LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN

LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN LÝ THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN

I CONG THUC TINH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|

Cho hình chóp đều s Chohinh chop đều s.4Bc cé canh day bang SABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng

a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60

2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°

góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 60

Cho hinh chop déu S.ABCD co canh day

bing a, canh bén bing aJS Thé tich khéi chop 1a:

Cho hình chóp đều s.aBcD có cạnh đáy

bang z, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

bằng a2, góc giữa mặt bên và mặt đáy

Cho hình chóp đều S.A4BECD có cạnh bên

bằng z3, góc giữa mặt bên và mặt đáy

Chohinh chop déu

Chohinh chop déu S.ABCD có cạnh đáy

bang a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

60° Thể tích khối chop la:

vuông góc Biết SA=5, SB=4 Và $SC= 3 Thể tích khối chóp là:

A 20 B 10

C 30 D 60

Khí đó: V, „„ = c643- 10=

Cho hình chóp S.45C có SA,SB,SC đôi một vuông góc

Biết AB-= a,BC =b,CA=c

10+ 5— 13]( 5+ 13- 10) 10+ 13- 5

ho xỉ + T )(10+ ) 18]

II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨF|

1 Phương pháp chung

Buốĩc 1: Xác định tâm của đa giác đáu:

- Tam giác đêu: Giao của 3 đường trung tuyén

- Tam giác 0uơng: trung điểm của cạnh huuền

- tam giác thường: siao của 3 đường trưng trực (ít gặp)

- Hình ouơng, hình chữ nhật: giao diém 2 đường chéo

Bước 2: Kẻ (4) qua tâm à 0uơne sĩc uới đáu (trục của đáu)

Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên à trục (4) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A) cắt (4) ở I thì I là tâm

+) Cơng thức: SN.SA = SISH

Mơ hình 2: Hình chop S.4BC cĩ SA 1 (ABC}], tam giác ABC đều

s

8

+) Uu tién tinh R= Al +) Cơng thức: Aï° = AN? + AH?

giác ABC vuơng tại A

+) Diện tích chỏm cầu chiều cao ¡:: S_= 2nRh=n(r? +h’)

+) Thể tích khối cầu: V,, = SAR’

+) Thé tich chom cau: V_ = zh* [A-3) = ae (hi + 3r” |

+) Mat cầu (S) mgoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' biết AB =a,AD =b,AA'=c Ta có:

- Tâm I là trưng điểm của AC"

- Ban kính Rea a? +b? +¢7

2 2 +) Dic biét: ABCD.A'B'C'D' Ia hinh lap phuong canh a:

ax3

Ret

2

- Tâm I là trune điểm của AC" (Hoặc lấu truns điểm của

đoạn thắng nốt tâm của 2 mặt đốt điện)

- Bán kính R=^ 2 +) Gọi (S,)(S;) là mặt cầu nội tiếp oà ngoạt tiếp hình lập

+) Thiét điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S,,.=Rh

+) Thiét dién qua đình không chứ trục là tam giác cân SCD, thiệt điện cắt

day theo day cung CD ta cé:

- Gác giữa thiêt điện va diy: (ACD,BCD) = AHO

- Gác giữa trục va thiệt điện: (AO (ACD))= OAH

- Khoảng cách từ tâm đáu đến thiệt điện: d(O,(.ACD)) =OK

4 Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nón bán kính r đường

3 .Ä

cao h R5 a

2h

+) Trong các khối nón nội tiếp mặt cầu (S) tâm I, bán kính không đổi R

Khối nón có thể tích lớn nhất khi h=ŠRz= 2 2n Khiảu v,= RẺ

5 Mat cau (S) tim I, ban kính r nội tiếp trong mặt nón (N) bán kính:

R, đường cao h, đường sith Ì Ta có:

+) Dựng tâm I:

- Lay Ee AC sao cho OC = EC

- Qua E kẻ đường thẳng uuông sóc uới AC 0à cắt AO tai I thi I la tam

mặt cầu nội tiếp mặt nón (N )

+) Thiết điện uuông sóc uới trục là đường tròn bám kính R

+) Thiết điện chứa trục là hình chữ nhật ABCD điện tích S = 2Rh

+) Thiét điện sơng song tới trục là hình chữ nhật AEFI) có khoảng cách

sữữa trục va thiết điện là d(OO', AEFD) =O!

