nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12

Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số .... Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Vũ

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA

GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã truyền dạy những những kiến thức quý báu và đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, giúp tôi tiếp thu tốt nhất kiến thức chuyên ngành Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn:

TH PT Ngô Quyền (Q.7), THPT Nguyễn Văn Linh (Q.8), THPT Nguyễn Du (Q.10), THPT Nguyễn Hiền, THPT Trần Quang Khải, THPT Trương Vĩnh

Ký (Q.11), THPT Nguyễn Công Trứ (Q Giò Vấp) và THPT Nguyễn Hữu Huân (Q.Thủ Đức) đã tạo điều kiện cho tôi thực dự giờ, quan sát nhiều tiết học và tiến hành các thực nghiệm cần thiết cho luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tha thiết đến gia đình và các bạn cùng khóa, những người luôn yêu mến, ủng hộ, chia sẻ và động viên tôi suốt quá trình học tập

Trang 4

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV-NC : Giáo viên dạy chương trình nâng cao

LL&PPDH : Lý luận và phương pháp dạy học

Pttđgđ : Phương trình tung độ giao điểm

SGV-NC : Sách Giáo viên Giải tích 12 - Nâng cao

Trang 5

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

2 Khung lý thuyết tham chiếu 3

3 Phương pháp nghiên cứu 4

4 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG I QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 5

1 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về diện tích hình phẳng 5

1.1 Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong lịch sử toán học 5

1.2 Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong dạy học toán ở Việt Nam 6

1.3 Một số quy tắc của hợp đồng thể chế liên quan đến diện tích hình phẳng 6

2 Phân tíc h chương trình 7

3 Phân tích sách giáo khoa 8

3.1 Cấu trúc chương III Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng trong các sách giáo khoa hiện hành 8

3.2 Diện tích hình thang cong trong các sách giáo khoa hiện hành 8

3.2.1 Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 8

3.2.2 Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 - Nâng cao 9

3.2.3 Nhận xét 10

3.3 Diện tích hình phẳng trong các sách giáo khoa hiện hành 10

3.3.1 Diện tích hình phẳng trong sách Giải tích 12 10

3.3.2 Diện tích hình phẳng trong các sách Giải tích 12 - Nâng cao 12

3.3.4 Diện tích hình phẳng trong các bài đọc thêm 14

4 Các tổ chức toán học gắn liền với diện tích hình phẳng 15

4.1 Các tổ chức toán học trong SGK-C và SBT-C 15

4.1.1 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số 15

4.1.2 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2: Tính tỉ số diện tích của hai hình phẳng 17

4.1.3 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3: Tính diện tích đa giác 18

4.1.4 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T4: So sánh diện tích của hai hình phẳng 18

4.1.5 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T5: Tính diện tích hình thang cong bằng giới hạn 19

Trang 6

4.2 Các tổ chức toán học trong SGK-NC và SBT-NC 22

4.2.1 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số 22

4.2.2 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số 23

4.2.3 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 25

4.2.4 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T8: Tìm giá trị của tham số để diện tích hình phẳng bằng S > 0 cho trước 26

5 Kết luận chương I 29

CHƯƠNG II NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 32

1 Thực tế giảng dạy diện tích hình phẳng ở chương trình chuẩn 32

1.1 Phân tích các tổ chức didactic 33

1.2 Nhận xét 50

2 Thực tế giảng dạy diện tích hình phẳng ở chương trình nâng cao 50

2.1 Phân tích các tổ chức didactic 51

2.2 Nhận xét 69

3 Kết luận chương II 70

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM 73

1 Mục tiêu thực nghiệm 73

2 Đối tượng thực nghiệm 73

3 Nội dung thực nghiệm 74

3.1 Phân tích tiên nghiệm 74

3.2 P hân tích hậu nghiệm 79

4 Kết luận chương III 86

KẾT LUẬN 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 PHỤ LỤC

Trang 7

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Khi thực hiện tiểu luận hợp đồng didactic liên quan đến diện tích hình phẳng năm

2011, chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm như sau: Chúng tôi yêu cầu 50 HS lớp 12A14 và 12A18 trường THPT Trần Khai Nguyên, Q.5 (chương trình chuẩn) giải bài toán “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong ( ) : H y 2

x

= và 2

x

x x

Trang 8

Nguyên nhân: HS đã áp dụng sai phạm vi hợp thức của định lí “Nếu ( ) f x liên tục

và không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì b ( ) d b ( )d

hai đồ thị (H) và (P) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

Dựa vào đồ thị, ta thấy hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (H) và (P) chỉ nằm trong

đoạn [–2;–1] Và do đó, lời giải mong đợi của bài toán trên như sau:

Bình luận: Việc HS học chương trình chuẩn không xét tính liên tục của các hàm số

trên đoạn [–2;1] cũng như không xác định hình phẳng trước khi tính diện tích đã dẫn đến sai lầm trong bài toán trên

Điều này khiến chúng tôi thắc mắc: Liệu HS học chương trình nâng cao có gặp sai lầm tương tự?

Để giải đáp thắc mắc này, chúng tôi tiến hành một thực nghiệm tương tự với 50 HS lớp 12A2 và 12A4 trường THPT Trương Vĩnh Ký, Q.11 (chương trình nâng cao) Thực nghiệm diễn ra vào đầu tháng 2/2010

Trang 9

Kết quả: 35/50 HS sử dụng chiến lược “dùng đồ thị” và giải đúng bài toán trên 11/50 HS sử dụng chiến lược “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” nhưng lập luận hàm số không liên tục trên đoạn [–1; 1] nên chỉ tính tích phân trên đoạn [–2; –1]

và đưa ra đáp số đúng 3/50 HS sử dụng chiến lược “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích p hân” nhưng không xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [–2; 1] nên đưa ra đáp

số sai 1 HS không giải được bài toán trên

Bình luận: Việc HS học chương trình nâng cao sử dụng đồ thị để xác định hình

phẳng hay xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [–2; 1] đã giúp các em giải đúng bài toán trên Tới đây, chúng tôi tự hỏi: Tại sao có sự khác biệt trong cách giải bài toán trên giữa HS học chương trình chuẩn và HS học chương trình nâng cao? Do chênh lệch trình độ HS? Hay là do lựa chọn của thể chế và của GV?

