454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia

454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia 454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia v

Hà Quốc Văn

xy

Phương trình quy về phương trình bậc hai

xx

+ Nghiệm hữu tỉ của pt có dạng xO = m

n với m là ước số của d, n là ước số của a, thay lần lượt các giá trị xO vào pt ñể tìm nghiệm xO

* Phân tích thành pt tích: ax³ + bx² + cx + d = (x – xO)(ax² + b’x + c’)

+ Phép chia ña thức

+ Thuật toán Horner

→ Tìm nghiệm của tử và mẫu

→ Lập bảng xét dấu: trên mỗi khoảng nghiệm VT chỉ mang một dấu

5) (x−2)(x2+3x− < −5) (x 2)(x3− −x 1)

x xðạo hàm trên khoảng: f /(x) =

x (Lập tỉ − Tìm lim) ðạo hàm bên trái : f /(x0 −) =

xðạo hàm bên phải : f /(x0+) =

x

 f /(x0−) = f /(x0+) = A ⇔ f /(x0) = A

 f(x) có ñạo hàm tại x0 ⇒ f(x) liên tục tại x0

 f(x) không liên tục tại x0 ⇒ f(x) không có ñạo hàm tại x0

n n 1

uu

n u(sinx)/ = cosx

2

2

b caAx 2aBx

/

)2 = (y –1).y / /

4) Nếu y = x+ 1 x+ 2 thì 4(1 + x2)y / / + 4xy / – y = 0

10 Chứng minh các hệ thức:

1) Cho y = x.sinx , chứng minh xy – 2(y / – sinx) + xy / / = 0

2) Cho y = x.tanx chứng minh x2.y / / – 2(x2 + y2)(1 + y) = 0

3) Cho y=3sin5x – 5cos5x chứng minh : y / / = – 25y

Dạng 1: Tiếp tuyến tại tiếp ñiểm M(xO;yO)∈(C)

 Hệ số góc tiếp tuyến (∆) với (C) tại M(x0; f(x0)) ∈ (C) là k = f /(x0)

 Phương trình tiếp tuyến (∆) với (C) tại tiếp ñiểm M(x0; y0) :

y = f /(x0)(x − x0) + y0

Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước

 Tìm phương k

Hai ñường thẳng (D1): y = k1x + b1 và (D2): ): y = k2x + b2 có hệ số góc k1 , k2 (D1) // (D2) ⇔ k1 = k2

(D1) ⊥ (D2) ⇔ k1 k2 = –1

ðường thẳng (D): y = kx + b tạo với trục Ox góc α (0° ≤ α ≤ 90°) thì |k| = tanα

ðường thẳng (D): y = kx + b ⇔ kx – y + b = 0 tạo với ñường thẳng

k 1 A B

 Tìm hoành ñộ tiếp ñiểm: giải f /(x0) = k ñể tính x0

 Tính y0 ñể có tiếp ñiểm M(x0;y0)

 Thay vào phương trình tiếp tuyến y = f /(x0)(x – x0) + y0

11 Viết phương trình tiếp tuyến của các ñường:

2) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 12x – y = 0

3) Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 4x + 3y + 5 = 0

4) Tiếp tuyến cùng phương với trục Ox

2) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng x + y − 3 = 0

3) Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 4x − y − 10 = 0

19 Cho (P) : y = x2 và A(3 ; 0), M ∈ (P) có xM = a

1) Tính a ñể AM ngắn nhất ðS : a = 1

2) Chứng minh khi AM ngắn nhất thì AM ⊥ tiếp tuyến tại M của (P)

tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân

tại gốc toạñộ

24 Cho hàm số y 2x

x 1

=+ (C) Tìm tọa ñộñiểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến tại M cắt trục

hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB có diện tích bắng ¼

25 Cho hàm số y x 1

2x 3

+

=+ (C) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C), biết tiếp

tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân

x 1

+ −

=

− có ñồ thị là (C) Gọi A, B là hai giao ñiểm của (C) và trục

hoành, viết phương trình tiếp tuyến tại A, B của (C)