66: Visen = ZABCD.00' sin(AB,CD) +) Gọi AB,CD là hai đường kính bat ki trén hai mat day cia hinh tru ta

+) Dic bigt: Net AB L CD tac6: Viggen = =AB.CD.00'

+) A,B Tân lượt là các điểm trên các đường tròn đáu của hình trụ ta có:

- Gác giữa AB nà trục OO': (AB,OO')= A'AB

- Khoang cach gitta AB va OO': d( AB,OO')=O'H

+) Mat cau ngoai tiép khéi trụ có bán kính wy r va đường cao h có:

2 R= +” vả, = ;( [2# }

1 Một hình trụ có điện tích toàn phần không đôi S Có thể tích lớn nhất khi uà chỉ khi h = 2Ï =

2 Một hình trụ có thể tích không đôi V Có điện tích toàn phần nhỏ nhất khi l = 2l = $|— V

7

1

#) V„¿ =2” (h, +h,)

hs Nửa khối trụ +) V= 1 R= 2V„

+) V,= * _2)R tana = V-V,

2 3

Diện tích gidi 1 ï + ) Sparel = ght aX

han boi mot

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIẢI NHANH TOÁN 13

PHAN 1 HAM SO

SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO

1 Dinh nghia

Vz.,z, € K,z, <#, (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

f(*,)< f(*,) =w= ƒ(z) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải

f(«,) > f(2,) > y = f(x) nghich biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Chú ý: + Nếu f'(z) >0, Vre (a:b) = hàm số f(a) đồng biến trên khoảng (a:b)

+Néu f'(x)<0, Vxe(a;b)=> ham sé f(x) nghich bién trên khoảng (a;)

+Néu f'(x)=0, Vx e (a:b) > hamsé f(x) khéng déi trên khoảng (a:8)

+ Nếu ƒ(z) đồng biến trên khoảng (a:b) => ƒ (z) >0 Vz e (a:b)

+ Nếu f(a) nghich bién trén khoang (a:b) — f(z) <0 Vze (a:b)

2 Quy tac va céng thite tinh dao ham

Quy tac tinh dao ham: Cho u = u(+): v= v(z): C : là hằng số

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp

(c) =0 (Cla hang sé) (2*) = a2"

(sine) =cos xr (sin u) =u’ cosu

(108, lẫn xina (lee, u) _ulna

Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:

e Nếu hàm sốƒ (z) và ø(z) là các hàm số đương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên

K thì hàm số ƒ (z) g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số ƒ (+), ø(+) không là các hàm số dương trên K

e Cho ham sé u= u(z), xác định với z € (a:») và u(z) ° (c d) Hàm số f{u(x)| cũng xác định với 2 € (a:b)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên #£

+ Nếu ƒ'{z)>0 với mọi z e # và ƒ'(z) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xe K thi

hàm số ƒ đồng biến trên É

+ Nếu f'(z) <0 véi moi re K va f'(z) = 0 chi tại một số hitu han diém xe K

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ # = = — Ệ z š] thì dấu "= " khi xét dấu đạo

hàm ÿ không xảy ra

Giả sử y = f(z) = a2? + br’ +cer+d = f'(x) = 3a#” + 2ba + c

Trường hợp 9 thì hệ số e khác 0 vì khi a=b= e = 0thì ƒ(z) =d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ

dài bằng l ta giải như sau:

+Bước 1: Tính y= f(z.m) = a#° +b#+e

+Bước 9: Hàm số đơn điệu trên Cha, <> / =0 có 2 nghiệm phân biệt

A»>0

= \ #0 ( )

+Buée 3: Ham sé don diéu trén khoang cé d6 dai bang |

= ls, —i| ale (+, +2) — 44,2, = P @s*?-4P=I (3 3ì

+ Bước 4: Giải f3 và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ƒ

+a, 1a diém cực đại của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng (a:b) chita 2, sao cho

(a;b) cKvà f(z) Z ƒf(*¿).Yz = (a:b) \ {z,}

Khi đó ƒ(z,} được gọi là giá tri cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

cực trị phải là một điểm trong tập hợp E.

