Tài liệu toán ôn thi THPT quốc gia

Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến là: y’< 0.. Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm s

Trang 1

Tài liệu ơn tập thi TN THPT Năm học: 2009-2010

VẤN ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ - BÀI TỐN LIÊN QUAN

Nhắc lại các cơng thức đạo hàm thường gặp:

I CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU

A TĨM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1/ Giả sử f(x) cĩ đạo hàm trên khoảng (a ; b) Ta cĩ:

a) Điều kiện đủ:

- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)

- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)

b) Điều kiện cần:

- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f’(x) ≥0 trên khoảng (a ; b)

- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f'(x)≤0trên khoảng (a ; b).

2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính y’, giải phương trình y’ = 0

- Lập bảng xét dấu y’

- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận

• Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng

• Cần nhớ: Xét f(x) = ax2 + bx + c

Nếu ∆<0 thì f(x) luơn cùng dấu a

Nếu ∆=0 thì f(x) luơn cùng dấu a

a

b x

2

/ /

2

/ / /

/ /

/

/ / /

5

)0(

4

3

C

v v

u v v u v u

v C v C

v u v u v u

v u v u

x x

a x x

e e

a a a

x x

x C

a

x x

2 /

/ / / / / / / 2 /

1 /

/ /

sin

1cot

.18

cos

1tan

.17

sincos

.16

cossin

.15

1ln

.14

ln

1log

.13

.12

ln

11

.2

1

10

11

.9

.8

1

7

0

( )

( ) ( )

costan

sin.cos

cos.sin

ln

ln.log

.ln

.2

1

2

/ /

2

/ /

/ / 2

/ /

/ 1 /

u

u u

u

u u

u u u

u u u u

u u

a u

u u

u e e

u a a a

u

u u

v

v v

u x u

a

u u

b ax y

bc ad y

+

−

=

2 2

1 1

2 1

20

c x b x a

c x b x a y

++

= ta có

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2 2

1 1 /

2

c x b x a

c b

c b x c a

c a x b a

b a y

++

=

Trang 2

)

f

+ af(α)<0⇔ f(x)=0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < α < x2

Bổ sung (dùng cho dạng 2): So sánh một số với nghiệm của tam thức bậc hai:

Giả sử: f(x) = ax 2 + bx + c, (a khác 0) cĩ hai nghiệm x 1 <x 2 Giả sử α β< Ta cĩ một số kết quả sau:

i) x1< <α x2 ⇔a f ( ) 0α <

2i) 1 2

0 ( ) 002

02

S a

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Dạng 2*: Tìm giá trị của tham số m để hàm số đơn điệu (tăng/giảm) trên khoảng cho trước (Dạng này thường gặp

trong các đề thi đại học - cao đẳng hằng năm)

Dạng 3*: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức: (Nhớ khéo léo chọn hàm số phù hợp)

PP Gi ải một số dạng hàm số cụ thể đối với dạng 2 Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ b2/b1)

Tập xác định

00

a>



⇔ ∆ ≤

b ax y

Trang 3

CHÚ Ý:

1/ Điều kiện để hàm số luôn luôn nghịch biến :

Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều

kiện để hàm số luôn luôn đồng biến là: y’< 0

Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức bậc nhất thì

hàm số không thể luôn luôn nghịch biến.

Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức bậc 2 Đ/k để hàm

số luôn luôn đồng biến là:

(Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a= 0 )

2/ Điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến :

Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều

kiện để hàm số luôn luôn đồng biến là: y’> 0

Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức bậc nhất thì

hàm số không thể luôn luôn đồng biến.

Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức bậc 2 đ/k để hàm

số luôn luôn đồng biến là:

(Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a= 0 )

Ví dụ : 1/ Định m để hàm số y =

1

x m x

++ giảm(nghịch biến) trên từng khoảng

xác định của nó

Giải:

Txđ : D=R\{ }−1 y/= 1 2

( 1)

m x

−+

Để hàm số luôn giảm trên từng khoảng xác định của nó ⇔y’< 0∀x∈

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số:

Trang 4

Tài liệu ụn tập thi TN THPT Năm học: 2009-2010

p) y = x +

x

4 q) y = x -

Bài 4: Tỡm m để cỏc hàm số sau nghịch biến trờn tập xỏc định.

+

−++

Bài 6: Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến.

