không gian Hilbert

Không gian tuyến tính Tập hợp L khác φ đợc gọi là không gian tuyến tính trên trờng số K, nếu trên đó có xác định một phép toán cộng cộng hai phần tử của L với nhau và phép nhân phần tử c

Chơng IKhông gian Hilbert i1 Không gian tuyến tính

Để chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm và nghiên cứu không gian Hilbert, trớc hết tanhắn lại các khái niệm cơ bản về không gian tuyến tính (hay không gian vectơ) Các khái niệmnày đã đợc đề cập trong các giáo trình đại số tuyến tính Tuy nhiên ở đó ta chủ yếu xét cáckhông gian hữu hạn chiều, còn ở đây thì ngợc lại, mối quan tâm của ta dành chủ yếu cho cáckhông gian vô hạn chiều

1 Không gian tuyến tính

Tập hợp L (khác φ) đợc gọi là không gian tuyến tính trên trờng số K, nếu trên đó có xác

định một phép toán cộng (cộng hai phần tử của L với nhau) và phép nhân phần tử của L với một

số thuộc tính K thoả mãn các điều kiện sau:

1 Với mọi a, b ∈ L đều có: a + b = b + a;

2 Với mọi a, b, c ∈ L đều có: (a + b) + c = a + (b + c)

3 Trong L tồn tại (duy nhất) một phần tử O (gọi là phần tử không) sao cho:

a + 0 = a với mọi a ∈ L;

4 Với mỗi a ∈ L đều có một phần tử –a ∈ L (gọi là đối của a) sao cho: a + (- a) = 0;

5 Với mọi ∝, β∈ K, a ∈ L đều có: ∝ (βa) = (∝β)a;

6 Với mọi ∝, β∈ K và a ∈ L đều có: (∝ + β)a = ∝a + βa)

7 Với mọi ∝∈ K, a, b ∈ L đều có: ∝(a+b) = ∝a + ∝b

8 1a = a với mọi a ∈ L

Chú ý: 1 Trờng K đợc hiểu là trờng số thực K hoặc trờng số phức C Trong trờng hợp đầu,

ta có không gian tuyến tính thức; trong trờng hợp sau - không gian tuyến tính phức tạp Sau này

ta sẽ chỉ nói đơn giản: L là không gian tuyến tính Trong trờng hợp cần thiết sẽ nói rõ đó làkhông gian thực hay phức

2 Ta sẽ không phân biệt cách viết phần tử không của L với 0 ∈ R

3 Bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa tổng của n phần tử, với n nguyên dơng tuỳ ý

Bài tập: Chứng minh rằng mọi không gian tuyến tính (trừ không gian tầm thờng chỉ gồm

đúng một phần tử) đều có lực lợng không dới contimum (tức là có số phần tử không ít hơn tậphợp R)

2 Sự phụ thuộc tuyến tính

Trớc hết, ta nên ra khái niệm hệ phần tử của một không gian tuyến tính L Giả sử I là mộttập hợp tuỳ ý (hữu hạn, đếm đợc hoặc không đếm đợc) và với mỗi ∝∈ I ta có tơng ứng một (vàchỉ một) phần tử X∝ ∈ L Về nguyên tắc có thể xảy ra đẳng thức X∝= X∝ khi ∝ ≠∝ Nhng vềhình thức, ta sẽ phân biệt X∝ với X∝’ nếu ∝≠∝’ Khi đó, tập hợp A các ký hiệu X∝ với ∝∈ I sẽ

đợc gọi là hệ phần tử của L Nói chung, không thể coi A là tập hợp của L

Hệ phần tử A của L đợc gọi là phụ thuộc (tuyến tính), nếu tồn tại a…, an∈ A và ∝1 …, ∝n≠

Nếu a1… an∈ L thì với mỗi bộ số ∝1 …, ∝n, biểu thức ∑

=

n k

Dễ thấy các mệnh đề đơn giản sau đây là đúng

a Hệ hữu hạn là độc lập khi và chỉ khi không có tổ hợp nào khác của các phần tử là bằng 0,ngoài tổ hợp tầm thờng

b Nếu trong hệ số phần tử bằng 0 hoặc hai phần tử giống nhau thì hệ là phụ thuộc

c Nếu hệ A chứa hệ B mà B phụ thuộc thì A phụ thuộc

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề sau

d Hệ A là phụ thuộc khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử a của A biểu thị tuyến tính quamột số hữu hạn các phần tử

khác a, tức là biểu thị dới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử đó

Thật vậy, giả sử A là phụ thuộc khi đó tồn tại a1… an ∈ A và ∝1 …, ∝n sao cho

0 0

1 1

k k n

a

αα tức là ak0 biểu thị thuyết tính qua các phân tử ak (k = 1, ,n; k ≠ k0).Ngợc lại, giả sử trong A có các phần tử a, a1… an sao cho

2 Mỗi phần tử của L đều là tổ hợp tuyến tính của một số (hữu hạn) các phần tử thuộc A.

Từ đại số tuyến tính, ta biết rằng nếu không gian tuyến tính L có một cơ sở với n phần tử(hay n vectơ) thì mỗi cơ sở khác cũng phải có đúng n phần tử Trong trờng hợp này ta nói L làkhông gian n chiều Nh vậy, nếu L có một cơ sở vô hạn thì mọi cơ sở khác đều là vô hạn, vàtrong trờng hợp đó ta nói L là vô hạn chiều

Bài tập: 1 Chứng minh rằng với mọi trờng hợp M(≠ ứ) đều tồn tại một không gian tuyếntính L sao cho cơ sở của nó tơng đơng với M (tức là có cùng lực lợng)

2 Chứng minh rằng hai cơ sở của cùng một không gian luôn cùng lực lợng

Ví dụ đơn giản nhất là không vô hạn chiều là không gian R∞ gồm mọi dãy số thực vô hạn,với phép cộng và phép nhân dãy với một số xác định nh sau:

(a1, a2…) + (b1, b2…, a2 + b2…) ∝(a1, a2,…) = (∝a1, ∝a2,…)

4 Không gian con

Tập nghiệm M (không rỗng) của L đợc gọi là không gian con, nếu với mọi a, b ∈ M và ∝

∈ K đều có a + b ∈ M và ∝a ∈ M Điều này tơng đơng với việc mọi tổ hợp tuyến tính của một

số hữu hạn các phần tử trong M cũng thuộc M Đơng nhiên, chính không gian con của L cũng

là không gian tuyến tính (với các phép toán là sự thu hẹp tơng ứng từ L lên M) Trong số cáckhông gian con luôn có tập hợp [c] và toàn bộ L, (các không gian con tầm thờng)

Với A là bộ phận khác φcủa L, tập hợp L(A) mọi tổ hợp tuyến tính của những hệ con hữuhạn của A gọi là bao tuyến tính của A Đây chính là không gian con hẹp nhất chứa A và là giaocủa mọi không gian con chứa A Nếu A là hệ độc lập thì nó chính là cơ sở của L(A)

Bài tập: 1 Chứng minh rằng giao (khác φ) của (một số tuỳ ý) các không gian con của L

cũng là không gian con

2 Đối với A B ⊂ L, ký hiệu A + B = [x + y x ∈ A, y ∈ B) Chứng minh ràng nếu A và B

là không gian con thì A + B là không gian con

5 Không gian thơng

Cho A là không gian của L Trong L xét quan hệ hai ngôi S nh sau: aSb khi và chỉ khi a-b

∈ A Dễ thấy S là quan hệ tơng đơng

Hiệu A-b có thể định nghĩa nh là tổng của a với phần tử đối của b, tức là -b ≡ (-1)b)

Dễ thấy lớp tơng đơng chứa phần tử a chính là tập hợp a + A = [a+x x ∈ A] Nh vậy, a + A

= b + A Lớp tơng đơng chứa 0 chính là không gian con A (A= 0 + A = a + A với mọi a ∈ A).Các lớp tơng đơng khác đơng nhiên không phải là không gian con (vì sao?)