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ = = ~ Ề z š] thì đấu "= " khi xét dấu đạo

ham y’ không xảy ra

Giả sử = ƒ(#) = a+` + ba” + c + d => ƒ'(#) = 3az+” + 2bz + c

Trường hợp 9 thì hệ số c khác 0 vì khi a =b= c= Othi f(z) =d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ

dài bằng L ta giải như sau:

+Bước 1: Tính = f'(x:m) = ar’ + br +c

+ Buéc 2: Ham sé don điệu trên (z,:z,) <> 1 =0 có 2 nghiệm phân biệt

A>0

sẽ L #0 (")

+Buéc 3: Ham sé don điệu trên khoảng có độ dài bang /

c© le, -2,| =le (2, +2,) —4a,27,=P <S*-4P=l P re)

+ Bước 4: Giải (*) va giao véi P *) để suy ra giá trị m cần tìm

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ƒ

+z, là điểm cực đại của hàm số f nếu tổn tại một khoảng (a:b) chứa z, sao cho (a;b) K và f(z) < ƒf(*,).Vz € (a:b) \ {z,}

Khi d6 f(«,) dude goi la gia tri cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

cực trị phải là một điểm trong tap hợp K.

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo ham

+ Ham sé chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

8 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm + Khi đó, nếu hàm số ƒ có đạo hàm tại

điểm z, thì f'(x,)=0.Néu f(x) > 0 trên khoảng (z, — h:z,} và ƒ'(z) < 0 trên khoảng (z,:z„ + h) thì z, là một điểm cực đại của hàm số ƒ(z)

+ Nếu ƒ(z) <0 trên khoảng (+, — h:z,} và ƒ (z) > 0 trên khoảng (x,;x, +) thì

a, là một điểm cực tiểu của hàm số f(z)

+ Nếu f(x,)=0, Ƒ(*,) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z,

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f'(z)

+ Buéc 2:Tim cac nghiém #, (: = 1:2 ) của phương trình f'(z) = 0

+ Buéc 3:Tinh (+) và tính f(z)

+ Nếu ƒ (z,) <0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại điểm z

* Nếu f{z,) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại điểm x

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

I CUC TRI CUA HAM DA THUC BAC BA:

1, Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quat: Cho hàm số = /(œ m) = ax* + ba’ +cr+d Tim tham sé m dé ham

số có cực đại, cực tiểu tại ®,#, thỏa mãn điều kiện #{ cho trước

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

© /' = 0 có hai nghiệm phân biệt và ¿ đổi đấu qua 3 nghiệm đó

«&> phương trình = 0 có hai nghiệm phân biệt

A,= B -4AC =4 -12ac >0 b° — 3ac > 0

+ Bước 8: Gọi z,.z, là hai nghiệm của phương trình y’ = 0

Bước 5: Kết luận các gia tri m thoa man: m = D, 0 D,,

* Chú ý: Hàm sé bac ba: = az + bx? + cx + d(a # 0)

Ta có: y'=3ar + 2br+c

> Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu

* Ham sé cé6 2 cực trị trái dấu

«> phương trình + = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu <> ae < 0

8 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,

khác phía so với một đường thẳng

Vi trí tương đối giữa 2 điểm vơi đường thăng:

Cho 2 diém A(x,:y,), B(x,:y,) và đường thẳng A - az + bự + e = 0

Nếu (az, + by, +c)(ar, + by, +c) <0 thihaidiém A, B nam vé

hai phía so với dudng thang A

Nếu (az, + by, + c) (ar, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung

phía so với đương thẳng A

Một số trưởng hợp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

<> ham s6 có 2 cực trị cùng dấu

© phương trình = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với truc Oy

<> hàm số có 9 cực trị trái dấu

<©> phương trình # = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

<> phương trình = 0 có hai nghiệm phân biệt và ÿ„„ „„ > 0

© phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

© phương trình = 0 có hai nghiệm phân biệt và ÿ,„„ 1 „ < 0

(áp dụng khi không nhẩm đươc nghiêm và viết được phương trình đường thẳng di qua hai

điểm cực trị của đồ thị hàm s6)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục OQx

> đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

©> phương trinh hoành đô giao điểm ƒ (z) =0 co 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiêm)

3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

o(2)-[ 2-2 leva-¥e hoac $(x)=9au~ “2 hoặc g(z)=u-##

a<0 + Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại <> b<0`

tạo thành tam giác 4Œ thỏa mãn dữ kiện: aở < 0

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH

Dữ kiện Công thức thỏa mãn øb < 0

Tam giac ABC cé dién tich a S, 32a°(S, y +b°=0

Tam giac ABC co cuc tri B,C € Or b? = 4ac

Tam giác 4Œ có 3 góc nhọn b(Sa + bŸ) > 0

Tam giác 48C có trực tâm @ bỀ + Sa — 4ac = 0

Tam giác 48C cùng điểm Ó tạo thành hình thoi b? = 2ac

Tam giác 4 BŒ có Ó là tâm đường tròn nội tiếp bỀ — Sa — 4abe = 0

Tam giác 4Œ có Ó là tâm đường tròn ngoại tiếp bỀ — Sa — Sabc = 0

Tam giác 4Œ có cạnh BC = kAB = kAŒ

hai phần có diện tích bằng nhau b= 4v2|ac|

Tam giác ABC 'cé điểm cực trị cách đều trục hoành b` =Sac

Đồ thị hàm số (C) -= a#! +bz” +ce cắt trục Óz tại p? 100

=——dc

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(c) -y=an'+be*+ec và trục hoành có diện tích b`= ae

phần trên và phần dưới bằng nhau

Phương trình đường tròn ngoại tiếp A4BC: z” + - -(2 - = + cy + 2 - m =0

2 Phuong phap tim GTLN,GTNN

* Tim GTLN, GTNN cua hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

+ Bước I1: Tính f'(x) và tìm các điểm 2,,, ,Œ, D ma tai đó f'(z) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

+ Bước 2: Lập bang biến thiên và rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

+ Bước 1:

* Hàm số đã cho ÿ = ƒ (z) xác định và liên tục trên đoạn [ a:b |

* Tìm các điểm ,,2,, ,#,„ trên khoảng (a:b), tai dé f' (x) = 0 hoặc f(z)

* Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm z € (a:b) của phương trình

ƒŒ) = 0 và tất cả các điểm œ € (a;6) làm cho ƒ{(z) không xác định

* Bước 3 Tính A= lim ƒ(z), B= lim ƒ(z), ƒ(z,) ƒ(œ)

* Bước 4 So sánh các giá trị tính được va két luan M = max f(x), m= min f(z)

Néu gia tri lén nhat (nho nhất) là A hoặc B thì kết luận không có giá trị lún nhất (nhỏ nhất)

DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số = ƒ(z) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng đạng (a:+=).(—=;ð) hoặc (—00;+00)) Đường thẳng y = y, la đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

e_ Liệt kê các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng, )

e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Óy (nếu cô)

e Vé dé thi

Thầy Hoàng Hải-0966405831

2 KHAO SAT MOT SO HAM DA THUC VA PHAN THUC:

a) HAM SO BAC BA y=azr*+br°+cer+d (a#0)

b) HAM SO TRUNG PHUONG y = az‘ +bx’> +c (a #0)

apes 1

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy cia dé thi (C): y = f(z)

+ Bỏ phần đồ thị bên trai Oy của (C) , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy

+ Bỏ phần đồ thị của (C) bên trái

Ôụ giữ nguyên (C) bên phai Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được

giữ qua Oy

Dạng 2: Từ đồ thị (C): y= f(z) suy ra d6 thi (c’) [y= |/(z)|:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox cua đồ thị (C): = ƒ (z) :

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Óx của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox

v = |z[Ì — 3|z[ Biến đổi (C) để được == | AKT

thị (c’) “ys lel _ 3|z| Biến đổi

wee key ee ets + Bỏ phần đồ thị của (C) với z <1,

+ Bỏ (C) với z < 1 Lấy đối xứng phần

đồ thị bị bỏ qua Ox giữ nguyên (C) với x >1

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

(C) YA

Ox

YA

Nhân xét: Trong quá trình thực hiện phép | Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên

suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực

hiện phép suy đồ thị một cách tương đối

biệt của (C): giao điểm với Ox, Óy, CÐ, CT

chính xác

TIÊP TUYỂN

1 Tiếp tuyến : Cho hàm số y= ƒ(x), có đồ thị (C Tiếp tuyến của

y= y'(z,)(z 7 +) + Đạ|-

đồ thi (C) tai diém M, (z;:1,) € (C) có dạng:

Trong đó: Điểm M, (z;:1,) E(C) được gọi là tiếp điểm ( với 1ạ = (z;))

k= f'(z,) là hệ số góc của tiếp tuyến

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số (C) y= f(z) va (C') y g(x)

Đồ thị (Œ) và (Œ') tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình: |

TUONG GIAO DO THI

+ Số giao điểm của (C,) và (C,) bằng với số nghiệm

của phương trình (1)

+ Nghiệm z, của phương trình (1) chính là

hoành độ z, của giao điểm

+ Để tính tung độ Yo của giao điểm, ta thay hoành độ #, Vào

y= f(z) hoặc y = 9(z)

+Diém M(x,;y,) la giao diém cia (C,) va (C,)

DIEM DAC BIET CUA HO DUGNG CONG

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C _) có phương trình ¿ = ƒ(z.rn), trong đó ƒ là hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2 Tìm những điểm cố định thuộc ho đường cong khi mm thay đổi?

Phương pháp giải:

+ Bưóc 1: Đưa phương trình ự= ƒ(x,mn) về dạng phương trình

theo ẩn zn có dạng sau: Ázn + B = 0 hoặc Azn” + Bm + Œ =0

+ Bước 3: Cho các hệ số bang 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

A=0 A=0

hoặc +4 Ö = 0

B=0

C=0 + Buóc 3; Kết luận:

- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C_) không có điểm cố định

- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C_)

2 Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm

có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

+ Bước 2: Lap luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình = f(z) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một

điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho đồ thị (C) : = A+Ì + Ba” + Cz + D trên đô thị (C) tìm những cặp điểm

đối xứng nhau qua diémI(z,,y,)

* Phương pháp giải:

+ Gọi MÍa:AaŠ + Ba” + Ca + D, N(b.Ab® + Bb’ + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối

xứng nhau qua điểm ï

The, a+b=Ð21+,

TNC’ | Ala? + 6) + B(a? +6?) +C(a+b)+2D = 2y,

Giải hệ phương trình tìm được a ở từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho dé thj (C): y= Ax’ + Br’ +Cx+D Trén dé thj (C) tim những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

* Phương pháp giải:

+ Goi M(a,Aa* + Ba + Ca+D),N(b,Ab® + Bb’ +Cb+D) la hai điểm trên (C)

đối xứng nhau qua gốc tọa độ

+ Tac A(a’ + 0°) + B(a? + 6°) +C(a+b)+2D=0°

+ Giải hệ phương trinh tim dugc a,b tit dé tim dude toa dé M,N

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) -U= A# + B+ + Cr + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng đ: = Az+B

* Phương pháp giải:

+ Gọi AM(a;Aa`+Ba°+Ca+D), N(b;Ab`+Bb°+Cb+D] là hai điểm trên (C) đối

xứng nhau qua đường thẳng đ

MN u¿= 0 (2)

của đường thẳng đ) Giải hệ phương trình tìm được M, N

4, Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách

+ Cho hàm phân thức: y = tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TƠN ỏ A và B thì M là trung

cz + d

điểm của AB

Diện tích tam giác 14B không đổi: Sup = lad = bc| c?

Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số tỷ = —

cr +d hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

x Ạ ‘ 45 d d d

+ Nếu 4 thuộc nhánh trai: 2, < > 2, SSE RSS y, =f(z,)

+ Nếu B thuéc nhanh phải: z, > fe ae y, = f(z,)

+ Sau dé tinh: AB’ = (9; _ z,) + (v, _ 12) = lía + 8) - (a _ a) | + (9; _ y,) -

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sé tim ra két qua

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình ụ = f(x) Tim toa dé diém M

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

* Phương pháp giải:

+ Goi M (+: y) và tổng khoảng cách từ A đến hai trục tọa độ là đ thì d= le| + lv |

+ Xé6t các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi ă nằm ở các vị trí đặc biệt:

Trên trục hoành, trên trục tung

+ Sau đó xét tổng quát, những điểm Ä có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của Àƒ khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 8: Cho đồ thị (C) có phương trình = ƒ(x) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ A{ đến trụcOy

* Phương pháp giải:

Theo đâu bài ta có =H | The

ax+b

y= f(x)= 7 (c0, ad —bc #0) Tim toa dé diém M trén (C) sao cho độ dài MI ngắn

CX+

nhất (vdi I la giao diém hai tiệm cận)

* Phuong phap giai:

~ Gọi M(z,,:y,,) la diém can tim Khi dé: IM? = [s„ + ‘) aC — 4 = 9(,,) + + e 4 Cc -

+ Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số ø để thu được kết quả

Bài toán 5ð: Cho dé thị hàm số (C) có phương trình y= ƒ(z) và đường thẳng đd: Az+ Bụ+Œ =0 Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến đ là ngắn nhất

* Phương pháp giải:

+ Goi J thuộc (C)= I{z,:1ụ): 1ạ = ƒ()

Khoảng cách từ 7 đến đ là g(z,) = h(1:đ) [As + By, + O| oang cach tu en d la g(x) = ,đị= Jaa B

A+B + Khao sat ham sé y = g(x) dé tim ra diém J théa man yéu cau

PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT

LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho #1 là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc øœ của a là tích của ø thừa số a

a” =aa a(n thita sé)

Với a # 0

a

Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° va 0 khéng cé nghia

+ Một số tính chất của lũy thừa

e Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

â

a“ -aÊ = q”°Ê- 2 ma": (a*f ma**" ~ (ab)* =a* <b":

a) FG)

e Nếu a >1 thì a” > aŸ © œ > Ø;

Nếu 0 < a <1 thì a“ > aŸ° © œ< Ø

+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì eơ số a phải khác 0 + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

+ Với b< 0, phương trình vô nghiệm

+ Với b =0, phương trình có một nghiệm z = 0

+ Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị đương là vb ,con

oi tri im 1k =

Một số tính chất của căn bậc n

Véi abe RneEN ,tacé:

+ Xab = 3| - 3IÏlb|vab > 0: fab =2Yq 2"* b.Vab -

ite" = (va) Va >0, nguyên dương, ?m nguyên

š dựa = "la, Va > 0, n,mnguyén dương

+ Nếu Pat thì Va? = Ya? Va >0 mm nguyên dudng p,q nguyén

n om

maf m 5

2 HÀM SỐ LŨY THỪA

+ Khái niệm

Xét hàm số # = z”, với œ là số thực cho trước

Hàm số = zZ, với œ€ ï$, được gọi là hàm số lũy thừa

Chú ý

Tập xác định của hàm số lũy thừa = #“ tùy thuộc vào giá trị của œ Cụ thể

e Với œ nguyên dương, tập xác định là R

e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R \ {0}

Dac biét: Va

e Với œ không nguyên, tập xác định (0;+)

+ Khảo sát hàm số lũy thừa

% Tập xác định của hàm số lũy thừa ¿ = z” luôn chứa khoảng (0;+œ)

với moi œ € l$ Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = x* trén khoảng này

1 Tập xác định: (0:+=) 1 Tập xác định: (0 +00)

Đồ thị của hàm số lũy thừa 1= x” luôn đi qua điểm ï (1:1)

% Khao sathamsé mt y=a", (a>0,a#l)

LOGARIT VA HAM SO LOGARIT

1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khái niệm Logarit

Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức aZ = b được gọi là logarit cơ số

a của b và được kí hiệu là log ở

œ =log,b<© q” =b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:

- (a) = (2) ‘ ¢ log, b* =a.log_b,(a,b>0,a#1)

e Nếu ö < 0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR

e Nếu bò >0 thì bất phương trình tương đương với aŸ > an

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là z > log, ở

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là z < log, ở

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

+ Bat phuong trinh logarit co ban

Bất phuong trinh logarit co ban cé dang log x >b(hoac log x=b,log x <b,log x<b)

vdia>Oa#l

Xét bat phuong trinh log, x > b

¢ Trudng hgp a > 1, tacé: log r>b<>ar>a’

e Trường hợp 0 <a <1, tacé: log x>b0<x<a’

