Quá trình poisson

Quá trình poisson

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA: TOÁN – TIN HỌC

Mục lục:

PHẦN 1: QUÁ TRÌNH POISSON

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, phân phối Poisson là một phân phối xác suất

rời rạc Nó khác với các phân phối xác suất rời rạc khác ở chỗ thông tin cho biết không

phải là xác suất để một sự kiện xảy ra trong một lần thử như trong phân phối Bernoulli, hay là số lần sự kiện đó xảy ra trong n lần thử như trong phân phối nhị thức, mà chính

là trung bình số lần xảy ra thành công của một sự kiện trong một khoảng thời gian nhấtđịnh Giá trị trung bình này được gọi là lamda Ký hiệu

Phân phối này được tìm ra bởi nhà toán học Siméon-Denis Poisson (1781-1840).Theo đó nếu xem xét một biến ngẫu nhiên N nào đó và đếm số lần xuất hiện (rời rạc) của

nó trong một khoảng thời gian cho trước thì xác suất để sự kiện đó xảy ra k lần sẽ tínhtheo công thức:

Với:

k là số lần xuất hiện của một sự kiện, k= 0,1,2,…

là số thực dương, bằng với giá trị kì vọng xuất hiện của sự kiện trong một khoảng chosẵn

Vì đây là biến ngẫu nhiên rời rạc nên công thức trên cho ta công thức của hàmphân phối xác suất:

Ví dụ 1:Xác suất gặp một thứ phẩm trong một kho sản phẩm cơ khí cao cấp là 0,002.

Tìm xác suất để gặp 7 thứ phẩm trong 1000 sảnphẩm kiểm tra

Giải:

n = 1000 ; p = 0,002;k=7 => = np = 2

Ví dụ 2:quan sát một siêu thị mini người ta thấy cứ trung bình 1 giờ có 30 khách vào.

Tính xác suất có 4 khách vào siêu thị trong 10 phút

Giải:

Gọi X là số khách vào siêu thị trong 10 phút khi đóX là biến ngẫu nhiên có phân phốiPoisson với tham số =5 tức là X P(5) Ta cần tính P(X = 4)

II. PHÂN PHỐI MŨ VỚI THAM SỐ.

Phân phối mũ với tham số:>0, ký hiệu xp( là phân phối có hàm mật độ:

Hoặc hàm phân phối F(x) có dạng:

I. QUÁ TRÌNH ĐẾM

Quá trình đếm rất thường gặp trong thực tế

Giả sử A là biến cố nào đó Ký hiệu N t t ( ), ≥ 0

là số lần biến cố A xuất hiện trong

khoảng thời gian từ 0 đến t (kể cả thời điểm t) Khi đó {N t t( ), ≥0}

được gọi là quá trìnhđếm

Chẳng hạn, ta có những ví dụ sau về quá trình đếm:

• A là biến cố: khách vào cửa hàng nào đó Khi ấyN(t) là số khách vào cửa hàng tính tới

thời điểm t.

• A là biến cố: điện thoại gọi đến trạm bưu điện nào đó Khi ấy N(t) là số lần gọi đến trạm

bưu điện tính tới thời điểm t.

• A là biến cố: sinh con trai Khi ấy N(t) là số con trai được sinh ra tính đến thời điểm t NếuN(t) là quá trình đếm, thìN(t)là biến ngẫu nhiên có các tính chất sau:

II QUÁ TRÌNH POISSON.

là các biến ngẫu ngiên độc lập.

iii) Mỗi gia số X s t ( + − ) X (t)

có phân phối Poisson với tham số λt

với mọi s ≥ 0, t > 0

iv) X(0)=0.

Từ định nghĩa trên ta thấy ngayX(t)có phân phối Poisson với tham số λt

nên[ (t)] [ ( )]

.Hơn nữa, theo khai triển Taylor ta có:

[(h) 2] 1 [ ( ) 0] [ ( ) 1] (h)

P ≥ = −P X h = −P X h = +O

khi h → 0

.Như vậy, quá trình Poisson là quá trình đếm thỏa mãn các giả thiết đã nêu ở trên vàngược lại, quá trình đếm thỏa mãn các giả thiết đã nêu ở trên là quá trình Poisson

2. Định lý 1:

Nếu quá trình đếm thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Có số gia độc lập, tức là, với mọi m = 2,3,… và với mọi

b) Có gia số dừng, tức là, với mọi s > 0, 0 t≤ <1 t2

d) Vớih> 0 khá bé thì.Trong đó O(h) là vô cùng bé cùng bậc với h khi h→0.

