Số stirling loại hai và số bell cho các đồ thị

Vì tầm quan trọng của nó trong các ứng dụng khác nhau, các nhàtoán học đã nỗ lực tìm công thức tính số phân hoạch một tập hợp.. Đồ thị G = V, E, trong đó mỗi cặp đỉnh được nối vớinhau bở

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS ĐÀM VĂN NHỈ

Thái Nguyên - 2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Đàm Văn Nhỉ,người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiềukiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luậnvăn.

Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong hội đồng chấm luận văn đãđóng góp cho tôi những ý kiến quý giá giúp tôi hoàn thiện luận văn này.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đãđộng viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Đồ thị và đường đi 5

1.1.1 Khái niệm đồ thị 5

1.1.2 Đường đi và chu trình 6

1.1.3 Bậc của đỉnh và tính liên thông của đồ thị 7

1.2 Số Stirling loại 2 của phân hoạch 10

2 Số Stiling và số Bell của đồ thị 16 2.1 Số χ(G) 16

2.1.1 Bài toán tô màu cạnh đồ thị 16

2.1.2 Đa thức màu (chromatic polynomials) 18

2.2 Số Stiling loại hai và số Bell của đồ thị 19

2.2.1 Số Stiling loại hai và số Bell của đồ thị 19

2.2.2 Một số ví dụ 23

2.2.3 Số r-Stirling loại hai và số r-Bell 25

2.3 Đa thức r-Bell 27

2.3.1 Mở rộng truy hồi (2.11) 28

2.3.2 Số Bell 32

2.3.3 Đa thức Bell 34

2.3.4 Chuỗi hệ thức ngược 35

2.3.5 Hàm sinh mũ 37

2.3.6 Đa thức r-Bell 40

Mở đầu

Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc nghiêncứu về sự sắp xếp các phần tử trong các tập hữu hạn và sự phân bố củacác phần tử vào các tập hữu hạn Mỗi cách sắp xếp hoặc phân bố nhưthế được gọi là một cấu hình tổ hợp Các cấu hình đó là các hoán vị,chỉnh hợp, tổ hợp, các phần tử của một tập hợp Toán học tổ hợp liênquan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết,Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lý thuyết đồthị

Lý thuyết đồ thị là một ngành toán học hiện đại, gắn kết nhiều ngànhkhoa học với nhau Các thuật toán ngắn gọn và thú vị của lý thuyết

đồ thị giúp chúng ta giải quyết rất nhiều bài toán phức tạp trong thực

tế Vì tầm quan trọng của nó trong các ứng dụng khác nhau, các nhàtoán học đã nỗ lực tìm công thức tính số phân hoạch một tập hợp Mộttrong những công thức tính số phân hoạch đầu tiên thuộc về nhà toánhọc tên tuổi Eric Temple Bell (1883-1960) Số phép phân hoạch một tậphợp n phần tử được gọi là số Bell, được kí hiệu là Bn Để tính số Bell,

ta cần tính số phân hoạch tập hợp X gồm n phần tử vào k tập con (hay

k khối) khác rỗng, tức là cần tính số Stirling loại hai Số Stirling đượcđặt tên theo nhà toán học James Stirling (1692-1770), đã được đề cậptrong cuốn sách "Methodus differentialis, sive Tractatus de Summatine

et Interpolatione Serireun Infinitarum" Trong luận văn này chúng tachủ yếu nghiên cứu về số Bell; số Stirling loại hai và các ứng dụng củachúng vào một số lĩnh vực khác nhau của toán học

Luận văn bao gồm hai chương, phần mở đầu, kết luận và tài liệu thamkhảo

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1 chúng tôi trình bàycác khái niệm cơ bản về tập hợp, phép phân hoạch của một tập hợp và

giới thiệu sơ lược về số Bell và số Stirling Đồng thời cũng chỉ ra mốiliên hệ giữa số Stirling loại hai và số toàn ánh.

