QUÁ TRÌNH POISSON

Quá trình Poisson X t mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện một biến cố A nào đó cho đến thời điểm.. t Nếu số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson, mỗi cuộc gọi chiếm dụng t

CHƯƠNG VI: QUÁ TRÌNH POISSON

GIỚI THIỆU

Đầu thế kỷ XX, A A Markov- nhà Toán học và Vật lý nổi tiếng người Nga đã đưa ra mô hình toán học để mô tả chuyển động của các phân tử chất lỏng trong bình kín Về sau mô hình này được phát triển và sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác như cơ học, sinh học, y học, kinh tế, v.v….và được mang tên là Quá trình Markov

Trong những năm gần đây, quá trình Markov được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán kinh tế, tin học, viễn thông, đặc biệt là các bài toán về điều khiển tổng đài v.v…

Quá trình Poisson là dạng đặc biệt của quá trình Markov với thời gian liên tục Quá trình Poisson X (t) mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện một biến cố A nào đó cho đến thời điểm

Quá trình Poisson được ứng dụng nhiều trong viễn thông, liên quan đến bài toán truyền tín hiệu, các hệ phục vụ, bài toán chuyển mạch

t

Nếu số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson, mỗi cuộc gọi chiếm dụng thiết

bị trong một khoảng thời gian nào đó, giả sử các khoảng thời gian này là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố, khi đó tổng số giờ gọi là một quá trình Poisson phức hợp

Quá trình Poisson X (t) mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện một biến cố A nào đó cho

đến thời điểm Giả sử biến cố t A được phân thành 2 loại và tại mỗi thời điểm việc xuất hiện biến cố hoặc là độc lập nhau, khi đó ta có quá trình Poisson có phân loại

1, 2

A A

1

Quá trình Poisson phức hợp và quá trình Poisson phân loại giúp ta tính được sản lượng trung bình khi khai thác dịch vụ viễn thông

Trong chương này chúng ta khảo sát các vấn đề sau:

• Quá trình đếm, quá trình điểm

• Quá trình Poisson

• Các phân bố liên quan đến quá trình điểm Poisson: thời điểm đến thứ (hay thời gian chờ) và khoảng thời gian giữa hai lần đến liên tiếp thứ n

n

• Quá trình Poissson có phân loại

• Quá trình Poisson phức hợp

Quá trình Poisson là cơ sở quan trọng để khảo sát quá trình sắp hàng được nghiên cứu trong chương tiếp theo

Để học tốt chương này học viên phải nắm các kiến thức có bản của lý thuyết xác suất

NỘI DUNG

6.1 KHÁI NIỆM QUÁ TRÌNH POISSON

6.1.1 Quá trình đếm

Quá trình đếm rất thường gặp trong thực tế

Giả sử A là biến cố nào đó Ký hiệu X(t), t>0 là số lần biến cố A xuất hiện trong

khoảng thời gian từ 0 đến t Khi đó {X(t),t >0} được gọi là quá trình đếm

Chẳng hạn ta có những ví dụ sau về quá trình đếm:

ƒ A là biến cố khách vào điểm phục vụ nào đó Khi ấy là số khách vào điểm phục

vụ tính đến thời điểm t

) (t

X

ƒ A là biến cố có cuộc gọi đến một tổng đài nào đó Khi ấy là số cuộc gọi đến tổng đài tính đến thời điểm

) (t

X t

Quá trình đếm {X(t);t≥0} có các tính chất đặc trưng sau:

2 X(t) chỉ nhận giá trị là các số tự nhiên; (6.2)

4 X(s,t]= X(t)−X(s), 0≤s<t, là số lần biến cốA xảy ra trong khoảng thời gian

]

,

(s t

Ta gọi {X(s,t],0≤s<t} là quá trình điểm ứng với quá trình đếm {X(t);t ≥0}

6.1.2 Quá trình Poisson

Định nghĩa 6.1: Ta nói rằng quá trình {X(t);t≥0} là quá trình Poisson với cường độ λ