Thì là quá trình Poisson tham số

Ngược lại, quá trình Poisson là quá trình đếm thỏa mãn 4 điều kiện trên

Chứng minh:

Điều kiện i), ii) của định nghĩa quá trình Poisson được suy từ tính chất của quá trìnhđếm.Từ a) ta suy ra điều kiện iii) Theo b) để chứng minh điều kiện iv) ta chỉ cần chứngminh X(t) có phân bố Poisson với tham số

(theo giả thiết b) và c)).

Ngược lại, nếu là quá trình Poisson tham số thì X(t) có phân bố Poisson với tham

số nên Khai triển Taylor ta có:

Do đó 

3. Các phân bố liên quan đến quá trình Poisson.

Giả sử{X(t); t ≥ 0} là quá trình Poisson đếm số lần xuất hiện biến cố A

1) Ta ký hiệu W(n) là thời điểm đến (arrival time) hay thời gian chờ (waiting time)thứ n, đó là thời điểm mà biến cố A xuất hiện thứ n

Quy ước: W(0)=0

2) Ký hiệu S(n) là khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp thứ n ( interarrival time), đó

là thời gian từ thời điểm biến cố A xảy ra lần thứ n-1 đến thời điểm biến cố A xảy

Chú ý rằng nếu X1, X2,….,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ tham số

λ thì X = X1 +X2 + … + Xn có phân bố Erlang tham số nλ Do đó có kỳ vọng và phươngsai:

Chứng minh định lý:

1) Ta chứng minh cho trường hợp n=2 vì với n bất kỳ ta chứng minh hoàn toàn tươngtự.

Xem hình vẽ dưới đây :

Từ hình vẽ ta dễ dàng thấy sự liên hệ giữa các biến cố

t1< S1< t1 +∆t1 và t2< S2< t2 +∆t2Điều này có nghĩa là biến cố A không xuất hiện trong các khoảng

S2 S1

Chia hai vế cho (∆t1∆t2) và cho ∆t1→0, ∆t2→0 ta được:

= Điều này kết thúc chứng minh 1)

2) Để ý rằng Wn ≤ t khi và chỉ khi trong khoảng thời gian (0,t] có ít nhất n lần biến cố

A xuất hiện Từ đó suy ra hàm phân phối Wn có dạng:

Lấy đạo hàm theo t ta có ngay điều phải chứng minh

3) Suy ra trực tiếp từ xác suất có điều kiện Thật vậy:

P{X(u) =k | X(t) = n}

 3) được chứng minh

Ví Dụ 1: Giả sử số khách hàng đến 1 cửa hàng nào đó là quá trình Poisson với tốc độ

λ = 4 khách/giờ Cửa hàng mở cửa lúc 8h

1) Tính xác suất để đến 8h30 có cả thảy 1 khách; đồng thời đến 10h30 có cả thảy 5khách đến cửa hàng

2) Tính thời điểm trung bình khách thứ 10 đến

3) Tính xác suất để khoảng thời gian giữa khách thứ 10 và khách thứ 11 lớn hơn ½giờ

Giải :

1) Xem to=8h Vậy xác suất cần tìm là

P{X(1/2) =1;X(5/2) = 5}=P{X(1/2)=1;X(5/2) – X(1/2) = 4}=P{X(1/2)=1; X(2)=4} =P{X(1/2)=1}P{X(2) =4}= ≈ 0,0155

2) EW(10)= = =2h3

3) P{S(1) >1/2} = 1 – P{S(1) ≤ 1/2} = 1 – ( 1- ) ≈ 0.135

Ví dụ 2: Cho 2 quá trình Poisson độc lập {X1(t) ; t ≥ 0} và {X2(t) ; t ≥ 0} với các tham sốtương ứng λ1, λ2 Tìm xác suất để X1(t) =1 trước khi X2(t) =1.