Bài 7: Tỡm caực giaự trũ cuỷa tham soỏ m ủeồ haứm soỏ 1 3 2

3

f x = x +mx + x+ ủoàngbieỏn treõn R

Bài 8 : Cho hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số luụn đồng biờn trờn từng

Bài 9 : Tỡm m∈Z để hàm số y = f(x) = mxx m1

−

− đồng biờn trờn từng khoảng xỏc định của nú (ĐS:m = 0)

Bài 10 : Chửựng minh raống : haứm soỏ luoõn luoõn taờng treõn khoaỷng xaực ủũnh(treõn tửứng khoaỷng xaực ủũnh) cuỷa noự :

a) y = x3−3x2+3x+2 b)

1 x

1 x x

1 x y

2 m mx 2 x

−

+ +

* Định nghĩa: Cho y = f(x) xỏc định và liờn tục trờn (a ; b) và x0∈(a;b)

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) ∀x∈(x0 −h ;x0 +h) và x≠ x0 thỡ ta núi hàm số f(x) đạtcực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) ∀x∈(x0 −h; x0 +h) và x ≠x0 thỡ ta núi hàm số f(x) đạtcực tiểu tại x0

* Định lớ 1: Giả sử y = f(x) liờn tục trờn khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và cú đạo hàm trờn K hoặc trờn

K \{x0}, với h > 0 Khi đú:

Trang 5

)

;(

,0)('

0 0

h x x x x

f

x h x x x

)

;(

,0)('

0 0

h x x x x

f

x h x x x

f

thì x0 là điểm cực tiểu của f(x)

* Định lí 2: Giả sử y = f(x) cĩ đạo hàm cấp hai trong (x0 – h ; x0 + h) với h > 0 Khi đĩ:

"

0)('

x f

thì x0 là điểm cực tiểu của f(x)

"

0)('

x f

thì x0 là điểm cực đại của f(x)

'

0)(

0)('

0

x y

2/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x 0 :

=

0

.từ

quadấuđổi

'

0)(

'

x qua sang y

0)('

0

x y

3/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x 0 :

y'(x ) 0 y''(x ) 0

4/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu):

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ a 0

5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực

tiểu): (tham khảo)

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu

6/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệmphân biệt

PP GI ẢI M ỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ:

Dạng 1: Tìm điểm cực trị

Dạng 2*: Tìm m để hàm số đạt cực trị thoả mãn một tính chất cho trước

• Tìm m để hàm sốá có cự c đại , cực tiểu

Trang 6

Tập xác định

Đạo hàm y // Tính y // (x 0 )

* Nếu y // (x 0 ) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x 0

• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x 0

Cách 1: Tập xác định

y' doi dau tu " - " sang " +"

0)(

0 //

0 /

x y

Cực đại: { y / (x 0 ) = 0 và y // (x 0 ) < 0 }

)(

0)(

0 //

0 0 0 /

x f

y x f

x f

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y / khó xét dấu (như hàm lượng

giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y = phần dư của phép chia f(x) cho f / (x).

Dạng cực trị của hàm hữu tỉ: (xem thêm để thi ĐH nhé)

Và y / = u v v u′ −2 ′ =g(x)2 dấu của y / là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trị tại x 0 thì y / (x 0 )= 0 => g(x 0 ) = 0 <=> u / v − v / u = 0 => u u

Trang 7

- Để hàm số y= f x( ) cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔x CD.x CT <0

- Để hàm số y= f x( ) cĩ cực trị tiếp xúc với trục hồnh ⇔ y CD.y CT =0

 Yêu cầu đối với học sinh :

 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

y → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và khơng cĩ cực trị.

Một số ví dụ

Để hàm số đạt cực đại tại x=2 thì => hs tự giải tiếp tục.

Giải

là giá trị cần tìm.

n ) y =

1

3

2+

−

x

x x

p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ; π ]

Trang 8

−

x

m mx

a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

m x 4

x

+

=

− Tìm m để hàm số cĩ cực trị 10) Cho hàm số

1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

+ Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D

: ( ): ( )

+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a; b)

+ Nếu trên bảng biến thiên cĩ một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN (GTNN) của hàm số trên (a; b)

3)Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b] Ta thực hiện các bước:

cho y / = 0 ( nếu có ) _ x 1 , x 2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]

Trang 9

f(a) ; f(b)

• Kết luận: max y[a;b] = ? min y[a;b] =?

