G-Khung chính xác trong không gian Hilbert

Khung được sử dụng nhiều trong xử lý tín hiệu và hình ảnh, nén dữ liệu, lý thuyết mẫu, lý thuyết lượng tử.Trong những năm gần đây, đã có nhiều thành tựu trong việc ứng dụng cơ sở Riesz v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————o0o——————————

ĐỖ THỊ HOA

G-KHUNG CHÍNH XÁC

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Quỳnh Nga

HÀ NỘI, 2017

Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôi

đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình Để có được kết quảnày, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhấtđến cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, người đã định hướng nghiên cứu vàtruyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn củamình

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáotrong bộ môn Toán Giải tích nói riêng và khoa Toán, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 nói chung

Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạnthân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi

để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Đỗ Thị Hoa

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi,được thực hiện dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga.Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trongluận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Đỗ Thị Hoa

Mở đầu iv

1.1 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert 1

1.2 Khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 3

1.2.1 Khung trong không gian Hilbert 3

1.2.2 Cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 13

1.3 Tính ổn định của khung 16

2 G-khung chính xác trong không gian Hilbert 22 2.1 G-khung và g-cơ sở Riesz 22

2.2 Đặc trưng của g-khung chính xác 33

2.3 Mối quan hệ giữa g-khung chính xác và g-cơ sở Riesz 36

2.4 Tính ổn định của g-khung 40

2.5 Tính ổn định của g-khung chính xác 44

1 Lí do chọn đề tài

Khái niệm khung lần đầu tiên được giới thiệu bởi Duffin và Schaeffer [4]

để nghiên cứu một vài bài toán về chuỗi Fourier không điều hòa vào năm

1952, sau đó được giới thiệu lại vào năm 1986 bởi Daubechies, Grossmann,

và Meyer [3] và từ đó trở đi được nghiên cứu rộng rãi Khung là tập hợpcác véctơ trong không gian Hilbert H với tính chất là mỗi véctơ trongkhông gian đều có thể biểu diễn thông qua các phần tử của khung và biểudiễn đó không nhất thiết duy nhất Khung được sử dụng nhiều trong xử

lý tín hiệu và hình ảnh, nén dữ liệu, lý thuyết mẫu, lý thuyết lượng tử.Trong những năm gần đây, đã có nhiều thành tựu trong việc ứng dụng

cơ sở Riesz và rất nhiều nghiên cứu về đặc trưng và tính ổn định của cơ sởRiesz [2] Cơ sở Riesz tương đương với khung chính xác trong không gianHilbert, đã trở thành một công cụ lý thuyết hữu hiệu để nghiên cứu phântích tín hiệu

Tuy nhiên, một số ứng dụng mới đã xuất hiện, mà không thể mô hìnhhóa được một cách tự nhiên bằng một khung hoặc một cơ sở Riesz, vìvậy một số tác giả đã đưa ra một số các khái niệm khung suy rộng nhưgiả khung (pseudoframe) [5], khung của các không gian con (frame ofsubspaces) [1] Tất cả các khái niệm khung suy rộng này đều hữu ích trongnhiều ứng dụng Để nghiên cứu có hệ thống về các khung suy rộng ở trên,Sun [8] đã đưa ra khái niệm g-khung trong một không gian Hilbert phức,trong đó bao gồm các khung thông thường và cũng đã chứng minh rằngnhiều đặc tính cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung (xem[8,9]),nhưng cũng có một số khác biệt giữa khung và g-khung Ví dụ, khungchính xác tương đương với cơ sở Riesz, nhưng g-khung chính xác khôngtương đương với g-cơ sở Riesz (xem [2] và [8]) Sau khi Sun giới thiệu kháiniệm về g-khung ông cũng xem xét tính ổn định của g-khung trong khônggian Hilbert Những kết quả này tương tự với tính ổn định của khung với

không gian Hilbert (xem [9]) Liệu tính ổn định của g-khung chính xáctrong không gian Hilbert có tương tự như tính ổn định của g-khung haykhông?

Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về g-khung chính xác trong khônggian Hilbert, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo TS NguyễnQuỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu "g-khung chính xáctrong không gian Hilbert" để thực hiện luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích và nghiên cứu

Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung chính xác trong khônggian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung và

cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, tính ổn định của khung Khái niệm

và các ví dụ về g-khung trong không gian Hilbert, đặc trưng của g-khungchính xác, mối liên hệ giữa g-khung chính xác và g-cơ sở Riesz, tính ổnđịnh của g-khung, tính ổn định của g-khung chính xác

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu :Nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz, g-khung, g-cơ

sở Riesz, g-khung chính xác trong không gian Hilbert

Phạm vi nghiên cứu : Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liênquan đến g-khung và g-khung chính xác trong không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề Thu thậptài liệu các bài báo về g-khung và g-khung chính xác trong không gianHilbert Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày tổng quan về g-khung chính xác trong không gianHilbert