(hoặc tham số ) nếu: λ

i) X(0)=0;

ii) X(t) chỉ nhận giá trị là các số tự nhiên;

iii) {X(t);t≥0} là quá trình có gia số độc lập, tức là, với bất kỳ 0=t0 <t1 <t2 < <t n các gia số X(t1)−X(t0), X(t2)−X(t1), ,X(t n)−X(t n−1) là các biến ngẫu nhiên độc lập iv) Mỗi gia số X(s+t)−X(s) có phân bố Poisson với tham số λt với mọi s≥0,t >0

Định lý 6.1: Nếu quá trình đếm {X(t);t≥0} thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Có gia số độc lập, tức là ∀m =2,3, và với mọi 0=t0 <t1 < <t m thì các gia số

là các biến ngẫu nhiên độc lập, ]

; ( ,

],

; (

],

;

(t0 t1 X t1 t2 X t m 1 t m

2 Có gia số dừng, tức là với mọi s >0 ∀0≤t1<t2 thì các gia số X(t1+s;t2 +s],

có cùng phân bố xác suất Như vậy luật phân bố chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian và không phụ thuộc thời điểm

]

;

(t1 t2

X

3 Xác suất xuất hiện biến cố A gần đều; tức là tồn tại λ>0 (tốc độ xuất hiện biến cố A )

sao cho với h>0 khá bé thì

P X h = =λh o h+ (6.5)

4 Với h>0 khá bé thì

{ ( ) 2} ( )

thì {X(t);t ≥0} là quá trình Poisson tham số λ

Ngược lại, quá trình Poisson là quá trình đếm thỏa mãn 4 điều kiện trên

Chứng minh: Điều kiện i), ii) của định nghĩa quá trình Poisson được suy từ tính chất của

quá trình đếm Từ 1) ta suy ra điều kiện iii) Theo 2) để chứng minh điều kiện iv) ta chỉ cần chứng minh X(t) có phân bố Poisson P( tλ )

Đặt p n(t)=P{X(t)=n}, n=0,1,2,

) (

0 t+h =P X t+h = =P X t = X t+h −X t =

p

= p t p h0( ) ( )0 = p t0( ) 1( −λh o h+ ( )),

λ

+ −

0

; )

( 1

)

0

0 = ⇒ p t =e λ t ≥

Tương tự p n(t+h)=P{X(t+h)=n} {=P X(h)=0,X(t+h)−X(h)=n}

≥

−

=

− +

= +

−

=

− +

=

+

2

) ( ) ( , ) ( 1

) ( ) ( ,

1

)

(

k

k n h X h t X k h X P n

h X h t X h

X

P

2

( ) n( ) ( ) n ( ) n k( ) ( )

k

≥

= + +∑ = −(1 λh p t) n( )+λhp n−1( )t +o h( )

) ( )

( )

(

p n =−λ n +λ n−

Đặt biến đổi Laplace của p n (t) là P n(s)=L {p n(t)}

s s

P s

P s P s

sP t

+ λ

λ

=

⇒ λ

+ λ

−

=

=

1 0

) ( ) ( )

+ λ

λ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ λ

λ

=

s s

P s s

n t

λ

λ

+

+

Vậy X(t) có phân bố Poisson P( tλ )

Ngược lại nếu {X(t);t ≥0} là quá trình Poisson tham số λ thì X(t) có phân bố Poisson )

( tλ

P nên E[X(t)]=var[X(t)]=λt Khai triển Taylor ta có

P X h = =e−λ = −λh o h+ khi h→0,

{ ( ) 1} h (1 ( )) ( )

P X h = =λhe−λ =λh −λh o h+ =λh o h+ khi h→0

Do đó P X h{ ( ) 2≥ }= −1 P X h{ ( ) 0= } {−P X h( ) 1= =} o h( ) khi h→0

Nhận xét: Giả sử quá trình {X(t);t≥0} đếm số lần xuất hiện biến cố A là quá trình

Poisson tham số λ>0 thì E[X(1)]=λ Như vậy λ là số lần trung bình xảy ra biến cố A trong khoảng 1 đơn vị thời gian Nếu quá trình {X(t);t≥0} đếm số khách đến điểm phục vụ thì λ là tốc độ đến trung bình