29 Cho (P): y = x² và ñiểm I(0; 2), viết phương trình tiếp tuyến với (P) sao cho khoảng cách

từ I ñến tiếp tuyến bằng 2

30 Cho (Cm): y = x³ – m(x + 1) + 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao ñiểm của (Cm) với Oy Tìm m ñể tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng 8

31 Cho ñồ thị (C) có phương trình y = x² – 2x, viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho

tiếp tuyến song song với phân giác của góc tạo bởi 2 ñường thẳng (d): x – 2y + 5 = 0 và (d’): 3x – y = 0

B H M C

Hình học

Hệ thức lượng trong tam giác

 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 sinB = b/a ; cosB = c/a ; tanB = b/c ; cotB = c/b

 Hệ thức lượng trong tam giác ñều chiều cao = cạnh 3

c' b'H

Q P

b

d

P Q

b

d a

M

d A

Xác ñịnh và tính số ño góc

Xác ñịnh hình chiếu a’ của a trên (P)

Chọn góc nhọn giữa a và a’

a

A H

Q P

Khoảng cách

Xác ñịnh khoảng cách giữa ñiểm A và (P)

Xác ñịnh hình chiếu H của M trên (P)

d[M(P)] = MH

Xác ñịnh khoảng cách giữa ñường thẳng a và (P) song song với a

Tìm khoảng cách từ ñiểm M tùy ý trên a ñến (P)

Xác ñịnh khoảng cách giữa 2 mp song song

Tìm khoảng cách từ ñiểm M tùy ý trên mp này ñến mp kia

Xác ñịnh khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau a và b

Là ñộ dài ñoạn vuông góc chung của 2 ñường thẳng

Xác ñịnh ñoạn vuông góc chung của 2 ñường thẳng a và b

Trường hợp b ⊂ (P) ⊥ a Trường hợp b ⊂ (P) // a

Trong (P) dựng OH ⊥ b

⇒ IJ là ñoạn vuông góc chung

b a

O

H

 Chọn ñiểm M “thích hợp” trên a

 tìm hình chiếu H của M lên (P)

 ðường thẳng qua H và // a cắt b tại B

 ðường thẳng qua B và // HM cắt a tại A

⇒ AB là ñoạn vuông góc chung của a và b

Nếu 1 bài toán không yêu cầu dựng ñoạn vuông góc chung AB của a và b thì

d(a,b) = d(a,P) = d(M,P) trong ñó b⊂ P//a d(a,b) = d(P,Q) trong ñó a ⊂ Q; b ⊂ P và P // Q

BP

M

H

a

ba'A

P M H

B h

CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH

Hình chóp

• Hình chóp ñều: Mặt ñáy là ña giác ñều và chân ñường cao là tâm của ñáy Các cạnh bên bằng nhau

• Tứ diện ñều: Tất cả các cạnh bằng nhau, các mặt là các tam giác ñều

• Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau: ðường cao hình chóp qua ñỉnh và tâm ñường tròn ngoại tiếp mặt ñáy

• Hình chóp có 2mặt bên vuông góc với ñáy: ðường cao là cạnh chung của 2 mặt bên ñó

• Hình chóp có 1mặt bên vuông góc với ñáy: ðường cao của mặt bên ñó là ñường cao hình chóp

Gọi p là chu vi thiết diện thẳng, S là diện tích thiết diện thẳng

Gọi B là diện tích ñáy, h là chiều cao, l là cạnh bên

Sxq = pl thường dùng Sxq = tổng diện tích các mặt bên

V = Bh = Sl

Phân loại: Hình lăng trụ xiên

Hình lăng trụ ñứng có cạnh bên vuông góc với ñáy (h = l; B = S)

Hình lăng trụ ñều là hình lăng trụ ñứng có mặt ñáy là ña giác ñều

A M

Hình trụ : Bán kính ñáy R, chiều cao h

Sxq = 2πRh (chu vi ñáy X chiều cao)

Stp = 2πRh + 2πR2

V = πR2h (diện tích ñáy X chiều cao)