B, C ∈ L/S khi đó, tập hợp B + C = {x + y x ∈ B, y ∈ C} cũng là một lớp tơng đơng Thậtvậy, lấy a, a’ ∈ B + C khi đó a = x + y và a’ = x’ + y’ với x, x’ ∈ B và y, y’ ∈ C Do đó a – a’

= (x – x’) + (y – y’) là tổng của hai phần tử thuộc A nên a – a’ ∈ A hay a S a’ Mặt khác,lấy a ∈ B + C và a’ ∈ L sao choi a – a’ ∈ A, ta còn phải chứng tỏ rằng a’ ∈ B + C Thật vậy,

ta có a = x + y với x ∈ B, y ∈ C Lấy x’ tuỳ ý từ B và đặt y’ = a’ – x’ Khi đó a’ = x’ + y’;ngoài ra y – y’ = (a – x) – (a’ – x’) = (a – a’) + (x’ – x) là tổng của hai phần tử thuộc Anên cũng thuộc A Vậy y’ ∈ C, nghĩa là a’ ∈ B + C Vậy B + C là lớp tơng đơng Dễ thấy B + C

= (b+c) + A với b và c lấy tuỳ ý tơng ứng từ B và C

Tơng tự, nếu ∝B = {α b  b ∈ B} cũng là lớp tơng đơng và α B = (α b) + A

Nh vậy, trên L/S có thể nói đến phép cộng và phép nhân với một số có thể chứng minh rằngcác phép toán đó thoả mãn 8 điều kiện của định nghĩa không gian tuyến tính Không gian L/Sxác định theo cách đó gọi là không gian thơng của L theo không gian con A và thờng ký hiệualf L/A

Bài tập: 1 chứng minh rằng nếu L là không gian n chiều và A là không gian k chiều thìL/A là n-k chiều

i2 ánh xạ tuyến tính

Liên qụan mật thiếu với các không gian tuyến tính là các ánh xạ tuyến tính – hay, nh phầnsau ta sẽ gọi, là các toán tử tuyến tính Cách gọi thứ hai thờng đợc dùng khi nghiên cứu các tínhchất giải tích của không gian và các ánh xạ

1 ảnh (qua ánh xạ tuyến tính) của 0 là 0

2 ảnh của –x qua ánh xạ tuyến tính ƒ là -ƒ(x)

3 ánh xạ tuyến tính biến hệ phụ thuộc (tuyến tính) thành hệ phụ thuộc

)

(

1 1

k

k

k f a hay f β a

Do f(0) = 0 và f là đơn ánh nên ∑

=

=

n k k

k b

1

0

β Từ tính độc lập của A suy ra β1 = β2… βn = 0,nên B độc lập

5 ánh xạ tuyến tính f là đơn ánh khi và chỉ khi tập hợp

f1{0}≡{x ∈ L  f(x) = 0} chỉ chứa đúng một phần tử 0

Tập hợp này đợc gọi là nhân của ánh xạ tuyến tính f và ký hiệu là Kerf.

6 Đối với ánh xạ tuyến tính từ không gian n chiều vào một không gian n chiều thì có tínhchất đơn ánh, toàn ánh và song ánh là trùng nhau.+

Bài tập: Chứng tỏ rằng nếu L là vô hạn chiều thì đơn ánh tuyến tính từ L vào L có thể

không phải toàn ánh ∑

=

=

n k k

k b

1

0 β

7 Tích hai ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính (Nếu f: L  M, f: M  N thì ánh xạ tính

là ánh xạ h: L  sao choi h(x) = g(f(x)) Đặc biệt, tích hai ánh xạ đẳng cấu, tức là song ánh

tuyến tính cũng là đẳng thức ∑

=

=

n k k

k b

1

0 β

Bài tập: 1 Chứng minh rằng tập hợp Hom(L,M) mọi ánh xạ tuyến tính từ L vào M cũng làkhông gian tuyến tính với phép cộng xác định nh sau: (f+g)(x) = f(x) + g(x), ngoài ra nếu L, M

có số chiều lần lợt là l và m thì Hom(L,M) có số chiều là lm

2 Chứng minh rằng tập hợp Hom(L) gồm mọi ánh xạ tuyến tính từ L và L là vành có đơn

vị với phép cộng (xác định nh trong bài tập 1) và phép nhân ánh xạ

3 Sự đẳng cấu giữa các không gian tuyến tính

Nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ không gian tuyến tính L vào không gian tuyến tính M thì ta

có L và M đẳng thức với nhau

Bổ đề: ánh xạ tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi nó biến cơ sở thành cơ sở

Chứng minh: Giả sử f là đẳng thức từ L vào M và A là cơ sở của L, B = f(A) Do tính đơn

ánh của f nên B là hệ độc lập Lấy một phần tử tuỳ ý y ∈ M Khi đó tồn tại duy nhất một phần

tử x ∈ L sao cho f(x) = y Vì A là cơ sở tron∑

=

=

n k k

Đảo lại: Giả sử ánh xạ tuyến tính f từ L vào M biến mỗi cơ sở thành cơ sở Khi đó, nếu A là

cơ sở trong L thì B = f(A) là cơ sở trong M Lấy phần tử tuỳ ý y ∈ M Khi

k

k k n

1

)

α

Tiếp theo giả sử f(x1) = f(x2) với x1, x2∈ L Vì A là cơ sở nên x1 và x2 sẽ biểu thị tuyến tínhqua hai h con hữu hạn A1 và A2 của A và ta có thể coi rằng cả x1 và x2 cùng

biểu thị tuyến tính qua A1∪ A2 = {a1… an} tức là x1 = ∑

=

n k

Chứng minh: Giả sử L và M đẳng cấu với nhau và ánh xạ đẳng cấu cụ thể từ L vào M là f,

A và B lần lợt là cơ sở của L và M Ký hiệu C = f(A) Khi đó C là cơ sở của M và hiển nhiên A

và C cùng lực lợng nên suy ra A và B cùng lực lợng

Đảo lại: Giả sử cơ sở A của L và cơ sở B của M là cùng lực lợng Xét một song ánh tuỳ ý f

từ A và B Ta mở rộng f lên toàn bộ L nh sau: với x = ∑

=

∈

n k

k k

k a a A

1

) (

=

n k

k

k f a

1

) (

2 Chứng minh rằng nếu f là toàn ánh tuyến tính từ L vào M thì L/Kerf đẳng cấu với M

3 Chứng minh rằng nếu L/M có số chiều bằng 1 (khi đó M đợc gọi là siêu phẳng trong L)thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên L sao cho Kerf = M

4 Chứng minh rằng ánh xạ ngợc của ánh xạ đẳng cấu cũng là ánh xạ đẳng cấu

i3 Không gian euclide và không gian hilbert

Trong bài này, ta nghiên cứu các tính chất của một loại không gian rất gần với không gian

Euclide tổng quát mà trờng hợp quan trọng nhất là không gian Hilbort

1 Các định nghĩa

Đinh nghĩa 1: Không gian tuyến tính thực E đợc gọi là không gian Euclide (thực), nếu trên

đó có xác định một phép nhân vô hớng, nghĩa là với mỗi cặp (a, b) ∈ E x E, ta đều có tơng ứngmột số thực, ký hiệu là (a, b) sao cho:

1 (a, b) = (b, a)

2 (a, b1 + b2) = (a, b1) + (a, b2) a, b1, b2∈ E

3 (a, βb) = β(a,b); a, b ∈ E, β∈ R

4 (a, a) ≥ 0 với mọi a ∈ E, ngoài ra (a, a) = 0 khi và chỉ khi a = 0

Định nghĩa 2: Không gian tuyến tính phức E đợc gọi là không gian Euclide (phúc), nếucũng có phép nhân vô hớng thoả mãn các điều kiện 2, 3, 4 nh trên và điều kiên sau:

1 (a, b) = (b, a)

Nhận xét: Dùng điều kiện 1, ( hoặc 1’) kết hợp với điều kiện 2, để thấy rằng:

, , (

, ,

ta có: αa,b =b, αa = αb,a = α b,a = α a,b .

Sau đây ta chỉ nhận xét chủ yếu là không gian thực

Các kết quả tơng ớng cho không gian thực có thể nhận đợc bằng việc thay đổi ít nhiềumạch lý giải hoặc công thức

Trong không gian Euclide có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai phân tử hay hai điểm a

y y x x y x Hay

y y y x y x

, , ,

0 , , ,

đẳng thức tam giác (đang cần chứng minh) tơng đơng với:

〈a-b, a-b〉≤〈a-c, a-c〉 + 2 a−c,a−c c−b,c−b +c−b,c−b ( 2 )

Đặt a-c=x, c-b=y thì đợc a-b = x + y Nh vậy, (2) trở thành:

) 3 ( ,

, , 2 ,

, ,y x x y y

x ≤

Rõ ràng (4) là h quả của (1) nhng không tơng đơng! từ đó suy ra tính chất 3 của hàmkhoảng cách

Ta nhận xét thêm rằng bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi

x = α y (hoặc y = βx) và (x, y) ≥ 0 tức là α 〈y, y〉 ≥ 0, Điều này có nghĩa là hoặc y = 0hoặc α ≥ 0 Nh vậy x = α y với α ≥ 0 (hoặc y = βx với β≥ 0)

Chú ý: 1 Để thực hiện không âm a, a gọi là độ lớn hay chuẩn của a và thờng ký hiệu là

2 2 2

b a b

a+ = +

(điều kiện Pythagoras)

Dễ chứng minh rằng đây là tính vô hớng và l2 là không gian Euclide (vô hạn chiều)

2 Không gian tuyến tính C[a,b] trở thành không gian Euclide, nếu xác định tính vô hớng

a

dx x g x f g

a C

Trong

dx x g x f g

a

, ,

:

) ( ) ( ,

Bài tập: Với x, y ≠ 0, đặt ϕ = arccos x x,.y y và gọi ϕ là góc giữa x và y Chứng minh rằng x và

y trực giao khi và chỉ khi ϕ =π2

3 Giới hạn của dãy điểm Không gian Hilbert

Đinh nghĩa 2: Ta nói dãy điểm {xn} = x1, x2… xn trong không gian Euclide E có giới hạn là

a, và viết: him xn = a, nếu dãy số x n −a có giới hạn bằng 0

Dãy có giới hạn gọi là dãy hội tụ Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ Dễ thấy giới hạncủa một dãy hội tụ là duy nhất

Ví dụ: Trong C[0,1] dãy {fn}, với fn(x) = xn có giới hạn là hàm đồng nhất bằng 0 Thật vậy