6.1.3 Các phân bố liên quan đến quá trình Poisson

Định nghĩa 6.2: Giả sử {X(t);t≥0} là quá trình Poisson đếm số lần xuất hiện biến cố A 1) Ta ký hiệu là thời điểm đến (arrival time) (hay thời gian chờ, waiting time) thứ ,

đó là thời điểm mà biến cố

) (n

A xuất hiện lần thứ n

Quy ước W(0)=0

2) Ký hiệu là khoảng thời gian

giữa 2 lần đến liên tiếp thứ

(interarrival time), đó là khoảng thời

gian tính từ thời điểm biến cố

) (n

S

n

A xảy

ra lần thứ đến thời điểm xảy ra

biến cố

1

−

n

A lần thứ n Vậy S(n)=W(n)−W(n−1)

Định lý 6.2:

1 Các thời gian đến trung gian , , , là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ tham số

) 1 (

S S(2) S(n)

λ với hàm mật độ

0

; )

( ) ( t =λe λt t≥

2 W(n) có phân bố Erlang tham sốn,λ với hàm mật độ

0

; )!

1 ( )

)

−

λ

n

t t

Đặc biệt W(1) có phân bố mũ

3 Với mọi 0<s<t và 0≤k ≤n

t

s t

s k n k

n n

t X k s X P

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

)!

(

! )

( )

Chú ý rằng nếu X X1, 2, ,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ tham số

λ thì X =X1+X2+ +" X n có phân bố Erlang tham sốn,λ Do đó có kỳ vọng và phương sai:

2

S

3

S

1

S

O W1 W2 W3 t

Ví dụ 6.1: Giả sử số khách đến cửa hàng nào đó là 1 quá trình Poisson với tốc độ λ=4 khách/ giờ Cửa hàng mở cửa lúc 8h

1 Tính xác suất để đến 8h30 có cả thảy 1 khách; đồng thời đến 10h30 có cả thảy 5 khách đến cửa hàng

2 Tính thời điểm trung bình khách thứ 10 tới

3 Tính xác suất để khoảng thời gian giữa khách thứ 10 và khách thứ 11 lớn hơn 1/2 giờ

Giải:

1 Xem = 8h Vậy xác suất cần tìm là t0

{X(1 2)=1;X(5 2)=5} {=P X(12)=1;X(5 2)−X(12)=4}

P

! 4

8 2 4 ) 2 ( 1 ) 2 1

4

10 10 ) 10 (

λ

2

P S P S ⎛ e− × ⎞ e−

Ví dụ 6.2: Cho hai quá trình Poisson độc lập {X1(t);t ≥0} và {X2(t);t≥0} với các tham

số tương ứng λ1,λ2 Tìm xác suất để X1(t)=1 trước khi X2(t)=1

Giải: Ta cần tìm xác suất { 1 2}

P W < W , trong đó là thời điểm đến thứ của quá trình còn là thời điểm đến thứ của quá trình

1

n

)

(

1 t

P W W λ e λ λ e λ dxdy λ e λ λ e λ dxdy λ

λ λ

∞ ∞

≤ <

+

Tổng quát, ta có thể chứng minh công thức sau

1

n m k

k n

+ − − + −

+ −

=

}

(6.11)

6.2 QUÁ TRÌNH POISSON CÓ PHÂN LOẠI

Xét quá trình Poisson {X(t);t≥0 với cường độ λ (tương ứng với quá trình đếm số lần xảy ra biến cố A ) Giả sử mỗi khi biến cố A xảy ra thì nó được phân thành hai loại: loại I với xác

suất p và loại II với xác suất q= 1− p Hơn nữa, giả sử sự phân loại biến cố này là độc lập với

sự phân loại biến cố kia

Chẳng hạn, khách đến cửa hàng theo quá trình Poisson {X(t);t≥0} với cường độ λ, khách được phân làm hai loại: nam với xác suất 1/2 và nữ với xác suất 1/2

Ta ký hiệu và là quá trình đếm tương ứng với biến cố loại I và biến cố loại II

) (

1 t

X X2(t)