Hình nón : Bán kính ñáy R, chiều cao h, ñường sinh l

Sxq = πRl ( ½ chu vi ñáy X chiều cao)

33 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC, xác ñịnh hc A/(SBC)

34 Cho hình chóp S.ABCD ñáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD)

1) Xác ñịnh hc A/(SBC), hc A/(SBD)

2) Xác ñịnh hc O/(SCD), hc C/(SBD)

35 Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác cân tại A, góc SAB
=SAC
, tìm chân ñường cao hình chóp vẽ từ S

36 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD và góc A 'AB
=A 'AD
, xác ñịnh chân

ñường vuông góc hạ từ ñỉnh A’ xuống (ABCD)

37 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, mp(P) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M, N Xác

ñịnh chân ñường vuông góc hạ từ S xuống (P)

38 Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không ñồng phẳng, góc
xOy= xOz
, tìm chân ñường vuông góc hạ

từ M trên Ox xuống (yOz)

39 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, lấy ñiểm M bên trong tam giác SAB, tìm hình chiếu của M trêm (ABCD)

40 Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⊥ (ABC), tìm chân ñường vuông góc hạ từ ñiểm M trên cạnh AB xuống (SBC)

41 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật ABCD, SA ⊥ (ABCD)

1) Tìm hình chiếu của ñiểm M trên SA xuống (SBC)

2) Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, mp(P) qua O song song BC, xác ñịnh hình chiếu của S trên (P)

42 Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và ñáy ABCD là hình thoi tâm O

1) Xác ñịnh hình chiếu của O trên (SBC)

2) Xác ñịnh hình chiếu của A trên (SBC)

43 Cho hình chóp S.ABC; tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a, SA⊥(ABC) Tính khoảng cách từ B ñến (SAC)

44 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh BC và AD Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 2

R

h

l

R h

45 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a và cạnh bên SA=a 6

góc với mặt phẳng ñáy (ABC) Tính khoảng cách từ ñiểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a

46 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a Gọi E là trung ñiểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ ñiểm

S ñến ñường thẳng BE

47 Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a Gọi I là trung ñiểm của SC và M là trung ñiểm của AB

1) Chứng minh IO ⊥ (ABCD)

2) Tính khoảng cách từ ñiểm I ñến ñường thẳng CM

48 Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân ñỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a

1) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC)

2) Tính khoảng từ A ñến (SBC)

3) Gọi O là trong ñiểm của AC Tính khoảng cách từ O ñến (SBC)

49 Tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a, BC = a 3 , SA ⊥ (ABC),

SA=2a Gọi M là trung ñiểm của AB

1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

2) Tính ñường cao AK của tam giác AMC

3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC)

2) Gọi M là trung ñiểm của CD Tính cosin góc giữa AC và BM

52 Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD=a 2 Gọi I

và J lần lượt là trung ñiểm của AD và BC

1) Chứng minh (SIJ) ⊥ (SBC)

2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và SB

53 Tứ diện ABCD có ABC là tam giác ñều cạnh a , AD vuông góc với BC , AD = a và

khoảng cách từ D ñến BC là a Gọi H là trung ñiểm của BC và I là trung ñiểm của AH

1) Chứng minh BC ⊥ (ADH) và DH=a

2) Chứng minh DI ⊥ (ABC)

3) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và BC

54 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, cạnh SA vuông góc với ñáy và SA = 2a Gọi M là trung ñiểm của SC Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a

55 Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 60° và có

ñường cao SO=a

1) Tính khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SBC)

2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và SB

56 Cho lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi cạnh a , góc A = 60o Gọi O và O’ là tâm của hai ñáy, OO’ = 2a tính diện tích các mặt chéo của lăng trụ

57 Cho lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 120°, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung ñiểm CC' Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

58 Cho tứ diện SABC có ñáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a 3 ,

SA⊥(ABC), SA = 2a Gọi I là trung ñiểm AB

1) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC)

3) Gọi N là trung ñiểm AC ,tính khoảng cách từ ñiểm N ñến mặt phẳng (SBC)