) (

0 1 2

Bài tập: Hình cầu mở tâm a, bán kính r(>0) (trong không gian Euclide E) ký hiệu B(a;r) làtập hợp mọi phần tử x sao cho d(x,a) < r

a Chứng minh rằng him xn = a khi và chỉ khi với mọi ε > 0 đều tồn tại n0 sao cho khi n ≥ no

thì xn∈ B(a, ε)

b Chứng minh rằng hình cầu mở chứa vô số điểm

Chú ý: Hình cầu mở tâm a, bán kính r còn đợc gọi là lân cận r của a

Đinh nghĩa 3: Dãy {xn} đợc gọi là dãy cơ bản, nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n0 sao cho khi

m, n ≥ no thì d(xm, xn) < ε

Cũng nh trong giải tích cổ điển, mọi dãy hội tụ đều dãy cơ bản

Định nghĩa 4: Không gian Euclide đợc gọi là đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong nó đều hộitụ

Ví dụ 1: Không gian L2 là đầy đủ, thật vậy, giả sử x(k) = (x1(k), x2(k)…, xn(k)…) là dãy cơ bản.Khi đó, với ε > 0 sẽ tồn tại k0 sao cho khi k, l ≥ k0 thì:

n

b n k

n x

Từ đó suy ra: với mỗi n đều có ( ) − (k) < ε

n k

x Nh vậy, với mỗi n thì dãy xn(1), x(n(2), … xn(k)…

là dãy số cơ bản Vì vậy mỗi dãy nh trên sẽ có một giới hạn là an Ta đợc một dãy a = (a1, a2…

an) ta sẽ chứng tỏ rằng a ∈ l2 Thật vậy từ (1) suy ra:

) 2 ( )

n

k

n a x

1

2 )

1

2 )

n

k n

n

n k

a tức là a ∈ l2

Do ε là tuỳ ý nên từ (3) suy ra lin x(k) = a

Ví dụ: Không gian C[a, b] với tính vô hớng 〈f,g〉 = ∫b

a f(x)g(x)dx là không đầy đủ Chỉcần chứng tỏ điều này, ví dụ, cho C[-1,1] Xét dãy {fn} xác định nh sau:

1

1,

,1

x

n x nx

n

1nếu

n

1

- nếu

n

1-x1

- nếu

Dễ thấy fn∈ C[-1,1] với mọi n coi m ≥ n ta có: d(fm, fn) = ∫−11(fm(x) −fn(x) 2dx

=

n dx

dx x fn x

n n

n

2 )

) ( ) (

/ 1 /

1

2 1

1

2 ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( (f x ϕ x dx f x fn x dx fn x ϕ x dx (4)

Số hạng thứ nhất ở vế phải có giới hạn bằng 0 Số hạng thứ hai đợc đánh giá nh sau:

n dx

dx nx dx

x x

fn( ) ( ) 2 n ( 1 ) 2 n 2

0

/ 1 0

2 1

1

2 ( ( ) ( ) ( ( )) ( ) )

( ) ( (

0 f x ϕ x dx f x ϕ x dx f x ϕ x dx

mà trên [-1,0) và (0,1] thì f(x) và ϕ(x) đều liên tục nên từ đẳng thức trên suy ra: f(x) = -1trên [-1,0) và bằng 1 trên (0,1] Một hàm số nh vậy không thể liên tục tại o Mâu thuẫn nàychứng tỏ dãy cơ bản {fn} không hội tụ, tức là C[-1,1] không đầy đủ

Bây giờ ta nêu ra định nghĩa không gian Hilbert – một trong những đối tợng nghiên cứuchính của ngời giải tích vô hạn chiều

Định nghĩa 5: Không gian Euclide đầy đủ (vô hạn chiều) đợc gọi là không gian Hilbert

Ví dụ điển hình về không gian Hilbert là không gian l2 đã xét ở trên

i4.Hệ trực giao và cơ sở trực giao

Một trong những bài toán quan trọng của giải tích là bài toán, phân tích một hàm số thànhtổng vô hạn theo các hàm lập thành một hệ đặc biệt Trong nhiều trờng hợp, hệ này thờng thoảmãn một điều kiện trực giao nào đó Trong trờng hợp tổng quát, ta cần khai triển các phần tửcảu không gian Euclide theo một hệ trực quan

1 Hệ trực giao và cơ sở trực giao

Định nghĩa 1: Hệ các phần tử khác O trong không gian Euclide đợc gọi là hệ trực giao, nếu hai phần tử bất kỳ trong hệ là trực giao với nhau

Nếu trong hệ trực giao, mọi phần tử có chuẩn bằng 1 thì ta có hệ trực chuẩn

Bằng cách thay thế mỗi phần tử a trong hệ bởi phân tử a a từ mỗi hệ trực giao ta đều nhận

đợc một hệ trực chuẩn

Bổ đề: Hệ trực giao luôn là hệ độc lập

Chứng minh: Giả sử A là hệ trực giao trong không gian Euclide E

Lấy một hệ con hữu hạn tuỳ ý {a1, … an} và giả sử α 1a1 +… α nan = 0 Nhân vô hớng hai

vế đẳng thức này với ak ≠ 0, ta đợc

) 1 ( 0 ,

j a a

α

Vì 〈aj, ak〉 = 0 với mọi j ≠ k, nên vế trái (1) chỉ còn α k 〈ak,ak〉 Do đó α k = 0 (k = 1,…n) vìvậy A là hệ độc lập (đpcm)

Đinh nghĩa 2: Hệ trực giao A trong không gian Euclide E đợc gọi là đầy đủ, nếu với mọi a

∈ E đều tồn tại một hệ con {a1, a1,…} của A và các số thực tơng ứng α 1, α 2… sao cho

∑

=

k k

k k

Ví dụ: Trong không gian l2, hệ {e1, e2, en, …} trong đó en là dãy với số 1 ở vị trí thứ n, số o ởmọi vị trí còn lại, là hệ trực chuẩn, Tiếp theo, với x = (x1, … xn) tuỳ ý thuộc l2 ta có:

,

sin , cos ,

sin , cos , 2

1

nx nx

x x

Với mọi n trong đó α nn và βnn khác 0 trớc hết với n = 1 thì (4) sẽ là b1 = α 11a1

Để b1 = 1chỉ có một trong hai cách chọn

1 11

Tiếp theo, giả sử đã chọn đợc b1,… bn-1 thoả mãn các điều kiện đã nêu Khi đó đặt: cn = an

n k

k

nk b

β , tức là an biểu thị qua a 1 ,… a n-1 trái

với giả thiết về tính độc lập của hệ đã cho Đặt b n =

n

n c

c

, ta đợc hệ n phần tử trực chuẩn b 1 ,… b n khi

đó:

∑− ∑

= +

= 1

n k

n k

k nk n

nn k k

a β β β với β nn = qcn q≠ 0

Mặt khác, từ (6) ta có:

1 1 , 1

n n n

c

b c

a c

3 Hệ trực giao trong không gian Euclide khả li.

Định nghĩa 3: Không gian Euclide đợc gọi là khả thi, nếu có một cơ sở trực giao đếm đợc.

Trờng hợp đặc biệt của không gian Euclide khả thi là không gian Hilbert khả li.

Có thể chứng minh rằng trong không gian nh vậy, mọi cơ sở trực giao đều đến đợc.

Trong không gian khả li, nếu a 1 , a 2 … a n lập thành cơ sở trực chuẩn thì nh ta đã biêt, mọi phần tử

x đều có dạng tổng của chuỗi hội tụ (tức là dãy tổng riêng hội tụ, nh với chuỗi số)

,

n

k k k k n n

x

1 )

) 9 ( :

2 2 ,

, 2

, ,

2 , ,

1

2 2

2 ) (

1

2 2

1

2 1

2 2

1

2 1

2

ạ 1

) ( ) (

−

= +

n

k k n

k k n

k k k

k n

k k k

n

k k

n

k

n

j j k

k n

k k k n

n

x x

x ra

Suy

x a

a a

x x

a a

a x

x x x

x x x

α

α α

α α

α

α α

α

Cho n  ∞ thì vế trái của (9) tiến tới 0 Suy ra ( 10 )

2

1 2

∑∞= =

k

k x

α

Bổ đề: (định lý Riss – Fischer) cho { a 1 , a 2 … } là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H, {∝ 1 ,

∝ 2 … } là dãy số sao cho chuỗi ∑∞

= 1

2

n k

α hội tụ Khi đó sẽ có một phần tử h ∈ H sao cho

=

+ +

=

1 2 1

ạ 1

2

,

n

n k k l

n

n j j l

n

n k

k k n

α hội tụ nên dãy { h n } là cơ bản Từ tính chất đầy đủ của H suy ra h n  h ∈ H Ta

−

= +

n n

2 1

2 2

, 2

, ,

2

Đồng thời hn  h, nên suy ra (12) Bổ đề đã đợc chứng minh

Định lý 1: Hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert khả li H là đầy đủ khi và chỉ khi trong Hkhông có phần tử khác không nào trực giao với cả hệ đó

Chứng minh: Giả sử hệ {a1, a2…} đầy đủ và x tực giao với mọi phần tử của hệ Ta phảichứng tỏ x = 0 Nhng điều này suy ra từ (10) và từ (9): α k = 〈x, ak〉 = 0 với mọi k