BÀI TẬP

Bài 1 : Tìm GTLN và GTNN ( nếu cĩ) của các hàm số.

a) y = x 3 – 3x 2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x 3 – 3x 2 – 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]

c) y = x 4 – 2x 2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x 4 – 2x 2 + 1 trên đoạn [1 ; 4]

2 2+

++

x

x x

3

4

trên [0;π]

u) y = sin 2 x + 2sinx – 1 t) y = cos 2 2x = sinxcosx + 4

o) y = sin 4 x + cos 2 x + 2 w) y = x – sin2x trên − ππ ; 

2

Bài 2 : Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) y = 2x 3 +3x 2 − 1 trên đoạn −2;1

1 ĐS: Max;1] y f(1) 4

2 1 [− = = ; Min y f ( 0 ) 1

] 1

; 2 1 [− = = − 2) y= f x( )= −x3 8x2+16x−9 trên [1 ;3]

−+ trên đoạn [0; 2]

11) y = x 2 - ln(1-2x) trên [-2; 0] (TN 08-09)

12) y = sin 3 x - 3sinx +2 (HD : đặt t = sinx, t ∈ [-1 ; 1], tìm GTLN, GTNN của hàm f(t) trên [-1 ;1].

IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Cách xác định tiệm cận :

• Tiệm cận đứng : lim f (x)

x x0

= ±∞

±

→ => x = x0 là tiệm cận đứng

• Tiệm cận ngang : lim f (x) y0

x

=

→±∞ => y = y0 là tiệm cận ngang

Trang 10

Chú ý :

> Hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc

y a

11

x x y

V KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TỔNG HỢP

1) Sơ đồ khảo sát hàm số chung:

 Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

- Tính y’

- Tìm các nghiệm của pt y’= 0 hoặc các điểm làm y’ khơng xác định

- Kết luận chiều biến thiên (nhờ dấu của y’)

- Đồ thị hàm bậc 4 luơn đối xứng nhau trục Oy

- Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng nhau qua tâm đối xứng (là giao của hai đường tiệm cận, toạ độ( d a; )

I

c c

2) Một số bài tốn liên quan đến KSHS thường gặp:

Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

a) Dạng 1: Tại điểm Mo(xo; yo) ∈ (C):

Cách giải:

+ Tính f’(xo)

+ Pt tiếp tuyến cần tìm cĩ dạng: y - y o = f’(x o ).(x - (1) b) Dạng 2: Biết hồnh độ xo hoặc tung độ yo của điểm Mo

Cách giải:

+ Tính yếu tố cịn lại của điểm Mo

+ Tính f’(xo)+ Viết pt tiếp tuyến ở dạng (1)

c) Dạng 3: Biết hệ số gĩc k

Cách giải:

+ Giải pt f’(xo) = k Suy ra nghiệm xo⇒ yo

+ Viết pt tiếp tuyến ở dạng (1)

d) Dạng 4: Biết tiếp tuyến cần tìm song song với một đường thẳng cho trước

Cách giải:

+ Giả sử hệ số gĩc của tiếp tuyến cần tìm là k Suy ra k = hsg của đường thẳng đã cho

+ Các bước cịn lại giải như dạng 3 (vì đã biết hsg)

Trang 11

e) Dạng 5: Biết tiếp tuyến cần tìm vuơng gĩc với một đường thẳng cho trước

Cách giải:

+ Giả sử hệ số gĩc của tiếp tuyến cần tìm là k Suy ra k = hsg của đường thẳng đã cho

+ Các bước cịn lại giải như dạng 3 (vì đã biết hsg) Lưu ý: + Đường thẳng cĩ dạng y = ax + b thì hsg là a.

+ Hai đường thẳng song song luơn cĩ hệ số gĩc bằng nhau, + Hai đường thẳng vuơng gĩc cĩ tích hệ số gĩc luơn bằng -1

f) Tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)

( các em xem thêm )

1 Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A

2 Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là hệ phương trình :

3 Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận

Bài tốn 2: Biện luận theo tham số m số nghiệm của pt bằng đồ thị

Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đồ thị (C), Ta thực hiện như sau:

+ B1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = g(m,x)

( Chú ý: đồ thị của g(m, x) là thườngmột đường thẳng song song với trục Ox_ khuyết biến x)

+ B2: Lập luận: số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng g(m,x)

+ B3: Dùng đồ thị, biện luận các trường hợp cắt nhau của hai đồ thị

+ B4: Kết luận(Thường ta kết hợp bước này với B3 )

 Lưu ý: Ngồi ra, ta cịn gặp dạng bài tập: tìm giá trị của tham số m để phương trình cĩ n nghiệm (n =1,

2, 3, 4), về phương pháp giải cũng tương tự như bài tốn trên, nhưng ta chỉ tìm ở trường hợp xảy ra nnghiệm mà thơi (nghĩa là khơng biện luận hết các trường hợp cĩ nghiệm)

Bài tốn 3: Để biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)(Đường thẳng và đường cong)

PP chung: Ta tìm Số giao diểm của hai đường cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hồnh

độ giao điểm f(x) = g(x) (1)

PP cụ thể:

g(x) (1)

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.