L à những người nghiên cứu didactic toán để phục vụ cho việc dạy học toán ở trường THPT, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hoạt động dạy học của GV trong thực

tế Do đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học diện tích hình phẳng ở lớp 12

Với đề tài đã chọn, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát như sau:

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi là trả lời hai câu hỏi nêu trên Để trả lời câu hỏi thứ nhất, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán Cụ thể, chúng tôi sử dụng các công cụ của lý thuyết nhân chủng học như: quan hệ thể chế và quan hệ

cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học, tổ chức didactic và chuyển hóa sư phạm, trong đó:

- Thể chế I: thể chế dạy học toán lớp 12 của Việt Nam

- Đối tượng tri thức O: diện tích hình phẳng

Trang 10

Với ngôn ngữ didactic, chúng tôi phát biểu lại hai câu hỏi xuất phát như sau:

i Trong thể chế I, đối tượng O được triển khai ra sao? Có những tổ chức toán học nào gắn với O?

ii GV đã thiết lập những tổ chức didactic nào để tiến hành giảng dạy các tổ chức toán học gắn với O? Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học cần dạy và tổ chức toán học được dạy trong lớp học?

3 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi tiến hành các phương pháp sau:

- Trước hết chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK Chúng tôi sẽ phân tích cả hai bộ sách Giải tích 12 và Giải tích 12 Nâng cao nhằm làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích hình phẳng Các nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi tìm ra các yếu tố để trả lời các câu hỏi đặt ra ở trên, đồng thời đưa ra các câu hỏi nghiên cứu hay giả thuyết nghiên cứu

- Sau khi phân tích chương trình và SGK, chúng tôi tiến hành quan sát lớp học Chúng tôi quan sát các tiết học diện tích hình phẳng ở hai lớp học (một lớp học chương trình chuẩn và một lớp học chương trình nâng cao)

- Phần thực nghiệm sẽ giúp chúng tôi tìm ra các yếu tố để trả lời các câu hỏi nghiên cứu cũng như kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu Thực nghiệm sẽ được tiến hành dưới hình thức phát phiếu điều tra Đối tượng thực nghiệm là giáo viên dạy toán lớp 12

4 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1 Quan hệ của thể chế với diện tích hình phẳng

Chương 2 Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học diện tích hình phẳng Chương 3 Thực nghiệm

Kết luận

Phụ lục

Trang 11

CHƯƠNG I QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Mục tiêu của chương này là nghiên cứu quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích hình phẳng nhằm trả lời các câu hỏi:

để giải quyết? Kĩ thuật nào được ưu tiên?

Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và các SGK hiện

hà nh Tài liệu phân tích của chúng tôi gồm có: Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2006); Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán

(2008); các sách giáo khoa , sách bài tập, sách giáo viên Giải tích 12 và Giải tích 12 Nâng cao (m à chúng tôi lần lượt kí hiệu SGK-C, SBT-C, SGV-C, SGK-NC, SBT-NC, SGV- NC để thuận tiện cho việc trình bày)

Ngoài ra, chúng tôi còn tham khảo luận văn Khái niệm diện tích trong dạy - học toán ở trung học cơ sở (2008) của tác giả Trần Đức Thuận, luận văn Nghiên cứu didactic về những khái niệm khó khăn của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân (2002) và luận

án tiến sĩ La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam (2006) của tác giả Trần Lương Công Khanh để kế thừa các kết quả nghiên cứu trước đó về diện tích hình phẳng

1 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về diện tích hình phẳng

1.1 Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong lịch sử toán học

Theo Trần Đức Thuận (2008), khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính diện tích, so sánh diện tích và bài toán cầu phương, trong đó, bài toán tính diện tích được hình thành vì nhu cầu đo đạc ruộng đất để tính thuế từ thời cổ đại

Trang 12

Theo Trần Lương Công Khanh (2002), trong lịch sử toán học, có rất nhiều nhà toán học tìm cách tính diện tích của các hình phẳng cụ thể bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó phải kể đến phương pháp “vét cạn” của Archimède, phương pháp “phần

tử không thể phân chia được” của Cavalieri… Cuối cùng, Newton và Leibniz đã độc lập đưa ra lời giải tổng quát của bài toán diện tích bằng ngôn ngữ tích phân

Như vậy, có thể xem bài toán diện tích hình phẳng là bài toán xuất phát của khái niệm tích phân Ngược lại, từ khi ra đời, tích phân trở thành công cụ hiệu quả nhất để tính diện tích của một hình phẳng bất kì

1.2 Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong dạy học toán ở Việt Nam

Theo Trần Lương Công Khanh (2006): “Mối liên hệ giữa diện tích, nguyên hàm và tích phân ở Việt Nam là một chiều theo sơ đồ:

Nguyên hàm → Tích phân → Diện tích

Điều này có nghĩa là nguyên hàm phục vụ cho tính tích phân và tích phân phục vụ cho tính diện tích Chiều ngược lại của các mũi tên không tồn tại trong phần bài tập mặc dù phần bài học có trình bày tích phân phụ thuộc cận trên2 và mối liên hệ giữa diện tích biến thiên với nguyên hàm

Ở Pháp, mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân là hai chiều Nguyên hàm giúp tính tích phân và tích phân (phụ thuộc cận trên) cho phép tính nguyên hàm Ngoài ra, biểu diễn hình học của tích phân cho phép tính tích phân nhờ diện tích Mối liên hệ này không được thiết lập ở Việt Nam.” 3

