Toán tử tuyến tính trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Nguyễn Thị Dung TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017... TRƯỜNG ĐẠI H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Dung

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Dung

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em cóthể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo emtận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện đề tài thực tập này

Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Dung

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoaToán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn.Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Em xin khẳng định kết quả của đề tài Toán tử tuyến tính trong khônggian Hilbert không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Dung

Mục lục

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 1

1.2 Toán tử tuyến tính 2

1.3 Không gian Hilbert 3

2 Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert 6 2.1 Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp 6

2.2 Toán tử khả nghịch, toán tử chuẩn tắc, toán tử đẳng cự và toán tử Unita 12

2.3 Toán tử dương 18

2.4 Toán tử chiếu 25

2.5 Toán tử compact 32

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài

toán có nguồn gốc thực tiễn Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng

vai trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn Để nắm vững hơn

các kiến thức của giải tích nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn

đề tài khóa luận tốt nghiệp: Toán tử tuyến tính trong không gian

Hilbert

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về

giải tích và đặc biệt là toán tử tuyến tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu toán tử tuyến tính

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

bao gồm 2 chương:

• Chương 1: Những khái niệm cơ bản

• Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Hoàng Ngọc Tuấn đã tận

tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận

lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận

này

Hà Nội, ngày 23/04/2017

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Dung

Những khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Một hàm x → kxk từ không gian vectơ E đến K đượcgọi là chuẩn nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1) kxk ≥ 0 ∀x ∈ E, kxk = 0 ⇔ x = 0;

2) kλxk =| λ | kxk ∀x ∈ E, λ ∈ K ;

3) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ E

Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ cùng với một chuẩn được gọi là

không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3 E là không gian định chuẩn Dãy (xn) các phần tửcủa E được gọi là hội tụ đến phần tử a ∈ E nếu lim

n→∞kxn − ak = 0.Định nghĩa 1.4 Dãy (xn) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩnnếu lim

m,n→∞kxm − xnk = 0 Hay tương đương ∀ > 0, ∃n0, ∀m, n ≥ n0 :

kxm− xnk < 

Định nghĩa 1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không

gian metric đầy

Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

K Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tínhnếu A thỏa mãn các điều kiện:

1) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay

2) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K thì A(αx) = αAx

Thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính

Khi A thỏa mãn điều kiện 1) thì A được gọi là ánh xạ cộng tính

Khi A thỏa mãn điều kiện 2) thì A được gọi là ánh xạ thuần nhất

Khi Y = K thì A gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.7 Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Toán tử

tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian Y gọi là bị chặn

nếu tồn tại hằng số c ≥ 0:

Định nghĩa 1.8 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn

X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ

thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A Kí hiệu kAk

Định lý 1.1 (Định lý 3 mệnh đề tương đương) Cho A là toán tử tuyến

tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó

3 mệnh đề sau tương đương:

1) A liên tục

2) A liên tục tại điểm x0 nào đó trong X

3) A bị chặn

Định lý 1.2 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X

vào không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn thì

kAk = sup

kxk≤1

kAxk

Định nghĩa 1.9 (Tích vô hướng) Giả sử X là không gian tuyến tính

trên trường K Tích vô hướng trong X là ánh xạ:

Định nghĩa 1.10 Không gian tích vô hướng là một cặp (X, h., i), trong

đó X là không gian tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

là không gian định chuẩn với chuẩn kxk = phx, xi, ∀x ∈ X

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là

không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Ví dụ 1.1 Không gian Ck với tích vô hướng xác định bởi:

Định lý 1.3 (Định lý Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong

không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Định nghĩa 1.12 (Sự hội tụ yếu) Một dãy (xn) các vectơ trong mộtkhông gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ yếu tới một vector x ∈ E

nếu hxn, yi → hx, yi khi n → ∞, ∀y ∈ E

Chương 2

Toán tử tuyến tính trong không

gian Hilbert

2.1 Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 2.1 (Toán tử liên hợp) Cho A là một toán tử bị chặn trong

không gian Hilbert H Toán tử A∗: H → H xác định bởi:

hAx, yi = hx, A∗yi, ∀x, y ∈ H

được gọi là toán tử liên hợp của A

Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa

(A + B)∗ = A∗ + B∗,(αA)∗ = αA∗,(A∗)∗ = A,

I∗ = I,

(AB)∗ = B∗A∗;với A, B là các toán tử bất kỳ và vô hướng α tùy ý.