2 Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C 2 ) <=> hệ pt f (x) g(x)

Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)

1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)

(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

0

x g C

Bx Ax

x x

Trang 12

Tài liệu ụn tập thi TN THPT Năm học: 2009-2010

(Chuự yự: (d) caột (C) taùi 3 ủieồm phaõn bieọt khi phửụng trỡnh (2) coự 2 n o pb x 1 ,

+ Quan sỏt hỡnh vẽ, xỏc định hỡnh phẳng

+ Lập cụng thức tớnh diện tớch ( xem lại phần ứng dụng của tớch phõn)

+ Dựng hỡnh vẽ khử dấu trị tuyệt đối, rồi tớnh tớch phõn

 Cũng cú thể khử dấu giỏ trị tuyệt đối nhờ tớnh chất khụng đổi dấu của hàm số trong dấu tớch phõn trờn đoạn cần tớnh Tức là, nếu trờn đoạn [a; b], f(x) cú dấu khụng đổi ( đồ thị luụn nằm trờn trục Ox hoặc luụn nằm dưới Ox ) thỡ

Bài toỏn 5: Tớnh thể tớch của khối trũn xoay:

Thể tớch của khối trũn xoay thu được khi cho hỡnh phẳng (H) giới hạn bởi cỏc đường y = f(x), trục hoành

và x= a, x = b được tớnh theo cụng thức: b 2 ( )

a

V = ∫ π f x dx

5) Tỡm m để hàm số thoả món một tớnh chất (tớnh đơn điệu và cực trị)

6) Tỡm trờn đồ thị hàm số những điểm thoả món một tớnh chất cho trước

Bài toỏn 6*: Tỡm điểm cố định của 1 họ đường cong (C m ): y=f(x,m) (Thi ĐH-CĐ)

• Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m

• Toạ độ điểm cần tỡm là nghiệm hệ PT gồm tất cả cỏc hệ số bằng 0

• Giải hệ và kết luận

Bài toỏn 7*:Bài toỏn tỡm quỹ tớch của 1 họ đường cong (C m ): y=f(x,m) (Thi ĐH-CĐ)

• Tỡm đk của tham số m để quỹ tớch tồn tại

• Tỡm toạ độ của điểm cần tỡm quỹ tớch

• Khử m tỡm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trờn

f -

0 x f nếu

x f

• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

• Đồ thị (C 1 ) gồm 2 phần:

° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) ≥ 0)

° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dới trục hoành qua Ox.

f

-0 x nếu

x f

• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

• Đồ thị (C 2 ) gồm 2 phần:

° Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)

° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Oy.

Trang 13

Tài liệu ụn tập thi TN THPT Năm học: 2009-2010 (Do đó y = f ( ) x đợc coi là hàm đa trị của y theo x)

• Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)

• Đồ thị (C 3 ) gồm hai phần:

° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.

° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.

d) Dạng đồ thị của hàm số: y = ( )

( ) x g

x f

Ta có: y = ( )

( ) x g

x f

f nếu x

f -

0 x f nếu

x g

x f

• Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = ( )

( ) x g

x f

g x f -

0 x f u nế

x g x f

• Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số: y = f ( ) x .