Chương 2: Số Stiling loại hai và số Bell của đồ thị Trong chương 2chúng tôi trình bày cách xác định các số Bell và số Stirling loại hai của

đồ thị và đưa ra các ví dụ cụ thể Đồng thời cũng giới thiệu về bài toán

tô màu cạnh đồ thị, đa thức màu (chromatic polynomials) Ngoài ra,chúng tôi cũng đề cập đến khai triển hàm ban đầu f (n) như một tổ hợptuyến tính của hệ số nhị thức với đa thức hệ số Arj(n) và đa thức Bnđược biểu diễn theo các hệ số nhị thức Arj(n)

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 01 năm 2016

Người thực hiện

Nông Mạnh Linh

Định nghĩa 1.1 Đồ thị là một cặp G = (V, E), trong đó

(1) V là tập hợp các phần tử, chúng được gọi là các đỉnh

(2) E ⊆ V × V là tập hợp các phần tử, chúng được gọi là các cạnh

Về bản chất, đồ thị là một tập hợp các đối tượng được biểu diễn bằngcác đỉnh và giữa các đối tượng này có một mối quan hệ nhị nguyên biểudiễn bằng các cạnh Với hai đỉnh x, y ∈ V, đoạn thẳng hay đoạn congnối x và y biểu thị cạnh (x, y) của đồ thị Nếu cặp đỉnh x, y tạo thànhmột cạnh của đồ thị và hai đỉnh này không sắp thứ tự thì cạnh (x, y)được gọi là cạnh vô hướng; còn nếu chúng sắp thứ tự thì cạnh được viếtthành [x, y] và được gọi là cạnh có hướng Người ta thường phân đồ thịthành hai lớp

Định nghĩa 1.2 Đồ thị chỉ chứa các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị

vô hướng Đồ thị chỉ chứa các cạnh có hướng được gọi là đồ thị có hướng.Hiển nhiên, mỗi đồ thị vô hướng có thể biểu diễn bằng một đồ thị cóhướng bằng cách thay mỗi cạnh vô hướng (x, y) bằng hai cạnh có hướngtương ứng [x, y] và [y, x]

Định nghĩa 1.3 Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị đối xứng nếu(x, y) ∈ E, ([x, y] ∈ E), thì (y, x) ∈ E, ([y, x] ∈ E)

Dễ dàng thấy rằng, các đồ thị vô hướng đều là đối xứng

Định nghĩa 1.4 Đồ thị G = (V, E), trong đó mỗi cặp đỉnh được nối vớinhau bởi không quá một cạnh được gọi là đơn đồ thị hay đồ thị Nếu đồthị có những cặp đỉnh được nối với nhau nhiều hơn một cạnh thì đượcgọi là đa đồ thị Đồ thị được gọi là đồ thị hữu hạn nếu tập các đỉnh hữuhạn

Trong luận văn này chúng ta giới hạn chỉ xét các đồ thị hữu hạn Ta kýhiệu n là số đỉnh, m là số cạnh của một đồ thị hữu hạn

1.1.2 Đường đi và chu trình

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị

Định nghĩa 1.5 Đường đi trên một đồ thị G đã cho là một dãy cácđỉnh < x1, x2, , xi, xi+1, , xk−1, xk > sao cho, mỗi đỉnh trong dãy(không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước nó bằng một cạnh nào đó,nghĩa là: Với mọi i = 2, 3, , k − 1, k ta đều có cạnh (xi−1, xi) ∈ E.Với đường đi < x1, x2, , xi, xi+1, , xk−1, xk >, ta nói rằng, đường đinày đi từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk Số cạnh trên đường đi gọi là độdài của đường đi đó Đường đi đơn là đường đi mà các đỉnh của nó khácnhau từng đôi một

Định nghĩa 1.6 Chu trình là một đường đi khép kín, có nghĩa, đỉnhđầu của đường đi trùng với đỉnh cuối của đường đi Chu trình được gọi

là chu trình đơn nếu các đỉnh của nó khác nhau từng đôi

Ta thường ký hiệu chu trình qua [x1, x2, , xi, xi+1, , xk−1, xk], trong đó

x1 ≡ xk Để thu gọn, trong ký hiệu của chu trình ta thường không viếtđỉnh cuối [x1, x2, , xi, xi+1, , xk−1]

Trong một đồ thị, đỉnh nút là đỉnh kề với chính nó Hai cạnh có ít nhấtmột đỉnh chung được gọi là hai cạnh kề nhau.

