Tập kì dị của toán tử của toán tử thế vị trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN TRỊNH THỊ LỆ XUÂN TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ LỆ XUÂN

TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ LỆ XUÂN

TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN

Hà Nội – Năm 2017

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận

được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô trong tổ giải

tích nói riêng và khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói

chung cùng với sự hỗ trợ, giúp đỡ của các bạn sinh viên

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán trường

Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp đỡ tôi trong

bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận

này

Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sấu sắc đến thầy giáo

ThS Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ

tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên những vấn đề trình

bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất

mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên

để khóa luận của tôi có thể hoàn thiện hơn nữa

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017

Tác giả khóa luận

Trịnh Thị Lệ Xuân

Khóa luận tốt nghiệp này của tôi, được hình thành dưới sự hướng

dẫn của thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn cùng với đó là sự cố gắng

của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tham khảo và kế thừa những

thành quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Tôi xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả

nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của

các tác giả khác

Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017

Tác giả khóa luận

Trịnh Thị Lệ Xuân

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Bảng kí hiệu

1.1 Không gian Hilbert 3

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.1.2 Tập lồi 5

1.1.3 Nón lồi 7

1.1.4 Toán tử Fredholm 7

1.1.5 Khả vi Gâteaux 7

1.2 Điểm tụ 8

1.3 Hàm lồi 9

1.3.1 Định nghĩa hàm lồi 9

1.3.2 Hàm nửa liên tục dưới 10

1.3.3 Hàm nửa liên tục dưới yếu 11

1.4 Định lý giá trị trung bình 11

DANH MỤC KÍ HIỆU

C1 tập tất cả các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục

C2 tập tất cả các hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục

span(A) bao tuyến tính của tập A

dist(x0, L) khoảng cách từ điểm x0 đến tập L

ess sup

Ω

|u(x)| cận dưới lớn nhất các hằng số k sao cho |u(x)| ≤ k

L1(Ω) không gian các hàm khả tích bậc 1 trong Ω

L∞(Ω) không gian các hàm bị chặn và đo được theo

Lebesgue với chuẩn ky(x)kL∞ (Ω) = ess sup

x∈Ω

|y(x)|meas(A) độ đo của tập A

H10 không gian Sobolev thông thường

∇u(x) Gradient của u tại x

L(X, Y ) không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục

Lời mở đầu

Toán học là một trong những ngành khoa học cơ bản cổ xưa nhất

của nhân loại Nó có sức cuốn hút mãnh liệt, đã và đang là niềm đam

mê của rất nhiều thế hệ các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả

một kho tàng vô tận những bí ẩn cũng như khả năng ứng dụng trong

rất nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống Trong đó, Giải tích là

một lĩnh vực đóng vai trò quan trọng và có ứng dụng mạnh mẽ trong

thực tiễn

Vào năm 1978, R A Plastock đã nghiên cứu về các điểm kì dị của

ánh xạ phi tuyến Fredholm với chỉ số không Đến năm 1980, ông cùng

với M S Berger cũng đã nghiên cứu bài toán trên với toán tử phi

tuyến Fredholm với chỉ số dương Cùng với hướng nghiên cứu về các

điểm kì dị của ánh xạ phi tuyến, Biagio Ricceri lại nghiên cứu về tập

điểm kì dị của toán tử thế vị Các kết quả mà Biagio Ricceri nghiên

cứu được trình bày trong hai bài báo [8] năm 2007 và [9] năm 2015

Khóa luận này được hoàn thành chủ yếu dựa trên nội dung bài báo

[8] của Biagio Ricceri Giả sử X là một không gian Hilbert và J là

một phiếm hàm C1(X) xác định như sau J : X −→ R Với mỗi λ > 0

ta xác định toán tử Φλ : X −→ X, Φλ(x) = x + λJ0(x) với mọi x ∈ X

Khi đó, điểm x0 ∈ X được gọi là điểm kì dị của Φλ nếu Φ không làphép đồng phôi địa phương tại điểm x0 Tập các điểm kì dị của Φ ta kí

hiệu là SΦ Ta dễ thấy SΦ là tập đóng Dưới các giả thiết hàm J nửa

liên tục dưới yếu theo dãy, không tựa lồi, thuần nhất dương với bậc

α khác 2, không âm với bậc α > 2 và Φ đóng, Định lý 2.1 đã khẳng

định hai tập SΦ và Φ(SΦ) phi σ-compact.