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số các khái niệm và kết quả

cơ bản để chuẩn bị cho chương sau Nội dung của chương này được thamkhảo trong các tài liệu [2], [7]

1.1 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian

Hilbert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K

là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0 saocho

||T (x)|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ H

Ký hiệu L(H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào

K Khi H = K thì L(H, K) được ký hiệu đơn giản là L(H)

Chuẩn của T ∈ L(H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏamãn ||T (x)|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ H Nói một cách tương đương,

Cho T ∈ L(H) T được gọi là toán tử tự liên hợp nếuT∗ = T, là unita nếu

T∗T = T T∗ = I T được gọi là dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu hT (x), xi ≥ 0

với mọi x ∈ H T, K ∈ L(H), T ≥ K nếu T − K ≥ 0

Chú ý rằng với mỗi T ∈ L(H) thì hT∗T (x), xi = hT (x), T (x)i ≥ 0 vớimọi x ∈ H Do đó T∗T là dương

Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ L(H) Khi đó

i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu hT (x), xi là thực với mọi x ∈ H Đặcbiệt, toán tử dương là tự liên hợp

ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương

là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H

Mệnh đề 1.1.4 Nếu U ∈ L(H) là toán tử tự liên hợp thì

||U || = sup

||f ||=1

|hU (f ), f i|

Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán tử

mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp Bổ đề dưới đây đưa ra mộtđiều kiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải

Bổ đề 1.1.1 Cho H, K là các không gian Hilbert, và giả sử rằng

U : K → H là một toán tử tuyến tính bị chặn với miền giá trị đóng RU

Khi đó tồn tại một toán tử bị chặn U+ : H → K mà

U U+(f ) = f, ∀f ∈ RU

Chứng minh Xét hạn chế của U trên phần bù trực giao của hạt nhân của

U, tức là

˜

U = U |N⊥

U: NU⊥ → H

Rõ ràng U˜ là tuyến tính và bị chặn. U˜ cũng là đơn ánh: nếu U (x) = 0,˜

theo đó x ∈ NU⊥ ∩ NU = {0} Bây giờ ta chứng minh rằng miền giá trịcủa U˜ bằng với miền giá trị của U. Cho y ∈ RU, tồn tại x ∈ K sao cho

U (x) = y Bởi x = x1 + x2, trong đó x1 ∈ NU⊥, x2 ∈ NU, ta có được

˜

U (x1) = U (x1) = U (x1 + x2) = U (x) = y

Mà U˜ có một nghịch đảo bị chặn

( ˜U )−1 : RU → NU⊥

Thác triển ( ˜U )−1 bằng cách cho bằng 0 trên phần bù trực giao của RU

ta có được một toán tử bị chặn U+ : H → K mà U U+(f ) = f với mọi

Toán tử U+ được xây dựng trong chứng minh Bổ đề 1.1.1 được gọi là giảnghịch đảo của U Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo củamột toán tử U với miền giá trị đóng RU được định nghĩa là toán tử duynhất thỏa mãn NU+ = R⊥U, RU+ = NU⊥ và U U+(f ) = f, ∀f ∈ RU

Định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên

1.2 Khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

1.2.1 Khung trong không gian Hilbert

Trong nghiên cứu không gian véctơ, một trong những khái niệm quan trọngnhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian như một

tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuy nhiên điều kiện là

cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thànhphần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng vớimột tích vô hướng Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thểtìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do người ta muốntìm một công cụ linh hoạt hơn

Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ đượctrang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian

được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cầnthiết.

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyếtkhung cần đến cho chương 2 Các kết quả ở mục này có thể tham khảo ởtài liệu [2]

Cho H là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng h·, ·i tuyến tínhtheo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai.Định nghĩa 1.2.1 Dãy {fi}∞i=1 trong H được gọi là dãy Bessel nếu

B được gọi là cận Bessel của {fi}∞i=1

Định nghĩa 1.2.2 Một dãy {fi}∞i=1 trong H được gọi là một khung nếutồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho

Khung {fi}∞i=1 được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parsevalnếu A = B = 1

W := span{fj}mj=1 và xem xét ánh xạ liên tục

2 ,12

T, e3 =

√ 3

2 , −12

T

Khi đó {e1, e2, e3} là một khung chặt với cận khung là 3

2 x1 +

1

2x2

!2+

√3

m

X

k=1

|hf, eki|2 = ||f ||2 với mọi f ∈ H Từ đó theo định nghĩa

{ek}∞k=1 là khung Parseval của H

(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek}∞k=1 hai lần ta thu được

{fk}∞k=1 = {e1, e1, e2, e2, } khi đó {fk}∞k=1 là khung chặt với cận khung

A = 2

|hg, fki|2 = 0 Mặt khác, do {fk} là một khung nên tồn tại

0 < A < +∞ sao cho A||f ||2 ≤

∞

X

k=1

|hf, fki|2, ∀f ∈ H Cho f = g ta

là toán tử hoàn toàn xác định bị chặn từ l2(N) vào H và ||T || ≤ √B.

