi xkhác 0, 1, 2, 3

Bảng phân bố xác suất

X

x x











nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu

2.2.2 Các phân bố rời rạc thường gặp

2.2.2.1 Phân bố Bernoulli

Biến ngẫu nhiên rời rạc Xnhận hai giá trị 0, 1 với hàm khối lượng xác suất

X

p k  P X  k  p q k  trong đó 0 < p < 1, q =1− p,

được gọi là có phân bố Bernoulli tham số p

Xét phép thử Bernoulli với sự thành công của phép thử là sự xuất hiện của biến cố A với xác suất xuất hiện làp GọiXlà

số lần thành công trong một lần thử thìXlà biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli tham sốp.

Trang 4

Biến ngẫu nhiên rời rạcX nhận các giá trị0,1, …,n với

hàm khối lượng xác suất tương ứng

p k  P X  k  C p q k  n

trong đó n là số tự nhiên và0 < p < 1, q =1  p, được gọi

là có phân bố nhị thức tham sốn,p, ký hiệuX ~ B ( n ; p )

Hàm phân bố

0

1

m

k k n k

k

x

x n















nÕu

biến cốAtrong mỗi lần thử làp

Với mỗii =1, 2, …, n; nếu ở lần thử thứibiến cốAxuất hiện ta cho nhận giá trị 1, nếu biến cốAkhông xuất hiện

ta cho nhận giá trị 0

i

X

i X

Như vậy là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli tham sốp i

X

Gọi Xlà số thành công trong nphép thử Bernoulli này thì

X  X  X    X B n p

Ví dụ 2.11: Một nguồn nhị phân phát ra hai ký số (digit) 1 và 0

một cách ngẫu nhiên với xác suất tương ứng 0,6 và 0,4

1 Tính xác suất có đúng hai ký số 1 và ba ký số 0 trong dãy

có năm ký số

2 Tính xác suất có ít nhất ba ký số 1 và ba ký số 0 trong dãy

có năm ký số

Giải: Gọi X là số các ký số 1 trong dãy có năm ký số

~ (5; 0, 6)

 2  2 0, 6  2 0, 4 3 0, 2304

1

5 0

2 k 0, 6k 0, 4 k 0, 31744

k



 3  1  2  1 0,31744 0, 68256

2.2.2.3 Phân bố Poisson

!

k X

k







0

!

k n X

k







Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố Poisson tham số>0,

ký hiệu X~P(),nếu X nhận các giá trị k = 0,1,…với hàm khối lượng xác suất

Trong thực tế với một số giả thiết thích hợp thì các biến ngẫu

nhiên là các quá trình đếm sau:

1 Số cuộc gọi đến một tổng đài,

2 Số khách hàng đến 1 điểm phục vụ,

3 Số xe cộ qua 1 ngã tư,

4 Số tai nạn (xe cộ); số các sự cố xảy ra ở một địa điểm

…

trong một khoảng thời gian xác định nào đó sẽ có phân bố

Poisson với tham số, trong đólà tốc độ trung bình diễn ra

trong khoảng thời gian này

Ví dụ 2.12: Ở một tổng đài điện thoại các cuộc gọi đến một cách ngẫu nhiên, độc lập Ký hiệuX(t)là số cuộc gọi đến tổng đài trong khoảng thời giantphút

Giả sử trung bình có 2 cuộc gọi trong 1 phút Tìm xác suất:

1 Có đúng 5 cuộc gọi đến trong 2 phút (biến cố A)

2 Không có một cuộc gọi nào trong 30 giây (biến cố B)

3 Có ít nhất 1 cuộc gọi trong 10 giây (biến cố C)

Có thể chứng minh đượcX(t) có phân bố Poisson tham số

 t, trong đólà số cuộc gọi trung bình trong 1 phút

Trang 5

Giải: Theo giả thiết  =2, vậy ta cú

1 , do đúX ( 2 ) ~ P ( 4 )

! 5

4 5 ) 2 ( ) (

5



A P

2 , do đúX ( 1 / 2 ) ~ P ( 1 )