Giải :

Ta cần tìm xác suất P{} trong đó là thời điểm đến thứ n của quá trình X1(t) còn là thờiđiểm đến thứ m của quá trình X2(t),

Tổng quát ta có thể chứng minh công thức sau :

4. QUÁ TRÌNH POISSON CÓ PHÂN LOẠI.

Xét quá trình Poisson với cường độ (tương ứng với quá trình đếm số lần xảy ra biến

cố A) Giả sử mỗi khi biến cố A xảy ra thì nó được phân thành hai loại: Loại I với xácsuất p và loại II với xác suất q = 1 – p Hơn nữa, giả sử sự phân loại biến cố này là độclập với sự phân loại biến cố kia

Chẳng hạn, khách đến cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ , khách đượcphân loại thành hai loại: Nam với xác suất ½ và Nữ với xác suất ½

Ta ký hiệu và là các quá trình đếm tương ứng với biến cố loại I và biến cố loại II Rõràng là

• Định lý 3 Với các điều kiện trên ta có và là hai quá trình Poissonvới cường

độ và Hơn nữa hai quá trình này là độc lập

• Chứng minh: Theo công thức xác suất đầy đủ:

Vì

do đó:

Mặt khác trong biến cố có biến cố loại I và biến cố loại II Do đó, từ giả thiếtđộc lập của sự phân loại biến cố và suy ra:

Điều này chứng tỏ là quá trình Poisson với cường độ

Tương tự là quá trình Poisson với cường độ

Ví dụ1: Giả sử khách đến 1 ngân hàng nào đó tuân theo quá trình Poisson với cường độ

Khách có thể là nam với xác suất và có thề là nữ với xác suất

Biết trong 10 giớ đầu có 100 nam đến ngân hàng

Hỏi trung bình có bao nhiêu nữ đến ngân hàng trong 10 giờ đầu?

Ví dụ 2: Xét một hệ gồm những cá thể mà tại bất cứ lúc nào cũng có thể rơi vào 1 trong r

trạng thái Giả sử mỗi cá thể thay đổitrạng thái theo Xích Markov với xác suất chuyển là

và các cá thể chuyển động trong hệ một cách độc lập với nhau

Giả thiết ban đầu số cá thể thuộc trạng thái là các biến ngẫu nhiên độc lập có phânphối Poisson với tham số là tương ứng

Hãy xác định phân phối đồng thời của các cá thể ở trạng thái tại thới điểm t = nnào đó

Giải:

Với cố định, ta ký hiệu là số cá thể ban đầu ở trạng thái đến thời điểm n chuyển sangtrạng thái (độc lập với các cá thể khác) với xác suất , cho nên ta có là các biến ngẫunhiên Poisson độc lập với tham số

Ví dụ 3:Có m loại phiếu Một người nào đó chọn phiếu nhiều lần và kết quả của lần chọn

hiện tại không phụ thuộc vào kết quả của các lần chọn trước đó (chọn có hoàn lại)

Ký hiệu Nlà số phiếu mà người đó cần chọn để có một tập phiếu gồm đủ các loại

Mặc dù mỗi có phân phối hình học, cụ thể là nhưng rất khó có thể biểu diễn

tường minh phân phối của Nvì các biến ngẫu nhiên là không độc lập.

Tuy nhiên, ta có thể làm như sau: Giả sử các thời điểm chọn phiếu là quá trìnhPoisson với tham số Ta nói rằng biến cố của quá trình Poisson nàu thuộc loại nếu chọnđược phiếu loại

Ký hiệu là số phiếu loại j được chọn ra tính tới thời điểm t Khi đó là các quá

trình Poisson độc lập với các tham số bằng tương ứng

Ký hiệu là thời điểm đầu tiên biến cố của quá trình Poisson xuất hiện và đặt Như vậy, X là thời điểm chọn được đầy đủ các loại phiếu

Do là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối mũ với tham số , cho nên

Hơn nữa, là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối mũ với tham số bằng 1,

ngoài ra N độc lập với nên

5. PHÂN PHỐI ĐỀU VÀ QUÁ TRÌNH POISSON.

Giả sử ta có một đoạn thẳng chiều dài bằng và có hạt cho trước Ta rải các hạt lênđoạn thẳng này sao cho vị trí của các hạt trên đoạn này lập thành biến ngẫu nhiên độc lập

có phân bố đều (mỗi hạt đồng khả năng rơi vào từng điểm) Ta ký hiệu là vị trí của hạt

