Chương 2 các phép biến đổi hình chiếu

bai giang hinh hoc hoa hinh

2.1 Đặt vấn đề

2.2 Phép thay mặt phẳng hình chiếu

2.3 Phép quay hình quanh một trục

2.1 Đặt vấn đề

Khi giải các bài toán hình họa ở phần trước, tanhận thấy rằng:

Nếu các yếu tố của bài toán (đường thẳng, mặt

phẳng) ở vị trí đặc biệt thì việc giải các bài toán

đó sẽ đơn giản hơn nhiều so với các bài toán mà

Vì vậy, khi các bài toán mà các yếu tố của nó

của nó về vị trí đặc biệt, tìm lời giải và sau đó,

về hình biểu diễn ban đầu bằng cách biến đổi ngƣợc lại.

Có hai cách biến đổi hình chiếu:

1.Giữ nguyên vị trí vật thể trong không gian,

thay đổi mặt phẳng hình chiếu Phương

pháp này gọi là “Phép thay mặt phẳng hình

chiếu”.

2.Giữ nguyên vị trí mặt phẳng hình chiếu,

Đó là “Phép quay hình quanh một trục”.

Ax’

b)Cách thực hiện đối với một điểm:

- Giữ nguyên điểm A

theo trục chiếu mới x’

-Trong không gian của hệ thống hai mặt phẳng hìnhchiếu (P1, P2) ta lấy điểm A bất kỳ có hai hình chiếulà: A1, A2

Chiếu thẳng góc điểm

A lên P1’ ta được hình

chiếu đứng mới A’1

Ta quay phần phía trước

với trục chiếu mới x’

- Độ cao của điểm A không đổi: A1’Ax’ = A1Ax = AA2(vì độ cao của điểm A là khoảng cách từ A đến P2)

* Từ tính chất độ cao của điểm A không đổi suy ra góchợp bởi đường thẳng (hay mặt phẳng trên vật thể) vớimặt phẳng hình chiếu bằng P2 cũng không đổi

d) Các thực hiện đối với đường thẳng, mặt phẳng

- Đối với mặt phẳng, ta dùng các yếu tố xác định

của mặt phẳng (3 điểm không thẳng hàng, 1 điểm vàmột đường thẳng, 2 đường thẳng cắt nhau, 2 đườngthẳng song song) để xác định hình chiếu của mặt

phẳng trong hệ thống chiếu mới Ví dụ minh họa mặt phẳng ( ABC).

- Biến đường thẳng bất kỳ thành đường mặt

-Biến đường bằng trở thành đường thẳng chiếu đứng (trong hệ mới).

-Biến mặt phẳng bất kỳ thành mặt phẳng chiếu đứng (trong hệ mới).

-Biến mặt phẳng chiếu bằng thành mặt phẳng

d) Ứng dụng:

2.2.2 Thay mặt phẳng hình chiếu bằng

a) Định nghĩa:

-Phép thay P2 là phép giữ nguyên vật thể và mặt phẳng hình chiếu đứng P1 trong hệ thống mặtphẳng chiếu ban đầu, thay P2 bằng một mặt phẳnghình chiếu bằng mới P2’ P1 = x’ ở vị trí thích hợp, rồitìm các hình chiếu của vật thể trong hệ thống mặtphẳng hình chiếu mới

b)Cách thực hiện đối với một điểm

-Trong không gian của hệ thống hai mặt phẳng hìnhchiếu P1, P2 ta lấy điểm A bất kỳ có hai hình chiếu là

chiếu bằng mới A’2

-Ta quay phần phía trước

với trục chiếu mới x’

-Độ xa của điểm A không đổi: A2’Ax’ = A2Ax = AA1 (vì

độ xa của điểm A là khoảng cách từ A đến P1, mà P1

không đổi)

-Từ tính chất độ xa của điểm không đổi ta suy ra

thể đối với mặt phẳng hình chiếu đứng không đổi

d)Cách thực hiện đối với đường thẳng,

- Đối với mặt phẳng, ta dùng các yếu tố xác

định mặt phẳng này để tìm các hình chiếu của

e) Ứng dụng:

Phép thay mặt phẳng hình chiếu bằng P2 có thể:

- Biến đường thẳng bất kỳ thành đường bằng

(trong hệ mới)

- Biến đường mặt trở thành đường thẳng chiếu bằng(trong hệ mới).

- Biến mặt phẳng bất kỳ thành mặt phẳng chiếu bằng (trong hệ mới)

- Biến mặt phẳng chiếu đứng thành mặt phẳng bằng (trong hệ mới).

2.2.3 Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu

Nhiều bài toán nếu chỉ sử dụng một phép thay

mặt phẳng hình chiếu ta chưa có được vị trí tương đối cần thiết giữa vật thể và hệ thống mặt phẳng hình chiếu.