 ( 1 / 2 ) 0  0 , 3679 )

( B  P X   e1

P

3 , do đúX ( 1 / 6 ) ~ P ( 1 / 3 )

( ) (1/ 6) 1 1 (1/ 6) 0 1 0,2835

2.3 BIẾN NGẪU NHIấN LIấN TỤC 2.3.1 Hàm mật độ xỏc suất của biến ngẫu nhiờn liờn tục

Giả sử X là một biến ngẫu nhiờn liờn tục cú hàm phõn bố xỏc suất FX( ) x

Hàm thỏa món fX( ) x

x



  , với mọi x  

được gọi làhàm mật độ xỏc suấtcủa biến ngẫu nhiờnX

(probability density function, viết tắt PDF)

CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIấN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG

Tớnh chất của hàm mật độ xỏc suất

1 FX'( ) x  fX( ) x tại cỏc điểm x mà liờn tục fX( ) x

Vậy hàm phõn bố xỏc suất của biến ngẫu nhiờn liờn tục là

một nguyờn hàm của hàm mật độ, và hàm mật độ xỏc suất

là đạo hàm của hàm phõn bố xỏc suất

2 fX( ) x  0 với mọi x  

X

f x dx









3

b X a

P a  X  b  P a  X  b  P a  X  b  P a  X  b   f x dx

4

Vớ dụ 2.13: Hàm phõn bố xỏc suất của biến ngẫu nhiờn liờn tục

Xcú dạng

2

X

x









với với với

Xỏc định hệ số k và tỡm hàm mật độ xỏc suất Giải: Từ tớnh chất liờn tục của hàm phõn bố xỏc suất của biến ngẫu

nhiờn liờn tục, ta cú k=1

X

x















với với với

Vớ dụ 2.14: Biến ngẫu nhiờn liờn tục X với hàm mật độ xỏc suất

cú dạng

2

( )

1

X

x

x x





 





với với Hóy xỏc định: Hệ số k; Hàm phõn bố xỏc suất và F X( )x P2 X3

2

1 1

a X

a

x x





x

x x











với với

2 3 (3) (2) 1 1 1 1 1 1 1

P X F F         

2.3.2 Cỏc phõn bố liờn tục thường gặp

Biến ngẫu nhiờn Xđược gọi là cú phõn bố đều trong khoảng (a; b) nếu hàm mật độ xỏc suất của nú xỏc định bởi

1 ( ) 0

X

a x b



 







 nếu nếu ngược lại Hàm phõn bố xỏc suất

0 ( ) ( )

1

x

x a

b a

x b







 













nếu nếu nếu

Trang 6

a x b

1

b a

( )

X

f x

( )F x X

( )

X

F x

1

b a

Quy luật phân bố đều có nhiều ứng dụng trong thống kê toán Chẳng

hạn mô phỏng thống kê, đặc biệt trong phương pháp phi tham số

Trong một số lý thuyết kết luận thống kê người ta thường xuất phát

từ quy tắc sau đây:

Nếu ta không biết gì về giá trị của tham số cần ước lượng thì mỗi giá

trị có thể có của tham số đó là đồng khả năng

Điều đó dẫn đến việc quan niệm tham số cần ước lượng như một

biến ngẫu nhiên có quy luật phân bố đều

2.3.2.2 Phân bố mũ

Biến ngẫu nhiên liên tụcXđược gọi là có phân bố mũ tham số > 0nếu hàm mật độ xác suất xác định như sau

0 ( )

x X

f x

x



 



 





nÕu nÕu Hàm phân bố xác suất

x











Phân bố mũ thường xuất hiện trong các bài toán về thời gian sống của một loài sinh vật, tuổi thọ của thiết bị … hoặc khoảng thời gian

giữa hai lần xuất hiện của một biến cố E nào đó mà số lần xuất hiện của E tuân theo luật phân bố Poisson.