Chứng minh Trước hết, giả thiết {fk}∞k=1 là dãy Bessel với cận Bessel B.Giả sử {ck}∞k=1 ∈ l2(N) Ta phải chỉ ra T ({ck}∞k=1) là hoàn toàn xác định,tức là

Hệ quả 1.2.1 Nếu {fk}∞k=1 là một dãy trong H và

Hệ quả 1.2.2 Nếu {fk}∞k=1 là một dãy Bessel trong H thì

∞

X

k=1

ckfk hội tụkhông điều kiện với mọi {ck}∞k=1 ∈ l2(N)

Do một khung {fk}∞k=1 là một dãy Bessel nên toán tử

Toán tử liên hợp T∗ thường được gọi là toán tử phân tích Hợp thành của

T và T∗ được gọi là toán tử khung

và toán tử khung của khung {fk}∞k=1

Mệnh đề 1.2.2 Giả sử {fk}∞k=1 là một khung với toán tử khung S và cáccận khung A, B Khi đó ta có các khẳng định sau

(i) S tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương;(ii) {S−1(fk)}∞k=1 là khung với các cận B−1, A−1, nếu A, B là các cận tối

ưu của {fk}∞k=1 thì các cận B−1, A−1 là tối ưu của {S−1(fk)}∞k=1 Toán tửkhung của {S−1(fk)}∞k=1 là S−1

Chứng minh (i) S bị chặn như một sự hợp thành của hai toán tử bị chặn.

Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của {S−1(fk)}∞k=1 bằng S−1 Toán

tử S−1 giao hoán với cả S và I Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức

AI ≤ S ≤ BI với S−1, điều này cho ta

B−1I ≤ S−1 ≤ A−1I

Vì vậy, {S−1(fk)}∞k=1 là một khung với các cận khung B−1, A−1.

Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp A, B là cáccận tối ưu của {fk}∞k=1), giả sử A là cận dưới tối ưu của {fk}∞k=1 và giảthiết rằng cận trên tối ưu của {S−1(fk)}∞k=1 là C < 1

A.

Bằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung {S−1(fk)}∞k=1 cótoán tử khung S−1, ta thu được {fk}∞k=1 = {(S−1)−1S−1(fk)}∞k=1 có cậndưới là 1

C > A, nhưng điều này là mâu thuẫn.

Vì vậy, {S−1(fk)}∞k=1 có cận trên tối ưu là 1

A. Lập luận tương tự cho cận

Khung {S−1(fk)}∞k=1 được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {fk}

Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quantrọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu {fk}∞k=1 là một khung của H thì mọi phần

tử trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) của cácphần tử khung Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.Định lý 1.2.3 Giả sử {fk}∞k=1 là một khung với toán tử khung là S Khiđó

và chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H

Chứng minh Giả sử f ∈ H Sử dụng các tính chất của toán tử khungtrong Mệnh đề 1.2.2 ta có

Bổ đề sau chỉ ra rằng trong các dãy {ck}∞k=1 biểu diễn f = P

hfj, S−1(fj)i 6= 1 thì {fk}k6=j là một khung của H, nếu hfj, S−1(fj)i = 1

thì {fk}k6=j là một dãy không đầy đủ

Từ aj = hS−1(fj), fki = 1, ta biết S−1(fj) 6= 0 Vì vậy, ta tìm được phần

tử khác không S−1(fj) mà trực giao với {fk}k6=j, vì thế {fk}k6=j là khôngđầy đủ

Bây giờ cho aj 6= 1, thì fj = 1

1 − aj

P

k6=jakfk Với bất kỳ f ∈ H, Bấtđẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta

1.2.2 Cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.6 Một cơ sở Riesz trongHlà một họ có dạng{U (ek)}∞k=1,

trong đó {ek}∞k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H và

U : H → H

là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn

Định lý sau cho ta các điều kiện tương đương để {fk}∞k=1 là một cơ sởRiesz

Định lý 1.2.5 [2] Cho một dãy {fk}∞k=1 trong H Khi đó các điều kiệnsau là tương đương

(i) {fk}∞k=1 là một cơ sở Riesz của H;

(ii) {fk}∞k=1 đầy đủ trong H, và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho vớimỗi dãy hữu hạn {ck} ta có

AX|ck|2 ≤ ||Xckfk||2 ≤ BX|ck|2 (1.7)Các hằng số A, B thỏa mãn (1.7) được gọi là cận Riesz dưới và trên tươngứng