59 Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA ⊥ (ABCD) 1) Tính góc giữa SC và (ABCD)

2) Tính tan của góc giữa SC và (SAB)

3) Tính sin của góc giữa SB và (SAC)

4) Tính sin góc giữa AC và (SBC)

60 Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy là tam giác ñều cạnh bằng a Biết BC' hợp với (ABB'A') góc 30°

1) Tính AA'

2) Tính khoảng cách từ trung ñiểm M của AC ñến mặt phẳng (BA'C')

3) Gọi N là trung ñiểm của cạnh BB1 Tính sin của góc giữa MN và (BA'C')

61 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác ñều cạnh a, SA = SB = SC = a 3

1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC)

2) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

3) Tính diện tích tam giác SBC

62 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a, SA=SB=SC=a 3

2 1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC)

2) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau

3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC)

63 Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a , SA=SB=SC=2a

1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC)

2) Tính cosin góc giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

64 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, A = 60°, SA=SB=SD=a 3

2 1) Tính hình chóp từ S ñến mặt phẳng (ABCD)

2) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau

3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A

ñến mặt phẳng (SBD)

4) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), tính diện tích ∆SBD

65 Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác vuông tại A, AC=a, BCA
=600, BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc α=45° Xác ñịnh α và tính chiều cao lăng trụ

66 Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A'B'C' có cạnh ñáy = cạnh bên = a, Gọi I, J là trung ñiểm

BC và BB'

1) Chứng minh rằng BC' ⊥ (AIJ)

2) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC)

3) Tính diện tích tam giác AIJ

67 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ñáy là hình thoi cạnh a, A =600, A’A=A’B=DA’=a 3

2 1) Tính chiều cao lăng trụ

2) Chứng minh rằng hai mặt chéo của lăng trụ vuông góc nhau

3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD)

4) Tính diện tích tam giác A’BD và diện tích toàn phần của lăng trụ

68 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

1) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau

2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA’ và BD’

3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (D’AC) và (ABCD)

4) Tính diện tích tam giác D’AC

69 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ñường chéo DB’ = 12, CD=6, CC’ = 8

1) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp

2) Tính góc giữa B’D và các mặt hình hộp

70 *.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên = a và hình chiếu của C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC

1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy,chiều cao của lăng trụ

2) Chứng minh rằng các mặt bên AA’C’C và BB’C’C bằng nhau ; mặt bên ABB’A’ là hình vuông Từ ñó tính diện tích toàn phần của lăng trụ

71 *.Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy bằng a ðường chéo AB’ của mặt bên tạo với ñáy một góc ϕ = 60o Gọi I là trung ñiểm BC

1) Xác ñịnh hình chiếu của A trên BB’C’C

2) Tính góc giữa ñường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C)

72 *.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a; cạnh bên AA’ = a và hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm I của AC

1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy

2) Tính chiều cao lăng trụ

73 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc A=60°, D’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên tạo với ñáy một góc ϕ bằng 60°

1) Xác ñịnh góc ϕ và tính chiều cao , cạnh bên của hình hộp

2) Chứng minh rằng BD’ ⊥ A’C’

3) Chứng minh rằng các mặt bên của hình hộp bằng nhau

74 Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy = a, ñường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một góc α = 30° Xác ñịnh α và tính chiều cao lăng trụ

75 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình thoi tâm O; cạnh a góc A= 60°; B’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên bằng a

1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy và thể tích của lăng trụ

2) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau

3) Tính diện tích toàn phần lăng trụ

76 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều ABC cạnh a, ñiểm A’ cách ñều A,B,C

và AA’ tạo với ñáy một góc ϕ = 60°

1) Chứng minh rằng mặt bên BB’C’C là một hình chữ nhật

2) Tính chiều cao lăng trụ

77 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, tâm O Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SA và BC Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) là 60° Tính MN, Tính

SO, Tính sin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD)

HÀM SỐ

ðƠN ðIỆU

Cho y = f(x) xác ñịnh trên (a;b)

 f /(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) tăng trên (a;b)(dấu “=” xảy ra hữu hạn ñiểm)

 f /(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) giảm trên (a;b)

 f /(x) = 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) là hàm hằng trên (a;b)

