Diện tích hình phẳng (Giải tích 12)

øng dông h×nh häc vµ vËt lý cña tÝch ph©n PhÇn 1: diÖn tÝch h×nh ph¼ng... Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=fx, trục hoành và hai đ ờng thẳng x=a, x=b?. Tính di

øng dông h×nh häc

vµ vËt lý cña tÝch ph©n

PhÇn 1: diÖn tÝch h×nh ph¼ng

Diện tích hình phẳng

y

x O

y=f(x)

Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Hãy

tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y=f(x), trục hoành và hai đ ờng thẳng x=a, x=b ?

Tính diện tích phần bị gạch

nh thế nào ?

DiÖn tÝch h×nh ph¼ng

y

x

A

B

N M

y=f(x)

y

x O

B A

y=f(x)

y= - f(x)

S   f x dx   f x d x

 

b

a

S f x d x

  

S

S*

*

S      f x   dx   f x dx

TH1: NÕu f(x) ≥ 0 trªn ®o¹n [a; b] th×

TH2: NÕu f(x) ≤ 0 trªn ®o¹n [a; b] th×

S

*

S  S

Diện tích hình phẳng

y

x O

  2

b

c

S   f x d x

1 2

S S S f x dx f x dx

S 1

S 2

 

1

c

a

S   f x d x

TH3: Nếu đồ thị hàm số y=f(x)

cắt trục hoành tại một điểm có

hoành độ c(a; b) thì

1 2

S  S  S

y=f(x)

B

A

C

c

 

b

a

f x dx

 

( )

b

a

f x dx



Tóm lại: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đ

ờng thẳng x=a, x=b đ ợc xác định bằng công thức sau:

 

b

a

S   f x d x

y

x O

y=f(x)

b

c

a

d

TH4: Nếu đồ thị hàm số y=f(x) cắt trục hoành tại nhiều điểm

có hoành độ thuộc (a; b) thì

Diện tích hình phẳng

Ví dụ 1: Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y=-x2+3x+4, trục hoành và hai đ

ờng thẳng x=0, x=2

2

2

0

3 4

S      dx

2

2

0

(  x  3 x  4) d x

 

34

3 (đv t)

2

d

0

x

Giải:

Diện tích hình phẳng

Ví dụ 2: Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số y=x2-4x+3, trục

hoành và hai đ ờng thẳng

x=0, x=2

2

2

0

4 3 x

S     d

( x 4 x 3) dx ( x 4 x 3) d x

        

2

(đvdt)

1

3

 

4 x 3 dx x 4 x 3 d x

x

       

Giải:

Diện tích hình phẳng

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y=cos x, trục hoành và hai đ ờng thẳng x=0, x=2

3

3

cos x cos x cos x cos

S dx dx dx x d x

3

2 2

3

2 2

2

2

3 0

s in | sin | sin | 4 (đvdt )

cos x dx cos x dx cos x dx x x x



Diện tích hình phẳng

Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đ ờng thẳng x=a, x=b và đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a; b] ?

y=g(x)

y=f(x)

y

S

S S  S f x dx  g x dx

f x g x dx f x g x dx

       

TH1 Nếu đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) không cắt

nhau trên khoảng (a; b) thì f(x)>g(x) x(a;b) hoặc f(x)<g(x)

x(a;b) Ta chỉ cần xét cho f(x)>g(x) x(a;b)

1) Nếu cả f(x) và g(x) đều d ơng

trên [a; b] thì

 ( )   ( ) 

b

a

S   k  k d x

( ) ( )

b

a

f x g x dx

  

S

y=g(x)

y=f(x)

O

y

k

+k

+k

O

2) Nếu có ít nhất một trong hai

hàm số f(x) và g(x) không d ơng

trên [a; b] thì ta tịnh tiến trục

hoành xuống d ới sao cho trong

hệ toạ độ mới cả f(x) và g(x) đều

d ơng trên [a; b]

Vậy nếu hai đồ thị hàm số và không cắt nhau trên

thì diện tích hình phẳng giới h

( ), ( )

ạn bởi đồ thị các hàm số đ ờng thẳng đ ợc tính bởi công thức

( ) ( )

,

,

y f x y g x





b

a

x



O x

y

Diện tích hình phẳng

b

a

f x g x dx

  

S   S S   f x  g x dx   f x  g x dx

y=g(x)

y=f(x)

S2

TH2 Nếu đồ thị hai hàm số y=f(x)

và y=g(x) cắt nhau tại điểm có

hoành độ c trên (a; b) thì: c

Tóm lại: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đ ờng thẳng x=a, x=b và đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên

tục trên đoạn [a; b] đ ợc tính bởi công thức:

b

a

S   f x  g x dx

DiÖn tÝch h×nh ph¼ng

1

n

S   f x  g x dx   f x  g x dx    f x  g x dx

b

a

S   f x  g x dx

B íc 1: T×m c¸c nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh f(x)=g(x) thuéc ®o¹n [a; b] Gi¶

sö cã tÊt c¶ n nghiÖm c1;c2 ;….;cn thuéc [a;b] vµ

a ≤ c1 < c2 <….< cn ≤ b.

B íc 2: Ta cã

1

n

f x g x dx f x g x dx f x g x dx

B íc 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n vµ kÕt luËn  

1

k

k

c

c

f x g x dx







Diện tích hình phẳng

1

3

2

3

Giải: S x x x dx



3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

và hai đ ờng th 1

1:

ẳng

Ta có x  3 x   x x  4 x   0 x  2, x  0

      

x x dx x x dx



2 0 2 1

2







3 2 1

-1 -2

y

-2

O 1 2

-2

2

 

   

               

   

Diện tích hình phẳng

2

Ta có 3 - 2 - 1 2

Gi :i x x   x  x  x 1

2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị các hàm số

Ví dụ 2:

3 2 , 1

      

 

2 3

2

9

đ

2

1

vd

x





1

2 2

3

Do đó S 2 x x 1 x dx



4

3

2

1

-1

y

4

2 2

R

Diện tích hình phẳng

4

Ta chọn đ ờng tròn tâm O(0;0) bán kí

Tính diện tích hình tròn bán

y

x

O

Ph ơng trình đ ờng tròn là x y R

2 2

Suy ra nửa đ ờng tròn nằm phía trên trục hoành

là đồ thị hàm số y  R  x

*

S

2

đ

sin 2

0

vd

2

t

S R tdt R t dt R t R





2 2

y  R  x

0

4

R

x

b

sin

Đặt - ;

2 2

x a t t     

    

 

Diện tích hình phẳng

4

Do đó S  S *

Tính diện tích hìn (E):

a  b 

2 2

Nửa đ ờng Elip nằm phía trên trục hoành

là đồ thị hàm số

G i: iả

b

y a x

a

a

2

2

đ

sin 2

2

0

t

S ab tdt ab t dt ab t ab





2 2

b

y a x

a

*

S

2 2 0

4

a

b

a x dx a

Bài tập 1, 2, 3 (SGK)