) ( ) ( ) (t X1 t X2 t

Định lý 6.3: Với các điều kiện trên ta có và là hai quá trình Poisson với cường độ tương ứng

) (

1 t

X X2(t)

p

λ và λq Hơn nữa, hai quá trình này là độc lập

Chứng minh: Theo công thức xác suất đầy đủ

=

=

=

=

=

=

=

=

0

2 1

2

k

k t X P k t X m t X n t X P m

t X n t

X

Vì X(t)= X1(t)+ X2(t)⇒ P{X1(t)=n, X2(t)=m X(t)=k}=0 ∀k ≠n+m, do đó {X t n X t m} P{X t n X t m X t n m}P{X t n m}

P 1( )= , 2( )= = 1( )= , 2( )= ( )= + ( )= +

Mặt khác trong biến cố có n biến cố loại I và biến cố loại II Do đó, từ giả thiết độc lập của sự phân loại biến cố và

m

m n

t m

n t)

(

X

+ +

λ

= +

=

)!

(

) (

suy ra:

m

m

tq e

n

tp e

m n

t q p C m t X n t X

+

+

λ

=

=

=

!

) (

!

) ( )!

(

) ( )

( , )

1

m

e n

tp m

t X n t X P n

t X

=

λ

=

=

=

=

=

Điều này chứng tỏ { } là quá trình Poisson với cường độ

}

0

; ) (

1 t t≥

Tương tự {X2(t);t ≥0 là quá trình Poisson với cường độ λ q

6.3 PHÂN BỐ ĐỀU VÀ QUÁ TRÌNH POISSON

Giả sử ta có một đoạn thẳng chiều dài bằng t và có hạt cho trước Ta rải các hạt lên đoạn thẳng này sao cho vị trí của các hạt trên đoạn này lập thành biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố đểu (mỗi hạt đồng khả năng rơi vào từng điểm) Ta ký hiệu là vị trí của hạt thứ

Theo cách rải của ta thì U là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân

bố đều với hàm mật độ

n n

k

U n

k

1

0 ( )

U

u t

f u t

⎪

= ⎨

⎪⎩

nÕu nÕu ng−îc l¹i

Bây giờ ta sắp xếp lại dãy các vị trí theo thứ tự từ bé đến lớn Bằng cách ấy ta được dãy

, trong đó là bé nhất trong số ; tương tự là bé thứ hai trong

số Ta gọi là thống kê thứ tự của phân bố đều trên đoạn (0; t]

n

W W

n

U

U ,1, W1,W2, ,W n

Định lý 6.4: Hàm phân bố đồng thời của W1,W2, ,W n có hàm mật độ là

t w w

w t

n w w

n( 1, , )= ! 0< 1< 2< < ≤ ,

,

Định lý 6.5: Giả sử là quá trình Poisson với tham số và là các thời gian đến trong quá trình Poisson này Khi đó, với điều kiện , phân bố đồng thời

{X(t);t ≥0} λ W1,W2, ,W n

n t

X( )=

n

W W

W1, 2, ,

!

n

n

t

= = víi < < < < ≤ t (6.13)

Ý nghĩa của định lý 6.5 là: Với điều kiện có đúng biến cố xảy ra trong khoảng thời gian thì các thời gian đến là thống kê thứ tự của phân bố đều trên đoạn

n

]

;

0

Ví dụ 6.3: Khách đến một cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ λ Mỗi khách hàng trả 1 nghìn đồng để vào cửa tại thời điểm t = 0 Sau đó giá được giảm theo thời gian với tốc

độ hạ giá là β Ta cần tính số tiền trung bình M cửa hàng thu được trong khoảng thời gian (0;t] Khách hàng thứ đến tại thời điểm k W k nên phải trả vé vào cửa với giá e−βW k Gọi

là số khách đến trong khoảng thời gian thì

) (t

N

]

; 0 ( t

( ) 1

N t W k

M e−β

=

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có

( )

N t W

)