1.3 Một số quy tắc của hợp đồng thể chế liên quan đến diện tích hình phẳng

Theo Trần Lương Công Khanh (2006): Ở thể chế Việt Nam, HS phải tôn trong những quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến diện tích hình phẳng sau đây:

Quy tắc RI1: Vẽ các đường biểu diễn hình phẳng

Trang 13

Dựa vào biểu thức giải tích của các đường đã cho, HS vẽ trong cùng một hệ trục tọa độ hình biểu diễn các đường giới hạn hình phẳng cần tính diện tích Nếu y f x = 1( )

và y f x = 2( ) là phương trình hai đường giới hạn hình phẳng đang xét trên đoạn [a;b], việc kiểm chứng bất đẳng thức ∀ ∈ x [ ; ], ( ) a b f x1 ≤ f x2( ) bằng hình vẽ là được phép

Quy tắc RI2: Xác định các cận tích phân

Trong trường hợp giá trị của các cận tích phân không cho trước, HS phải tính chúng bằng phương pháp đại số bằng cách xem chúng là hoành độ giao điểm của các đường đang xét

Nghiên cứu chương trình lớp 12, chúng tôi nhận thấy đối tượng diện tích hình

phẳng xuất hiện ở chương III Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng Nội dung chương

này gồm có 3 chủ đề: Nguyên hàm; Tích phân và Ứng dụng hình học của tích phân Đối với chủ đề tích phân, mức độ cần đạt bao gồm:

+ Về kiến thức:

- Biết khái niệm diện tích hình thang cong

- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Newton-Leibniz

- Biết các tính chất của tích phân

+ Về kĩ năng:

- Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tích phân từng phần

Trang 14

- Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Đối với chủ đề Ứng dụng hình học của tích phân, mức độ cần đạt bao gồm:

+ Về kiến thức: Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân

+ Về kĩ năng: Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số vật thể tròn xoay nhờ tích phân

3 Phân tích sách giáo khoa

3 .1 Cấu trúc chương III Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng trong các sách

giáo khoa hiện hành

Sách Giải tích 12 Sách Giải tích 12 - Nâng cao

§6 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Ôn tập chương III

3 2 Diện tích hình thang cong trong các sách giáo khoa hiện hành

Ở cả hai SGK, diện tích hình thang cong xuất hiện trong bài “Tích phân”

3 2.1 Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12

SGK- C định nghĩa hình thang cong như sau: “Cho hàm số y = f x ( ) liên tục, không

đổi dấu trên đoạn [a;b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x ( ) , trục hoành

và hai đường thẳng x = x b a , = được gọi là hình thang cong (H 47a).” ([3], 102)

Trang 15

Sau khi định nghĩa hình thang cong, SGK-C xét bài toán tính diện tích hình phẳng

D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì SGK-C giải thích: “Bằng cách kẻ các đường

thẳng song song với các trục tọa độ, ta chia D thành những hình thang cong nhỏ (H

47b) Bài toán trên được đưa về tính diện tích của hình thang cong4

.” ([3], 102) Tiếp theo, SGK-C xây dựng công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong 2

y = x , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = , từ 1

đó suy ra công thức tính diện tích hình thang cong bất kì bằng công

cụ nguyên hàm: ( ) S b = F b ( ) − F a ( ) , trong đó ( ) F x là một nguyên

hàm của ( ) f x

Tới đây, SGK-C định nghĩa tích phân bằng công thức Newton-Leibniz.

Trong phần nhận xét b) Ý nghĩa hình học của tích phân, SGK-C đưa ra công thức

tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của ( ) f x (với ( ) f x liên tục và

không âm trên đoạn [a;b]), trục Ox và hai đường thẳng = x a x b (H 47a) bằng tích , =

4Nguyễn Thế Thạch (2008): “Một hình phẳng bất kì đều có thể chia thành một số hữu hạn hình thang cong Do

đó, diện tích của hình phẳng này bằng tổng diện tích các hình thang cong

Người ta chứng minh được rằng mọi hình phẳng bị chặn nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy có biên (chu vi) được

giới hạn bởi các đường cong thuộc các dạng sau:

Trang 16

SGK- NC cũng mở đầu bài “Tích phân” bằng cách đưa ra định nghĩa hình thang cong: “Cho h àm số y = f x ( ) liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn

[a;b ] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x ( ) , trục hoành

và hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong (phần

tô đậm trong hình 3.1)” ([5], 146)

Tiếp theo, SGK-NC đặt ra bài toán 1: chứng minh diện tích S

của hình thang cong được tính theo công thức S = F b ( ) − F a ( ) , trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên đoạn [a;b]

Sau khi chứng minh bài toán 1, SGK-NC định nghĩa khái niệm tích phân bằng công thức Newton-Leibniz Sau đó, SGK-NC phát biểu lại bài toán 1 thành định lí 1 Định lí

này tương ứng với nhận xét b) Ý nghĩa hình học của tích phân trong SGK-C

3.2.3 Nhận xét

Như vậy, cả hai SGK đều sử dụng bài toán tính diện tích hình thang cong để trình bày khái niệm tích phân Và ngược lại, cả hai SGK đều cung cấp công thức (*) cho phép sử dụng tích phân để tính diện tích hình thang cong bất kì

T heo chúng tôi, cả hai SGK đều trình bày phần này khá hợp lí, mối liên hệ giữa diện tích và tích phân được triển khai đúng theo trình tự trong lịch sử toán học

3 3 Diện tích hình phẳng trong các sách giáo khoa hiện hành

Diện tích hình phẳng được trình bày ở bài §3 “Ứng dụng của tích phân trong hình học” trong SGK-C Bài này trình bày hai ứng dụng hình học chủ yếu của tích phân: tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể tròn xoay Còn trong SGK-NC, diện tích hình phẳng xuất hiện ở bài §5 “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng”

