Phương pháp giải hình học giải tích trong không gian

Phơng pháp giải hình học giải tích trong không gianHình học giải tích trong không gian luôn có trong các đề thi vào đại học, tốt nghiệp trung học phổ thông, bài viết này là tổng ợp tất c

Phơng pháp giải hình học giải tích trong không gian

Hình học giải tích trong không gian luôn có trong các đề thi vào đại học, tốt nghiệp trung học phổ thông, bài viết này là tổng ợp tất cả các dạng của đề thi Mong bài viết này có thể giúp cho các bạn có thể học tốt và làm bài hình học giảI tích đợc tốt hơn trong các kì thi

A,Lý thuyết:

Quy tắc hình hộp: ABCDA’B’C’D’ là hình hộp thì : AB AD AA   ' AC'

3 vectơ đồng phẳng: a b c  , , đồng phẳng khi :

Hoặc x y, sao cho c xa yb  

Hoặc a b c,  0

  

Tích vô hớng của 2 vectơ: cho a a a a( , , )1 2 3

b b b b( , , )1 2 3

2 3 3 1 1 3

b b b b b b

 

Tính chất:

+, a b , cùng phơng  a b ,   0

+, a b ,   a và a b ,   b

+, a b ,   a b  .sin( , )a b 

+, a b,   b a, 

 Hệ quả:

+, 1

, 2

ABC

S  AB AC



 

+, S ABCD AB AD, 



 

(diện tích hình bình hành) +, V ABCDA B C D' ' ' 'AB AD AA,  '

  

(thể tích hình hộp)

6

ABDCD

V  AB AC AD

  

(thể tích tứ diện) +, a b c  , , đồng phẳng  a b c,  0

  

a b c  , , không đồng phẳng  a b c,  0

  

A x B y C z D

A x B y C z D





1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

A A B B C C cos

B, Phơng pháp giải:

I,Mặt phẳng:

 PTTQ(phơng trình tổng quát) mặt phẳng(mp)( ) qua M x y z và có VTPT(vectơ 0( , , )0 0 0 pháp tuyến) n A B C( , , )là:

( ) : ( A x x 0)B y y(  0)C z z(  0) 0

hay : ( ) : Ax By Cz D    với 0 D(Ax0By0Cz0)

PTMP(phơng trình mặt phẳng)( ) qua ( , 0, 0)A a ox B; (0, ,0)b oy C; (0,0, )c ozcó

ph-ơng trình(pt) là:

( ) : x y z 1

a b c

Kết quả:

+,

2 2

0

0

A

B C











+,

2 2

0

0

B

A C











+,

2 2

0

0

C

A B









 +,PTMT toạ độ oxy: z=0

+,PTMT toạ độ oxz: y=0

+,PTMT toạ độ oyz: x=0

Vị trí tơng đối của mặt thẳng và mặt phẳng:

A x B y C z D

A x B y C z D





( ) ( )1  2  A A1 2B B1 2C C1 2 0

1 1 1 2 2 2

A A B B C C cos

Phơng trình chùm mặt phẳng:

Tập hợp các mặt phẳng ( ) chứa đờng thẳng  ( ) ( )   đợc gọi là chùm mặt phẳng xác

định bởi mp( ) và mp ( ) Nếu ( ) : A x B y C z D1  1  1  1  và0

( ) : A x B y C z D    thì phơng trình mặt phẳng0 ( ) là:

( ) : ( m A x B y C z D1  1  1  1)n A x B y C z D( 2  2  2  2) 0 (*) với m2n2 0

phơng trình (*) có thể viết lại: m( ) n( ) 0 

Các vấn đề: Viết PTMP(phơng trình mặt phẳng):

1 PTMP( ) qua M x y z và có VTPT ( , , )0( , , )0 0 0 n A B C

+,Xác địnhM x y z của mp0( , , )0 0 0

+,Xác định VTPT n A B C( , , )

+,áp dụng công thức : ( ) : ( A x x 0)B y y(  0)C z z(  0) 0

2 PTMP( ) qua M x y z và có cặp VTCP(vectơ chỉ phơng) ,0( , , )0 0 0 a b 

(với a b  , 0có giá song song hoặc nằm trên mp( ) )