Mệnh đề 1.2.3 {fi}∞i=1 là cơ sở Riesz khi và chỉ khi {fi}∞i=1 là một khung

và nếu

∞

X

i=1

cjfi = 0, với {ci}∞i=1 ∈ l2(N) thì ci = 0, với mọi i

Chứng minh (⇒) Giả sử {fi}∞i=1 là cơ sở Riesz của không gian Hilbert H,nghĩa làfi = T ei, ∀i, trong đóT là toán tử tuyến tính bị chặn khả nghịch

và {ei}∞i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H Với mọi f ∈ H ta có

(⇐) Giả sử {fi}∞i=1 là một khung và nếu

cjfi = 0 kéo theo ci = 0, với mọi i nói lên T là đơn ánh

Vậy T là song ánh thỏa mãn fi = T (ei), với mọi i Do {fi} là khung nên

T tuyến tính bị chặn Do đó {fi}∞i=1 là cơ sở Riesz

Chứng minh Giả sử {fk}∞k=1 là khung chính xác và cố định j ∈ N Khi

đó {fk}k6=j không là khung Chứng minh của Định lý 1.2.4 chỉ ra rằng

hfj, S−1fki = δj,k, tức là {fk}∞k=1 và {S−1(fk)}∞k=1 là song trực giao TheoĐịnh lý 1.2.3, mọi f ∈ H có thể biểu thị được như f =

Bây giờ giả sử {fk}∞k=1 là một cơ sở Riesz Nếu ta bỏ đi một phần tử bất

kỳ thì họ sẽ trở thành không đầy đủ Do đó họ sẽ không còn là một khungnữa Từ đó {fk}∞k=1 là một khung chính xác 

1.3 Tính ổn định của khung

Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của các khung nghĩa

là ta sẽ đi tìm câu trả lời cho câu hỏi sau:

Nếu dãy{gk} gần với một khung {fk} của không gian Hilbert H theo mộtnghĩa nào đó thì liệu có kéo theo {gk} cũng là một khung hay không?Nội dung của mục này được tham khảo từ tài liệu [2]

Sau đây là một phiên bản của Định lý Paley-Wiener về khung do tensen đưa ra

Chris-Định lý 1.3.1 [2] Cho {gk}∞

k=1 là một khung trong H với các cận là A, B

Cho{gk}∞k=1 là một dãy trong H và giả sử rằng tồn tại các hằng sốλ, µ ≥ 0



1 + λ + √µ

A

2

Chứng minh Do {fk}∞k=1 là một khung, theo Định lý 1.2.1 toán tử tổnghợp T của khung {fk}∞k=1 bị chặn và ||T || ≤ √B Từ điều kiện (1.8) suy

ra với mọi dãy hữu hạn {ck},

T+(f ) := T∗(T T∗)−1(f ) = {hf, (T T∗)−1(fk)i}∞k=1 (1.10)Chú ý rằng {(T T∗)−1(fk)}∞k=1 là khung đối ngẫu chính tắc của {fk}∞k=1.

với mọi {ck}∞k=1 ∈ l2(N) Với f ∈ H,

Do điều này đúng với mọi g ∈ H nên

Chèn vào phần đầu của hf, f i, ta được

Ví dụ 1.3.1 Cho {ek}∞k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H Khi đó{ek}∞k=1

là một khung với cận A = B = 1 Cho dãy số phức {ak}∞k=1, ta xét tậphợp vectơ {gk}∞k=1 được xác định bởi:

gk = ek+ akek+1, ∀k ∈ N

Khi đó với mọi dãy vô hướng {ck} hữu hạn ta có:

||Xck(gk − ek)|| = ||Xckakek+1||

= (X|ckak|2)12

≤ supk

Casazza và Christensen đã thay thế điều kiện (1.8) bằng một phiên bản

"đối xứng" hơn trong đó có chứa Pckgk ở vế phải Đây là một kết quảtổng quát hơn một cách đáng kể hơn do Ví dụ 1.3.1 chỉ ra rằng, ta khôngthể mở rộng miền của các tham số λ, µ nhưng ta lại có thể thêm vào một

số hạng ở vế phải và kết quả vẫn còn đúng

Định lý 1.3.2 Cho {fk}∞k=1 là một khung trong H với các cận là A, B.

Cho {gk}∞k=1 là một dãy trong H và giả sử rằng tồn tại các hằng số

G-khung chính xác trong không

2.1 G-khung và g-cơ sở Riesz

Trong suốt chương này ta sẽ giả thiết U và V là hai không gian Hilbertphức và {Vj}j∈J là một dãy các không gian con đóng của V, trong đó J làtập hợp con của N L(U , Vj) ký hiệu là tập hợp tất cả các toán tử tuyếntính bị chặn từ U vào Vj

Giả sử rằng aj, bj ∈ Vj với j ∈ J thỏa mãn