3.3.1 Diện tích hình phẳng trong sách Giải tích 12

Trong bài “§3 Ứng dụng của tích phân trong hình học”, diện tích hình phẳng được SGK- C trình bày ở phần I - Tính diện tích hình phẳng Phần này, SGK-C không định nghĩa hình phẳng nói chung mà chỉ xét hai loại hình phẳng (tương ứng với hai đề mục):

Trang 17

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Theo SGV- C, “cách phân loại này chỉ dễ nhớ chứ chưa đầy đủ” ([4], 138) Hơn nữa, có thể coi hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành là trường hợp đặc biệt của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Đối với mỗi loại hình phẳng, SGK-C cũng không định nghĩa mà chỉ gọi tên để tiện xây dựng công thức tính diện tích SGK-C xây dựng công thức tính diện tích hai loại hình phẳng kể trên theo trình tự:

- N hắc lại công thức tính diện tích hình thang cong: b ( )d

a

S = ∫ f x x

- S uy ra công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

của hàm số ( ) f x liên tục, trục hoành và hai đường thẳng = x a x b , =

- Sử dụng công thức tính diện tích hình thang cong để suy ra công

thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

S = ∫ f x − f x x (4)

Trang 18

Tiếp đó, SGK-C đưa ra chú ý: “Khi áp dụng công thức (4), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Muốn vậy, ta giải phương trình f x1( ) − f x2( ) = 0

trên đoạn [a;b] Giả sử phương trình có hai nghiệm , ( c d c < d ) Khi đó, f x1( ) − f x2( )

không đổi dấu trên các đoạn [a;c], [c;d], [d;b] Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn

([7], 140)

3.3.2 Diện tích hình phẳng trong các sách Giải tích 12 - Nâng cao

SGK- NC cũng không đưa ra định nghĩa hình phẳng nói chung Mặc dù không phân loại hình phẳng, SGK-NC giới thiệu công thức tính diện tích của hai loại hình phẳng:

- Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x ( ) liên tục trên đoạn [a;b], trục

hoành và hai đường thẳng = x a x b , =

- Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f x ( ) , y = g x ( ) liên tục trên

đoạn [a;b] và hai đường thẳng = x a x b , = 5

Trang 19

hạn bởi đồ thị hàm số y = f x ( ) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng

= , =

a

S = ∫ f x dx (1) Tiếp theo, SGK-NC cung cấp thẳng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f x ( ) , y = g x ( ) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường

( ) ( )d

= ∫d −

c

S g y h y y (3)” ([5], 167)

Chú ý này được xem như yếu tố công nghệ để giải thích cho một kĩ thuật khác để

tính diện tích hình phẳng (mà chúng tôi tạm gọi là kĩ thuật “tính theo biến y”) Kĩ thuật

này rất thích hợp để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

3.3.3 Nhận xét

Cả hai SGK đều không đưa ra định nghĩa hình phẳng cũng như quy tắc xác định hình phẳng nói chung mà chỉ tập trung xây dựng công thức tính diện tích của hai loại hình phẳng: hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành; hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị của hai hàm số Với lượng lí thuyết ít ỏi như vậy, chúng tôi tự hỏi: Liệu có phải cả hai SGK đều thiên về thực hành sử dụng tích phân để giải quyết các bài toán diện tích hình phẳng hay không?

Chú ý trang 115-116 SGK- C được xem như một yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” SGK-NC không có nội dung này Trong khi đó, SGV-NC viết: “Để khử dấu giá trị tuyệt đối, ta giải phương trình ( ) ( ) 0

f x − g x = trên [a;b ] Giả sử phương trình có các nghiệm x x , , … , x với

Trang 20

0 1 2 +1 .

= ≤ < < … < n ≤ n =

a x x x x x b Khi đó ( ) f x − g x không ( ) đổi dấu trên mỗi đoạn

[ xn; xn+1] Trên mỗi đoạn, ta có 1 ( ) ( )d 1[ ( ) ( )]d

i x

Ngược lại, chú ý trang 167 SGK-NC được xem như một yếu tố công nghệ giải thích

cho kĩ thuật “tính theo biến y” SGK-C không có nội dung này nhưng SGV-C có viết:

“Do vai trò của các trục tọa độ như nhau, nên có thể biểu diễn phương trình các đường

giới hạn hình phẳng bởi các hàm số của biến y và công thức tích phân để tính diện tích tương ứng cũng theo biến y” ([4], 140) Nguyễn Thế Thạch (2008) cũng chú ý: “Khi tính diện tích hình phẳng, ta có thể đổi vai trò của x cho y, trong một số trường hợp sẽ

giảm bớt số tích phân phải tính (tránh được chia miền diện tích)” ([7], 50)

Việc các yếu tố công nghệ chỉ được giới thiệu trong các SGV khiến chúng tôi tự

hỏi: Liệu GV có giảng dạy nó cho HS?

3.3.4 Diện tích hình phẳng trong các bài đọc thêm

Ngay sau bài “§3 Ứng dụng của tích phân trong hình học”, SGK-C có bài đọc thêm

“Tính diện tích bằng giới hạn” Ngay từ tựa đề, ta có thể thấy một trong những mục đích của bài đọc thêm này là cung cấp cho học sinh một kĩ thuật khác nữa để tính diện tích hình thang cong:

Trang 21

Ngay sau đó, SGK-C trình bày các ví dụ 1 và ví dụ 2 nhằm minh họa cho cách sử dụng kĩ thuật “dùng giới hạn” này

SGK-NC giới thiệu bài đọc thêm “Tính gần đúng tích phân và khái niệm tổng tích phân” để cung cấp kiến thức chứ không đưa ra một kiểu nhiệm vụ cụ thể nào

4 Các tổ chức toán học gắn liền với diện tích hình phẳng

Trong phần này, chúng tôi phân tích các ví dụ và bài tập được đưa vào các SGK và SBT Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ ra sự hiện diện của các tổ chức toán học gắn liền với diện tích hình phẳng