1.1.3 Bậc của đỉnh và tính liên thông của đồ thị

Định nghĩa 1.7 Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G0 = (V0, E0) được gọi

là đồ thị con của đồ thị G nếu

bỏ bớt đi một số cạnh

Định nghĩa 1.8 Hai đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) được gọi làđẳng hình với nhau nếu có một song ánh S : V1 → V2, x 7→ S(x), trêntập các đỉnh, bảo toàn quan hệ các cạnh, có nghĩa: Với mọi x, y ∈ V1,cạnh (x, y) ∈ E1 khi và chỉ khi (S(x), (S(y)) ∈ E2

Người ta thường không phân biệt hai đồ thị đẳng hình với nhau vì vềthực chất chúng chỉ khác nhau tên gọi của các đỉnh và cách biểu diễnbằng hình vẽ

Định nghĩa 1.9 Cho đồ thị G = (V, E) Ta có định nghĩa sau:

(1) Hai đỉnh của đồ thị G được gọi là liên thông nếu trên đồ thị có đường

đi vô hướng nối chúng với nhau

(2) Đồ thị G được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của đồ thị đều liênthông với nhau

(3) Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu mọi cặp đỉnhđều có đường đi có hướng nối chúng với nhau

(4) Số cạnh kề với đỉnh a ∈ V được gọi là bậc của đỉnh a trong đồ thị

G và được ký hiệu qua deg(a) Riêng khuyên tại một đỉnh được tínhhai lần cho bậc của nó Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập; Đỉnh bậc

1 được gọi là đỉnh treo

Quan hệ liên thông trên tập đỉnh là một quan hệ tương đương Nó tạonên một phân hoạch trên tập các đỉnh Mỗi lớp tương đương của quan

hệ này được gọi là một mảng liên thông (hay thành phần liên thông) của

đồ thị

Định nghĩa 1.10 Đồ thị được gọi là đầy đủ nếu hai đỉnh bất kỳ đều

có cạnh nối

Người ta thường ký hiệu đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh là Kn Trong

đồ thị đầy đủ Kn mỗi đỉnh đều có bậc là n − 1 và đồ thị là liên thông.Hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng một đường đi ngắn nhất có độdài bằng 1 Đó chính là cạnh nối hai đỉnh ấy

Định lý 1.1 Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị G = (V, E), n =

|V | > 2, vô hướng liên thông luôn có đường đi đơn

Chứng minh: Giả sử x, y là hai đỉnh phân biệt của đồ thị vô hướngliên thông G Ta có ít nhất một đường đi giữa x và y Gọi x0, x1, , xkvới x0 = x, xk = y là dãy các đỉnh của đường đi có độ dài ngắn nhất(bao giờ cũng có) Đây chính là đường đi đơn cần tìm Thật vậy, giả sử

nó không là đường đi đơn Khi đó xi = xj với 0 6 i < j Điều này cónghĩa là giữa các đỉnh x và y có đường đi ngắn hơn nữa qua các đỉnh

x0, x1, , xi−1, xj, , xk nhận được bằng cách xóa đi các cạnh tươngứng với dãy các đỉnh xi, , xj−1

Định lý 1.2 Đồ thị n > 2 đỉnh không có đỉnh nút có ít nhất hai đỉnhcùng bậc

Chứng minh: Xét 3 trường hợp dưới đây:

(i) Trường hợp 1: Đồ thị có đỉnh bậc 0, có nghĩa: Đồ thị có đỉnh côlập Khi đó đỉnh của các bậc chỉ có thể là: 0, 1, 2, , n − 2 Số các bậckhác nhau nhiều nhất là n − 1

(ii) Trường hợp 2: Đồ thị có đỉnh bậc n − 1 Khi đó đồ thị không cóđỉnh cô lập Vậy, bậc của các đỉnh chỉ có thể là 0, 1, 2, , n − 1 Số cácbậc khác nhau nhiều nhất cũng là n − 1