Ngợc lại, giả sử {a1, a2…} là hệ không đầy đủ Khi đó phải tồn tại h ∈ H sao cho

4 Sự đẳng cực của các không gian Hilbert khả li

Định nghĩa 3: ánh xạ f từ không gian Euchide E vào không gian Euchide F đợc gọi là đẳngcực, nếu:

1 f là đẳng cấu (tuyến tính)

2 f bảo toàn tích vô hớng, nghĩa là với mọi a, b ∈ E đều có: 〈f(a), f(b)〉 = 〈a,b〉

Khi đó ta nói E và F đẳng cự với nhau

Bài tập: Chứng minh rằng: ánh xạ đẳng cấu giữa hai không gian Euclide là đẳng cực khi và chỉ

khi nó bảo toàn khoảng cách, nghĩa là qf(a) – f(b)q = qa-bq

Định lý 2: Mọi không gian Hilbert khả li đều đẳng cực với nhau

Chứng minh: Chỉ cần chứng tỏ rằng mỗi không gian Hilbert khả li H đều đẳng cự với l2.Thật vậy, lấy {a1, a2…} là cơ sở trực chuẩn trong H và đặt tơng ứng mỗi phần tử h ∈ H với mộtdãy α = (α 1, α 2…) với α k = 〈h,ak〉 Rõ ràng α ∈ l2 Mặt khác nếu α = (α 1, α 2…) ∈ l2 thì

tồn tại duy nhất một phần tử h sao cho 〈h,ak〉 = α k và ∑∞

=

=

1 2 2

k k

α = (α 1, α 2…) là song ánh Dễ thấy ràng song ánh này là đẳng cấu Ngoài ra, nếu h tơng ứng

1 2 2

Bài tập: Chứng minh rằng từ tính bảo toàn khoảng cách luôn suy ra tính đơn ánh của ánh xạ.

i4.Không gian con Euclide tổng trực quan

ở đây, ta nêu ra khái niệm không gian con Euclide của không gian Euclide, khác với kháiniệm không gian con tuyến tính Trớc hết, ta hãy nghiên cứu vài tính chất của không gian contuyến tính của không gian Euclide

1 Không gian con của không gian Euclide.

Giả sử E là không gian Euclide Coi E nh không gian tuyến tính và giả sử F là không giancon tuyến tính của E Khi đó bản thân F là không gian Euclide với tích vô hớng thu hẹp từ E, vìtính vô hớng thu hẹp này vẫn thoả mãn mọi điều kiện của định nghĩa

Tuy nhiên, ta sẽ không gọi F là không gian con (euclide) của không gian Euclide E (Lý docủa việc này sẽ đợc xét sau) Ta sẽ phân biệt không gian con Euclide với không gian con tuyếntính không gian Euclide Cụ thể, khong gian con Euclide của không gian Euclide là không giancon tuyến tính F có thêm tính đóng, nghĩa là nếu {xn} là dãy điểm trong F và xn  x thì x ∈ F.Sau đây ta xét vài ví dụ

Ví dụ 1: Cho H là không gian Hilbert và h là phần tử của H Xét tập hợp G gồm mọi phần

tử trục giao với h Khi đó G là không gian con (Euclide) của H

Thật vậy, dễ thấy G là không gian con tuyến tính Tiếp theo, giả sử x1, x2,… xn∈ G và xn 

x Khi đó 〈xn, h〉  〈x, h〉 Nhng vì xn trại giao với h nên 〈xn, h〉 = 0 suy ra 〈x, h〉 = 0 hay x ∈ G.Vậy G đóng, tức G là không gian con Euclide của H

Dễ thấy G cũng là không gian Hilbert

Ví dụ 2: Trong l2 xét tập hợp

A gồm mọi dãy có dạng: x = (0, x2, x3…)

Rõ ràng nếu a, b ∈ A thì α a + βb ∈ A Nh vậy A là không gian con tuyến tính Tiếp theo,giả sử x(n) = (0, x2(n), x3(n),…) hội tụ với x = (x1, x2, x3…) thì dễ thấy x1 = 0, tức là x ∈ A Vậy A làkhông gian còn Euclide của l2

Mặt khác, nếu xét tập B gồm mọi dãy hữu hạn, tức là các dãy có dạng

(x1, x2,… xn, 0, 0…)

Thì B là không gian con tuyến tính nhng B không phải là không gian con Euclide Thật vậy.dãy {x(n)} với:

) 0 , 0

;

1 ,

2

1 ,

2 Phần bù trực giao

Cho G là không gian con (Euclide) của không gian Hilbert H Xét tập hợp F gồm mọi phần

tử (của H) trực giao với toàn bộ G, nghĩa là với mọi phần tử trong G, nghĩa là với mọi phần tửtrong G, Nh vậy, b ∈ F khi và chỉ khi với mọi a ∈ G thì đều có (b,a) = 0 rõ ràng F là khônggian con của H Thật vậy, trớc hết 0 ∈ F Tiếp theo, giả sử a, b ∈ F Khi đó với mọi c ∈ G ta có

〈a, c〉 = 0 và 〈b, c〉 = 0 Suy ra α 〈a, c〉 + β(b,c) = 0 hay 〈α a, βb,c〉 = 0 Do đó, F là không gian

con tuyến tính Mặt khác, nếu xn ∈ F thì với mọi c ∈ G ta có 〈xn, c〉 = 0 và nếu xn  x thì 〈x, c〉

= 0 nên x ∈ F Do đó F là không gian con (Euclide) của H

Không gian con F đợc gọi là phần bù trực giao của G, và ký hiệu là G⊥ Dễ thấy, G = F⊥

Đặt α = inf qc – xq x ∈ F Do tính đóng của F, dễ chứng tỏ rằng tồn tại a ∈ F sao cho

qc – aq = α Ký hiệu b = c – a thì c = a + b, ngoài ra dễ chứng minh rằng b trực giao với F,(xem bổ đề ngay dới đây) tức là b ∈ G, (đpcm)

Bổ đề: Cho F là không gian con của không gian Hilbert H; c ∈ H khi đó nếu qc – aq = inf

1 2 1

2 1

1 2

, ,

, 2

n

n n n

n n n

n n n

n n

a c a

c c

a c c

a c

a c

x

c

α

α α

α α

Vì vậy, qc - xq nhỏ nhất khi và chỉ khi α n〈c, an〉 Nh vậy:

n n

n a a c

, ,

Hệ quả: Mỗi hệ trực giao trong khong gian Hilbert khả li H đều có thể mở rộng thành cơ sởtrực giao.

Thật vậy, cho {a1, a2… } là hệ trực giao Ta có thể coi đây là hệ trực chuẩn Xét không giancon (đóng) F sinh bởi hệ này, tức là tập hợp mọi phần tử có thể biểu diễn đợc dới dạng chuỗi

hội tụ (hoặc tổng hữu hạn) ∑

n n

n a

α và ký hiệu G là phần bù trực giao của F Nếu {b1, b2… } là

hệ trực chuẩn đầy đủ (cơ sở trực chuẩn) của G thì rõ ràng hợp của hai hệ {a1, a2… } và {b1, b2…

} là cơ sở trực giao của H (đpcm)

Bây giờ ta xét không gian thơng H/F, với H là không gian Hilbert tuỳ ý, F là không giancon (đóng) của H Khi đó, H/F đẳng cấu (tuyến tính) với F⊥ (so sánh với bài tập ở cuối bài 2cùng chơng), với ánh xạ đẳng cấu xác định nh sau: mỗi a’ ∈ F⊥ tơng ứng (một – một) với lớptơng đơng a’ + F trên H/F, xét tích vô hớng sau:

x−

Đ 6 Không gian Metric

Không gian nói chung, có rất nhiều loại bài toán đợc giải quyết không dựa vào tính chất đại

số của các đối tợng đợc nghiên cứu, Tức là phơng pháp giải không liên quan đến các phép toán(cộng, nhân, ….) mà chỉ liên quan đến khái niệm khoảng cách Vì vậy, việc tổng quát hoá từ cáckhông gian Euclide sang một loại không gian chỉ có khoảng cách mà không có các phép đại số

sẽ không làm phức tạp hoá vấn đề , mà ngợc lại làm cho việc trình bày loại vấn đề nh trên trởnên trong sáng hơn

Trong bài này, ta sẽ thực hiện đợc tổng quát hoá đó, còn ở phần sau, ta sẽ trở lại với loạikhông gian vừa có khoảng cách , vừa có các phép toán đại số nhng tổng quát không gianEuclide

1 Khái niệm không gian Metric:

Định nghĩa 1:

Cho một tập hợp M tuỳ ý( khác φ) ánh xạ d từ M M vào tập hợp R+ = [0,+ ∝) đợc gọi làhàm khoảng cách hay metric trên m, Nếu nó thoả mản các điều kiện sau đây

1 d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x=y

2 d( x,y) = d(y,x) với mọi cặp x,y ∈ M(hay x, y) ∈ M M)

3 d(x,z) ≤d(x,y) +d(y,z) (với mọi bộ ba x,y,z từ M)

(Điều kiện 3, gọi là bất đẳng thức tam giác) Khi đó, ta nói m hay ( M,d) là không gianMetric

Sau đây là một số ví dụ về không gian Metric

+ Không gian Enclide E bất kỳ là không gian Metric với khoảng cách d xác định nh sau:D( x, y) = x−y = (x− ,x−y)