M e β N t n P N t n

∞

−

Giả sử là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân bố đều trên đoạn [0;t] Do tính

chất giao hoán của phép cộng trong công thức và định lý 6.5 ta có

n

U

U ,1,

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∑

= β ) (

1 E

t N k

W k

e

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∑

=

β

=

k U t

N

k

e

1

) (

1

E )

(

0

t

β

1

n

∞

=

β

−

}

}

6.4 QUÁ TRÌNH POISSON PHỨC HỢP

Định nghĩa 6.3: Giả sử là quá trình Poisson với cường độ

dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với Khi đó ta gọi

{X(t);t≥0 λ>0 Y ,1, Y n

{X(t);t ≥0

∑

=

≥

= () 1

0

; )

(

t X k

k t Y t

là quá trình Poisson phức hợp

Ví dụ 6.4: 1 Nếu Y k ≡1 thì Z(t)= X(t) Do đó, quá trình Poisson thông thường là quá trình Poisson phức hợp

2 Giả sử khách rời cửa hàng là quá trình Poisson và tiền mua hàng của khách là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với số khách Khi đó ta có quá trình Poisson phức hợp Z(t) là tiền bán hàng thu được tính đến thời điểm t

3 Các cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson và thời gian gọi của mỗi cuộc là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với các cuộc gọi đến Khi đó tổng thời gian của tất cả các cuộc gọi cho đến thời điểm t là một quá trình Poisson phức hợp

4 Giả sử các lần chuyển đổi tại thị trường chứng khoán diễn ra theo quá trình Poisson Gọi

là lượng thay đổi giá cổ phiếu giữa lần chuyển đổi thứ

k

Poisson phức hợp là sự biến động tổng cộng giá cổ phiếu tính đến thời điểm t

k

) (t

Z

Định lý 6.6: Kỳ vọng và phương sai của quá trình Poisson phức hợp:

EZ(t)=λtEY1 ; varZ(t)=λtEY12, (6.15)

Hàm phân bố

=

λ λ

=

<

0

) (

!

) ( )

(

t

n

z F e n

t z

t Z

trong đó F0(z)= ,1 ∀ z,

F1(z)= F X (z)=P{X1 <z}, ∀ z

F n (z) là hàm phân bố của Y1+"+Y n

Đặc biệt nếu Y1+"+Y n có phân bố mũ tham số μ thì là hàm phân bố Erlang tham số

)

(z

F n

,

n μ

1 0

( ) 1

n

n

−

Ví dụ 6.5 (Mô hình chấn động) Giả sử là số lần chấn động trong hệ nào đó và là lượng thiệt hại tổng cộng do chấn động thứ gây ra

)

(t

k P{Y k ≥0}=1 Khi đó là lượng thiệt hại tổng cộng do chấn động gây ra tính đến thời điểm Hệ tiếp tục làm việc khi lượng thiệt hại tổng cộng bé hơn và ngừng hoạt động trong trường hợp ngược lại Ký hiệu

)

(t Z t

ngừng hoạt động Tính TE (là thời gian trung bình hệ ngừng hoạt động)

Giải: Ta có T >t khi và chỉ khi Z(t)<a, tức là {T >t} {= Z(t)<a}

=

λ λ

=

<

=

>

⇒

0

) (

!

) ( )

(

n

n t

n

a F e n

t a

t Z P t T

Do đó { }

!

n t

t

n

λ

λ

λ

−

Đặc biệt khi các Y k có phân bố mũ tham số μ thì

a

μ

Chú thích: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng công thức tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

nhận giá trị không âm Nếu X là biến ngẫu nhiên, X ≥0 thì X =∞∫P{X >x}dx Đặc biệt

0

là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị k =0,1,2, thì { } {

E

}

TÓM TẮT

Quá trình Poisson

Ta nói rằng quá trình {X(t);t≥0} là quá trình Poisson với cường độ (hoặc tham số λ λ) nếu:

1 X(0)=0;

2 X (t) chỉ nhận giá trị là các số tự nhiên;

3 {X(t);t≥0} là quá trình có gia số độc lập, tức là, với bất kỳ 0=t0 <t1 <t2 < <t n các gia số X(t1)−X(t0), X(t2)−X(t1), ,X(t n)−X(t n−1) là các biến ngẫu nhiên độc lập