6 SGK-C gọi là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Chúng tôi đặt tên T1như vậy để phân biệt với T7: Tính

di ện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong trong SGK-NC

7 Chúng tôi gộp kiểu nhiệm vụ T0: Tính di ện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x= ( ), tr ục hoành và hai đường thẳng x=a x, = vào Tb 1 vì hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành là một trường

hợp đặc biệt của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Hơn nữa, ngoài ví dụ này, SGK-C không còn nhiệm vụ nào thuộc T nữa

Trang 22

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là

0 2

- Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S

Có 3 kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ con “Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S”:

Trang 23

+ +

+

 − > ∀ ∈ + 

+ Giải phương trình f x1( ) − f x2( ) 0 = trên đoạn [a; b] để tìm các nghiệm x i

+ Giải phương trình f x1( ) − f x2( ) 0 = trên đoạn [a; b] để tìm hoành độ x i

( i = 1 n ) của các giao điểm của hai đồ thị

+

 + 

Trang 24

Hướng dẫn

Tính

2 1

π π

−

= + (SGV-C/141)

S

S . Yếu tố công nghệ θ2: Công thức (4) SGK-C trang 115-116, các định lí về phép biến đổi tương đương và các công thức tính diện tích của hình học tổng hợp

4.1.3 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3: Tính di ện tích đa giác

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x + = y 1, x + = − y 1, 1,

- Sử dụng kĩ thuật τ1 để tính diện tích của các hình đó

Yếu tố công nghệ θ3: Công thức (4) SGK-C trang 115-116, các định lí về phép biến đổi tương đương, các tính chất và các công thức tính diện tích của hình học tổng hợp

4 1.4 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T4: So sánh diện tích của hai hình phẳng

Ví dụ Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau, cặp nào có diện

tích bằng nhau?

Trang 25

a) { y = + x sin , x y = x với 0 x ≤ ≤ } và { π y = + x sin , x y = x với π ≤ ≤ x 2 π } b) { y = sin , 0 x y = với 0 x ≤ ≤ } và { π y = cos , 0 x y = với 0 x ≤ ≤ } π

x = Ta chia đoạn [0;1] thành n phần bằng nhau tạo thành một

hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình 72)

a) Tính diện tích S n của hình bậc thang (tổng diện tích của n

Trang 26

Yếu tố công nghệ θ5: Công thức (3) SGK-C trang 124

Chúng tôi thống kê số lượng nhiệm vụ ứng với 5 kiểu nhiệm vụ kể trên trong bảng sau:

Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ SGK-C SGK-C Bài tập Ví dụ + Bài tập SBT-C Tổng

a) Dựa vào bảng thống kê, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T1 chiếm ưu thế với

số lượng 17/27 nhiệm vụ (chiếm khoảng 62,96%) Nguyên nhân là do T1 là kiểu nhiệm

vụ cơ bản, T1 là một phần kĩ thuật của các kiểu nhiệm tính diện tích đa giác (T2), tìm tỉ

số diện tích (T3) và so sánh diện tích (T4)

C ác kiểu nhiệm vụ T2, T3, T4 xuất hiện ít ỏi, rời rạc và gần như không có mục đích trong SGK-C và SBT- C, theo chúng tôi, rất dễ bị bỏ qua trong quá trình giảng dạy Kiểu nhiệm vụ T5, bắt nguồn từ bài đọc thêm, càng khó hiện diện trong thực tế dạy

học Chúng tôi tự hỏi: Liệu GV-C có dạy các kiểu nhiệm vụ này cho HS?

Trang 27

b) Với việc trình bày Chú ý trang 115-116, chúng tôi nhận định: SGK-C ưu tiên kĩ thuật τ1β -“ đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” Khảo sát các hàm số được cho tro ng các ví dụ và bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1, chúng tôi cũng nhận thấy: Trừ hai hàm số trong bài tập 1b SGK-C trang 121 và ví dụ 2 SBT-C trang 156, tất cả các hàm

số còn lại đều là hàm sơ cấp đơn giản liên tục trên một tập xác định liên thông nên liên

tục trên đoạn [a;b] bất kì Theo chúng tôi, với điều kiện ràng buộc này, kĩ thuật τ1β là

tối ưu Do đó, chúng tôi dự đoán: Trong thực tế dạy học, GV-C ưu tiên kĩ thuật τ1β c) Xét bài tập 1b SGK-C trang 121: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x y , 1 = ”, hướng dẫn của SGV-C như sau:

Trang 28

vụ trên đều có thể sử dụng kĩ thuật τ1β một cách dễ dàng Từ đây, chúng tôi tự hỏi:

Liệu GV-C có sử dụng kĩ thuật τ1γ để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1 hay không?

4 2 Các tổ chức toán học trong SGK-NC và SBT-NC

4 2.1 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

Ví dụ 1 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của

hàm số y x = 3− 1, đường thẳng x = trục tung và trục hoành 2,

Giải (h.3.6) Đặt f x ( ) = x3− 1.

Ta thấy ( ) 0 f x ≤ trên đoạn [0; 1] và ( ) 0 f x ≥ trên đoạn [1; 2]

Theo công thức (1), diện tích S của hình đang xét là

Trang 29

Ví dụ 2 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol

2

y = − x và đường thẳng y = − x

Giải (h.3.8)

Trước hết, ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai

hàm số đã cho bằng cách giải phương trình: 2

Có 2 kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ con “Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S”:

Trang 30

Giải (h.3.9)

Ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số y = x và y = − bằng x 2 cách giải phương trình x = − x 2 Kết quả được x = 4.