Định lý 2.1 Toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A là bị chặn Hơnnữa, ta có kAk = kA∗k và kA∗Ak = kAk2

Chứng minh Ta chỉ ra rằng toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A

là bị chặn Vì hAx, yi và hx, A∗yi cùng xác định một hàm song tuyếntính Suy ra kAk = kA∗k

Ta có

kA∗Ak ≤ kA∗kkAk = kAk2.Mặt khác, với mọi x ∈ H, ta có

kAxk2 = hAx, Axi = hA∗Ax, xi ≤ kA∗Axkkxk ≤ kA∗Ak2kxk2

Do đó kA∗Ak = kAk2

Các toán tử A và A∗ không bằng nhau, ví dụ H = C2 và cho A đượcxác định bởi

A(z1, z2) = (0, z1)

Khi đó hA(x1, x2), (y1, y2)i = x1y2 và h(x1, x2), A(y1, y2)i = x2y1

Định nghĩa 2.2 (Toán tử tự liên hợp) Nếu A = A∗ thì là toán tử tử

tự liên hợp, khi đó hAx, yi = hx, Ayi với mọi x, y ∈ H

Ví dụ 2.1 Cho H = CN và e1, e2, , eN là cơ sở trực chuẩn trong H

A là một toán tử biểu diễn bằng ma trận (aij), ở đó aij = hAej, eii Khi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

đó toán tử A∗ được biểu diễn bằng ma trận bkj = hA∗ej, eki Do đó

bkj = hej, Aeki = hAek, eji = ajk

Vậy toán tử A là tự liên hợp khi và chỉ khi aij = aji Một ma trận thỏamãn điều kiện này thường được gọi là Hermitian

Ví dụ 2.2 Cho H là không gian có số chiều vô hạn tách được và

e1, e2, e3, là dãy trực giao đầy đủ trong H A là một toán tử bị chặntrong H biểu diễn bởi ma trận vô hạn (αij) Đối với trường hợp hữu hạnchiều, toán tử liên hợp A∗ biểu diễn bởi một ma trận hữu hạn (αji) A

là tự liên hợp khi và chỉ khi aij = aji với mọi i, j ∈ N

Ví dụ 2.3 Cho T là một toán tử Fredholm trong L2([a, b]) xác định bởi

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H ta có

hT1x, yi = hA∗Ax, yi = hAx, Ayi = hx, A∗Ayi = hx, T1yi

hT2x, yi = h(A + A∗)x, yi = hx, (A + A∗)∗yi = hx, (A + A∗)yi = hx, T2yi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

Định lý 2.3 Tích của hai toán tử tự liên hợp là một toán tử tự liên hợp

khi và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán

Chứng minh Cho A và B là các toán tử tự liên hợp, khi đó

(ABx, y) = (Bx, Ay) = (x, BAy)

Do đó nếu AB = BA thì AB là tự liên hợp Nếu AB là tự liên hợp thì

từ trên suy ra AB = (AB)∗ = BA

Hệ quả 2.1 Nếu A là tự liên hợp thì đa thức bất kỳ nào của A với các

hệ số thực αn, , α0 cũng là tự liên hợp

αnAn + + α1A + α0I

Định lý 2.4 Với mọi toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H

đều tồn tại các toán tử tự liên hợp A và B sao cho T = A + iB và

= h(Ax, y) + i(Bx, y)i

= hx, Ayi + ihx, Byi

Bây giờ ta giả sử kxk = 1 và T x 6= 0.

Nếu ta cho z = kT xkT x , thì Re(T x, z) = Re(T x, kT xkT x ) = kT xk và từ(2.1), ta có

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

2.2 Toán tử khả nghịch, toán tử chuẩn tắc, toán tử

đẳng cự và toán tử Unita

Định nghĩa 2.3 (Toán tử khả nghịch)

Cho A là một toán tử xác định trong một không gian vector con

của E Một toán tử B xác định trên R(A) (hạng của A) được gọi là

nghịch đảo của A nếu ABx = x với mọi x ∈ R(A) và BAx = x với mọi

x ∈ D(A) (miền xác định của A) Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo

thì được gọi là khả nghịch Nghịch đảo của A kí hiệu là A−1

Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất Thật

vậy, giả sử B1 và B2 là các nghịch đảo của A thế thì

B = B1I = B1AB2 = IB2 = B2.Chú ý rằng D(A−1) = R(A) và R(A−1) = D(A)