+ 2

ad bc(cx d)

y ñồng biến trên D ⇔ y / > 0 ∀x ∈ D (dấu “=” không xảy ra)

y nghịch biến trên D ⇔ y / < 0 ∀x ∈ D (dấu “=” không xảy ra)

Xét dấu

• f /(x) là ña thức hay phân thức: xét dấu nhị thức hay tam thức

• f /(x) là hàm vô tỉ, lượng giác, mũ, logarit: giải bất p.trình f’(x) ≥ 0 hay f’(x) ≤ 0

• f /(x) là hàm phức tạp :

o Tìm x0 sao cho f /(x0) = 0 hay f /(x) không xác ñịnh

o Các số x0 chia miền xác ñịnh của f(x) thành nhiều khoảng

o Trên mỗi khoảng f /(x) có 1 dấu duy nhất, xác ñịnh dấu mỗi khoảng bằng cách xét 1 giá trị ñặc biệt

Xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x)

3) y = 3x – 2 + 4

x 1− 4) y =

82 Chứng minh y = 2x−x2 ñồng biến trên (0;1) và nghịch biến trên (1; 2)

83 Lập bảng biến thiên và tìm tập giá trị của hàm số :

2

x 1y

3x3 – ½ (sina + cosa)x2 + ¾ sina.x

91 Với giá trị nào của m thì hàm số : y =

+ nghịch biến trong từng khoảng xác ñịnh

93 Xác ñịnh m ñể các hàm số sau nghịch biến trên R:

Ứng dụng tính ñơn ñiệu ñể chứng minh bất ñẳng thức

ðể chứng minh bất ñẳng thức ta thực hiện các bước sau:

— Chuyển bất ñẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác ñịnh do ñề bài chỉ ñịnh

— Xét dấu f ’(x) Suy ra hàm số ñồng biến hay nghịch biến

— Dựa vào ñịnh nghĩa sự ñồng biến, nghịch biến ñể kết luận

Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất bằng tính biến thiên:

— Phương trình f(x) = 0

Xét hàm số y = f(x), chứng minh f(x) ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên D

Chọn ñược x0 : f(x0) = 0 ⇒ x0 là một nghiệm của phương trình

Khi x < x0 : f(x) < f(x0) = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

Khi x > x0 : f(x) > f(x0) = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

KL: Phương trình có nghiệm duy nhất x = x0

— Phương trình f(a) = f(b)

Xét hàm số y = f(x), chứng minh f(x) ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên D; a, b ∈ D

pt ⇔ f(a) = f(b) ⇔ a = b thé vào phương trình giải tìm nghiệm

101 Chứng minh phương trình 2x2 x− =2 11 có nghiệm duy nhất

ðIỂM TỚI HẠN : f(x) xác ñịnh trên (a;b) và x0 ∈ (a;b)

ðiểm x0 là ñiểm tới hạn nếu f /(x0) không xác ñịnh hay bằng 0

A Tìm ñiểm cực trị x0

/

 Tìm các ñiểm tới hạn

 Xét dấu y / , lập bảng biến thiên

 Nếu y / ñổi dấu từ + sang – tại x0 thì y ñạt cực ñại tại x0

Nếu y / ñổi dấu từ – sang + tại x0 thì y ñạt cực tiểu tại x0

/(x) , f / /(x)

 Tìm nghiệm x0 của f /(x)

(nếu x0 ∈ D mà f /(x0) không xác ñịnh thì không ñược dùng cách 2)

 Nếu f ”(x0) < 0 thì y ñạt cực ñại tại x0

 Nếu f ”(x0) > 0 thì y ñạt cực tiểu tại x0

 Nếu f ”(x0) = 0 chưa kết luận

Chú ý

x0 : ñiểm cực trị (Cð hay CT) của hàm số

(x0; y0): ñiểm cực trị (Cð hay CT) của ñồ thị

y0 : giá trị cực trị (Cð ay CT) hay gọi tắt là cực trị

104 Dùng dấu hiệu 1, tìm các ñiểm cực trị của :

7) y = (x−4) x3 2

105 Dùng dấu hiệu 2, tìm các ñiểm cực trị của :

1) y = x³ – 2ax² + a²x (a>0)