4 Mỗi gia số X(s+t)−X(s) có phân bố Poisson với tham số λt với mọi s≥0, t >0 Nếu quá trình đếm {X(t);t≥0} thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Có gia số độc lập, tức là ∀m=2,3, và với mọi 0=t0 <t1< <t m thì các gia số

là các biến ngẫu nhiên độc lập, ]

; ( ,

],

; (

],

;

(t0 t1 X t1 t2 X t m 1 t m

2 Có gia số dừng, tức là với mọi s>0 ∀0≤t1 <t2 thì các gia số X(t1+s;t2 +s],

có cùng phân bố xác suất Như vậy luật phân bố chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian và không phụ thuộc thời điểm

]

;

(t1 t2

X

3 Xác suất xuất hiện biến cố A gần đều; tức là tồn tạiλ>0(tốc độ xuất hiện biến cố A )

sao cho với h>0 khá bé thìP X h{ ( ) 1= =} λh o h+ ( )

4 Với h>0 khá bé thì P X h{ ( ) 2≥ }=o h( ), thì {X(t);t≥0} là quá trình Poisson tham

số λ

Thời điểm đến và thời gian giữa hai lần đến liên tiếp

Ta ký hiệu W (n) là thời điểm đến thứ , đó là thời điểm mà biến cố n A xuất hiện lần thứ

Quy ước

n W(0)=0

Ký hiệu là khoảng thời gian giữa hai lần đến liên tiếp thứ , đó là khoảng thời gian tính từ thời điểm biến cố

)

(n

A xảy ra lần thứ n−1 đến thời điểm xảy ra biến cố A lần thứ n

1 Các thời gian đến trung gian , , , là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ tham số

) 1 (

S S(2) S (n)

λ với hàm mật độ f S(n)(t)=λe−λt ;t ≥0

2 W (n) có phân bố Erlang tham sốn,λ với hàm mật độ ; 0

)!

1 ( )

)

−

λ

n

t t

Đặc biệt W(1) có phân bố mũ

t

s t

s k n k

n n

t X k s X P

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

)!

(

! )

( )

4 Với điều kiện X(t)=n, phân bố đồng thời của W1,W2, ,W n có mật độ

t

n w w

n n n

t X W

W, , n| ( )= ( 1, , )= ! 0< 1 < 2 < < ≤

Quá trình Poisson có phân loại

Xét quá trình Poisson {X(t);t≥0} với cường độ λ (tương ứng với quá trình đếm số lần xảy ra biến cố A ) Giả sử mỗi khi biến cố A xảy ra thì nó được phân thành hai loại: loại I với xác

suất và loại II với xác suất p q= 1− p Hơn nữa, giả sử sự phân loại biến cố này là độc lập với

sự phân loại biến cố kia Ta ký hiệu và là quá trình đếm tương ứng với biến cố loại

I và biến cố loại II Rõ ràng là

) (

1 t

X X2(t)

) ( ) ( ) (t X1 t X2 t

Với các điều kiện trên ta có và là hai quá trình Poisson với cường độ tương ứng và Hơn nữa, hai quá trình này là độc lập

) (

1 t

X X2(t)

p

Quá trình Poisson phức hợp

Giả sử {X(t);t≥0} là quá trình Poisson với cường độ λ>0 dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với

n

Y

Y ,1, {X(t);t≥0} Khi đó ta gọi

∑

=

≥

= ()

1

0

; )

(

t X

k k

t Y t

Z là quá trình Poisson phức hợp Kỳ vọng và phương sai của quá trình

Poisson phức hợp: EZ(t)=λtEY1 ; varZ(t)=λtEY12, { } ∑∞

=

λ λ

=

<

0

) (

!

) ( )

(

n

n t

n

z F e n

t z

t Z

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP

6.1 Quá trình Poisson có không gian trạng thái là tập các số tự nhiên

Đúng Sai

6.2 Mọi quá trình đếm là quá trình Poisson

Đúng Sai