Rèn kĩ năng giải hệ pt và hình phẳng oxy (phần 12)

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC... Vậy hệ vô nghiệm.. Lời giải: Do ABCD là hình bình hành có AB= AD=R nên ABCD là hình thoi... Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

( )( ) 3 ( 2 ) 2







Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

2







Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )C tâm I( )1; 2 và trực tâm H thuộc đường thẳng d x: −4y− =5 0 Biết đường thẳng AB có phương trình 2 x+ − =y 14 0 và

khoảng cách từ C đến AB bằng 3 5 Tìm tọa độ điểm C biết rằng hoành độ điểm C nhỏ hơn 2

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )C tâm I( )1; 2 Gọi

E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C, phương trình đường thẳng EF là 3 x− − =y 7 0,

biết tiếp tuyến tại A của đường tròn ( )C đi qua M( )4;1 , trung điểm của AC thuộc trục hoành và điểm C

có hoành độ không dương Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 2( 2 ) 3

2

2

4

4









y

Lời giải

Điều kiện: x≥ −1

Nhận thấy x= −1 hay y=0 không thỏa mãn hệ

Với x≠ −1 và y≠0 ta có:

2 2 2

2

2

4 1

1

+

y y

x

y

Xét hàm số ( ) 1

= −

t trên

1

′ = + > ∀ ∈ℝ

t

Suy ra f t( ) đồng biến trên ℝnên (3) ( 1) 2 1 2

4

0



+ = −



+

 ≥



x

x y

thay vào (1) ta được

− x − +x x+ = ⇔ −x x+ + x− − x+ =

( ) ( )

( )2 ( )( ) ( )2 2

3

1

2

8 27

3

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 12)

Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

( )

( ) ( )2 ( )( ) ( )2 2

2

3

0 2

3

+

− +

x x

( )2 ( )2 ( )( ) ( )2

2

2

1 3

3

3

x

x

2

⇔ = ⇔x y + = − vô nghiệm

Vậy hệ vô nghiệm

3 3 1 5 14 3

Lời giải

Điều kiện:

( )

2

x x

− ≥











Bình phương hai vế của bất phương trình, chúng ta có:

3 6 3 1 9 1 5 14 3

6 3 1 4 20 12

3 4 3 2 10 6

Với điều kiện x≥3⇒2 x2 −4x+ +3 x >0 do đó bất phương trình ( )∗ tương đương:

2

2

≥



 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T =4+ 13;+∞)

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn tâm A có phương

trình( ) ( ) (2 )2

C x− + y+ = và điểm B( )1;3 , gọi D là một điểm chạy trên đường tròn (C) và C là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Tìm tọa độ các đỉểm C,D biết trọng tâm G của tam giác

BCD thuộc đường thẳng d x: − + =y 1 0

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành có AB= AD=R nên

ABCD là hình thoi Ta có tâm A(1; 2− )

Gọi G t t( ; +1), gọi I là tâm của hình thoi, do G là

trọng tâm tam giác BCD nên ta có 4

3

 

Do vậy

( ) ( )

( ) ( )

⇔

3 1 3 1

;

  Mặt khác IAB∆ vuông tại I nên ta có: IA IB  =0

( ) ( )

2

5 5

2 2







Ví dụ 8 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

3 2

2

;

x y



∈



Lời giải

Điều kiện 2; 1

2

x+ ≥y x≥

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

( )

2

2

2

2

3 3 2 2 1 2

1 1

2 1

1

2 1

x x x

x

−

−

3 2; 2 2 3 0, 2

f t = − +t t t≥ ⇒ f′ t = − > ∀ ≥t t

Hàm số liên tục và đồng biến trên miền đang xét dẫn đến f t( )≥ f ( )2 =0

2

x

x x + x x > ∀ ≥ ⇒ − ≥ ⇔ ≥

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( ) ( )3

3 2

5 x+ − + −y 2 x 3x +3x− +1 3x+3y= ⇔6 5 x+ − +y 2 3 x+y + −x 1 =6

Dễ thấy ( )3

x− ≥ ∀ ≥x và hàm g t( )=5 t− +2 3 ;t t= + ≥x y 2đồng biến, liên tục

g t = t− + ≥t g = ⇒ x+ − +y x+y + −x ≥

1 0

x

+ =



⇔ = =



− =

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm

của AB, N thuộc BC sao cho BN = 2NC, DM: x + y – 1 = 0 và N(0; 1− ) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D

của hình vuông biết y M >0

Lời giải:

Đặt AB=6a⇒NC=2a ta có: DM =3a 5, DN =2a 10

5

MN = a Khi đó ta có: 

1 cos

MDN

DN DM

Gọi D t( ;1−t) ta có: 2 ( )2 ( )

t + −t = ⇔ =t ⇒D

10

MN = , gọi M u( ;1−u) ta có: 2 ( )2 ( )

;

5 2

;

2 2

M

−







 

 

 

Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

2

3

1 3 4

3 1

1

9 − +2 7 2 2 2 3

+







x

Lời giải

Điều kiện:

1 2 9

> −







≥



x

y

2

1

+

y x

3

= − −

2 3 3 3 3 0 0;

Suy ra hàm số đồng biến trên (0;+∞) Nên (3)⇔ f ( x+ =1) f y( )⇔ x+ =1 y

Thay vào (2) ta được 9y− +2 37y2+2y− =5 2y+3

2 3

⇔ + −y y− + + −y y + y− =

3

2

3

0

( )( ) ( )( )( )

( ) (2 ) 2 ( 2 )2

0

( )( )

2

3

1

7 2 5 1

=



=

+



y

y

y

Với y=2⇒ x=3 Với y=3⇒ x=8

Vậy hệ có nghiệm ( ) ( ) ( )x y, ={ 3; 2 , 8;3}

Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A(−3;1) và

điểm C thuộc đường thẳng : d x−2y− =5 0 Gọi E là giao điểm thứ hai của CD và đường tròn tâm B bán kính BD, (E≠D) Hình chiếu vuông góc của D lên đường thăng BE là điểm N(6; 2− ) Tìm tọa độ các

đỉnh B và C

Lời giải:

Gọi C(2t+5;t) ta có tâm hình chữ nhật là 1; 1

2

t

+

 

( ) ( )

1 7;1 ; 2;1

Ta có BD=BE=R , mặt khác BC⊥CD nên D và E đối xứng

nhau qua BC Dễ thấy AC/ /BE⇒DN ⊥AC tại K khi đí CK

là đường trung bình của tam giác NED hay D và N đối xứng

nhau qua AC: y=1

Khi đó D( )6; 4 ⇒B(− −2; 2)

Đ/s: B(− −2; 2 ,) ( )C 7;1 là các điểm cần tìm

Ví dụ 12 [Tham khảo]: Giải bất p ư n trìn x− +1 x2+5x+ <6 4x2+11x−6

Lời giải

Điều kiện 2

2

1

x

≥









Bất phương trình đã cho tương đương với

( )( )( )

2 3 ; 2 0; 0

x + x− =a x+ =b a≥ b> thì (*) trở thành

( )( )

2

2

x

x

 > +





< − ⇔ − + > ⇔ > ⇔ + − > + ⇔ − − > ⇔

 > −





Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

Kết hợp điều kiện ta thu được tập hợp nghiệm 21 1;

2



Thầy Đặng Việt Hùng đz