+,Tìm VTPT na b, 

+,( ) là mp qua M x y z và có VTPT n0( , , )0 0 0 

3 PTMP( ) qua 3 điểm không thẳng hàng A,B,C

+,Tìm  AB AC,

+,Tìm VTPT nAB AC, 

+,( ) là mp qua A và có VTPT n

4 PTMP( ) qua M x y z và ( )0( , , )0 0 0  vuông góc với 2 mp ( )  và ( )  cắt nhau

+,Tìm VTPT của( ) và ( ) là n 1

vàn2

+,Tìm VTPT của ( ) : nn n1, 2

+,( ) là mp qua M x y z và có VTPT n0( , , )0 0 0 

5 PTMP( ) qua M x y z và qua giao tuyến 2mp cắt nhau là0( , , )0 0 0

( ) : A x B y C z D    và0 ( ) :2 A x B y C z D2  2  2  2 0

+,( ) có dạng : m A x B y C z D( 1  1  1  1)n A x B y C z D( 2  2  2  2) 0 (*) với

2 2 0

m n 

+,( ) qua M x y z thế vào phơng trình (*)0( , , )0 0 0

+,Rút ra m theo n  chọn m,n rồi thế vào phong trình (*)

6 PTMP( ) qua M x y z và ( )0( , , )0 0 0  vuông góc với đờng thẳng (d)

+,Tìm VTCP ucủa (d)

+,( ) là mp qua M x y z và có VTPT n0( , , )0 0 0 = u

7 PTMP( ) qua M x y z và ( )0( , , )0 0 0  chứa đờng thẳng (d)

TH1: (d) có dạng tổng quát

+, Tìm PTMP( ) ta dùng công thức chùm mp

TH2: (d) có dạng chính tắc

Cách 1:

+, Chuyển phơng trình (d) về dạng phơng trình tông quát +,Dùng công thức chùm mp

Cách 2:

+,TìmA( )d và có VTCP u của (d)

+,Tìm u AM0

nu v, 

+,( ) là mp qua M x y z và có VTPT n0( , , )0 0 0 

8 PTMP( ) chứa đờng thẳng( )d và ( )1  //( )d2

+,TìmA( )d1 và có VTCP u 1

của ( )d1

+,Tìm VTCP u2của ( )d2

+,Tìm nu u1, 2



 

    +,( ) là mp qua A và có VTPT n

II,Đờng thẳng:

0 ( ) :

0

A x B y C z D d

A x B y C z D







u



Đặc biệt:

0

y z











0

x z











0

x y











PTTS(phơng trình tham số): (d) quaM x y z và có VTCP ( , , )0( , , )0 0 0 u a b c :

(d) :

0 0 0

x x at

y y bt

z z ct







  



PTCT(phơng trình chính tắc): (d) :x x0 y y0 z z0

Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng phẳng:

  qua A x y z và có VTCP ( ,1 1, )1 u1( , , )a b c1 1 1

  quaB x y z và có VTCP ( ,2 2, )2 u2 ( , , )a b c2 2 2

 ( ),( )d1 d chéo nhau2  u u AB  1, ,2

không đồng phẳng u u1, 2.AB0

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

( ),( )d1 d đồng phẳng2  u u AB  1, ,2 đồng phẳng u u1, 2.AB0

  

  

 ( ),( )d1 d song song2 

B x y z( , , ) ( )2 2 2  d1

u u1, 2.AB0

  



x1 x y2: 1 y z2: 1 z2 a b c1: :1 1

( ),( )d1 d trùng nhau 2 

B x y z( , , ) ( )2 2 2  d1

a b c1: :1 1a b c2: 2: 2



x1 x y2: 1 y z2: 1 z2 a b c1: :1 1

( ) ( )d1  d2 u1u2 u u1 2  0 a a1 2b b1 2c c1 2 0

 Có 2 1 22 21 2 2 1 22 2

1 1 1 1 1 1

cos

a a b b c c

a b c a b c

Các vấn đề: Viết PTĐT(phơng trình đờng thẳng)

TH1:Đờng thẳng (d) đợc xác định bởi 1 điểm và 1 VTCP

1 PTĐT (d) quaM x y z và có VTCP ( , , )0( , , )0 0 0 u a b c

+,Dùng PTTS hay PTCT

2 PTĐT (d) quaM x y z và (d) song sonh với 1 đờng thẳng ( )0( , , )0 0 0  cho trớc

+,Tìm VTCP ucủa (d)