Diện tích S của hình phẳng H bằng diện tích tam giác cong

OCA trừ đi diện tích hình tam giác ABC

Diện tích tam giác cong OCA là 4 32 4

0 0

Ngoài ra, ở trang 167, SGK-NC còn giới thiệu một lời giải khác:

Coi H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2

x = y , đường thẳng 2,

Như vậy, có 2 kĩ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ T6:

- Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị của ba hàm số

- Vẽ đồ thị của ba hàm số trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy

- Chia hình phẳng S thành nhiều hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

Trang 31

- Chuyển đổi các hàm số về dạng x = g y ( ) và x = h y ( )

- Giải phương trình tung độ giao điểm ( ) g y − h y ( ) = 0

- Áp dụng công thức (3): ( ) ( )d

d c

S = ∫ g y − h y y

Tuy nhiên, để sử dụng kĩ thuật τ6y thì T6 phải thỏa mãn điều kiện: có ít nhất một trong ba hàm số được cho phải là y = a ( a ∈ R ) , các hàm số còn lại phải biến đổi được về dạng x = g y ( ).

Yếu tố công nghệ θ6y: công thức (3) SGK-NC trang 167 và các định lí về phép biển đổi tương đương

4 2.3 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3

Trang 32

Như vậy, có 2 kĩ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ T7:

- Biển đổi x = f x ( ), ( ) x = g x về dạng y = f x1( ), ( ) y = f x 2 để đưa T7 về T1

- Sử dụng kĩ thuật τ1 để giải quyết

Tuy nhiên, để sử dụng kĩ thuật τ71 thì T7 phải thỏa điều kiện: cả hai phương trình đường cong phải chuyển được về dạng hàm số y = f x ( ).

Yếu tố công nghệ θ7x: công thức (2) SGK-NC trang 165 và các định lí về phép biến đổi tương đương

- Giải phương trình tung độ giao điểm ( ) g y − h y ( ) = 0

- Áp dụng công thức (3): ( ) ( )d

d c

S = ∫ g y − h y y

Yếu tố công nghệ θ7y: công thức (3) SGK-NC trang 167 và các định lí về phép biến đổi tương đương

4 2.4 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T8: Tìm giá trị của tham số để diện tích hình phẳng bằng S > 0 cho trước

Ví dụ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2

Trang 33

- Sử dụng kĩ thuật τ1 để tính diện tích ( ) S k của hình phẳng

- Giải phương trình ( ) S k = S , suy ra giá trị k cần tìm

Yếu tố công nghệ θ8: công thức (2) SGK-C trang 166 và các định lí về phép biến đổi tương đương

Chú ng tôi thống kê số lượng nhiệm vụ ứng với 4 kiểu nhiệm vụ kể trên trong bảng dưới đây:

Kiểu nhiệm vụ thuật Kĩ Hoạt động Ví dụ - SGK-C Bài tập Bài tập SBT-C Tổng

T1: Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị của hai hàm số 1α

3591γ

số để diện tích hình phẳng bằng S > 0 cho trước, lạc lõng với một nhiệm vụ duy nhất,

dễ dàng bị bỏ qua trong thực tế dạy học Đối với các kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình

9 Bài tập 28c SGK-NC/167 trùng với bài tập 3.44d SBT-NC/148

10 Ví dụ 4 SGK-NC/166 được giải quyết theo cả hai kĩ thuật τ6x và τ6y

11

Bài tập 35c SGK-NC/175 trùng với bài tập 50d SBT-NC/149

Trang 34

phẳng, T1 chiếm ưu thế với 35/50 nhiệm vụ, lí do: T1 là kiểu nhiệm vụ cơ bản, là một phần kĩ thuật của các kiểu nhiệm vụ T6, T7 và T8

SGK- NC sử dụng τ1γđể giải quyết khá nhiều bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1

(16/35 , chiếm 45,7%) SGV-NC cũng có viết: “Khi giải các bài toán tính diện tích và thể tích nếu không yêu cầu thì học sinh không nhất thiết phải vẽ hình, nhưng giáo viên nên khuyến khích học sinh vẽ hình nếu có thể” ([6], 205) Theo chúng tôi, việc vẽ hình giúp HS xác định chính xác hình phẳng là một thao tác cần thiết Tuy nhiên, vấn đề đặt

ra là: Đâu là ranh giới giữa việc có thể và không thể vẽ hình?

b) Trong 8/50 nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T6 (không kể ví dụ 4 SGK-NC trang 166), có tới 5/8 nhiệm vụ được giải quyết bằng kĩ thuật τ6x, với sự hỗ trợ đắc lực của

đồ thị Ngoài ra, tất cả các hàm số được cho trong các nhiệm vụ này đều có đồ thị là đường thẳng hoặc parabol Với điều kiện ràng buộc này, việc vẽ đồ thị hàm số trở nên khá dễ dàng Chúng tôi dự đoán: GV-NC ưu tiên sử dụng kĩ thuật τ6xđể giải quyết T6

Mặt khác, có 2/8 nhiệm vụ thuộc T6 được giải quyết bằng kĩ thuật τ6y H ai hàm số được cho trong hai nhiệm vụ này: y 1 12

x

( 1)

y x

=

− vừa gián đoạn tại x vừa 0

không quen thuộc, khiến cho việc vẽ đồ thị và kĩ thuật τ6xtrở nên “đắt giá” Tuy nhiên, việc sử dụng kĩ thuật τ6y cũng không đơn giản: Hàm số theo biến x sau khi chuyển đổi biến thành hai hàm số theo biến y, việc lấy hai hàm này trừ nhau là chưa có tiền lệ Chúng tôi tự hỏi: Liệu GV-NC có dạy những nhiệm vụ này cho HS hay không?

c ) Như đã chú thích ở trên, SGK-NC phân biệt rõ “hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số” và “hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong” Cụ thể, khi phát biểu

“hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong”, SGK-NC luôn thể hiện phương trình đường cong dưới dạng x = g y ( ) và x = h y ( ) Ví dụ như bài tập 35b trang 175: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3

, 1

x = y y = và x = 8 Thực tế, đường cong 3

x = y

Trang 35

có thể biến đổi thành hàm số 3

.

y = x Theo chúng tôi, SGK- NC phát biểu như vậy với

mục đích ngầm ẩn gợi ý học sinh sử dụng kĩ thuật “tính theo biến y” Việc trình bày