Đặc biệt tập hợp R với khoảng cách thông thờng: d( x,y) = là không gian Metric

+ Cho X là tập hợp tuỳ ý (≠ φ) Xét ánh phản xạ: d: X X → R+ xác định nh sau:

Giả sử x ≠ z Khi đó ở vế phải phần từ y phải ít nhất một trong hai phần tử xvà z Trong ờng hợp này, vế trái bằng 1 và vế phải cũng có ít nhất một số hạng bằng 1 nêu bất đẳng thứcvẫn đúng Vậy ( X, d) là không gian Euclide:

tr-Xét trờng hợp R’’ nh trờng hợp đặc biệt này của không gian Euclide nếu x=( x1, …xn ) và y (

1

2

) (

ở đây ta xét thêm 1 hàm δ khoảng cách xác định nh sau:

,

k x y y

= δ(x,y) + δ(y,z) vậy (Rn, δ) cũng là không gian metric

4 Xét không gian Metric (X d) tuỳ ý mỗi tập hợp khác rỗng M của X đề có thể coi nhkhông gian Metric theo cách sau: Nếu (x,y)∈ M2 = M x M thì đặt dn( x,y) = d(x,y) Sự thoả mản

ở điều kiện của định nghĩa là hiển nhiên Ta nói M là không gian con( Metric) của X Điều nàycho thấy sự phong phú vô hạn của khái niệm không gian Metric

Bài tập 1: Chứng minh rằng ánh xạ d: X2 → R+ là hàm khoảng cách nếu thoả mản hai điềukiện sau:

a d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y

n

y x k

/ 1

Chứng minh rằng tập hợp N các số nguyên dơng là không gian metric với hàm khoảng cách.

à((x,y) = 0 nếu x =y

1 + 1x −1y , nếu x ≠ y

2 Hình cầu:

a Hình cầu mở: Tâm a bán kính R (> 0) ký hiệu β B(a, R), trong không gian metric( X, d)

là tập hợp mọi phần tử x ∈ X sao cho d( x,a) < R Nếu thay bất đẳng thức này bởi d( x,a) R,

ta có hinh cầu đóng

Hình cầu mở tâm a bán kính ع còn gọi là lân cận ع của điểm a

Bài tập: 1 Chứng minh răng nếu r ≤ R thì β(a, n) ⊂β( a,R)

2 Lấy ví dụ không gian metric trong đó có hai hình cầu β(a,r) và β(b,r) sao cho r < R nhng

β(b,r) lại là tập hợp thực sự của β(a,r)

Bổ đề 1:

Nếu x ∈ B( a,R) và r = R – d(x,a) thì β( x,r) Khi đó r = R – d(x,a) thì

β( x,r) ⊂β(a,R)

Chứng minh: lấy Y ∈ B(x,r) Khi đó d(y,a) ≤ d(y,x)+ d(x,a), < r + d( x,a) = R

Từ đó suy ra Y ∈ B(a,r) Do y lấy tuỳ ý trong β( x,r) suy ra

(Điều phải chứng minh)

3 Tơng quan giữa điểm và tập hợp

Điểm A trong không gian metric (X,d) đợc gọi là điểm trong tập hợp của

A⊂ X, nếu tồn tại r > 0 sao cho β( a, R) ⊂ A.

Điểm A đợc gọi là điểm ngoài của A, nếu nó là điểm trong của A’ = X – A

Điểm a đợc gọi là điểm của A nếu có không phải nằm trong, cũng không phải nằm ngoài

- Tập hợp mọi điểm trong của A gọi la miền trong của A và ký hiệu là Int(A) Cố nhiênInt(A) ⊂ A

- Tập hợp điểm nằm ngoài của A gọilà miền ngoài của A và ký hiệu là Ext(A)

- Tập hợp mọi điểm biên của A gọi là biên của A và ký hiệu là ϑA

- Phần bù của Ext(A) gọi là bao đóng Của A và ký hiệu là [A] hoặc lock ( A) rõ ràng a ⊂

Phần chứng minh gần nh hiển nhiên

Bổ đề 4: a ∈[ A] khi và chỉ khi mọi β( a,r) đề có điểm chung với A( hay

β( a,r) ∩ A ≠ φ)

Chứng minh: Giả sử a ∈ [A ] khi đó a ∉ Ext( A), hay a ∉ Int( Ac) Nh vậy, với mọi r > 0 thì

β( a,r) đề không nằm lọt trong Ac, tức là β(a,r) có điểm chung duy nhất với A Khẳng định ngợclại cũng đợc chứng minh đơn giản nh vậy

Bổ đề 5: a là điểm tụ của A khi và chỉ khi mỗi hình cầu tâm a đều có vô số điểm chung

khác nhau với A

Chứng minh: Giả sử A là điểm tụ của A Với ع1 tuỳ ý thì β( a, ع1 ) cha một đỉêm x1 ∈ Asao ch o x1 ≠ a Đặt ع2 = d( x1,a) Khi đó β(a, ع2 ) chứa X2 sao cho x2 ≠ a

Rõ ràng x2 ≠ x1 lại lấy ع3 = d(x2 , a) Khi đó β(a, ع3 ) chứa x3 khác a và khác x2 ,…

Cứ thế ta có vô số điểm x1, x2 … khác nhau khác a và đều thuộc β(a, ع1 ), tức là mỗi hình cầutâm a đều có vô số điểm chung với A

Mệnh đề đảo là hiển nhiên

Bài tập:

1 Chứng minh rằng nếu β =β (a,r) và β =β (a,r) thì: Int(β) = Int(β),ϑβ = ϑβ, Ext(β)=Ext(β)

2 Chứng minh rằng: [A ] = ( IntA) ϑA = A ∪ϑA

3 Kiểm tra các đẳng thức sau( cái nào sai thì thử thay bằng bao hàm khác)

a Int( A ∪ B) = Int ( A) ∪ Int (β)

b Int( A ∩ B ) = Int( A) ∩ Int (β)

c Lock (A ∪ B ) = Lock ( A) ∪ Lock (B)

d lock ( A ∩ B) = Lock (A) ∩ lock (β)

4 Chứng minh rằng nếu: M ⊂ N thì Int( M) ⊂ Int(N) và [ M ] ⊂ [ N ] Khẳng định ngợc lại

có đúng hay không.?

4 Giới hạn:

Định nghĩa 2: Ta nói dãy điêm { X n } trong không gian metric (X, d) hội tụ tới đỉêm A, vàviết xn = a , ( Xn →a) nếu với mọi 0 < ع đề tồn tại số tự nhiên n0 sao cho khi n > n o thì d( xn ,a) < ع ( hay xn ∈β ( a,ع))

Nói cách khác , lim xn = a , nếu lim d( xn, a) = 0

Dễ thấy mộ dẫy không thể có 2 giới han khác nhau

Giữa khái niệm giới hạn của dãy và khái niệm điểm giới hạn của tập hợp có mối liên hệ thểhiện bởi định lý sau:

Định lý 1: Điểm A là điểm giới hạn( hay điểm tụ) của tập hợp A khi và chỉ khi a là giới hạn

của ( ít nhất 1 dãy gồm những điểm khác nhau trong A)

Chứng minh: Giả sử A là điểm giới hạn của A Cho 0 <1ع Khi đó trong β( a, ع1 )

sẽ só x1 ∈ A Sao cho x1 ≠ A lấy ع2 = min ( )

1

1 ε

x a d

Khi đó , trong β(a, ع2 ) sẽ có x2 ∈ A Sao cho x2≠ A Cố nhiên x2 ≠ x=1

Lại lấy ع3 = min ( )

2 1

ε

x a

d và x3 = ∈β(a, ع2 ) sẽ có x2 ∈ A sao cho x2 ≠ a

Ta cũng có x3 ≠ x1 và x3 ≠ x2 Cứ thế ta có một dãy { xn } gồm những điểm

khác nhau trong A, đồng thời d( xn, a) 11

2 −

≤ δn → 0 nên xn → a

Đảo lại: Giả sử x1, x2, ……∈ A có thể coi x≠ a với mọi n Lấy r > 0 tuỳ ý Khi đó tồn tại n0

sao cho khi n ≥ n0 d(xn, a) < n Do đó trong β( a, r) sẽ có xn ∈A

Sao cho xn ≠ A, tức là A là điểm giới hạn của A

Đ17 tập hợp đóng và tập hợp mở Trong không gian metric

Trong mỗi không gian Metric, có hai loại tập hợp đăc biệt: Các tập hợp đóng và

Các tập hợp mở Chúng có vai trò tơng tự nhau nh các khoảng đóng và mở trong tập hợp

R Tính chất cảu chúng liên quan chặt chẽ với khai niệm giới hạn và khái niệm về tính liên tục của ánh xạ mà ta sẽ định nghĩa ở phần sau

1 Tập hợp đóng và tập hợp mở:

Định nghĩa: 1: Tập hợp A( trong không gian Metric ( X, d) đợc gọi là đóng nếu [A ]

Tập hợp B đợc gọi là mở, nếu Int(B) =B Nói cách khác, b mở nếu mọi điểm của nó đều là

điểm trong

Từ định nghĩa suy ra rằng các tập hợp φ và X vừa đóng vừa mở

Định lý 1: Tập hợp A ≠ φ là đóng khi và chỉ khi giới hạn của mọi dãy điểm thuộc A đều là phần tử cảu A