(iii) Trường hợp 3: Đồ thị không có đỉnh bậc 0 và đỉnh bậc n − 1 Khi

đó, số các bậc khác nhau nhiều nhất cũng là n − 1

Trong cả ba trường hợp, số các bậc khác nhau không quá n − 1 Như vậy

ít nhất phải có hai đỉnh chung một bậc theo Nguyên lý Dirichlet

Định lý 1.3 Đồ thị với n > 4 đỉnh không có đỉnh nút và có đúng haiđỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không thể đồng thời có bậc 0 hoặc bậc

n − 1

Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử đồ thị trên cóhai đỉnh cùng bậc 0 hay bậc n−1 Loại hai đỉnh cùng bậc 0 hay bậc n−1này đi, ta được đồ thị G0 Theo Định lý 1.2, đồ thị G0 có hai đỉnh cùngbậc Hai đỉnh này cũng cùng bậc trong G Mâu thuẫn với giả thiết.Định lý 1.4 Tổng tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị bằnghai lần số cạnh của đồ thị

Chứng minh: Ta tính bậc của các đỉnh Mỗi đỉnh thuộc một cạnh nào

đó thì bậc của nó tăng thêm 1 Vì mỗi cạnh có hai đỉnh nên tổng tất

cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị bằng hai lần số cạnh của đồthị

Hệ quả 1.1 Số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải là một số chẵn.Chứng minh: Nếu số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị là một số lẻ thìtổng tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị là một số lẻ: Mâuthuẫn theo Định lý 1.4 Vậy, số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải làmột số chẵn

Hệ quả 1.2 Nếu đồ thị G có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh đó phảiliên thông với nhau

Chứng minh: Giả sử hai đỉnh đó là a và b Xét mảng liên thông G0chứa a Bậc của mỗi đỉnh trong G0 bằng bậc của mỗi đỉnh đó trong G.Nếu b /∈ G0 thì trong G0 chỉ có một đỉnh bậc lẻ, trái với Hệ quả 1.1 Vậy

b phải thuộc mảng liên thông G0 chứa a

Ví dụ 1.1 Có bao nhiêu cạnh trong một đồ thị có 10 đỉnh và mỗi đỉnh

Bài giải: Hiển nhiên 2m =

1.2 Số Stirling loại 2 của phân hoạch

Định nghĩa 1.11 Cho một tập hữu hạn S 6= ∅ Một phân hoạch của

S thành k phần, với 1 6 k 6 n, là một họ các tập con S1, , Sk thỏamãn ba điều kiện sau đây :

Định nghĩa 1.12 Cho tập hữu hạn S 6= ∅ Số các phân hoạch của tập

S thành k phần được ký hiệu là S(n, k) và được gọi là số Stirling loại 2.Định nghĩa 1.13 Số Bell Bn được xác định Bn =

tập B cũng có tổng các số bằng s và tập X có tổng của tất cả các sốbằng 2s Vậy

4s = 2[2012+(2012+1)+(2012+2)+· · ·+(2012+k)] = 4024(k+1)+k(k+1).Như vậy, k(k + 1) chia hết cho 4 và từ đây suy ra k ≡ 3 (mod 4) hoặc

k ≡ 0 (mod 4)

• Trường hợp 1: k ≡ 3 (mod 4) Dễ dàng suy ra được số phần tử thuộctập X phải là bội của 4 Hiển nhiên, 4 số tự nhiên liên tiếp n, n + 1,

n + 2, n + 3 luôn thỏa mãn n + n + 3 = n + 1 + n + 2 và {n, n + 3} ∩{n + 1, n + 2} = ∅ Tập X thỏa mãn tính chất đòi hỏi

• Trường hợp 2: k ≡ 0 (mod 4) Trong trường hợp này, số phần tử củatập X phải là số lẻ Giả sử X được phân ra làm hai tập rời nhau A và