Ví dụ 2.15: Tuổi thọ của một mạch điện tử trong máy tính là một biến ngẫu nhiên có phân bố mũ tham số   Giả sử tuổi thọ 0 trung bình của mạch điện tử này là 1

6, 25

 (năm) (xem kỳ vọng của phân bố mũ ở mục 2.5.3) Thời gian bảo hành là 2 năm Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành

Giải: Gọi X là tuổi thọ của mạch điện tử Xác suất để mạch điện tử

bị hỏng trong thời gian bảo hành là:

2

2 6,25 0,32



Vậy có khoảng 27,4% số mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành

Ví dụ 2.16: Giả sử thời gian mỗi cuộc gọi điện thoại (tính theo phút)

là một biến ngẫu nhiên X với phân bố mũ tham số  1/10 Một

bốt điện thoại chỉ phục vụ từng người và giả sử A vào bốt điện thoại

trước khi B đến Tính xác suất B phải chờ đến lượt mình trong

khoảng thời gian:

a) Ít hơn 5 phút b) Trong khoảng từ 5 đến 10 phút

Giải: a) Vì tính chất “không nhớ” của phân bố mũ do đó thời gian

chờ của B bằng thời gian A tiếp tục hoàn thành cuộc gọi tính từ lúc

B đến và không phụ thuộc A đã gọi trong thời gian bao lâu Vì vậy

xác suất B phải chờ ít hơn 5 phút là

 5  5 X(5) 1 0,5 0,394

P X P X F  e 

b) Lập luận tương tự trên ta được xác suất B phải chờ trong

khoảng từ 5 đến 10 phút là

5 10 X(10) X(5) (1 1) (1 0,5) 0,5 1 0, 239

P X F F  e  e e e 

2.3.2.3 Phân bố Erlang

1

( )

0 ( ) ( 1)!

k x X

x

















nÕu nÕu

Có thể chứng minh được rằng nếu X1,X2, ,X k là k biến ngẫu nhiên độc lập cùng có phân bố mũ tham số  0 thì

k

X X

X

X  1 2  

có phân bố Erlang tham số ( ; )k

Định nghĩa 2.10: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố Erlang tham

số ( ; ) k  ; k là số tự nhiên và   , nếu hàm mật độ xác suất có dạng: 0

Trang 7

2.3.2.4 Phân bố chuẩnN ( ;  2)

Biến ngẫu nhiên liên tục Xcó phân bố chuẩn , ký

hiệu , nếu hàm mật độ xác suất có dạng

2

( ;  ) N

2

~ ( ; )

X N  

2 2 ( ) 2

1

2

x X





 



x



x

fX(x)

O

 > 1

 < 1

  1

Phân bố chuẩn được Gauss tìm ra năm 1809 nên nó còn

được gọi là phân bố Gauss Phân bố chuẩn thường được

thấy trong các bài toán về sai số gặp phải khi đo đạc các đại lượng trong vật lý, thiên văn

Trong thực tế, nhiều biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn hoặc tiệm cận chuẩn (Định lý giới hạn trung tâm)

Chẳng hạn: trọng lượng, chiều cao của một nhóm người nào

đó, điểm thi của thí sinh, năng suất cây trồng, mức lãi suất của một công ty, nhu cầu tiêu thụ của một mặt hàng nào đó là những biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn

Hàm mật độ xác suất

2

2 1

2

x







2

2 1

2

t





( )x



 2 1

O

 1 

Giá trị gọi là U giá trị tới hạn mức của phân bố chuẩn tắc nếu

1 (1 )

  

Chẳng hạn tra bảng phụ lục 2 ta được

0,025 1,96

0,05 1,64

( U) 1 

Nghĩa là

Các tính chất của hàm phân bố xác suất (x)

1 (x)+ (x) = 1, (x) = 1(x)

2 NếuX ~ N(0;1) thì  a 0,P X a2(1 ( ))a

  2 ( ) 1

P X a  a 

P XU 

2

2 1

PX U 

x

1(a)

(a)

3 Nếu thì X ~ N ( ;  2) X  ~ (0;1)



 N

( )

X

 

 