Tóm lại ta thực hiện dần các bớc nh sau:

♣ Giới hạn: + Nếu a > 0: limx→+∞y= +∞; limx→−∞y= −∞

+ Nếu a < 0: limx→+∞y= −∞; limx→−∞y= +∞

Số nghiệm

y’ = 0

Trang 14

Tài liệu ôn tập thi TN THPT Năm học: 2009-2010

x y

O 1

a<0

CÑ CT

f(x2) f(x1)

x y

O 1

y

O 1

y

O 1

x y

1

+ Kỹ năng vẽ đồ thị:

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2

c/ Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm pt : x3−6x2 +9x-m=0

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành Ox

Trang 15

1 2 3 4

Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ x = 0, x = 3 cắt trục Oy

tại điểm có tung độ y = 4 và nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng

+ Nếu m < 0 hoặc m > 4 thì pt đã cho có 1 nghiệm

+ Nếu m = 0 hoặc m =4 thì pt đã cho có 2 nghiệm

+ Nếu 0 < m < 4 thì thì pt đã cho có 3 nghiệm

c/ Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k

d/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

a/ Ta có y’ = 3x2 - m - 2, y’’ = 6x và hàm số đã cho đạt cực trị tại x = -1 ⇔ '( 1) 0''( 1) 0

''( 1) 0

y y y

Đồ thị nhận điểm (0; 1) làm tâm đối xứng

c/ Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = k

Từ đồ thị, ta thấy:

+ Nếu k< -1 hoặc k > 3 thì d cắt (C) tại 1 điểm

+ Nếu k = -1 hoặc k =3 thì d cắt (C) tại 2 điểm

+ Nếu -1 < k < 3 thì d cắt (C) tại 3 điểm

Trang 16

y = m

d/ Gọi d là tiếp tuyến cần tìm, (x0; y0) là toạ độ tiếp điểm của d và (C)

c/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4)

d/ Với giá trị nào của a thì đường thẳng y = ax luôn cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

+ Nếu m < 0 hoặc m > 4 thì pt đã cho có 1 nghiệm

+ Nếu m = 0 hoặc m =4 thì pt đã cho có 2 nghiệm

+ Nếu 0 < m < 4 thì thì pt đã cho có 3 nghiệm

c/ Viết pttt của (C) tại điểm M(2; 4) có dạng: y - 4 = y’(2).(x-2) ⇔ y = 4

d/ Đường thẳng y = ax cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình -x3 + 3x2 = ax có 3 nghiệm phân biệt+ Pt có thể viết thành -x3 + 3x2 - ax = 0 (1)

Bài tập 4: (B6 - ĐC): Cho hàm số y x= −3 3x2−1 có đồ thị là (C)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Biện luận theo m, số nghiệm của phương trình : x3−3x2+ −5 2m=0

c/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ∆:

Trang 17

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

- Chiều biến thiên: y’ = 3x2 - 6x; y' 0= ⇔x x=02⇒y y= −15

− < − < − ⇔ < < thì thì pt đã cho có 3 nghiệm

c/ Pt đường thẳng ∆: 9x y− + =1 0 có thể viết lại ∆: y=9x+1, ∆ có hệ số góc k = 9

Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến cần tìm Vì d// ∆ nên hệ số góc của d là k = 9

Ta có phương trình 3x2 - 6x = 9 ⇔ x2 - 2x - 3 = 0 ⇔ x x= −=31⇒y y= −= −51

+ Tại điểm (-1 ; -5), pt của d: y = 9(x+1) - 5 hay d: y = 9x + 4

+ Tại điểm (3 ; -1), pt của d: y = 9(x - 3) - 1 hay d: y = 9x - 28

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 4 ĐC: Cho hàm số y = x3- 3x2

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b/ Tìm giá trị của m để phương trình x3 – 3x2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt

c/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; -2) có hệ số góc k Với giá trị nào của k thì d là tiếptuyến của (C)

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và đường thẳng x =2

HD câu c/ (d): y = k(x-1) - 2; d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ { 3 ' 2

b/ Biện luận theo tham số k, số nghiệm của phương trình : 2x3 + 3x2 - 4 - m = 0

c/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = 12x - 2009

b/ Tìm m để phương trình : x3−6x2+9x−3(m+ =1) 0 có ba nghiệm phân biệt

c/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d :

x+ y− =

Bài 9: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 2 có đồ thị (C)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b/ Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 – 2 – m = 0

c/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y” = 0

Trang 18

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = -1; x = 0

Bài 10: Cho hàm số y=− +x3 3x+2

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 0

c/ Với giá trị nào của m thì phương trình x3−3x+2 - m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

Bài 11: Cho hàm số y = - x3 - 2x

b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x = -1; x = 1

Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3x2 +3x +1 có đồ thị (C)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( -2; -1)

c/ Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 luôn cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), và các đường thẳng x = -2; x = 0

HD câu c): đường thẳng (d): y = mx + 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ pt x3 + 3x2 +3x +1 = mx + 1 có