U2

W1

Un W2

kê thứ tự của phân bố đều trên đoạn

• Định lý 4 Hàm phân bố đồng thời của có hàm mật độ là

Thật vậy, khi n=2 thì có 2 khả năng sắp xếp theo thứ tự: hoặc Do đó ta có:

Chia cả hai vế cho ta thu được công thức trên cho n=2

Trường hợp n bất kỳ thì có n! khả năng sắp xếp và do đó công thức trên đượcchứng minh tương tự

• Định lý 5.Giả sử là quá trình Poisson với tham số và là các thời gian đến

trong quá trình Poisson này Khi đó, với điều kiện , phân bố đồng thời của cómật độ

Chứng minh: Các biến cố và tương ứng với điều: biến cố A không một lần nào xảy ra

trong các khoảng và A chỉ xảy ra một lần trong các khoảng

• Ý nghĩa định lý là: Với điều kiện có đúng n biến cố xảy ra trong khoảngthời gianthì các thời gian đến là thống kê thứ tự của phân bố đều trên đoạn.

Ví dụ: Khách đến một cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ Mỗi khách

hàng trả 1000đ để vào cửa tại thời điểm Sau đó giá được giảm theo thời gian với tốc độ

hạ giá là Ta cần tính số tiền trung bình M của hàng thu được trong khoảng thời giantheo công thức sau:

Giải:

Ta thấy 1000đ được giảm giá xuống còn tại thời điểm và

Giả sử là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân bố đều trên đoạn (0;t]

i Nếu thì Do đó, quá trình Poisson thông thường là quá trình Poisson phức hợp

ii Giả sử khách rời cửa hàng là quá trình Poisson và tiền mua hàng của khách làdãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với số khách Khi đó

ta có quá trình Poisson phức hợp là tiền bán hàng thu được tính đến thời điểm

iii Các cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson và thời gian gọi của mỗi cuộc làdãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với các cuộc gọi đến.Khi đó tổng thời gian của tất cả các cuộc gọi cho đến thời điểm là một quá trình Poissonphức hợp

2. Kỳ vọng và phương sai của quá trình Poisson phức hợp.

Kỳ vọng và phương sai của quá trình Poisson phức hợp:

Chứng minh: Ta có

Do đó:

Suy ra

Tương tự ta có

Chú ý: Nếu các độc lập với nhau, độc lập với và có hàm phân phối chung là

thì hàm phân phối của là

Trong đó được tính theo công thức truy hồi sau

Ví dụ:Mô hình chấn động: Giả sử là số lần chấn động trong hệ nào đó và là lượng thiệt hạitổng cộng do chấn động thứ gây ra tính đến thời điểm Hệ tiếp tục làm việc khi lượng thiệthại tổng cộng bé hơn và hệ ngừng hoạt động trong trường hợp ngược lại Ký hiệu là thờiđiểm hệ ngừng hoạt động Tính (là thời gian trung bình hệ ngừng hoạt động)

Vậy ta có

PHẦN 2: BÀI TẬP

Câu 1: Các bức điện gửi tới bưu điện là quá trình Poisson X(t) với tốc độ trung bình 3

bức trong 1 giờ

a) Tính xác suất để từ 8h00 đến 12h00 không có bức điện nào

b) Tính phân bố của thời điểm tại đó nhận được bức điện đầu tiên sau 12h00

Giải:

Tốc độ trung bình 3 bức trong 1 giờ bức/ giờ

a) Xác suất để từ 8h00 đến 12h00 không có bức điện nào bằng:

b) Phân bố của thời điểm tại đó nhận được bức điện đầu tiên sau 12h00 là:

Câu 2: Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson với tốc độ trung bình 2 cuộc gọi

trong 1 đơn vị thời gian Hãy tính:

a) Ta có X(2) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số do đó:

X(1) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số do đó:

Ta lại có:

Ta có

(do X(1) và độc lập)

b)

Câu 4: Khách tới cửa hàng theo qua trình Poisson với cướng độ 5 người một giờ Biết

rằng trong 2 giờ đầu đã có 12 khách tới, tính xác suất (có điều kiện) để có 5 khách tớitrong giờ đầu tiên

Giải:

Gọi X(t) là số khách hàng tới cửa hàng trong khoảng thời gian t, theo giả thiết,X(t) là quá trình Poisson tham số

Vậy, xác suất để có 5 khách tới trong giờ đầu tiên:

Câu 5: Khách tới cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ 10 người một giờ.