Chú ý SGK- NC trang 167 cũng góp phần củng cố nhận định của chúng tôi Tuy nhiên, đối với kiểu nhiệm vụ T7, gợi ý giải bài tập trong SGV-NC và SBT-NC luôn đi theo hướng: cố gắng biến đổi các phương trình đường cong về dạng hàm số y = f x ( ) để chuyển T7 về dạng T1 rồi mới giải quyết Chỉ khi nào sự chuyển đổi này quá phức tạp, SGV-NC và SBT- NC mới sử dụng kĩ thuật τ7y

Chẳng hạn, bài tập 51b SGK-NC trang 176: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong có phương trình 2

kĩ thuật τ1γ-“d ùng đồ thị” để giải quyết Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là: Liệu HS có thể vẽ được các đường cong như hình 3.15?

T rong khi đó, theo quan sát của chúng tôi, cả 6/6 nhiệm vụ thuộc T7 có thể giải

bằng cả hai kĩ thuật: “tính theo biến x” và “tính theo biến y” Từ đây, chúng tôi đưa ra

dự đoán: Đối với kiểu nhiệm vụ T7, GV-NC ưu tiên kĩ thuật “tính theo biến y”

5 Kết luận chương I

- Về việc triển khai diện tích hình phẳng trong các sách giáo khoa hiện hành

Tính diện tích hình phẳng là một trong những bài toán xuất phát của khái niệm tích phân Ngược lại, từ khi ra đời, tích phân trở thành công cụ hữu hiệu để tính diện tích của một hình phẳng bất kì Các SGK hiện hành đều tuân theo tiến trình của lịch sử toán

Trang 36

học khi sử dụng bài toán diện tích để xây dựng khái niệm tích phân, sau đó ứng dụng

tích phân để tính diện tích hình phẳng

Các SGK hiện hành không đưa ra định nghĩa hình phẳng hay bất kì qui tắc nào để xác định một hình phẳng Mặt khác, cả hai SGK đều cung cấp công thức tính diện tích

của hai loại hình phẳng Theo đó:

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn

[a;b], trục hoành và hai đường thẳng x a x b = , = là: b ( )d

a

S = ∫ f x x

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y f x y g x = ( ), = ( ) liên

tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x a x b = , = là: b ( ) ( )d

a

S = ∫ f x − g x x

Tích phân thể hiện rõ vai trò công cụ trong hai công thức này

- Về các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng diện tích hình phẳng

Ở cả hai SGK hiện hành, T1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số là kiểu nhiệm vụ cơ bản Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, ngoài hai kĩ thuật

1α

τ -“x ét dấu” và τ1γ - “dùng đồ thị”, SGK-C còn cung cấp thêm một kĩ thuật τ1β- “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” Chú ý SGK-C trang 115-116 được xem như một yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật này Chúng tôi thống kê các kiểu hàm số được cho trong kiểu nhiệm vụ T1 và kĩ thuật được sử dụng ở cả hai SGK như sau:

Kiểu hàm số Số lượng SGK-C Kĩ thuật Số lượng Kĩ thuật SGK-NC

1 Cả hai hàm số được cho đều liên tục

trên một tập xác định liên thông 15 τ τ τ1α, ,1β 1γ 28 τ τ1α, 1γ

2 Một trong hai hàm số được cho

gián đoạn tại một điểm x0 với x0∉ [ ; ] a b 0 0 6 τ τ1α, 1γ

Trang 37

Với điều kiện ràng buộc là cả hai hàm số được cho trong T1 đều liên tục trên một tập xác định liên thông, SGK- C ưu tiên kĩ thuật τ1β- “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” Trong khi đó, SGK-NC ưu tiên kĩ thuật τ1α- “xét dấu” Tuy nhiên, cả hai SGK đều cân nhắc sử dụng kĩ thuật τ1γ- “dùng đồ thị” trong một số nhiệm vụ nhất định Ngoài T1, SGK- C còn có các kiểu nhiệm vụ: Tìm tỉ lệ diện tích (T2), So sánh hai diện tích (T4), Tính diện tích đa giác (T3) Mặc dù đây là những kiểu nhiệm vụ quen thuộc gắn liền đối tượng diện tích, nhưng chúng lại hiện diện rất đơn lẻ, rời rạc, thiếu mục đích trong SGK-C Kiểu nhiệm vụ T5: Tính diện tích bằng giới hạn, với mục đích

giúp tiếp cận khái niệm hiện đại của tích phân thông qua việc tính giới hạn của tổng tích phân, được giới thiệu trong bài đọc thêm Với cách trình bày như trên, các kiểu nhiệm vụ từ T2 đến T5 khó xuất hiện trong thực tế dạy học

Ngoài T1, SGK- NC còn có các kiểu nhiệm vụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số (T6), Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

(T7), Tìm giá trị của tham số để diện tích hình phẳng bằng S > cho trước (T 0 8), trong

đó kiểu nhiệm vụ T8, hiện diện lạc lõng với một nhiệm vụ duy nhất, khó xuất hiện trong thực tế dạy học

Đối với hai kiểu nhiệm vụ T6 và T7, ngoài kĩ thuật “tính theo biến x”, SGK-NC còn giới thiệu thêm kĩ thuật “tính theo biến y” Chú ý SGK-NC trang 167 được xem như

một yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật này SGV-NC và SBT-NC ưu tiên kĩ thuật

“tính theo biến x” (với sự hỗ trợ đắc lực của đồ thị) hơn kĩ thuật “tính theo biến y” Tuy

nhiên, trong một số nhiệm vụ, việc vẽ đồ thị là rất phức tạp, khiến chúng tôi nghi ngờ

tính hiệu quả của kĩ thuật “tính theo biến x” Do đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên

cứu: Trong thực tế dạy học, GV có sử dụng đồ thị để giải quyết các kiểu nhiệm vụ

tính diện tích hình phẳng hay không?