Ví dụ: Thay một mặt phẳng hình chiếu chỉ có thể:

- Biến một đường thẳng bất kỳ chỉ trở thành đường bằng hoặc đường mặt mà chưa trở thành

đường thẳng chiếu;

-Biến một mặt phẳng bất kỳ chỉ trở thành

mặt phẳng chiếu đứng hoặc mặt phẳng chiếu bằng

mà chưa trở thành mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳngmặt

Trong trường hợp cần thiết, để đạt được vị trí mong muốn ta phải thực hiện liên tiếp hai phép thay mặt phẳng hình chiếu.

Thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu:

Từ hệ hai mặt phẳng hình chiếu ban đầu ta giữ lạimột mặt phẳng, thay một mặt phẳng bằng một mặtphẳng mới và ta có hệ mới Từ hệ này ta giữ lại mặtphẳng vừa thay, thay mặt phẳng hình chiếu cũ bằngmột mặt phẳng mới khác và được hệ gồm hai mặtphẳng hoàn toàn mới so với hệ ban đầu

Tại mỗi bước thay một mặt phẳng hình chiếu, ta lại tìm hình chiếu mới tương ứng.

*Ứng dụng:

- Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB bằng cách thay liên tiếp hai mặt phẳng

hình chiếu để đưa AB về đường thẳng chiếu (đứnghoặc bằng)

- Xác định độ lớn thật của một hình phẳng (chẳng hạn ABC) bằng cách thay liên tiếp haimặt phẳng hình chiếu để đưa mặt phẳng chứa hìnhphẳng về mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng mặt

Ví dụ 1: Xác định tâm đường tròn ngọai tiếp

R

Mọi điểm thuộc hình cùng quay một góc

quanh trục t (theo cùng một chiều) tới vị trí mới tạo

thành một hình ’ = Tuy nhiên các điểm thuộc trục quay t không thay đổi trong quá trình này.

2.3.1 Quay quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

+ Hình chiếu bằng M2 và M’2 nằm trên đường tròntâm O2 bán kính O2M2=OM(O2 t2), với góc

(M’ 2 O 2 M 2 ) = (M’OM)= (Do OM và OM’ là những

x

-Đường bằng trở thành đường thẳng chiếu đứng.

-Mặt phẳng chiếu bằng trở thành mặt phẳng mặt.

Từ độ cao của M không đổi suy ra góc nghiêng

của đường thẳng, mặt phẳng của hình so với P2không thay đổi khi quay nó quanh trục là đường thẳngchiếu bằng

Ví dụ: Xác định độ dài đoạn thẳng AB và góc nghiêng

của AB đối với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

-Đường mặt trở thành đường thẳng chiếu bằng.

-Mặt phẳng chiếu đứng trở thành mặt phẳng bằng.

Từ độ xa của M không đổi suy ra: Góc nghiêng

của đường thẳng, mặt phẳng của hình so với P1không thay đổi khi quay nó quanh trục là đường thẳngchiếu đứng

Ví dụ 1: Xác định góc nhị diện tạo bởi mặt phẳng

C’1

A’2C’2

B1 t1

t2

B2 D’2

trục t quay qua giao

điểm của hai vết bằng

c)Quay liên tiếp quanh trục lần lƣợt vuông

Thực hiện quay liên tiếp quanh trục lần lượt

thể đưa:

- Một đường thẳng bất kỳ thành đường thẳng chiếu đứng hoặc về đường thẳng chiếu bằng tùy thứ tự quay.

hoặc mặt phẳng mặt tùy theo thứ tự quay.

Các bài toán có thể áp dụng: Tìm khoảng cách từmột điểm M đến đường thẳng d; Bài toán liên quanđến độ lớn thật của hình phẳng; Bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng.

2.3.2 Quay quanh trục song song với mặt phẳng hình chiếu

a)Quay quanh trục là đường bằng

Giả sử, quay điểm C quanh trục quay b //P2 tới vị tríC’ sao cho mặt phẳng Q(C’,b)//P2 Khi đó, điểm C’được xác định theo các điều kiện phép quay nhưsau:

- Qua C2 kẻ đường thẳng

C2O2 b2 tại O2 , O1 b1

- Xác định bán kính quay OCbằng phương pháp tam giác vuông:

OC = O2C0

- Trên đường thẳng O2C2 lấy

O2C’2 = O2C0

- Điểm C’1 b1Khi đó ta có mặt phẳng

b) Quay quanh trục là đường mặt

Giả sử, quay điểm C quanh trục quay m//P1 tới vị tríC’ có cùng độ xa so với m Điểm C’ được xác địnhtheo các điều kiện phép quay như sau:

'

C

' 1

C

' 2

* Bán kính quay OC = OC’ = O1C’1 (do OC’ làđường mặt).

* Tâm quay O = R m Trong đó: O1=C1C’1 m1,

'

C

' 1

C

' 2

- Điểm C’2 m2Khi đó ta có mặt phẳng

1

O

' 1

C

' 2

Ứng dụng: Phép quay dùng để đưa mặt

phẳng bất kỳ về thành mặt phẳng mặt, và dùng để giải quyết các bài toán xác định độ lớn thật của góc phẳng, hình phẳng.