Phần cuối của khóa luận tôi đưa ra ứng dụng của tính chất trên

(Định lý 2.1) cùng với Định lý 2.3 cho bài toán Dirichlet

hàm cho trước Một ứng dụng điển hình được đưa ra với các giả thiết

của Định lý 2.3 thì tồn tại λ∗ > 0 sao cho các hàm u ∈ H01(Ω) là

nghiệm của bài toán Dirichlet

có một nghiệm yếu khác không chứa một điểm tụ

Do hạn chế về trình độ và thời gian thực hiện đề tài nên khóa luận

không tránh khỏi những sai sót Tôi kính mong quý thầy cô và bạn

đọc góp ý để khóa luận này hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017

Tác giả khóa luận

Trịnh Thị Lệ Xuân

Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này tôi sẽ liệt kê một số định nghĩa, định lý, tính chất cần

thiết.Ta luôn giả thiết X là một không gian Hilbert thực và A, B là

các tập con của X, x là một điểm thuộc X

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường R Ta gọitích vô hướng trên không gian X là mọi ánh xạ từ X × X vào trường

R, ký hiệu h·, ·i thỏa mãn các tiên đề:

i Với mọi x, y ∈ X, hx, yi = hy, xi;

ii Với mọi x, y, z ∈ X, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi;

iii Với mọi x, y ∈ X, ∀α ∈ R, hαx, yi = αhx, yi;

iv Với mọi x ∈ X, hx, xi > 0 nếu x 6= 0 (với 0 là phần tử không),

hx, xi = 0 nếu x = 0

Định nghĩa 1.2 Ta gọi một tập X 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z,

nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập X thỏa mãn các điều kiện

i X là không gian tuyến tính trên trường R;

ii X được trang bị một tích vô hướng h·, ·i,

iii X là không gian Banach với chuẩn kxk =phx, xi, ∀x ∈ X.Định nghĩa 1.3 Một tập A trong không gian X được gọi là compact

nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc A đều chứa dãy con hội tụ tới

phần tử thuộc A Tập A được gọi là compact địa phương nếu với mọi

điểm a ∈ A tồn tại lân cận U của a sao cho U ∩ A là tập compact

Một tập là σ-compact nếu nó là hợp của một họ đếm được các tập

compact

Định lý 1.1 Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ liên tục và A ⊆ X Khi

đó, nếu A compact thì f (A) compact

Nếu f : X −→ Y là một song ánh liên tục giữa các không gian X

và Y thì ánh xạ ngược f−1 : Y −→ X được xác định nhưng có thể

không liên tục Nếu f−1 cũng liên tục thì ta nói f là một phép đồng

phôi

Định nghĩa 1.4 Cho A và B là hai tập con của X Tập A được gọi

là trù mật trong B nếu B ⊂ A Nếu A = X thì A được gọi là trù mật

khắp nơi trong X

Định nghĩa 1.5 Không gian X gọi là không gian tách được nếu tập

X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong không gian X

Định nghĩa 1.6 Một phiếm hàm f : X −→ R xác định trên khônggian Hilbert X được gọi là bức (coercive) nếu thỏa mãn

Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường

thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi Trong khi

mặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi

Mệnh đề 1.1 Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi

Định nghĩa 1.8 Giả sử A ⊂ X Giao của tất cả các tập lồi chứa A

được gọi là bao lồi của tập A và ký hiệu là co A

Nhận xét 1.1 Tập bao lồi co A của A là một tập lồi và là tập lồi

nhỏ nhất chứa A

Định nghĩa 1.9 Vectơ x được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1, x2, , xm

thuộc X nếu tồn tại λi ≥ 0 (i = 1, , m) thỏa mãn

i Một tập lồi thì chứa mọi tổ hợp lồi của các vectơ của nó,

ii Tập co A = x | là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A ,

iii Tập C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C.