+,(d) là đờng thẳng quaM x y z và có VTCP u0( , , )0 0 0 

3 PTĐT (d) quaM x y z và (d) song sonh với 2 mp cắt nhau ( ),( )0( , , )0 0 0   +,Tìm VTPT của mp ( ) :n 1

Tìm VTPT của mp( ) :n2

+,Tìmun n1, 2

+,(d) là đờng thẳng quaM x y z và có VTCP u0( , , )0 0 0 

4 PTĐT (d) quaM x y z và ( ) ( ) :0( , , )0 0 0 d   Ax By Cz D   0

+Tìm VTPT của mp( ) là n

+,(d) là đờng thẳng quaM x y z và có VTCP u0( , , )0 0 0 = n

5 PTĐT (d) quaM x y z và (d) vuông góc với 2 đờng thẳng0( , , )0 0 0 ( )d và1 ( )d2

+,Tìm VTCP của( )d là1 u1

+,Tìm VTCP của( )d là2 u2

Gọi uu u1, 2

+,(d) là đờng thẳng quaM x y z và có VTCP u0( , , )0 0 0 

6 PTĐT (d) quaM x y z , ( ) ( )0( , , )0 0 0 d   và (d) cắt ( )

+,Lập PTMP ( ) qua M x y z và ( ) ( )0( , , )0 0 0   

+,Tìm giao điểm N của( ) và ( )

+,(d) là đờng thẳng đi qua 2 điểmM và N 0

7 PTĐT (d) quaM x y z và (d) cắt 2 đờng thẳng0( , , )0 0 0 ( ) ,1 ( )2 cho trớc

Cách 1:

+, Lập PTMP( ) qua M x y z và0( , , )0 0 0 ( )1

+,Tìm giao điểm N của( ) và( )2

+,(d) là đờng thẳng quaM ,N0

+,Chứng tỏ (d) cắt( ) 1

Cách 2:

+, Lập PTMP( ) qua M x y z và0( , , )0 0 0 ( )1

+, Lập PTMP( ) qua M x y z và0( , , )0 0 0 ( )2

( ) : ( ) 0









 +,Chứng tỏ (d) cắt ( ) ,1 ( )2

8 PTĐT (d) quaM x y z ,0( , , )0 0 0 ( ) ( )d   và (d) cắt1 ( )2

+,Lập PTMP ( ) qua M x y z và0( , , )0 0 0 ( ) ( )  1

+,Tìm giao điểm N của( ) và( )2

+, (d) là đờng thẳng qua M,N

TH2: (d) xác định là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

1 Phơng trình đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng chéo nhau( )d và1 ( )d2

+,Trong không gian cho 2 đờng thẳng chéo nhau:

  qua A x y z và có VTCP ( ,1 1, )1 u1( , , )a b c1 1 1

  quaB x y z và có VTCP ( ,2 2, )2 u2 ( , , )a b c2 2 2

gọi tu u1, 2

+,Gọi( ) là mp quaA x y z và có VTPT ( ,1 1, )1 nu t1, 

+,Gọi( ) là mp quaB x y z và có VTPT ( ,2 2, )2 mu t2, 

+,Đờng vuông góc chung của( )d và1 ( )d là giao tuyến của ( )2  và ( )

2 (d) qua giao điểm M của mp( ) và đờng thẳng ( ) và ( )d  ( ),( )d ( ) Cách 1:

+,Tìm toạ độ giao điểm của( ) và( )

+,Lập phơng trình mp( ) qua điểm M và ( ) ( )

( ) : ( ) 0









 Cách 2:

+,Tìm toạ độ giao điểm của( ) và( )

+,Tìm VTCP ucủa ( )

Tìm VTPT ncủa ( )

Tìm tn u, 

+, (d) là đờng thẳng qua M và có VTCP t

3 ( ) / /( )d  và( )d cắt( )d và1 ( )d2

+, Lập mp( ) chứa( )d và ( ) / /( ) 

+,Lập mp( ) chứa( )d và ( ) / /( )2  

+, (d) là giao tuyến của( ) và ( ) ( ) 0

( ) : ( ) 0









 +,Chúng tỏ ( )d cắt( )d và1 ( )d2

4 Phơng trình hình chiếu (d’) của (d) lên mp( )

+,TìmA( )d và có VTCP ucủa(d)