Ta minh họa bằng đồ thị như sau

e Với a > 1, ta có đồ thị sau

y = log) (a > 1)

BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn

kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số

tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø kì hạn ( n e Ñ * ) là:

Ss = A+nAr = A(1+nr)

9 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để

tính lãi cho kì hạn sau

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số

tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø kì hạn ( n € Ñ * ) là:

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định

a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền 4 đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø tháng ( n € N * )(

nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là ®

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất r% /tháng Mỗi tháng vào

ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

a) Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau % tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là 4 đồng/tháng Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r3%/tháng Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả là bao nhiêu tiền?

7 Bài toán tăng trưởng dân số:

Công thức tính tăng trưởng dân số

Gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n năm (néN’) la: 9, = A(L+r)” Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính

PHAN IIL

NGUYEN HAM - TICH PHAN - UNG DUNG TICH PHAN

I NGUYEN HAM

1 Nguyén ham

Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(z) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số F(z) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(z) trén K néu F'(z) = f(a) với mọi

ze€K.Kíhiệu: Í ƒ(z)d+ = F(z) +

Định lí:

1) Nếu F(z) là một nguyên hàm của ƒ (z) trên #{ thì với mỗi hằng số Œ, hàm số

G(x) = F(x)+C cing la mét nguyên ham cia f(x) trên K

2) Nếu Ƒ(z) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(z} trên thì mọi nguyên hàm của

ƒ(z) trên KÝ đều có dạng #{z) + Ở, với Œ là một hằng số

Do đó Ƒ(z) + Œ,Œ ïR là họ tất cả các nguyên hàm của ƒ(z) trên #Z

« Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) va u= 9(z)

Néu J ƒ(œ)dz = F(x) +C thi f f(9(z)) 9'(x)dx = [ f(u)du = F(u)+C

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ƒ ( r) liên tục trên K déucé nguyén ham trén K

Bang nguyên hàm các hàm số thường gặp

8 [coszdz = sinz + Œ nà [cos(az + b) dz = * sin(ax +5) + C

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a Đổi biến dang 1:

Nếu : [Z@) = F(z) + và với u = ø(£)là hàm số có đạo hàm thì : [7(0)du = F(u)+C

PHUONG PHAP CHUNG

¢ Bước 1: Chon « = g(t), trong đó g(t) 1a ham sé ma ta chọn thích hợp

se _ Bước 2: Lấy vi phân hai vế : đz = g'(t) dt

« _ Bước 3: Biến đổi: /(z)dz = /| ø(t) |ø'(t)dt = s(t)4t

¢ Bước4: Khi đó tính: [ f(x)de = [ g(£)d = G() + Ơ

Bước 4: Khi đó : I = | f(x)de = [ 9(t)dt = G(t)+C

* Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :

2 NGUYEN HAM TUNG PHAN

Néu u(x) , v(x) 14 hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

[ +2) 9'œ)dz = (3) d(3)— | t(z) v'(z)dz

Hay [ude = uu — | udu (với du = w (z) de, du = ư(z)dz )

PHUONG PHAP CHUNG

Dang II: | J = f PC) Inzdz

ưu =Ìnz

Bằng phương pháp tương tự ta tính được Í

sin# ke sau đó thay vào Ï

TÍCH PHÂN

1 Côn †c tính tích

[7(œ)dz = F()} = F(0)~ F(a)

* Nhận xét: Tích phân của hàm số ƒ từ a đến b có thể kí hiệu bởi | f(x)dx hay } f(t)dt Tich

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

6 Nếu f(x) > 0Vz e | a:ð | thì : ƒ ƒ(œ)dr > 0Vz e | a:b]

7 Nếu Vz e| a:ð |: ƒ(ø) > g) = ƒ ƒ(z)dz > f g(z)dz (Bất đẳng thức trong tich phan )

b

8 Nếu Vz e| a;ð | Nếu M < f(z) < N thi M(b-a) < [ ƒ(œ)dz < N(b - a).