Mệnh đề 1.3

i Cho A, B ⊆ X là các tập lồi, α ∈ R Khi đó, các tập A + B và

αA đều là các tập lồi,

ii Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính là

tập lồi

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh i Thật vậy, lấy các phần tử

a1, a2 ∈ A, b1, b2 ∈ B và λ ∈ (0, 1) Do A và B là các tập lồi nên

λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A và λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B Ta có

λ(a1+b1)+(1−λ)(a2+b2) = [λa1+(1−λ)a2]+[λb1+(1−λ)b2] ∈ A+B,

λ(αa1) + (1 − λ)(αa2) = α(λa1 + (1 − λ)a2) ∈ αA

Vậy A + B và αA là các tập lồi

Tiếp theo ta chứng minh ii Giả sử F ∈ L(X, Y ) (L(X, Y ) là không

gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y ) và A ⊆ X, B ⊆ Y là các tập

lồi Với mọi x1, x2 ∈ A và λ ∈ (0, 1) ta có

1.1.3 Nón lồi

Một tập K ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta

có λk ∈ K Hơn nữa, nếu K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi

Mệnh đề 1.4

i Giao của một họ bất kì các nón (nón lồi) là nón (nón lồi),

ii Nếu K, L là các nón (nón lồi) thì K + L cũng là nón (nón lồi)

1.1.4 Toán tử Fredholm

Cho X và Y là hai không gian Hilbert trên trường R Một toán tửtuyến tính liên tục T : X −→ Y được gọi là toán tử Fredholm nếu

số chiều dim ker T của ker T và số đối chiều codim T của R(T ) là

hữu hạn Trong đó R(T ) là ảnh của toán tử T hay R(T ) = T (X) ={T x : x ∈ X} Ta kí hiệu chỉ số của toán tử Fredholm T là index T vàđược định nghĩa như sau

index T = dim ker T − codim T

Khi index T = 0 ta gọi T là toán tử Fredholm với chỉ số 0

1.1.5 Khả vi Gâteaux

Cho X là không gian Hilbert, hàm f : X −→ (−∞, +∞] và x0 thuộc

dom f Với mỗi d ∈ X ta định nghĩa đạo hàm của f theo hướng d, kí

hiệu f0(x0; d), là giới hạn sau (nếu nó tồn tại, hữu hạn hoặc vô hạn)

f0(x0; d) := lim

λ→0+

f (x0 + λd) − f (x0)

Hàm f gọi là khả vi Gâteaux tại x0 nếu tồn tại x∗ ∈ X∗ (X∗ là khônggian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X) sao cho

Phiếm hàm x∗ như trên, nếu có, là duy nhất và được gọi là đạo hàm

Gâteaux của f tại x0, kí hiệu fG0 (x0) Nếu sự hội tụ trong (1.1) là đều

theo d trong một tập bị chặn bất kì của X thì x∗ được gọi là đạo hàm

Fréchet của f tại x0 và kí hiệu là f0(x0)

Định nghĩa 1.10 Một hình cầu mở tâm a, bán kính r(r > 0) trong

một không gian Hilbert X là tập

B(a, r) = {x : kx − ak < r}

Hình cầu mở B(a, r) được gọi là một r−lân cận của điểm a

Định nghĩa 1.11 Một điểm x được gọi là điểm tụ của một tập A

khi mọi lân cận của x đều chứa vô số điểm của A (x có thể thuộc A

hoặc không thuộc A)

Mệnh đề 1.5 Một điểm x là điểm tụ của tập A khi và chỉ khi mỗi

lân cận của x có chứa ít nhất một điểm của A khác x

Chứng minh Thật vậy, nếu x là điểm tụ của A thì rõ ràng nó thỏa

mãn điều kiện trên Ngược lại giả sử một điểm x thỏa mãn điều kiện

đó và cho B1 là một lân cận bất kỳ của x Trong B1 có một điểm

x1 ∈ A, x1 6= x Ta có thể chọn một lân cận B2 của x đủ nhỏ để khôngchứa x1 (chỉ cần lấy một r−lân cận của x có r bé hơn kx − x1k) Trong

B2 có một điểm x2 ∈ A, x2 6= x (và x2 6= x1) Ta lại chọn một lân cận

B3 của x đủ nhỏ để không chứa x1 và x2 Trong B3 có một điểm

x3 ∈ A, x3 6= x (và x3 6= x2, x3 6= x1), v.v Cứ tiếp tục như thế mãi,

ta sẽ thu được trong B1 vô số điểm của A khác với x là x1, x2, x3,

Vậy x đúng là điểm tụ của A

1.3.1 Định nghĩa hàm lồi

Định nghĩa 1.12 Cho X là một không gian Hilbert, A là một tập

con khác rỗng của X và phiếm hàm nhận giá trị thực mở rộng trên A

f : A −→ R := [−∞, ∞]