Trang 8

Ví dụ 2.17: Giả sử Hãy tìm: X ~ N ( ;  2) ;   2100,   200

1 P{X < 2400} , P{1700 < X < 2200}

2 Xác định ađể P{X > a} = 0,03

Giải:

 2400  2400 2400 2100 (1, 5) 0, 9332

200

1700 2200 2200 2100 1700 2100

P X       

Φ(0,5) Φ( 2) 0, 6688

P Xa         

2.3.2.5 Phân bố “khi bình phương”

Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố “khi bình phương” n

bậc tự do, ký hiệuX ~ 2nnếu hàm mật độ xác suất có dạng

  / 2 1

( / 2)

/ 2 1

0 ( ) ( / 2) 2

n x X

x





  







nÕu nÕu trong đó, 1 là hàm Gamma

0

( )x t x e dt x t , 0



 

Nếu là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân

bố chuẩn tắc N(0;1) thì

n X X

X1, 2, ,

1 2 1

~

n

i



Nhận xét 2.5:

1 Trong thực tế ta thường sử dụng phân bố “khi bình phương”

dưới dạng tổng của bình phương của các biến ngẫu nhiên

độc lập cùng có phân bố chuẩn tắc mà ít xét đến hàm mật độ

xác suất

2 Từ tính chất 1 suy ra rằng nếu X X1, 2, ,X k là các biến ngẫu

nhiên độc lập có phân bố “khi bình phương” với bậc tự do lần

lượt n , 1 n , …, 2 n k thì X1X2X k là biến ngẫu nhiên có

phân bố “khi bình phương” n1n2n k bậc tự do

1 2

2

1 2 k~ n n n k

X X X    

3 Nếu X X1, 2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập, X1có phân bố

“khi bình phương” với n bậc tự do và 1 X1X2 có phân bố

“khi bình phương” với n bậc tự do, nn1 thì X là biến ngẫu 2

nhiên có phân bố “khi bình phương” với nn1 bậc tự do

Giá trị tới hạn “khi bình phương” n bậc tự do mức , ký hiệu 2( )n , được định nghĩa như sau:  2 

( ) ,

P X n 

( )

X

f x

2( )n



O



Hình 2.14: Giá trị tới hạn của phân bố “khi bình phương”

Bảng các giá trị tới hạn 2( )n được tính sẵn trong bảng ở Phụ lục IV

2

( )

X n

2.3.2.6 Phân bố Student T ( ) n

Biến ngẫu nhiên liên tục Tcó phân bố Student nbậc tự do, ký

hiệu , nếu hàm mật độ xác suất có dạng T ~ T ( n )

1

2 2

1 2

/ 2

n

T

n

x

n







    

        

Có thể chứng minh được rằng nếu ;

Zvà V độc lập thì

2

~ (0;1) , ~ n

) (

n V

Z

x O

( )

T

f x

4

n 

1

n 

Hình 2.15: Đồ thị hàm mật độ của phân bố Student

N(0;1)

Trang 9

3/16/2015 49

Giỏ trị tới hạn mức của phõn bố Studentn bậc tự do, ký hiệu

, được xỏc định như sau

( )

t n P T   t( ) n   

Bảng tớnh cỏc giỏ trị tới hạnt( ) n cho trong Phụ lục III

x O

Giỏ trị tới hạn mức α của phõn bố Student



2.4 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIấN

2.4.1 Kỳ vọng toỏn

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiờn X ký hiệu EXvà xỏc định như sau

i X

i X i

x R



E X xfX( ) x dx





Vớ dụ 2.19: Theo thống kờ việc một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống

thờm trờn một năm cú xỏc suất là 0,992, cũn xỏc suất để

người đú chết trong vũng một năm tới là 0,008 Một chương

trỡnh bảo hiểm đề nghị người đú bảo hiểm sinh mạng cho 1

năm với số tiền chi trả 1000 đụ la, cũn tiền đúng là 10 đụ la

Hỏi lợi nhuận của cụng ty bảo hiểm nhận được là bao nhiờu?