Chứng minh: Giả sử A đóng lấy x1, x 2, ……∈ A và giả sử xn → a ta phải chứng minh a.Theo định nghĩa ở bài 6 thì a ∈ [ A] Nhng vì [ A ] = A nên a ∈ A

Đảo lại: Giả sử giới hạn của mọi dãy điểm thuộc A đều là phần tử của A Cũng theo định lý

đẫn thì điều này có nghĩa là mọi điểm của [ A ] đều thuộc A, nên [ A ] = A, tức là A đóng

Định lý sẽ đợc chứng minh

Định lý 2: tập hợp A ≠ φ là mở khi và chỉ khi A biểu diễn đợc dới dạng hợp của các hình cầu mở

Chứng minh: giả sử A = ∪ B

Ta phải chứng minh rằng A mở lấy x tuỳ ý thuộc A Khi đó tồn tại α ∈I

Sao cho x ∈ B(aα0 ,rα0) Nhng nếu nh thế thì với ع = rα0 −d(x,aα0)

Ta có: β ( x, ع) ⊂β(aα0 ,rα0) ⊂ A

Do x lấy tuỳ ý nên A mở

Đảo lai: giả sử A mở? Với mọi X bấtt kỳ thuộc A Ta sẽ có một số đờng rx sao cho β(x1, x2)

⊂ A Hiển nhiên A = ∪x∈aB(x, rx) tức là A có dạng các hình cầu đã mở

Bài tập: chứng minh răng nếu tập hợp A khác φ thì A có thể biểu diễn dới dạng hợp các hình cầu đóng

(a ,α rα)

Mệnh đề đảo nh trên có đúng không?

Định lý 3 : A là tập hợp đóng khi và chỉ khi Ac X \ A là mở

Chứng minh: Giả sử A đóng, khi đó [ A ] = A nên [ A]c hay Ext ( A) = Ac

Vì Ext( A) = Int( Ac) nên Int( Ac ) = Ac Do đó Ac mở Suy luận ngợc lại cũng hiển nhiên

nh vậy

Định lý 4: Với mọi A ⊂ X thì:

a Int( A) là tập hợp mở lớn nhất chứa trong A

b [ A ] là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A

Chứng minh: a Trớc hết ta chứng minh cho Int( A) là tập hợp mở

Nói cách khác cần chứng tỏ rằng với mọi A thì đều có Int( A)) = Int ( A) Điều này thực rakhông hoàn toàn hiển nhiên nh ta cảm thấy lúc đầu Vì đơng nhiên ( Int( A)) ⊂ Int( A) nên khicần chứng tỏ Int( A) ⊂ Int( A) Lấy a ∈ Int( A) Khi đó tồn tại r > 0 sao cho β( a, r) ⊂ A

( Lấy b ∈β( a, r) Khi đó, với ϑ = r - d( b, a) thì ϑ > 0 và β( b, ϑ) ⊂ B ( a,r), nên điều này

có nghĩa là β( a, r) ⊂ Int( A) Nói cách khác, a ∈Int( Int( A)) Nh vậy, Int( A) luôn mở

Bây giờ lấy B mở sao cho B ⊂ A ta còn phải chứng tỏ B ⊂ Int( A)

Thật vậy: Từ B ⊂ A suy ra Int( B) ⊂ Int(A) Nhng vì Int(B) = B nên b ⊂ Int(A)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

B Theo chứng minh trên thì ta cũng có: Int(Ac) mở, vì vậy [A] = (Int(Ac))c đóng

Tiếp theo, Int(Ac) ⊂ Ac nên [A] ⊃ A Cuối cùng, nếu C đóng và C chứa A thì Cc mở và Cc

⊂ Ac nên Cc ⊂ Int (Ac ) Từ đây suy ra C ⊃ [A] Và ta nhận đợc khẳng định thứ 2 của định lý

2 Tính chất các hệ thức của tập hợp đóng và tập hợp mở:

Ký hiệu F và J lần lợt là hệ mọi tập hợp đóng và hên mọi tập hợp mở trong (X, d) Khi đó

φ, X ∈ f, và φ, X ∈ J Ngoài ra, ta còn có định lý sau:

Định lý 5: 1 Nếu A1 …, An ∈ f Thì Un

k=1 Ak ∈ F2.Nếu với mỗi α∈ I ( I là tập hợp tuỳ ý) ta có Aα∈ F thì Aα∈ J

2 Giả sử với mỗi α ∈ I đều có Aα ∈ F nếu ∩α∈ I Aα = φ Thì kết luận là hiển nhiên giả sử

∩α∈ I Aα = φ lấy a ∈ [∩α∈ I Aα], ta phải chứng minh rằng a ∈ ∩α∈ I Aα Vì a ∈ [∩α∈ I Aα] nêntồn tai dãy { xn } trong ∩α∈ I Aα sao cho xn →a Do mỗi xn đều thuộc mọi Aα nên a ∈ [ Aα ] =

Aα nên a ∈ Aα(∀α), suy ra a ∈∩α∈ I Aα, từ đó suy ra Điều phải chứng minh

Thật vậy: lấy một tập hợp mở khác rỗng tuỳ ý, la A Trong A ta xét quan hệ nh sau: Với

x1 , y ∈ A thì x và y khi và chỉ khi tồn tại một khoảng ( a, b) sao cho:

X, y ∈( a, b) ⊂ A

Dễ thấy có tính phản xạ , ví nếu x ∈ A thì tồn tại r > 0 sao cho

β = (x – r ; x + r) ⊂ A., tức là x ∈ (a, b) ⊂ A, với a = x – r , b = x + r sao cho x và xtiếp theo, hiển nhiên ta có tính chất đối xứng Bây giờ giả sử x và y , y và Z khi đó tồn tạikhoảng ( a, b) sao cho x, y ∈ (a,b) ⊂ A và (c, d) sao cho y, z ∈ (c, d) ⊂ A Vì ( a, b) và (c, d) có

điểm chung nên tập hợp của chúng là (p,q) với p = min( a, c) và q = max( b, d) Rõ ràng x, z ∈(

p, q) ⊂ A nên x ϕ z Vậy ϕ có tính chất bắc cầu Do đó ϕ là quan hệ tơng đơng

Bây giờ ta chứng tỏ rằng mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ ϕ ( trong A) là một khoảng Kýhiệu I là một lớp tơng đơng Đặt a inf I và b = sup I( a có thể là - ∞ và b có thể là +∞) Khi đó I

⊂ ( a, b) Bây giờ ta lấy x tuỳ ý trong( a, b) Do xác định a và b nên tồn tại y, z ∈ I sao cho: a <

y < x < z < b

Vì y, z thuôc cùng một lớp tơng đơng I nên tồn tại ( c, d) sao cho:

2 1

1 x ) y x

d1(x, y) = max( y1 −x1 , y2 −x2)

Chứng minh rằng tập A ⊂ R2 là mở khi và chỉ khi A mở theo Metric d1

2 Chứng minh rằng trong không gian metric mọi tập hợp hữu hạn đều đóng

Có thể nói: Mọi tập hợp hữu hạn đều không mở, đợc không?

3 Cho a và A là điểm d( a, A) = infy ∈ A d( a, y) gọi là khoảng cách từ a tới A Chứng minh rằng nếu A đóng và a ∉ A thì d( a, A) > 0

4 Cho A , B là tập hợp cm( ≠ϕ) của không gian con của X

a Chứng minh rằng

1 Mở trong B khi và chỉ khi tồn tại B’ mở trong X sao cho B = A ∩ B’;

2 Nếu B mở trong X thì b mở trong A

3 Tìm điều kiện đối với A để mệnh đề đảo của (2) luôn đúng

4 Phát biểu và chứng minh các mệnh đề tơng tự liên quan tính đóng

Đ8 ánh Xạ Liên tục đồng phôi và ẩn cực

Cũng nh trong giải tích cổ điển, một trong những vấn đề liên quan quan trọng nhất của giảitích hiện đại là nghiên cứu tính liên tục của ánh phản xạ Một vấn đề quan trọng khác có liênquan với ánh xạ liên tục là vấn đề về tính đẳng cực của các không gian Metric, Tức là điều kiện

để 2 không gian metric có thể coi nh một ở đây ta sẽ phát biểu chính xác và nghiên cứu cácvấn đề nói trên

1 ánh xạ liên tục:

Định nghĩa 1: Cho f là anh phán xạ từ không gian Metric (X, d) vào không gian metric

( X’, d’) Ta nói f liên tục tậi điểm a, nếu với mọi 0 < ع đều tồn tại δ > 0 sao cho f( β( a, δ)) ⊂

β( f (a); δ)

Nói cách khác: Với mọi 0 < ع đều tồn tại 0 < ع sao cho khi d( x1, a) <δ thì d’(f(x), f(a)) <

δ

Nếu a liên tục tại một thời điểm của X thì ta nói đơn giản rằng f là ánh xạ liên tục

Định lý sau dây thiết lập mối liên hệ giữa tính liên tục của ánh xạ và giới hạn của dãy

Định lý 1: ánh xạ f: X →Y liên tục tại A khi và chỉ khi với mọi dãy {xn} hội tụ tới a đều

có f(xn) → f(a)

Chứng minh: Giả sử f liên tục tại a và Xn → a, ta phải chứng minh f(xn) → f(a) Lấy ε > 0khi đó tồn tại δ > 0 sao cho khi d(x,a) < δ thì d(f(x), f(a)) < ε Vì xn → a nên tồn tại nδsao chokhi n ≥ nδ thì d(xn,a) < δ Nhng khi đó d(f(xn), f(a) < ε Vậy f(xn ) → f(a)

Bây giờ ta giả sử f không liên tục tại a Khi đó, tồn tại δ 0 > 0 đều có xδ nhng d( f (xδ),f(a)) ≥δ 0 Lấy một dãy δn = n1 ( n = 1, 2 ) và một dãy δ n = xδ n Khi đó d( x’n, a) < n1 → 0Tức là x’n → a, nhng d(f(x’n), f(a) ≥ δ0 nên f(x’n) → f(a) Điều đó có nghĩa là từ việc xn → aluôn suy ra f(xn) → f(xa) thì liên tục tại a ( đpcm)

Định lý 2: ánh xạ f là liên tục khi và chỉ khi tạo ảnh qua f của mội tập đóng đề là tập đóng.