Các tập hợp dưới đây:

dom f := {x ∈ A | f (x) < ∞}

epi f := {(x, γ) ∈ A × R | f (x) ≤ γ}

lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và tập trên đồ thị của f Ngoài ra,

với mỗi α ∈ R, ta gọi tập mức dưới của hàm f (với mức α) là

C(f ; α) := {x ∈ A | f (x) ≤ α}

Ta dễ thấy tập C(f ; α) cũng bằng {x ∈ A | (x, α) ∈ epi f }

Hàm f được gọi là chính thường nếu tập dom f 6= ∅ và f (x) > −∞

với mọi x ∈ A, được gọi là hàm lồi trên A nếu tập epi f là tập lồi và

được gọi là hàm lõm nếu hàm −f là hàm lồi

Hàm f được gọi là tựa lồi nếu tập C(f ; α) lồi với mọi α ∈ R.Định nghĩa 1.13 Hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất

dương nếu với mọi x ∈ X, λ ∈ (0, +∞) ta có

f (λx) = λf (x)

1.3.2 Hàm nửa liên tục dưới

Một hàm f : X −→ R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu

1.3.3 Hàm nửa liên tục dưới yếu

Phiếm hàm f : X → R được gọi là hàm nửa liên tục dưới yếu theodãy nếu f (x) ≤ lim inf

n→∞ f (xn) với mọi dãy {xn} trong X hội tụ yếu đến

x ∈ X

Mệnh đề 1.6 Cho f : X −→ R, ba mệnh đề sau là tương đương

i Hàm f nửa liên tục dưới,

ii Tập C(f ; α) đóng với mọi α ∈ R,

iii Tập epi f là tập đóng trong X × R

Định nghĩa 1.14 Cho phiếm hàm f trên không gian Hilbert X Ta

nói x0 ∈ X là điểm cực tiểu địa phương của f trên X nếu tồn tại lâncận gốc V sao cho

f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ x0 + V, (1.2)

còn nếu ta có

thì ta nói x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f

Rõ ràng, một điểm cực tiểu toàn cục cũng là cực tiểu địa phương

Trong trường hợp hàm f lồi thì hai khái niệm này trùng nhau Thật

vậy, giả sử (1.2) thỏa mãn Với mọi x ∈ X ta chọn λ > 0 đủ nhỏ sao

cho λ(x − x0) ∈ V Lúc đó

f (x0) ≤ f (x0 + λ(x − x0)) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0),

suy ra f (x0) ≤ f (x) Vậy (1.3) cũng thỏa mãn

Định lý 1.2 Cho f : X −→ R là phiếm hàm trên không gian lồi địaphương X, khả vi Gâteaux trên tập mở A ⊆ X Với mọi x, y ∈ X, x

khác y sao cho [x, y] ⊆ A tồn tại z ∈ (x, y) thỏa mãn

i Với mỗi x ∈ A, hàm f (·, x) : X −→ B là đo được,

ii Với mỗi t ∈ X, hàm f (t, ·) : A −→ B là liên tục

Trong các phần tiếp theo, ta kí hiệu A là họ tất cả các hàm Caratheodory

Tập kỳ dị của toán tử thế vị

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu với (X, h· , ·i) là một không

gian Hilbert thực và J : X −→ R là một hàm C1 Với mỗi λ > 0, tađịnh nghĩa toán tử Φλ : X −→ X được xác định như sau

