Kỹ thuật xây dựng các mặt cong 1.. Mặt cong và các yếu tố cơ bản của mặt cong Mặt cong tương tự như đường cong nó có thể được cho dưới dạng tham số Su,v=xu,v,yu,v, zu,v 1 chẳng hạn mặt
Trang 1Kỹ thuật Đồ hoạ máy tính
57
repeat until keypressed;
closegraph;
END
$10 Kỹ thuật xây dựng các mặt cong
1 Mặt cong và các yếu tố cơ bản của mặt cong
Mặt cong tương tự như đường cong nó có thể được cho dưới dạng tham số
S(u,v)=(x(u,v),y(u,v), z(u,v)) (1)
chẳng hạn mặt hypeloid cho dưới dạng:
S(u,v)=(v cos u, hu, v sin u)
ở đây các hàm x,y,z chúng ta luôn giả thiết là hàm liên tục của hàm hai biến (u,v) thuộc miền D nào đó Các tham số u,v được gọi là các tham số đường cong toạ độ, của các điểm trên mặt cong Nếu từ (1) chúng ta cố định v=v khi đó ta được:
Q(u)=S(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
Q(u) sẽ là một đường cong nào đó trên mặt cong S(u,v) Ta gọi Q(u) là các đường toạ độ
Tương tự nếu ta cố định u=u ta có Q(v)=S(u,v), Q(v) là đường cong toạ độ trên mặt cong S
Ví dụ
S(ϕ,θ)=(x(ϕ,θ), y(ϕ,θ),z(ϕ,θ))
z R
=
=
=
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
cos cos sin cos sin
(*)
θ 0≤ϕ≤360o, 0≤θ≤360o
Mặt S(ϕ,θ) xác định như trên mặt cầu với θ θ = ta có đường cong toạ độ là đường tròn; ϕ ϕ = cũng tạo nên đường cong toạ độ là đường tròn
2 Mặt cong Lagrang
Giả sử
S u P F ui i u u u
i
n
=
∑
là một đường cong nào đó, Fi(u) là hàm cơ sở của đường cong, Pi là điểm thuộc
đường cong Các điểm Pi này lại có thể thuộc đường cong thứ j nào đó cho bởi phương trình
Trang 2Kỹ thuật Đồ hoạ máy tính
58
P vi P G vij j
j
m
=
∑
0
⇒ Mặt cong s có thể viết dưới dạng
S u v P F u G vij i j
j
m i
n
=
= ∑
0 0 Với Fi(u), Gj(v) là các hàm cơ sở
Nếu chọn hàm cơ sở
k
k i
n
ư
=
≠
∏
0
k
k j
m
ư
=
≠
∏
0
khi đó
S u v P lij jm v li u
n j
m i
n
=
= ∑
∑
0 0 Chúng ta thể thấy mặt cong s đi qua điểm Ui,vj
S(ui,vj)=Pij Công thức (**) gọi là công thức mặt cong Lagrang
Mặt cong Lagrang có ưu điểm nó đi qua nxm điểm cho trước và có đạo hàm cao tuỳ
ý Do vậy nói chung mặt cong Lagrang có sai số rất lớn so với mặt cong thực phải xây dựng
$11 Mặt cong Bezier
1 Mặt cong Bezier
Tình hình giống như với đường cong để có thể xây dựng mặt cong chính xác hơn khi cho trước một số điểm, người ta nghĩ đến việc xây dựng các mảnh mặt cong nhỏ hơn
và sau đó ghép nối chúng lại, mặt cong Bezier là mặt cong có dạng tham số:
S u v P Bij mj u B vni
j
m i
n
=
0 0
ở đây Bmj ,Bin là các đa thức Berstein bậc m và n, uo≤u≤u1 , vo≤v≤v1