2x 1

=+

Hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

xo là ñiểm cực trị thì yo = y’(xo).(mxo + n) + Axo + B = Axo + B

 Hàm số = + +

+

2

ax bx cy

Ax B (aA≠0) có cực trị ⇔ y’=0 có 2 nghiệm phân biệt khác−B

Q(x ) Q '(x )

110 Chứng minh các hàm số sau luôn có cực ñại , cực tiểu:

116 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d Tính a, b, c, d ñể hàm số có giá trị cực ñại bằng 3 khi

x = 1 và giá trị cực tiểu bằng –1 khi x = 3

117 Tìm a, b, c ñể hàm số y = ax4 + bx2 + c qua gốc tọa ñộ và ñạt cực trị bằng –9 tại x = 3

− có 2 ñiểm cực trị nằm 2 phía ñối với trục tung Chứng

minh 2 ñiểm cực trị luôn nằm cùng một phía ñối với trục hoành

131 Tìm m ñể y = 2x³ + mx² – 12x – 13 có 2 ñiểm cực trị cách ñều trục tung

132 Tìm m ñể y = x³ – 3mx² + 4m³ có các ñiểm Cð, CT ñối xứng nhau qua ñường phân giác thứ nhất

thứ nhất và ñiểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa ñộ

C ðường thẳng qua 2 ñiểm cực trị

Ax B Q(x)Giả sử (xO; yO) là ñiểm cực trị thì = o = o +

o

o

P '(x ) 2ax by

Q '(x ) ANếu hàm số có 2 ñiểm cực trị thì ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị: = 2ax +b

y

A

gốc O tạo thành tam giác vuông tại O

Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của y = f(x)

Cách 1: Dùng ñạo hàm (dùng trên ñoạn [a;b])

 Xác ñịnh tính liên tục của hàm số trên [a;b]

 Tìm ñiều kiện phương trình f(x) = y có nghiệm x∈[a;b]

 Tập hợp các giá trị này là miền giá trị của f(x) trên [a;b]

7) y = (1 + cosx)sinx

8) y = sin x 3cos x

2sin x 5cos x

−+

145 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất (nếu có) của hàm số :

2

1y

=

+ + 8) y=4 x2 −2x+ +5 x2−2x+3

Ứng dụng max-min ñể giải phương trình và bất phương trình

Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên tập D và tồn tại

D

max f(x) ,

D

min f(x) Mệnh ñề 1: Phương trình f(x) = k có nghiệm ⇔

D

min f(x) ≤ k ≤

D

max f(x) Mệnh ñề 2:

f(x) ≤ k có nghiệm trên D ⇔

D

min f(x) ≤ k f(x) ≤ k nghiệm ñúng ∀x∈D ⇔

D

max f(x) ≤ k Mệnh ñề 3:

f(x) ≥ k có nghiệm trên D ⇔

D

max f(x) ≥ k f(x) ≥ k nghiệm ñúng ∀x∈D ⇔

148 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm thuộc [–3;3]: x³ + 3x² – 9 = m

149 Tìm m ñể các bất phương trình sau nghiệm ñúng với mọi x∈R

1) x+ 2x2+ >1 m

2) m 2x2 + < +9 x m

3) mx4 – 4x + m ≥ 0

150 Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm: mx− x− ≤ +3 m 1

151 Cho bất phương trình x³ – 2x² + x – 1 + m < 0 Tìm m ñể bất phương trình

ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng

 Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên D ⇔ ∀ ∈ − ∈

− =



x D : x Df( x) f(x)

x X x

y Y y Chứng minh ñiểm I(xO; yO) là tâm ñối xứng của ñồ thị (C): y = f(x)