Φλ(x) = x + λJ0(x), ∀x ∈ X

Trong đó J0(x) là đạo hàm Fréchet của hàm J tại x Để đơn giản cho

việc kí hiệu chúng ta sẽ viết Φ thay cho Φ1 khi λ = 1

Cho một toán tử T : X −→ X, ta nói T là một phép đồng phôi địa

phương tại điểm x0 ∈ X nếu có một lân cận U của x0 và một lân cận

V của T (x0) sao cho thu hẹp của T trên U là một phép đồng phôi

giữa U và V Nếu T không là một đồng phôi địa phương tại x0 thì ta

nói x0 là một điểm kỳ dị của T Tập tất cả các điểm kì dị của T được

gọi là tập kì dị của T và kí hiệu là ST Ta thấy tập ST là đóng

Khi sự thu hẹp của T trên một vài tập mở A ⊆ X thuộc họ C1, ta

cũng kí hiệu ˆST|A tập tất cả các x0 ∈ A sao cho toán tử T0(x0) không làtoàn ánh Từ đó, tập tất cả các toán tử toàn ánh là mở trong L(X, X)

theo tính liên tục của T0 tập ˆST|A cũng là đóng trong A Vậy ˆSΦ là tậptất cả các điểm x0 ∈ X sao cho toán tử Φ0(x0) không là toàn ánh.Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về các tập

SΦ, ˆSΦ và ˆSΦλ với λ thích hợp

2.2.1 Tính chất phi σ-compact của các tập SΦ và Φ(SΦ)

Định lý sau đây là kết quả đầu tiên cung cấp một họ phổ biến các

toán tử thế vị không khả vi trong không gian Hilbert mà tập kì dị của

nó phi σ-compact

Định lý 2.1 Cho X là không gian vô hạn chiều Giả sử J là nửa liên

tục dưới yếu theo dãy, không tựa lồi và thuần nhất dương với bậc α

khác 2 Nếu α > 2 giả sử J không âm Giả thiết thêm Φ là đóng thì

khi đó cả tập SΦ và Φ(SΦ) đều phi σ-compact

Chứng minh của Định lý 2.1 cơ bản là dựa trên sự tổ hợp một vài

ý tưởng từ [7] với các kết quả chung bởi R S Sadyrkhanov ([10]) mà

thác triển đến các toán tử không khả vi được nghiên cứu trước đó bởi

R A Plastock ([5])

Bổ đề 2.1 (Xem [10], Theorem 2.1) Nếu X vô hạn chiều, T : X −→

X là một toán tử đóng và nếu ST là σ-compact, thì sự thu hẹp của T

trên X\ST là một phép đồng phôi giữa X\ST và X\T (ST)

Chúng ta cũng áp dụng hai công cụ chính nữa là xấp xỉ tốt của I.

G Tsar’kov [12] và định lý mini-max đã thiết lập trong [6]

Bổ đề 2.2 (Xem [12], Corollary 2) Cho A ⊂ X là một tập đóng yếu

theo dãy và không lồi thì với mỗi tập lồi V ⊆ X trù mật trong X, tồn

tại x0 ∈ V \A sao cho tập

{x ∈ A : kx0 − xk = dist(x0, A)}

có ít nhất hai điểm

Bổ đề 2.3 (Xem [6], Theorem 1) Cho I là một khoảng thực và f đi

từ X × I vào R là hàm thỏa mãn các điều kiện sau:

i Với mọi x ∈ X, hàm f (x, ·) là tựa lồi và liên tục;

ii Với mọi λ ∈ I, hàm f (·, λ) là nửa liên tục dưới yếu theo dãy và

mỗi cực tiểu địa phương của nó là một cực tiểu toàn cục;

iii Tồn tại ρ > sup

λ∈I

inf

x∈Xf (x, λ) và λ0 ∈ I sao cho tập{x ∈ X : f (x, λ0) ≤ ρ}

Mệnh đề 2.1 Cho X là vô hạn chiều và nếu U ⊂ X là một tập

σ-compact, thì tồn tại một nón lồi C ⊂ X trù mật trong X sao cho

U ∩ C = ∅

Chứng minh Chúng ta phân biệt hai trường hợp Trường hợp thứ

nhất nếu X tách được Cố định một cơ sở đếm được {An} những tập

mở của X Ta cần chỉ ra tồn tại một dãy {xn} trong X sao cho vớimỗi n ∈ N, xn ∈ An và

Ta quy nạp theo n Với n = 1 thì ∪λ>0λU là σ-compact và vì X vô

hạn chiều nên nó không chứa A1 Do đó, nếu lấy x1 ∈ A1\ ∪λ>0 λUthì ta có U ∩ C(x1) = ∅ Bây giờ, giả sử mệnh đề đúng với n tức