Định lý 2.6 (a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử

tuyến tính

(b) Một toán tử A là khả nghịch khi và chỉ khi Ax = 0 dẫn đến x = 0

(c) Nếu một toán tử A là khả nghịch và các vector x1, x2, , xn là độclập tuyến tính thì Ax1, Ax2, , Axn là độc lập tuyến tính

(d)Nếu các toán tử A, B khả nghịch thì toán tử AB cũng khả nghịch

và ta có (AB)−1 = B−1A−1

Từ phần (c) của định lý trên suy ra nếu E là một không gian hữu hạn

chiều và A là một toán tử tuyến tính khả nghịch trong E thì R(A) = E

Ví dụ 2.5 Cho E = l2 Xác định một toán tử A trên E

A(x1, x2, ) = (0, x1, x2, )

Đây là toán tử khả nghịch trong l2

Định lý 2.7 Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H

sao cho R(A) = H Nếu A có nghịch đảo bị chặn thì liên hợp A∗ là khảnghịch và (A∗)−1 = (A−1)∗

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

Chứng minh

(A−1)∗ = (A∗)−1 = A−1

Định nghĩa 2.4 (Toán tử chuẩn tắc) Toán tử bị chặn T được gọi là

toán tử chuẩn tắc nếu nó giao hoán với toán tử liên hợp của nó, tức là

T T∗ = T∗T

Chú ý rằng T chuẩn tắc khi và chỉ khi T∗ chuẩn tắc Mọi toán tử tựliên hợp là chuẩn tắc Các định lý sau giúp ta đi tìm những ví dụ về

toán tử chuẩn tắc mà không tự liên hợp

Định lý 2.8 Một toán tử bị chặn T là chuẩn tắc khi và chỉ khi

kT xk = kT∗xk, ∀x ∈ H

Chứng minh Với mọi x ∈ H, ta có:

(T∗T x, x) = (T x, T x) = kT xk2.Nếu T là chuẩn tắc, thì ta cũng có

(T∗T x, x) = (T T∗x, x) = (T∗x, T∗x) = kT∗xk2

và do đó kT xk = kT∗xk

Bây giờ ta giả sử rằng kT xk = kT∗xk, với mọi x ∈ H Theo lập luậntrên ta có (T T∗x, x) = (T∗T x, x), với mọi x ∈ H Suy ra T T∗ = T∗T Định lý 2.9 Nếu A là chuẩn tắc thì (αI − A) là chuẩn tắc với bất kỳ

α ∈ C.

Chứng minh Vì (αI − A)∗ = (αI − A∗), ta có

(αI − A)(αI − A)∗ = |α|2I − αA − αA∗ + AA∗ = (αI − A)∗(αI − A)

Định lý 2.10 Cho T là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H, A

và B là các toán tử liên hợp trong H sao cho T = A + iB Khi đó T là

chuẩn tắc khi và chỉ khi A và B giao hoán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

Chỉ ra rằng kTnk ≥ kT kn ta lấy x sao cho kxk = 1 và chỉ ra rằng

với mọi n ∈ N

Rõ ràng (2.5) đúng với n = 1 Nếu T x = 0, thì đẳng thức trên đúng

với mọi n ∈ N Bây giờ ta giả sử T x 6= 0 và (2.5) đúng với n = 1, 2, , m

Trước hết lưu ý rằng

kT2xk = kT∗T xk ≥ hT∗T x, xi = kT xk2 (2.6)Bây giờ từ (2.6) và giả thiết quy nạp ta được

Định nghĩa 2.5 (Toán tử đẳng cự) Toán tử bị chặn T trong không

gian Hilbert H được gọi là đẳng cự nếu kT xk = kxk với mọi x ∈ H

Ví dụ 2.6 Cho (en), n ∈ N là dãy trực giao đủ trong không gian Hilbert

H Tồn tại duy nhất một toán tử A sao cho Aen = en+1, với mọi n ∈ N Nếu x = P∞

n=1αnen thì Ax = P∞

n=1αnen+1 Rõ ràng A là tuyến tính vàkAxk2 = P∞

n=1kαnkn = kxk2 Do đó A là toán tử đẳng cự

Định lý 2.12 Một toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H là

đẳng cự khi và chỉ khi T∗T = I trong H

Chứng minh Nếu T là đẳng cự thì với mọi x ∈ H ta có kT xk2 = kxk2

Chú ý rằng, toán tử đẳng cự "bảo toàn tích vô hướng", nghĩa là

hT x, T yi = hx, yi với mọi x, y ∈ H Đặc biệt x⊥y khi và chỉ khi T x⊥T y

Một toán tử đối xứng là một đẳng cấu từ không gian Hilbert H vàoR(T )