B và A ∩ B = ∅ Ta có thể giả thiết Card(A) >Card(B) Đặt k = 4mvới số tự nhiên m Khi đó Card(A) > 2m + 1, Card(B) 6 2m Ta có

s > 2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 2m) và s < (2012 + 2m + 1) + · · · +(2012 + 4m) Như vây, ta có được

2012+(2012+1)+· · ·+(2012+2m) 6 s < (2012+2m+1)+· · ·+(2012+4m)hay 2012 < 2m.2m hay m > 23 và k = 4m > 23.4 = 92

Khi k = 92 : Ta xét A1 = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 46} với tổng các số

a1 = 2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 46); và B1 = {(2012 + 47) + · · · +(2012+92)} với tổng các số b1 = (2012+47)+· · ·+(2012+92) Ta có ngay

b1− a1 = 46.46 − 2012 = 104 Thế số 2012 + 52 trong B1 bởi số 2012 vàthế số 2012 của A1 bởi số 2012+52 Khi đó A = A1\{2012}∪{2012+52}

và B = B1 \ {2012 + 52} ∪ {2012} thỏa mãn đầu bài

Khi k ≡ 0 (mod 4) và k > 92 : Ta viết

X = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 92} ∪ {2012 + 93, , 2012 + 4m}.Phân tập X1 = {2012, 2012+1, , 2012+92} thành hai tập A và B nhưtrên; phân tập X2 = {2012 + 93, , 2012 + 4m} với số phần tử chẵn dễdàng phân ra làm hai tập C và D thõa mãn C ∩D = ∅ và C ∪D = X2 vớitổng các số trong tập C và D bằng nhau Vậy A0 = A ∪ C, B0 = B ∪ Dthỏa mãn đầu bài

Tóm lại, hoặc k ≡ 3 (mod 4) hoặc k ≡ 0 (mod 4) với k > 92

Ví dụ 1.5 Giả sử X là một tập gồm n phần tử Xác định số các cặp(A, B), ở đó A, B ⊆ X, thỏa mãn A không là tập con thực sự của B.Bài giải: Ta biết rằng số tập con của tập X đúng bằng 2n Vậy sốcác cặp (A, A) bằng 2n Với mỗi số tự nhiên k và tập con B gồm kphần tử, số các tập con A của B đúng bằng 2k Từ đây suy ra số cáccặp (A, B), ở đó A, B ⊆ X, thỏa mãn A là tập con thực sự của Bđúng bằng

n

P

k=0

n k

R = {1, 2, , k}

Định lý 1.5 Số các toàn ánh trong tập Fn,k đúng bằng k!S(n, k)

Chứng minh: Dễ thấy, mỗi toàn ánh f ∈ Fn,k tương ứng một phânhoạch duy nhất D = {1, 2, , n} = f−1(1) ∪ f−1(2) ∪ ∪ f−1(k).Ngược lại, mỗi phân hoạch D = {1, 2, , n} = A1∪ A2∪ ∪ Ak tươngứng đúng k! toàn ánh:

(1) Tập A1 không nhất thiết phải bằng f−1(1) Khi đó có i1 ∈ R để tập

A1 = f−1(i1) Có đúng k cách chọn số nguyên i1 để A1 = f−1(i1).(2) Tương tự, có đúng k − 1 cách chọn số nguyên i2 ∈ R \ {i1} để

Ví dụ 1.6 Số các ánh xạ tăng trong tập Fn,k đúng bằng kn
khi n 6 k

và số các ánh xạ không giảm trong tập Fn,k đúng bằng k+n−1n

Định lý 1.6 Với hai số nguyên dương n, k thỏa mãn 1 6 k 6 n có

f (a1) f (a2) f (an)

!