Lợi nhuận là biến ngẫu nhiờnXvới 2 giỏ trị là +10 đụ la (nếu

người bảo hiểm khụng chết) và 990 đụ la (nếu người đú

chết) Bảng phõn bố xỏc suất tương ứng

Giải:

X 990 +10

P 0,008 0,992

2 992 , 0 10 008 , 0 ) 990 (

Vớ dụ 2.20: Tuổi thọ của một loại cụn trựng nào đú là một biến ngẫu nhiờnX(đơn vị là thỏng) với hàm mật độ xỏc suất như sau

2(4 ) 0 4 ( )

0

X

x



nếu nếu ngược lại

Tỡm tuổi thọ trung bỡnh của loài cụn trựng trờn

Giải:

64

3 3

64 ) 4 ( 4 0

Tuổi thọ trung bỡnh

5

12 5 64

3 ) 4 ( 64

3 E

4

0

5 4 4

0

3        

Tớnh chất kỳ vọng

1 E(C)=C với mọi hằng số C

2 E(CX)=C E(X)với mọi hằng số C

 X Xn E  X  E  Xn

E 1    1   

3

4 Nếu độc lập thỡX1, , Xn E  X1 Xn  E  X1  E  Xn

5 Cho hàm sốg(x), kỳ vọng của biến ngẫu nhiờnY=g(X)được

tớnh theo cụng thức

đ ( )

E

( ) ( )

i X

x R

i

Y

g x f x dx











 







nếu rời rạc với

nếu liên tục có hàm mật ộ

2.4.2 Phương sai

Phương sai (variance) hay độ lệch (deviation) bỡnh phương trung bỡnh của biến ngẫu nhiờnXlà đại lượng đo sự phõn tỏn bỡnh phương trung bỡnh củaXxung quanh giỏ trị trung bỡnh

EX Núi cỏch khỏc phương sai củaXlà kỳ vọng của(XEX )2 Phương sai của X được ký hiệu DX hoặc VarX

D X  E X  E X

Độ lệch chuẩn của X: X D X

Khai triển vế phải cụng thức trờn và ỏp dụng cỏc tớnh chất của

kỳ vọng ta cú thể tớnh phương sai theo cụng thức sau

 2 2

D X  E X  E X

Trang 10

2 2

E i X( )i

i

X   x p x nếu X rời rạc

nếu X liên tục

E X x fX( ) x dx





 

Ví dụ 2.24: Tính phương sai của biến ngẫu nhiên xét trong ví

dụ 2.19

E X   ( 990)  0, 008 10   0, 992  7940

 2

2

D X E X E X 7940 4 7936

D 7936 89, 08

Điều này nói lên rằng mặc dù kinh doanh bảo hiểm có lãi nhưng

rủi ro khá lớn

Tính chất của phương sai

1 D(a)=0với mọi hằng số a

2 D( aX  b )  a2D( ) X với mọi hằng số a, b

3 Nếu độc lập và có các phương sai hữu hạn thìX1, , Xn

n

a X    a X  a X    a X

Nói riêng: Nếu X, Yđộc lập và DX, DYhữu hạn thì

D X  Y  D X  D Y

Phân vị

Phân vị mức của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu , là giá trị

phân chia miền giá trị của Xthỏa mãn

v

P X  v    P X  v

Nghĩa là FX( v    ) FX( v)

Trung vị

Phân vị mức 1/2 được gọi là median hay trung vị của X, ký

hiệu Med X

Như vậy trung vị là điểm phân chia phân bố xác suất thành

hai phần bằng nhau

x

1 



y

v

i

x xi1 x

( )

X

F x



v m

i

x xi1 x



1

i

v x

( )

X

F x

Mốt

Mốt (Mode) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Mod X, là giá trị

mà biến ngẫu nhiên Xnhận với xác suất lớn nhất Một biến ngẫu nhiên có thể có nhiều Mốt

0 Mod ( 0) max ( ),1 ( 2),

• Mốt của biến ngẫu nhiên rời rạc X

• Mốt của biến ngẫu nhiên liên tục X

Mod X( ) max X( ) ,

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	448,91 KB