3 nghiệm phân biệt

⇔ x3 + 3x2 +3x - mx = 0 ⇔ x(x2 + 3x + 3 - m) = 0

IV KHẢO SÁT HÀM BẬC BỐN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỔNG HỢP : ( 2 Tiết)

1 CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM BẬC BỐN y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0)

♣ TXĐ: D = R

♣ Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx

♣ Giới hạn: + Nếu a > 0: limx→±∞y= +∞;

+ ∞

+ 0

x 3

CÑ CT

f(x 2 ) f(x1)

x

x y

f(x2) f(x1)

x y

x y' y

0

x y

a<0

- ∞ -∞

x 0

x y'

0

x y

2 BÀI TẬP

Bài 14 ĐC: Cho hàm số 4 2

2

y x= − x có đồ thị (C)

Trang 19

-1 0

CT

CÑ CT

+ -

+ 00

-1

1 -1

+ ∞

+ ∞ + ∞

- ∞ y y' x

x

y

-2 -1

-6 10

CT

CÑ CT

+ -

0

-6

2 -2

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = -2

c/ Dựa vào đồ thị, định m để phương trình x4 – 2x2 - m = 0 có 2 nghiệm

d/ Giải phương trình y’ - y’’(x-1) - 4= 0

c/ Ta có: x 4 – 2x 2 - m = 0 ⇔ x 4 – 2x 2 = m Từ đồ thị, ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm ⇔ đường

thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm ⇔ m = -1 hoặc m > 0.

d/ Ta có: y’(x) = 4x 3 - 4x ; y’’(x) = 12x 2 - 4 ⇒ y’’(x-1) = 12(x-1) 2 - 4

Khi đó, phương trình y’(x) - y’’(x-1) - 4 = 0 ⇔ 4x 3 - 4x - [12(x-1) 2 - 4]-4 = 0

⇔ 4x 3 - 4x - 12(x-1) 2 = 0

⇔(x-1)(-8x 2 + 28x -12) = 0 ⇔ x = 1 v x = ½ v x = 3

Bài 16 ĐC: Cho hàm số y mx= 4+(m2−9)x2+10 (1) ( m là tham số)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m =1

Trang 20

⇔ 2x(2mx2 + m2 - 9) = 0 ⇔ 0 2 2

2x mx= m 9 0 (*)



⇔  + − =Đặt g(x) = 2mx2 + m2 - 9, y’=0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = 10 là nghiệm của phương trình

x 4 - 8x 2 + 10 = 10 ⇔ x 4 - 8x 2 = 0 ⇔ x = 0 v x = ± 2 Khi đó, tiếp tuyến tại :

Bài 15 ĐC: Cho hàm số y = 4 2

x − x + có đồ thị (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng y = 1.c/ Dựa vào đồ thị định k để phương trình x4 – 2x2 – k = 0 có đúng 3 nghiệm

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = 2

Bài 17 ĐC: Cho hàm số y = 1 4 2 2

2x − x có đồ thị (C)a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 1 4 2 2

2x − x - k = 0c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành

Bài 18 ĐC:

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x4 - 4x2 + 3

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng y = 3

c/ Tìm k để phương trình x4 - 4x2 + k = 0 có 3 nghiệm

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

Bài 19 ĐC: Cho hàm số y =− +x4 2x2có đồ thị (C)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm tại giao điểm của (C) và đường thẳng y = -3

c/ Dựa vào đồ thị, biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 4 2

x − x − + =m

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 3

IV KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỔNG HỢP : ( 3 Tiết)

cx d

−

=+

♣ Giới hạn: lim

x

a y c

Trang 21

y

-4 -2

2 4

a c a

c

+ ∞

- ∞

+ +

+ ∞

- ∞ y y'

x

x y

B O

A

1

Nếu ad - bc < 0 thì y’ < 0, ∀ x ∈D

-d c

a c

+ ∞

- ∞

-

-+ ∞

- ∞

y y' x

x y

B O

Trang 22

2

+ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M1 cã hÖ sè gãc lµ: 1

1'( 2)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) hàm số khi m = 2

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

HD: Chứng minh tử thức của y ’ > 0 suy ra y ’ > 0 (đpcm)

c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2) ĐS: m = 2

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C2) tại điểm (1; 1

4) ĐS: y =

3 1 x

8 − 8

Bài 3 : (B23-ĐC) Cho hàm số 3 2

1

x y x

−

=+ , gọi đồ thị của hàm số (C)

a/ Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm tung độ bằng -2

c/ Tìm trên (C) những điểm có tọa độ nguyên

d/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm I(-1 ; 3) làm tâm đối xứng

y ∈ Z ⇔ (x + 1) là các ước của 5 Do đó, ta có các trường hợp :