ta có ngay{f (a1), f (a2), , f (an)} = {1, 2, , k} Viết dãy số f (a1), , f (an)như một chỉnh hợp lặp chập n của k số Như vậy, tương ứng mỗi ánh

xạ f với đúng một chỉnh hợp lặp chập n của k số Số chỉnh hợp lặp nàyđúng bằng kn Ký hiệu A là tập tất cả các ánh xạ từ S vào R và cho mỗi

i ký hiệu Ai là tập con của A gồm tất cả các ánh xạ từ S vào R \ {i}

k

S

i=1

Ai Theo Nguyên lý Bù-Trừ ta nhậnđược

có thể viết đồng nhất thức như sau: (c + x)k = (−b + 1 + x)k Cho

I bao gồm tất cả các phân hoạch với một phần trong mỗi phân hoạch

đó là tập {n + 1}; Phần II bao gồm tất cả các phân hoạch, trong mỗiphần phân hoạch đó không có phần là tập {n + 1}

Phần I dễ đếm được vì mỗi phân hoạch đều có một phần là tập {n+1}nên các phần còn lại là số các phân hoạch tập {1, 2, , n} thành k − 1phần Do vậy, số phân hoạch thuộc phần I đúng bằng S(n, k − 1).Phần II: Tương ứng mỗi phân hoạch A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak của tập{1, 2, , n} với k phần khác nhau của tập T = {1, 2, , n, n + 1}thuộc phần II qua việc thế Ai 7→ Ai∪ {n + 1}, còn các Aj khác được giữnguyên khi j 6= i với i = 1, 2, , k Ta tính được ngay số phân hoạchthuộc phần II đúng bằng kS(n, k) Tóm lại, ta nhận được công thứcS(n + 1, k) = S(n, k − 1) + kS(n, k)

Chú ý 1.1 Trong [5] người ta cũng đã đưa ra những biểu diễn cho sốStirling loại 2 và số Bell như sau:

n

P

j=0

n j

Bài giải: Theo Định lý 1.6, ta nhận được chuỗi lũy thừa

1k!

Ví dụ 1.8 Với dãy số Bell (Bn) hãy xác định tổng T =

2.1.1 Bài toán tô màu cạnh đồ thị

Ví dụ 2.1 Với 6 người trong cuộc họp có 3 người đã từng gặp nhauhoặc chưa bao giờ gặp nhau

Bài giải: Ký hiệu 6 người là 6 điểm A, B, C, D, E, F, trong đó không có

ba điểm thẳng hàng và 6 điểm là 6 đỉnh của một lục giác lồi Nếu haingười đã gặp nhau thì ta nối họ bằng một đoạn màu đỏ, còn họ chưa baogiờ gặp nhau ta nối họ bằng một đoạn màu đen Từ điểm A có thể kẻ

5 đoạn: AB, AC, AD, AE, AF và được tô bởi hai màu đỏ và đen TheoNguyên lý Dirichlet, chẳng hạn màu đỏ được tô cho 3 đoạn Ta có thểcoi AB, AC, AD được tô màu đỏ Xét tam giác BCD Nếu cạnh tamgiác BCD đều cùng màu đen thì B, C, D là 3 người chưa bao giờ gặpnhau Nếu 3 cạnh tam giác BCD không cùng màu đen, chẳng hạn CD

có màu đỏ Khi đó tam giác ACD có ba cạnh màu đỏ hay A, C, D đãtừng gặp nhau Bài toán đã được giải xong

Ví dụ 2.2 Trong cuộc họp 17 người bàn luận về 3 vấn đề và mỗi ngườiđều có thể bàn luận với nhau về một trong ba vấn đề đó Khi đó có ítnhất ba người cùng chọn một vấn đề trao đổi với nhau

Bài giải: Ký hiệu 17 người là 17 điểm A1, A2, , A17, trong đó không

có ba điểm thẳng hàng và 17 điểm là 17 đỉnh của một đa giác lồi Nếuhai người thảo luận vấn đề I, II, III được nối với nhau bởi đoạn màu