Khách có thể mua hàng với xác suất và không mua hàng với xác suất Tính xác suất đểtrong giờ đầu tiên có 9 người vào cửa hàng trong đó có 3 người mua hàng, 6 người khôngmua

Giải:

Gọi X(t) là số khách hàng tới cửa hàng trong khoảng thời gian t, theo giả thiết X(t)

là quá trình Poisson tham số Gọi X1(t), X2(t) lần lượt là số khách hàng tới cửa hàng cómua hàng và không mua hàng trong khoảng thời gian t thì X1(t) là quá trình Poisson tham

số còn X2(t) là quá trình Poisson tham số

Vậy, xác suất để trong giờ đầu tiên có 9 người vào cửa hàng trong đó có 3 ngườimua hàng, 6 người không mua là:

Câu 6: Giả sử khách đến một ngân hàng nào đó tuân theo quá trình Poisson với cường độ

người/giờ Khách có thể là nam với xác suất là và có thể là nữ với xác suất Biết rằngtrong 10 giờ đầu có 100 khách nam đến ngân hàng Hỏi trung bình có bao nhiêu nữ đếnngân hàng trong 10 giờ đầu?

Câu 7: Xét một lượng cố định của một chất phóng xạ Giả sử các hạt alpha xuất hiện

theo thời gian là một quá trình Poisson với cường độ Mỗi hạt tồn tại trong một thời gianngẫu nhiên rồi bị hủy diệt Giả sử thời gian sống của các hạt khác nhau là những biếnngẫu nhiên độc lập và có hàm phân phối chung là Ký hiệu M(t) là số các hạt alpha tồntại ở thời điểm t Tính phân phối của M(t) với điều kiện M(0) = 0

Giải:

Ký hiệu X(t) là số hạt alpha sinh ra trong khoảng thời gian (0,t] Theo giả thiết thì

là quá trình Poisson với cường độ Hiển nhiên, Giả sử và là các thời điểm hạt xuấthiện Khi đó, hạt thứ k tồn tại ở thời điểm t nếu và chỉ nếu Đặt

Như vậy nếu và chỉ nếu hạt thứ k đang còn sống ở thời điểm t Do đó:

Theo định lý và do tính đối xứng giữa các hạt, ta có:

Trong đó U1, U2, … là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trên đoạn (0, t] Mà

vế phải của (*) được tính theo phân phối nhị thức, do đó:

Trong đó

Suy ra

Chú ý rằng

Ta thu được kết quả:

Kết luận: Số hạt tồn tại ở thời điểm t có phân phối Poisson với tham số là

Câu 8: Giả sử số gia đình nhập cư vào một khu vực nào đó là quá trình Poisson với

cường độ gia đình/ 1 tuần

Số người trong mỗi gia đình là các biến ngẫu nhiên độc lập nhận các giá trị 1, 2, 3, 4 vớixác suất tương ứng là 1/6, 1/3, 1/3, 1/6

a) Tính kỳ vọng và phương sai của số người nhập cư tới khu vực này trong vòng 5tuần

b) Tính xác suất để có ít nhất 250 nhập cư tới khu vực này trong vòng 50 tuần

Giải:

a) Ký hiệu là số người trong gia đình thứ k Ta có

Ký hiệu Z(5) là số người đến nhập cư vào khu vực này trong vòng 5 tuần

Ta có

b) Ta có:

Dùng định lý giới hạn trung tâm ta có thể xem Z(50) là biến ngẫu nhiên có phânphối chuẩn với trung bình 250 và phương sai Do đó

PHỤ LỤC: TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Chí Long, Xác suất thông kê và Quá trình ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh – TP.Hồ Chí Minh, 2006.

[2] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng – Phần I-Xích Markov và ứng dụng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội – Hà Nội, 2001.

[3] Sách hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành (Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông), Hà Nội, 2006.

[4] John Kingman,Oxford Studies in Probability 3 – Poisson Processes, Carendon Press – Oxford, 1992.