Định nghĩa 2.6 (Toán tử Unita) Toán tử bị chặn T trong không gian

Hilbert H được gọi là toán tử Unita nếu T∗T = T T∗ = I trong H.Các định lý sau suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Định lý 2.13 Một toán tử T là Unita khi và chỉ khi nó khả nghịch và

T−1 = T∗

Ví dụ 2.7 Cho H = L2([0, 1]), toán tử T trong H xác định bởi(T x)(t) = x(1 − t) là Unita T là ánh xạ 1-1 từ H vào H và kT xk = kxk

với mọi x ∈ H Một toán tử Unita là toán tử chuẩn tắc, điều ngược lại

chưa chắc đúng Như trong trường hợp toán tử tự liên hợp A bất kỳ sao

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

Định lý 2.14 Cho T là một toán tử Unita, khi đó T−1 và T∗ là Unita.Chứng minh Ta có

(T−1)∗T−1 = T∗∗T−1 = T T−1 = I

Tương tự T−1(T−1)∗ = I và do đó T−1 là Unita Vì T∗ = T−1, T∗ cũng

là Unita

Nếu A và B là các toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H,thì ta

viết A ≥ B (hoặc B ≥ A) Nếu (Ax, x) ≥ (Bx, x) với mọi x ∈ H Quan

Ví dụ 2.8 Cho ϕ và ψ là các hàm không âm liên tục trên [a, b] và A, B

là các toán tử trên L2[a, b] xác định bởi Ax = ϕx và Bx = ψx Nếuϕ(t) ≥ ψ(t) với mọi t ∈ [a, b] thì A ≥ B Bất kỳ x ∈ L2[a, b] ta có

Định lý 2.15 Nếu A là một toán tử tự liên hợp trong H và kAk ≤ 1

thì A ≤ I

Chứng minh Nếu kAk ≤ 1 thì

hAx, xi ≤ kAkkxk2 ≤ hx, xi = hIx, xivới mọi x ∈ H

Hệ quả 2.3 Nếu A là một toán tử tự liên hợp thì ∃α ≥ 0 (α ∈ R) saocho αA ≤ I

Định nghĩa 2.7 (Toán tử dương) Toán tử A được gọi là dương nếu nó

tự liên hợp và hAx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H

Ví dụ 2.9 Cho K là hàm dương liên tục xác định trên [a, b] × [a, b]

Toán tử tích phân trên L2[a, b] xác định bởi

với mọi x ∈ L2[a, b]

Định lý 2.16 Với bất kỳ toán tử bị chặn A trong H, các toán tử A∗A

và AA∗ là dương

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

Chứng minh Nếu y ∈ D(A−1) thì y = Ax với một số x ∈ H thì

hA−1y, yi = hA−1Ax, Axi = hx, Axi ≥ 0

Ví dụ 2.10 Tích của 2 toán tử dương chưa chắc đã dương Thật vậy,

xét toán tử trong C2 xác định bởi ma trận

tính tổng quát, ta giả sử A 6= 0 Xây dựng dãy các toán tử A1 = A/kAk

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung

Vì B giao hoán với An, với mọi n ∈ N , ta có

(ABx, x) = kAk(BA1x, x) = kAk

Hệ quả 2.4 Cho A và B là các toán tử tự liên hợp Nếu A ≤ B thì

AC ≤ BC, với mọi toán tử dương C mà giao hoán với cả A và B

Định lý 2.19 Cho A là một toán tử dương trong H sao cho

Chứng minh Đầu tiên ta thấy rằng (2.8) tương đương với

Do đó dãy (xn) là dãy Cauchy vì dãy (yn) là dãy Cauchy Vậy dãy (xn)

có giới hạn trong H, nói xn → x Từ tính liên tục của A ta có

yn = Axn → Ax

Dẫn đến y = Ax, chứng minh R(A) là đóng

Giả sử (Ax, y) = 0 với mọi x ∈ H, nhưng nghĩa là ta phải có (Ay, y) =

0 dẫn đến y = 0 Do đó R(A)⊥ = 0

Cuối cùng, nếu