đỏ, màu xanh, màu đen, tương ứng Điểm A1 được nối với 16 đỉnh khácđược 16 đoạn Sử dụng 3 màu để tô 16 = 5.3 + 1 đoạn nên phải có 6đoạn tô cùng một màu theo Nguyên lý Dirichlet, chẳng hạn màu đỏ được

tô cho 6 đoạn.Ta có thể coi A1A2, A1A3, A1A4, A1A5, A1A6, A1A7 được

tô màu đỏ Xét lục giác T : A2A3A4A5A6A7 Nếu một cạnh nào đó củalục giác T được tô màu đỏ thì ta nhận được tam giác ba cạnh đỏ Nếukhông có cạnh nào của T mang màu đỏ thì 6 cạnh của T được tô bởi 2màu xanh, đen Theo ví dụ trên có tam giác với ba cạnh cùng màu Khi

đó có 3 người cùng thảo luận một vấn đề

Tất nhiên xuất hiện câu hỏi vê bài toán tương tự cho n người Xét mộttập hữu hạn V gồm n phần tử Ký hiệu V(2) là tập tất cả các tập congồm 2 phần tử phân biệt thuộc V :

Ta quan tâm đến đồ thị Kn =(V, V(2)) Trong ví dụ thứ nhất ta xét K6, còn trong ví dụ thứ hai taxét K17 Sử dụng mầu đỏ để đưa ra một hình và chọn ra tập con của

E ⊂ V(2) và từ đó làm nẩy sinh các cạnh thuộc V(2) không thuộc E Vớiviệc sử dụng mầu đỏ, đen hoặc mầu đỏ, xanh, đen để tô màu cạnh đồthị Kn ta nhận được một hình tương ứng đồ thị G = (V, E) Như vậy,chúng ta đã xem một hình theo hai cách tương ứng 1-1 giữa 2(n2) tô màu

đỏ, đen các cạnh khác nhau của Kn và 2(n2) đồ thị khác nhau với tập nđỉnh Để có thể rút ra kết quả mong muốn từ việc tô màu cạnh ta xétđịnh nghĩa sau đây

Định nghĩa 2.2 Xét đồ thị G = (V, E) Đồ thị Gc = (V, V(2)\ E) đượcgọi là phần bổ sung của G

Định nghĩa 2.3 Xét đồ thị G = (V, E) và đồ thị con H = (W, F ),trong đó W ⊂ V, F ⊂ E Nếu F = E ∩ W(2) thì H được gọi là đồ thịcon cảm sinh của G bởi W và viết H = G[W ]

Xét đồ thị G = (V, E) Một bụi là một tập con không rỗng các đỉnh liền

kề Tập con W của V là một bụi khi và chỉ khi W(2) ⊂ E tương đươngG[W ] = (W, W(2)) là một đồ thị con đầy đủ Một tập con các đỉnh khôngliền kề được gọi là một tập độc lập Như vậy, một tập con không rỗng

W ⊂ V là một tập độc lập khi và chỉ khi không có hai đỉnh nào của nó

là liền kề một cạnh của G, tương đương G[W ] = (W, ∅) hay W là mộtbụi của Gc

Định nghĩa 2.4 Với hai số nguyên dương s, t ta ký hiệu N (s, t) là sốnguyên dương nhỏ nhất n để mỗi đồ thị gồm n = N (s, t) đỉnh hoặc chứa

Ks hoặc chứa Ktc như một đồ thị con cảm sinh

Ta công nhận hai kết quả dưới đây:

Bổ đề 2.1 [[3], Theorem 5.2.3] Với hai số nguyên s, t > 2, mỗi đồthị gồm N (s, t − 1) + N (s − 1, t) đỉnh đều chứa đồ thị con cảm sinh hoặcđẳng cấu Ks hoặc đẳng cấu Ktc, có nghĩa N (s, t) tồn tại và N (s, t) 6

Với kết quả này ta có N (1, t) = 1, N (2, t) = t với mọi t > 1 và 5 6

N (3, 3) 6 6 Do hình năm cạnh lồi không chứa K3 cũng không chứa K3cnhư một đồ thị cảm sinh nên N (3, 3) > 6 và ta có N (3, 3) = 6

2.1.2 Đa thức màu (chromatic polynomials)

Ở phần trên chúng ta đã xét việc tô màu cạnh đồ thị Kn Phần nàychúng ta xét bài toán liên quan đến việc tô màu đỉnh không chỉ đồ thị Kn

mà cả những đồ thị tùy ý Một r-tô màu của G là một hàm từ V = V (G)vào một tập gồm r màu nào đó