 Dùng công thức chuyển trục bằng phép tịnh tiến theo OI= (x ; y ) 0 0

 Viết phương trình của (C) trong hệ tọa ñộ mới IXY

 Chứng minh phương trình của (C) trong hệ tọa ñộ mới là hàm số lẻ

Chứng minh ñường thẳng x = xO là trục ñối xứng của ñồ thị (C): y = f(x)

 Dùng công thức chuyển trục bằng phép tịnh tiến theo OI= (x ;0) 0

 Viết phương trình của (C) trong hệ tọa ñộ mới IXY

 Chứng minh phương trình của (C) trong hệ tọa ñộ mới là hàm số chẵn

Chứng minh ñiểm ñường thẳng (D): y = ax + b là trục ñối xứng của ñồ thị (C): y = f(x)

 Gọi (∆) là ñường thẳng vuông góc với (D)

 Giả sử (∆) cắt (C) tại 2 ñiểm A, B, gọi I là trung ñiểm AB

 (D) là trục ñối xứng của (C) ⇔ I ∈ (∆)

Chú ý:

I(xO; yO) là tâm ñối xứng của ñồ thị (C): y = f(x) ⇔ ∀x∈D: f(xO+x) + f(xO–x) = 2yO

152 Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo OI



và viết các phương trình của ñồ thị (C) ñối với hệ tọa ñộ IXY:

1) y = x – 4, I(2;–3)

2) y = x² + 6x – 1, I(–3; –10)

153 Chứng minh (C): y = x4 – 4x³ – 2x² + 12x – 1 nhận ñường thẳng x = 1 làm trục ñối xứng

154 Chứng minh (C): y = x³ + 3x² + 5 nhận I(–1; 7) làm tâm ñối xứng

xo là nghiệm của mẫu (không là nghiệm của tử): tiệm cận ñứng x = xo

Bậc tử ≤ bậc mẫu : có tiệm cận ngang

Bậc tử = bậc mẫu + 1 : có tiệm cận xiên

thực hiện phép chia tử cho mẫu y = ax + b + g(x) trong ñó

xlim g(x) 0

tiệm cận xiên của ñồ thị

Bậc tử > bậc mẫu : có tiệm cận cong

2x−3 8) y = 2x + 3 + 4x2 +1

162 Tùy theo m, tìm các tiệm cận (nếu có) của các ñồ thị :

1) Có một tiệm cận ñứng và một tiệm cận ngang

2) Có một tiệm cận ñứng và một tiệm cận xiên

1) Với giá trị nào của m thì ñồ thị có tiệm cận xiên

2) Tìm m ñể tiệm cận xiên qua A(–2;–1)

 Tìm tập xác ñịnh (xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn nếu có)

 Khảo sát sự biến thiên

 Tính ñạo hàm → tìm ñiểm tới hạn (y / = 0 hay y/ không xác ñịnh) → ñiểm cực trị

 ðối với hàm bậc ba: Tính ñạo hàm cấp hai → tìm ñiểm uốn

x y

x y

x y

 Tiệm cận:

tiệm cận ñứng x = d

c

−x

alim y

x y

y / = 0 có 2 nghiệm khác –B/A ⇔ y có cực ñại, cực tiểu

y / = 0 vô nghiệm ⇔ y không có cực trị

 Tiệm cận:

tiệm cận ñứng : x = B

A

−

Lấy tử chia cho mẫu y = mx + n + k

Ax+B (hay dùng sơ ñồ Horner)

x

 Cực tri : Nếu x0 là nghiệm của y / = 0 thì

/ 0

0 /

0

u (x )y

x y

* y có cực ñại, cực tiểu * y không có cực trị (aA > 0) (aA > 0)

x y

x y

* y có cực ñại, cực tiểu * y không có cực trị (aA < 0) (aA < 0)

Gọi p chu vi thi? ??t diện thẳng, S diện tích thi? ??t diện thẳng

Gọi B diện tích đáy, h chiều cao, l cạnh bên

Sxq... 2x−x2 ñồng biến (0;1) nghịch biến (1; 2)

83 Lập bảng biến thi? ?n tìm tập giá trị hàm số :

2

x 1y