* Nếu x + 1 = 1 thì x = 0 ⇒ y = -2 Ta được điểm M1(0 ; -2)

* Nếu x + 1 = -1 thì x = -2 ⇒ y = 8 Ta được điểm M2(-2 ; 8)

* Nếu x + 1 = -5 thì x = -6 ⇒ y = 4 Ta được điểm M3(-6 ; 4)

* Nếu x + 1 = 5 thì x = 4 ⇒ y = 2 Ta được điểm M4(4 ; 2)

Vậy có bốn điểm thoả mãn điều kiện đề bài :

M1(0 ; -2), M2(-2 ; 8), M3(-6 ; 4), M4(4 ; 2)

Trang 23

+

=

− có đồ thị (C).

b/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận

9 0

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0

c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3; -3) ĐS: m = -4

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung

HD: Giao điểm với trục tung ⇒x = 0, thay x = 0 vào (C) ⇒y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x – 1

Bài 20: Cho hàm số 2 1

1

x x

++ có đồ thị là (C)

b/ Viết phương trình tiếp tuến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

c/ Tìm trên (C) những điểm có tọa độ nguyên

x y x

+

=

− có đồ thị là (C)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1

c/ Chứng minh rằng đồ thị (C) luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Bài 22 : Cho hàm số 1

2

x y x

−

=+ , gọi đồ thị của hàm số (C)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

c/ Chứng minh rằng đồ thị (C) luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Bài 24: Cho hàm số 3

1

x y x

+

=+ có đồ thị (C)

b/ Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N

c/ Tìm m để độ dài MN ngắn nhất

Trang 24

Hướng dẫn: b/ Ta chứng minh phương trình 3 2

1

x+ = + + luôn có hai nghiệm phân biệt.

−+ , gọi đồ thị của hàm số (C)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

c/ Tính diện tich hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành, các đường thẳng x = -1, x = 1

Bài 27: Cho hàm số y=3 2

1

x x

−

− , gọi đồ thị của hàm số (C)

b/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

1

x x

++ có đồ thị là (C)

+

=

− có đồ thị (C)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2

c/ Chứng minh rằng đồ thị (C) và đường thẳng y = x + k luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m

VẤN ĐỀ II: HÀM SỐ, PT - BẤT PT MŨ VÀ LÔGARÍT

(7 tiết) I- Tóm tắt lý thuyết: (XEM TÀI LIỆU HỆ THỐNG KIẾN THỨC) (1 tiết)

Bài 1: Đơn giản biểu thức :

1 4 2

a

a a a

m m

12

.22

42

1

3 2

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

1).A= 2log 4 log 8 log 2

1

4

1

7 125

9

49.2581

log 2

1

5 7

7

549

72

Trang 25

1 Biết log 25 =a,log 35 =b Tính : A=log 125 theo ,a b

Hướng dẫn: Ta có: A=log 12 log 4 log 3 2log 2 log 3 25 = 5 + 5 = 5 + 5 = a b+

2 Cho a=log 5,30 b=log 330 Tính log 8 30 theo a và b

3.(log 30 log 15).log 15 3.(1 log 15)

= − = − =3 3.log 3.5 3 3(log 3 log 5) 3 3(− 30 = − 30 + 30 = − b a+ )

3 Biết log 527 =a, log 78 =b, log 32 = Tính c log 35 theo a, b, c 6

HD: Ta có log 35 log 7 log 5 log 8.log 7 log 27.log 56 = 6 + 6 = 6 8 + 6 27

A Phương trình, bất phương trình mũ: ( 4 tiết)

Bài 4: Giải các phương trình sau bằng pp đưa về pt mũ cơ bản:

Trang 26

10

x

x x

127

t t

Trang 27

4) 6.9x−13.6x +6.4x =0 Chia hai vế của pt cho 4 x > 0, ta được pt

 = −+ = ⇔ − + = ⇔  = + (nhận)

Trang 28

log 3log 2

Bài 8: Giải các bất phương trình mũ sau:

→ Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số

Vậy bất phương trình có nghiệm: S = −[ 1; 2]

→ Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ và đưa về phương trình đại số

Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=( )0;2

Trang 29

B Phương trình, bất phương trình lôgarít: ( 3 tiết)

Bài 1: Giải các phương trình sau bằng pp đưa về pt lôgarit cơ bản:

x= là nghiệm của pt đã cho

BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giải các pt sau

Trang 30

Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình.