Chứng minh: Cho f là ánh xạ liên tục từ ( X, d) vào ( X’, d’) Giả sử f liên tục lấy A’ là tập

đóng trong X’ Ta phải chứng tỏ rằng f-1( A’) đóng trong X Giả sử a = lim xn với xn ∈ f-1( A’).Khi đó f(xn) ∈ A’ tức là a ∈ f-1 ( A’) Do đó f-1 (A’) đóng

Đảo lại: giả sử với mọi A’ đóng đều có f-1 (A’) đóng Lấy a ∈ X ta phải chứng minh rằng fliên tục tại a

Cụ thể với mỗi 0 < ع ta phải chứng tỏ rằng tồin tại 0 < ع sao cho f( β( a,δ)) ⊂β( f(a),ع)

Do β(f( a,δ) mở nên X’\ β(f( a,δ)) đóng Từ giả thiết suy ra f -1 (β(f( a,δ)) đóng Do đó f -1

(β(f( a,δ)) là mở Mặt khác, vì f(a) ∈ (β(f( a),δ) nên a ∈ f -1 (β(f( a,δ)) Do tỉnh mở của f -1

(β(f( a,δ)) nên tồi tại δ sao cho β( a,δ) ⊂ f -1 (β(f( a,δ)), tức là f( β( a,δ)) ⊂ β(f( a,δ) ( đpcm)

Định lý 2 : ánh xạ f là liên tục khi và chỉ khi tạo ảnh qua f của mọi tập hợp mở đều là tập

hợp mở

Chứng minh: Giả sử f liên tục và A’ mở Ta phải chứng minh răngf-1(A’) mở Vì A’ mở nên X’

\ A đóng Suy ra f-1 ( X’\ A’) đóng hay X \ F-1(A’) đóng, tức là f-1 (A’) mở

Giả sử tạo ảnh của mọi tập mở đều mở Khi đó để suy ra rằng tạo ảnh của mọi tập hợp đều

đúng Do đó f liên tục

Bài tập: Chứng minh truẹc tiếp định lý 2’ (không đựơc dựa vào định lý 2)

2.ánh xạ liên tục trong các không gian đặc biệt:

a ánh xạ từ A ⊂ R vào R về cơ bản khái niệm về tính liên tục của các hàm số một tậphợp A ⊂ R trùng với khai niệm đã định nghĩa trong giải tích cổ điển Cụ thể, nếu a là điểmtrong cua A thì tính liên tục của hàm F tai a theo định nghĩa 1 hoàn toàn trùng với tính liên tụctheo định nghĩa cổ điển

b ánh xạ từ không gian metric rời rạc ( x,d) vào một không gian metric ( X’, d) tuỳ ý.Nói chung, không gian metric X đựoc gọi là rời rạc, nếu d(x,y)

α > 0 với moị x, y ∈ X sao cho x ≠ y Trong không gian nh vậy, mọi tập hợp đều mở ( và vìthế đều đóng), do đó mọi ánh xạ từ X vào một không gian Metric bất kỳ đều liên tục

3 ánh xạ không đồng phôi và Đẳng cực:

Định nghĩa 2: ánh xạ f từ giữa hai không gian, Metric đợc gọi là đồng phôi, đồng cực.

1 F là song ánh:

2 F và f-1 đều liên tục

Định nghĩa 3: Toàn ánh f từ ( X, d) vào ( X’, d’) đựợc gọi là đẳng cực, nếu với mọi x, y đều

có d(x,y) = d’( f(x), f(y))

Định lý 3: Mọi đẳng cực đều là đồng phôi

Chứng minh: Nếu f là đẳng cực từ (X,d) vào (X’, d’) thì khi x, y ∈ X và x ≠ y ta có d’( f(x),f(y)) = d(x,y) ≠ 0 nên f(x) ≠ f(y) Từ đó suy ra f là song ánh việc f và f’ đều liên tục là hiểnnhiên

Ví dụ : Coi R là không gin Metric với khoảng cách thông thờng và xét ánh xạ f:

r r

x → arctgx Hiển nhiên f là song ánh Trên γ cũng xét khoảng cách thôngthờng Lấy trên mở trong γ ta chứng tỏ f-1(β) mở trong R

Thật vậy: Giả sử a ∈ f-1(β) Khi đó, f(a) ∈ B Vì B mở nên tồn tại 0 < ع sao cho

β( f(a), ع) ⊂ B hay ( f(a) –ع) ⊂ B hay ( arctya -ع; f(a) + ع) ⊂ β điều nay có nghĩa là nếuarcya - ε < y < arcya +ع

Thì y ∈ B Đặt a1 = tg(arctya - ع , a2 = tg(artyb +ع)

Khi đó bất đẳng thức arctya ε < y < ε tơng đơng với a1 < tgy < a2 , đồng thời

a1 < tg(arctga) ≡ a < a2

Đặt δ = min( a- a1, a2 – a), ta có (a - δ, a + δ) ⊂ ( a1, a2) Vì vậy nếu

x ∈ (a - δ, a + δ) thì a1 < x < a2 nếu arctya - ε < arctyx < arctya + ε, Tức là arctyx ∈ Bhay.Nh vậy ta có x ∈ ( ∝ - δ, ∝ + δ) ≡β(a, δ) ⊂ f -1(B), do đó f-1(β) mở Từ đó suy ra f liên tục.Việc chứng minh f-1 liên tục cũng thực hiện tơng tự nh vậy f là đồng phôi

Tuy nhiên f không phải đẳng cực, vì chẳng hạn, d( f(1) , f(0)) =

|arctg 1 – arctg 0 | = ( 1 , 0 ) 1

4r ≠d =

≥

Để f là đẳng cực, có thể làm nh sau: Trên γ ta không dùng khoảng cách thông thờng nữa

mà xét hàm khoảng cách mới là δ nh sau:

δ ( y, y’) = |tg y – tg y’|

Khi đó( f(x), f(x’)) = |tg f(x) - tg f(x’)| = |x - x’| = d(x, x’)

Rõ ràng khi đó f là đẳng cực/

Đ9: Tính đầy đủ của không gian metric

Trong lý thuyết số và giải tính toán học, ta đã đụng chạm đến vấn đề về tính đây đủ : đó là

sự đảm bảo cho dãy cơ bản đều có giới hạn ở đây tổng quát hơn, ta cũng đã nói tới vấn đề nàykhi nghiên cứu không gian Euclede Á đây, ta sẽ giải quyến vấn đề nay thông qua tổng quátnhất Cho các không gian metric tuỳ ý

1 Khái niệm về tính đầy đủ: Dãy điểm { xn } trong không gian metric X đựơc gọi là cơbản, nếu với một số ε > 0 đều tồn tại một số tự nhiên n sao cho khi m, n ≥ N thì ol ( xm, xn) < ε

(1)

Nói cách khác, ta có lim m, n →∞ d(xm, xn) = 0

Định nghĩa không gian Metric X( nói hàm khoảng cách d) đơcj gọi là đầy đủ, nếu trong Xmọi dãy cơ bản đều hội tụ

Ngoài ra các ví dụ về không gian Enclide đày đủ (không gian Hillbot) Ta có thể dẫn ra vô

số ví dụ về không gian metric đầy đủ bằng bổ đề sau:

Bổ đề: Mọi tập hợp con đóng(≠φ) của không gian metric đầy đủ cũng là không gian metric

đầy đủ

Phần chứng minh dành cho ban đọc

3 Tính chất của không gian Metric đầy đủ:

Xét một dãy tập hợp M1, M2,…… trong không gian metric X ta nói dã đó lông nhau, nếu

d(xm , xn) → 0 khi m, n →∞, tức là { xn } là cơ bản Từ giả thiết suy ra xn →a.