+,Tìm VTPT ncủa ( )

+,Tìm tn u, 

+,Gọi ( ) là mp chứa (d) và ( ) ( )

 ( ) qua A và co VTPT t Viết PTMP ( )

+,Hình chiếu (d’) của (d) lên mp( ) là giao tuyến của ( ) và ( ) PTĐT (d’) là: ( ) 0

( ') : ( ) 0













Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng:

Cho (d) :x x0 y y0 z z0

  qua A x y z và có VTCP ( , , )( , , )0 0 0 u a b c và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D    có VTPT 0 n( , , )A B C



 ( )d cắt ( )  u n   0 Aa Bb Cc  0



0 0 0

0 ( ) / /( )

0 ( , , ) ( )

Aa Bb Cc

u n d

Ax By Cz D

A x y z













0 0 0

0

0 ( , , ) ( )

Aa Bb Cc

u n d

Ax By Cz D

A x y z











( )d ( ) u n,

  cùng phơng  A B C a b c: :  : :



sin

Aa Bb Cc

với ( , )d  và 0  900

Khoảng cách :

 Khoảng cách từ M x y z  mặt phẳng ( ) :( , , )0 0 0  Ax By Cz D   0

0 0 0

2 2 2

Ax By Cz D d



 Khoảng cách từ M x y z đến (d) :( , , )1 1 1 x x0 y y0 z z0

  qua A x y z và có ( , , )0 0 0 VTCP u a b c( , , )

M M u0 ,

d

u



 



Khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau:

Trong không gian cho 2 đờng thẳng chéo nhau:

  qua A x y z và có VTCP ( ,1 1, )1 u1 ( , , )a b c1 1 1

  quaB x y z và có VTCP ( ,2 2, )2 u2 ( , , )a b c2 2 2

1 2

1 2

,

u u AB d

u u



  

 

Chú ý: có thể tính khoảng cách giữa ( )d và 1 ( )d bằng cách lập phơng trình mặt phẳng ( )2  chứa( )d và // 2 ( )d Tính khoảng cách từ1 A ( )

Mặt cầu:

Phơng trình mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính R:

(x a )2(y b )2(z c )2 R2

Hay: x2y2z2  2ax 2by 2cz d 0

điều kiện: a2b2c2 d 0

2 2 2

 Phơng trình đờng tròn:

0

x y z ax by cz d

Ax By Cz D





Bán kính r R2 d2

Với R: bán kính mặt cầu (S)

d: khoảng cách từ tâm I ( )

Điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) là: d(I( )) R

Các dạng đề thờng gặp :

Dạng 1: Cho đờng thẳng (d) :

0 0 0

x x at

y y bt

z z ct







  



và điểm M(x,y,z)  (d) Tìm điểm H  (d)

để MHmin

PP: C1: do H (d)  H(x0 at,y0 bt,z0ct) sau đó ta tính MH

C2: Do H (d)  H(x0 at,y0 bt,z0 ct)ta có:

???

0 )

(

MH

Dạng 2: Cho mp( ) : Ax By Cz D    Cho 2 điểm A,B Tìm 0 M  ( ) để

min ) (MA  MB

PP: Ta phân ra 2 trờng hợp:

TH 1: A,B cùng nằm về một phía đối với mp( ) :

+, Viết ptrình đờng thẳng (d) qua A và (d)// ( )

Gọi I là giao điểm của (d) và( ) nên toạ độ I là nghiệm hệ phơng trình









 0 ) (

0 ) (

d



Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua( ) nên I là trung điểm của AA’

+, Viết phơng trình đờng thẳng BA’

+, Tìm toạ độ giao điểm M của BA’ và ( )

+, Ta có:MAMBMA'MBA'BM'A'M'BM'AM'B với M’ là điểm bất kì

thuộc ( )

Vậy (MAMB)min A'B khi M là giao điểm của đờng thẳng A’B với mp( )

TH 2: A,B ở khác phía:

+, Viết ptrình đờng thẳng AB

+, Tìm toạ độ giao điểm M của AB và ( )

+, Ta có MAMBABM' A M'B Với M’ là điểm bất kì thuộc ( )

Vậy (MAMA)min AB khi M là giao điểm của đờng thẳng AB và ( )