Vậy pt đã cho có nghiệm là x = 3

4) Đk: x > 0 Khi đó, log log4 2 x+log log2 4 x=2

Vậy pt đã cho có nghiệm là x = 16

5) log2x+log (2 x+ =3) log 42 (1)

⇔ + − = ⇔ = − ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm: x=1

6) log2x+log2 x2 =log 92 x (1)

HD:Điều kiện: x>0

Phương trình (1)⇔log2x+2 log2 x=log 9 log2 + 2x⇔2log2x=log 92

Trang 31

Vậy phương trình có nghiệm x=3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giải các pt sau

22log

11

3

log

2 3

x

+

x x

14) log (3 x+ +2) log (3 x− =2) log 53

Hướng dẫn: Thực hiện các phép biến đổi khi đã có điều kiện của pt

14) log (3 x+ +2) log (3 x− =2) log 53 ⇔ log [(3 x+2).(x−2)] log 5= 3 ⇔ = ±x 3

Bài 3: Giải các phương trình sau bằng pp đặt ẩn phụ đưa về pt đại số:

t t

Trang 32

x x

t t

Vậy pt đã cho có các nghiệm là: x = 2; x = 1/16.

5 log log4( 2x)+log log2( 4x)=2 (1)

Hướng dẫn: Điều kiện { 2 {

HD: Ta có alogb c =clogb a nên 5log 2x =xlog 5 2

Do đó, đặt t=5log 2x >0 thì ta có pt 3t = 15 hay t = 5 Suy ra log2x = 1⇔ x = 2

Trang 33

9 log log( x)+log log( x3− =2) 0

11

log x+log x − = HD: đặt t = log 2 x

13 log22 x + 6log4x = 4 HD: đặt t = log 2 x

14 log (5 1).log (55 x− 25 x+1− = 5) 1 tương tự bài 3.

log logx+ x − = HD: đặt t = log 2 x

16 log3x + log 93 x2 = 9 HD: đặt t = log 3 x

17 log 3(x−2 log) 5x=2log3(x−2)

HD: Đk x > 2, khi đó log 3( x−2 log) 5x=2log3(x− ⇔2) log3(x−2 log) ( 5 x− =1) 0

Bài 4: Giải các bất phương trình lôgarit sau:

→ Sử dụng phương pháp đưa về bpt cơ bản:

1) log (2 x− >2) 3

Điều kiện x− > ⇔ >2 0 x 2 Khi đó, 3

2

log (x− > ⇔ − >2) 3 x 2 2 ⇔ >x 10Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: S=(10;+∞)

2

2 0log (x− < − ⇔2) 4 x x− >2 16⇒ >x 18

Trang 34

→ Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số:

Bài tập: Giải các bất pt sau bằng pp đưa về cùng cơ số

> −

+ >

Trang 35

→ Sử dụng phương pháp đưa đặt ẩn phụ:

Bài tập: Giải các pt sau bằng pp đặt ẩn phụ

1) log20,5x+log0,5x≤2

HD: + Điều kiện: x>0 Đặt : t=log0,5x

+ Khi đó: log20,5 x+log0,5x≤2⇔ + ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤t2 t 2 t2 t 2 0 2 t 1

0,5

40,5

0,5

2

x x

x

x x

Bài 1: Tính các nguyên hàm sau bằng định nghĩa hoặc đổi biến:

1) (3sin 22 ) 3cos 2 tan

Trang 36

Trang 37

3+

π

−

∫

Trang 38

Đổi biến: Đặt t = −4 cos2x⇒ =dt sin 2xdx

1

e e

Trang 39

π π

1) Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của pt x 2 +x - 2 = 0.

Pt có các nghiệm x = 1 ; x = -2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

4).Vì

sin 2 , 0;

2sin 2

2

x x x

Bài 7: Tính thể tích của các khối tròn xoay sinh ra do quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay quanh trục Ox.

Trang 40

3) số phức liªn hîp z = a+bi là z = a − bi * z+z = 2a; z.z= z2=a2 +b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i Thực hiện như cộng trừ nhân đa thức, coi i là biến và i2

Định dạng
Số trang	105
Dung lượng	8,91 MB