B a

b Giả sử mọi dãy hình cầu đóng lồng vào nhau và thắt dần đều có giao khác rỗng Lấy dãycơ bản { xn} ta phải chứng minh { Xn} có giới hạn Từ tính chất cơ bản của dãy suy ra:Với ε1 = 1/2 thì tồn tại n1 sao cho khi n, n’ ≥ n1 ta có d( xn, xn1) < 21 ; Nói riêng, ta cód(xn,xn’) < 21

Với mọi n≥ n1 ký hiệu B1 = B( xn1, 1) Tiếp theo với, với ε2 = 2 2

1

Lại tồn tại n2 sao chi khi n ≥ n2 thì d(xn, xn2) ≤ 2 2

1

) 2

Ta đợc một dãy vô hạn các hình cầu đóng thắt dần Mặt khác, giả sử x∈Bk+1 khi đó d( x,xn k+1) + d( xn k+1, xn k) ≤ 2 1

1 2

1 2

1

−

= + k k

k

Tức là x ∈ Bk Nh vậy dãy {Bk} lông nhau do đó ∩k=1 ∞Bk chứa ít nhất một điểm a nào đó

Rõ ràng a = limk →∞xrk Từ đó dễ dàng suy ra a còn là giới hạn của chính dãy { xn} Nh vậy mọidãy cơ bản đều hội tụ (đpcm)

Nhận xét: Dễ thấy giao của mọi ngời hình cầu trong dãy lồng nhau và thắt dần thực hiện vàchỉ chứa một điểm duy nhất

Định lý 2: Không gian Metric đầy đủ không chỉ có dạng hợp đếm đợc của các tập hợp

con tuyệt đối không trù mật

Chứng minh: Giả sử X đầy đủ và X = ∪∞

n=1 Mn , trong đó mẫu Mn đều tuyệt đối không trù mật Lấy một hình cầu đóng B1 tuỳ ý với bán kính 1/2 Vì M tuyệt đối không trù mật nên tồn tại hình cầu đóng B2⊂ B1 sao cho

B2∩ M1 = φ Có thể coi bán kính của B2 không vợt quá 2 2

1

Vì M2 không tuyệt đối không trù mật nên B2 chứa B2 sao cho B3 ∩ M2 = φ,

Trong đó B3 có bán kính không vợt quá 2 3

1

Rõ ràng { Bn} là dãy lồng nhau và thắt dầ.Vì vậy ∩∞

n=1 Bn chứa một điểm a duy nhất, điểmnày nằm trong mọi Bn+1 nên không nằm trong mọi Bn+1 nên không nằm trong tập Mn nào, đó làkhông thuộc X

Do d(xm, xn) và d (ym, yn) Cũng có giới hạn bằng 0 khi cả m và n đều tiến vào vô cực nên

d(xn, yn) - d(ym, yn)có thể nhỏ tuỳ ý, điều đó có nghĩa là đẳng số d(xn, yn) là cơ bản nên nó cógiới hạn

Ngoài ta nếu {xn} và {n’n} cùng thuộc một lớp tơng đơng x, {yn} và {y’n} cùng thuộcmột lớp tơng của y Thì do

d( xn, yn) - d( x’n, y’n)≤ d( xn, x’n) + d(yn, y’n)

Ta sẽ có: limd(x’n, y’n) = limd (x’n, y’n) Những điều nói trên cho phép ta xét ánh xạ từ Χ2

và R+ xác định nh sau: d(x’, y) = limd(xn, yn) (2) với xn đại diện cho x và (yn) đại diện cho y

Ta chứng tỏ (2) cho ta một Metric trên Χ thật vậy trứoc hết d (x,y) = 0 khi và chỉ khi {xn}

và {yn} là tơng đơng, tức là x = y Tiếp theo , rõ ràng d(x, y) = d(y,x) Cuối cùng do: d(x,x) =limd(xn, zn) = d(x,y)+ d(y,z) ≤ lim (yn, zn) =d(x, y) + d(y,z)

Nên d là metric trên X Bây giờ ta có thể xem nh không gian con của X Xét ánh xạ ϕ:X→

X biến mỗi x ∈ X thành lớp tơng đơng ϕ chính dãy cơ bản {xn} với xn = x ta chứng tỏ ϕ là đơn

ánh Thật vậy giả sử ϕ( x’n= x’ Khi đó 2 dãy { xn =x} và {x’n =x’} là 2 đại diện của cùng mộthớng tơng đơng nên limd(xn, x’n) = 0 hay x = x’ Suy ra ϕ đúng là đơn ánh Lại có d(ϕ(x), ϕ=

limd(xn, x’n) = 1 d(x, x’) nên ta có thể đồng nhất mỗi phần tử x ∈X với ϕvà không gian X vớikhông gian con ϕ(X) của X.

Bây giờ ta chứng tỏ [X] = X Lấy x ∈X Ta chứng minh rằng x = lim xn với xn ∈X Dãy

đại diện {x=n} của x( xn∈X) Với mũ n ta có thể coi xn là lớp tơng đơng ϕ(xn ) chứa dãy đờng,{xnk = xn} ta có: d(xn, x) = d( ε(xn), x) = limdk →∝ (dn, xk)

Vì vậy limd(xn,x)n →∝ = limk →∝ d(xn, xk) = 0

Suy ra: X là giới hạn cau dãy gồm các điểm xn∈ X, tức là x ∈[X]

Cuối cùng ta chứng tỏ X Trớc hết, Xét trờng hợp đăcj biệt , khi mỗi đoạn X, trớc hết, xétnhững trờng hợp đặc biệt khi mỗi đoạn, thực chất là một điểm xn∈xn ; xn2 = x tức là có thể đồngnhất với dãy đúng xn, 2 = xn, xn,2… , xn khi đó d(xm,xn) = d(xn,xm)→0

Khi m, n → 0 tức là dãy {xn} cơ bản Nếu vậy lớ tơng đong x chứa {xn} chính là giới hạncủa {x’n} ≡ {xn} Thật vậy, ta có” d=(xn,x) = limd(xn,k, xk) = limk →∞d(xm, xk)

Nên limn →∞d(xn, x) = limk,n →∞d(xn, xk) = 0 hay xn →x Nh vậy dãy cơ bản { xn} hội tụ

Bây giờ ta xét trờgn hợp tổng quát: {xn} là dãy tuỳ ý trong X Do X trù mật trong X nên vớimỗi xn đều tồn tại xn thuộc sao cho d( xĀ n, x’n) ≤ 1/n Vì d(xn, xm) = d(xn, xm) ≤ d(xm, xm) + d(xn,

xn) + d(xn, xn) ≤ 2/n + d(xm, xn), nên từ tính cơ bản của { xn} Suy luận nh trên , ta có bóng tơng

đơng chứa dãy { xĀ n} chính là giới hạn của { xn} ( nh dãy trong X )mặt khác, c≤ d(xn, x) ≤

d(xn, xn) + d (xn, x) ≤ 1/n + d (xn, x) →0 nên xn→x

Nh vậy, mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ, tức là X đầy đủ, vậy bao đầy dủ của X tồn tại.Bây giờ ta chứng minh tính suy nhất của bao đầy đủ Giả sử X và X cũng là bao đầy đủ của X.xét ánh xạ f: X→X, xác định nh sau:

Giả sử x ∈ X khi đó tồn tại dãy {xn}trong X Sao cho xn →x theo metric d trong X đơngnhiên, {xn} là cơ bản trong X a và so metric d và d trùng nhau Trên X, nên{xn} cơ bản trong a,

và do đó cũng cơ bản trong X Theo chứng minh trên, xn → x ∈ X Rõ ràng, nếu {xn} cũng hội tụtối trong x trong X thì {xn} lại cũng sẽ hội tụ tới chính x trong a, tức là x chhỉ phụ thuộc x đặtf(x) = x’ nếu x = x ∈ X thì f(x) = x tức là f là ánh xạ đồng nhất trên a, Tiếp theo, với x, y ∈ X

và x,y ∈X và xn →x’,yn → y ta cũng có x,y ∈ X và xn →x’,yn → y, nên: d(x,y) =limd(xn, yn)=limd(xn, yn) = limd(xn, yn) = d(x,y) vậy X và X đẳng vị với nhau

Bài tập: chứng minh rằng nếu m là tập hợp không đóng trong không gian metric thì :Ā

a , m là không gian không đầy đủ

b Nếu a là đầy đủ thì M [là bao đầy đủ của M]

Đ10: Nguyên lý ánh xạ cơ:

Trong toán học rất nhiều bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của 1 loại phơng trìnhnào đó quy về việc tìm điểm bất động, tức là điểm không có ảnh là chính nó, qua 1 ánh xạthuộc loại giảm khoảng cách hay ánh xạ co Dới đây ta sẽ làm quen với phơng pháp quan trọngnày, và ta xét một vài ứng dụng đơn giản

1 Nguyên lý ánh xạ co:

Định nghĩa: ánh xạ f từ không gian Metric A và chính nó đợc gọi là ánh xạ co nếu nó tồntại một số và dơng nhỏ hơn 1 sao cho với 2 phần tử bất kỳ x,y thuộc a đều có:

D( f(x)), f(y)) ≤∝ d(x,y) (1)

ví dụ đơn giản về ánh xạ có trên là ánh xạ f: x → x/2 ở đây có thể lấy bất kỳ ∝∈(1/2); (1)

Định lý: trong không gian metric đầy dủ, mỗi ánh xạ co f đều có duy nhất 1 điểm bất động,

tức là điểm a sao cho f(a)= A( nguyên lý ánh xạ co)

∝∈(0;1) sao cho d(f(x), f(x)) X∝d(x,y) với mọi x, y∈a lấy x1 tuỳ ý trong X và đọc f(xn) = xn+1,n=1,2,…

Khi đó (vơí n ≥2):

D(xn, xn+1) =d(f(xn-1), f(xn)) ≤∝ d(xn-1, xn) ≤ …≤∝n-1 d(x1,x2)