Định nghĩa 2.5 Một tô màu của đồ thị G, trong đó hai đỉnh liền kềđược tô màu khác nhau, được gọi là một tô màu riêng Số những cáchr-tô màu riêng cho đồ thị G được ký hiệu qua p(G, r)

Ví dụ 2.3 Xét đồ thị G = Knc Do không có đỉnh liền kề nên các đỉnh

là độc lập Mỗi đỉnh sẽ được tô bởi một trong r màu Theo quy tắc đếm

5 màu để tô các đỉnh Cho đỉnh A có 5 cách tô, đỉnh B chỉ có 4, đỉnh

C chỉ có 3 và đỉnh D chỉ có 2 cách Do vậy p(K4, 5) = 5.4.3.2 = 120.Khai triển p(Kn, r) = rn − s(n, n − 1)rn−1 + s(n, n − 2)rn−2 − · · · +(−1)n−1s(n, 1)r ta có các số Stirling loại 1 là s(n, n−j), j = 1, 2, , n−1.Đặc biệt, khi coi r như một biến số thì p(G, r) là một đa thức monic bậc

n của r

Định nghĩa 2.6 Giả sử e = (u, v) là một cạnh của đồ thị G = (V, E)

Đồ thị con cạnh G − e = (V, E \ {e}) là một đồ thị suy ra từ G qua việcxóa cạnh e

Ví dụ 2.5 Xét đồ thị G = ({A, B, C, D}, {AB, AD, BC, BD}) Ta có

đồ thị con cạnh G − AD = ({A, B, C, D}, {AB, BC, BD})

2.2 Số Stiling loại hai và số Bell của đồ thị

2.2.1 Số Stiling loại hai và số Bell của đồ thị

Cho một đồ thị đơn hữu hạn G = (V, E) Một phân hoạch của V (G)được gọi là một phân hoạch độc lập nếu mỗi khối là tập các đỉnh độclập, có nghĩa: Các đỉnh liền kề thuộc về các khối khác nhau Khi đó, với

k 6 |V (G)| là một số nguyên dương, ta đặt số Stirling loại hai

(

Gk

hoạch độc lập của V (G) Khi đó ta có

)

= 0 nếu 0 6 k 6

χ(G) − 1, trong đó χ(G) là màu của G Kết quả này dẫn đến việc tínhtổng từ χ(G) thay vì tính tổng từ 0 trong các công thức dưới đây Hơnnữa, ta còn có

Kết quả dưới đây đã được B Duncan và R Peele chứng minh trong

"Bell and Stirling numbers for graphs, J Inteeger Seq 12 (2009)":Định lý 2.2 Nếu G là đồ thị đơn, e ∈ E, 0 6 k 6 |V (G)| − 1 thì

(

Gk

)

=

(

G − ek

)

−

(

G/ek

Định lý 2.3 Với đồ thị đơn G và đa thức màu pG(x) ta có

)

xktrong đó xk là giai thừa lùi của x

Chứng minh: Để đơn giản, chúng ta ký hiệu n là số đỉnh của G Sửdụng định nghĩa của |E(G)| để chứng minh định lý này.

Thật vậy, G = En vì pG(x) = xn,

(

Gk

)

=

(

nk

)

, (2.1) được chứng minh với k = n, vì an = 1 Nghĩa

là chúng ta cần chúng minh biểu thức trên đúng với 0 ≤ k ≤ n − 1.Lấy e ∈ E(G) và pG−e(x) =

)

−

(

G/ek

∞

P

n=0

nmn! với m = 1, 2, 3, , Arch.Math Phys 61 (1877), 333-336," G Dobinski đã chứng minh được kếtquả dưới đây cho số Bell của đồ thị

Định lý 2.5 Nếu G là đồ thị đơn thì BG = 1

e

P∞ j=0

pG(j)j! .Vận dụng Nguyên lý Bù-Trừ " Cho A1, A2 là hai tập hữu hạn khi đó

)

= 1k!