Trang 38

CHƯƠNG II NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Ở chương I, chúng tôi đã phân tích các tổ chức toán học liên quan đến diện tích hình

phẳng trong các SGK hiện hành Đây là các tổ chức toán học cần dạy (theo mong đợi

của chương trình và SGK) Sang chương II, chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực hành

của GV, trong đó, chúng tôi đặc biệt lưu tâm đến các tổ chức toán học được dạy trong

thực tế, nhằm tìm kiếm câu hỏi lời cho câu hỏi: “Trong thực tế dạy học, GV thiết lập các tổ chức didactic nào để tiến hành giảng dạy các tổ chức toán học liên quan đến diện tích hình phẳng? Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học được dạy với tổ chức toán học cần dạy?” và bước đầu trả lời các câu hỏi nghiên cứu được đặt ra ở chương I

Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi tiến hành quan sát lớp học Cụ thể, chúng tôi đã

dự giờ các tiết học ứng dụng tích phân để diện tích tích phẳng ở 2 lớp: một lớp học chương trình chuẩn và một lớp học chương trình nâng cao Dựa vào các kết quả ghi nhận từ việc quan sát lớp học, chúng tôi tiến hành phân tích các tổ chức didactic và so sánh, đánh giá tổ chức toán học được dạy

1 Thực tế dạy học diện tích hình phẳng của giáo viên dạy chương trình chuẩn

Như đã trình bày ở chương I, đối tượng diện tích hình phẳng xuất hiện ở chương III Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong SGK-C Theo phân phối chương trình, thời lượng dành cho chương III là 16 tiết, dự kiến như sau:

§1 Nguyên hàm (4 tiết)

§2 Tích phân (6 tiết)

§3 Ứng dụng của tích phân trong hình học (4 tiết)

Ôn tập chương III (2 tiết)

Để phục vụ mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi đã tiến hành dự giờ 2 tiết Ứng dụng của tích phân trong hình học liên quan đến diện tích hình phẳng ở lớp 12A18 trường THPT

Trang 39

Hùng Vương (Q.5, TP.HCM) Lớp 12A18 là một lớp trung bình - khá do thầy V đảm trách 2 tiết dự giờ của chúng tôi diễn ra vào sáng thứ hai ngày 20/02/2012 (tiết lí thuyết) và sáng thứ tư ngày 22/02/2012 (tiết bài tập)

1.1 Phân tích các tổ chức didactic

Tiết 1 - Tiết lí thuyết

Mở đầu tiết học, GV giới thiệu nội dung bài mới:

1 GV: Rồi, chúng ta có bài số 3 nè mấy em!

Đầu tiên, GV giới thiệu các ứng dụng của tích phân trong hình học

3 GV: Ứng dụng của tích phân thì các em có ứng dụng trong toán học và trong vật lý Trong toán học thì ta ứng dụng vào hai bài toán lớn Đó là gì em? Tính diện tích hình phẳng và tính thể tích của vật thể tròn xoay, được chưa?

4 GV: Cho nên, phần thứ nhất, thầy nói tới diện tích hình phẳng

6 GV: Phần diện tích hình phẳng này thầy lại chia thành hai phần Thứ nhất là diện tích của một hình hình học giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Phần thứ hai người ta sẽ nói đến diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, được chưa? Rồi

Chúng tôi nhận thấy đây chính là thời điểm gặp gỡ đầu tiên với tổ chức toán học

0 1 1

[ , , , ] T τ θ Θ dưới hình thức thông báo Ngay sau đó, GV chuyển sang thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lí thuyết Theo ghi nhận của chúng tôi, quá trình này chiếm một lượng thời gian khá lớn trong tiết học này, gồm 3 bước sau:

Bước 1, GV nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong đã học:

Gọi H là hình thang cong giới hạn bởi (C), Ox, x = a x , = b

9 […] GV: SH bằng tích phân từ a đến b của f x x( )d Thầy gọi là công thức (1), được chưa?

10 GV ghi lên bảng: Khi đó, H = ∫b ( )d

a

Trang 40

Bước 2, GV tiếp tục xây dựng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành trong trường hợp ( ) 0 [ ; ] f x ≤ ∀ ∈ x a b

11 GV: Nếu ( ) 0 f x ≤ thì sao mấy em? Thì tui biết chắc chắn một điều, chắc chắn một điều, đồ thị sẽ phải nằm ở phía dưới trục hoành, đúng chưa?

12 GV: Đây là hình H nè! Hình dung được chưa? Và khi đó, nếu chúng ta muốn sử dụng công

thức (1) thì lúc bấy giờ thầy xin gợi ý như sau:

13 GV vừa đọc vừa ghi lên bảng: • Nếu ( ) 0 [a;b] f x ≤ ∀ ∈ x ⇒ − f x ( ) ≥ ∀ ∈ 0 [a;b] x

14 GV: Và lúc bấy giờ, chúng ta gọi (C’) là đồ thị của hàm số y = − f x ( ) thì sao mấy em? Chắc

chắn (C) và (C’) sẽ sao? Đối xứng với nhau qua trục Ox, đúng không nào? Lúc bấy giờ, đồ thị

( C’) của chúng ta như thế này

15 GV vẽ đồ thị lên bảng:

16 GV: Và như vậy nếu thầy gọi H’ là hình thang cong giới hạn bởi (C’), trục hoành, = x a ,

=

phép dời hình biến H thành H’ thì hai đường này sao đây? Có diện tích bằng nhau hông?

17 HS: H’

18 […] GV: Và do đó, ta được phép sử dụng công thức (1) nè! Bây giờ thì − f x ( ) đã nằm trên

trục hoành rồi, chúng ta có gì mấy em? Tích phân từ a đến b của − f x dx ( ) Thầy gọi đây là công thức (2)

Định dạng
Số trang	144
Dung lượng	1,67 MB