CHƯƠNG VI: QUÁ TRÌNH POISSON

Quá trình Poisson X t mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện một biến cố A nào đó cho đến thời điểm t.. Nếu số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson, mỗi cuộc gọi chiếm dụng t

CHƯƠNG VI: QUÁ TRÌNH POISSON

GIỚI THIỆU

Quá trình Poisson là dạng đặc biệt của quá trình Markov với thời gian liên tục Quá trình Poisson X (t) mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện một biến cố A nào đó cho đến thời điểm t

Quá trình Poisson được ứng dụng nhiều trong viễn thông, liên quan đến bài toán truyền tín hiệu, các hệ phục vụ, bài toán chuyển mạch

Nếu số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson, mỗi cuộc gọi chiếm dụng thiết

bị trong một khoảng thời gian nào đó, giả sử các khoảng thời gian này là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố, khi đó tổng số giờ gọi là một quá trình Poisson phức hợp

Quá trình Poisson X (t) mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện một biến cố A nào đó cho

đến thời điểm t Giả sử biến cố A được phân thành 2 loại A A và tại mỗi thời điểm việc xuất 1, 2 hiện biến cố A hoặc 1 A2 là độc lập nhau, khi đó ta có quá trình Poisson có phân loại

Quá trình Poisson phức hợp và quá trình Poisson phân loại giúp ta tính được sản lượng trung bình khi khai thác dịch vụ viễn thông

Trong chương này chúng ta khảo sát các vấn đề sau:

• Quá trình đếm, quá trình điểm

• Quá trình Poisson

• Các phân bố liên quan đến quá trình điểm Poisson: thời điểm đến thứ n (hay thời

gian chờ) và khoảng thời gian giữa hai lần đến liên tiếp thứ n

• Quá trình Poissson có phân loại

• Quá trình Poisson phức hợp

Quá trình Poisson là cơ sở quan trọng để khảo sát quá trình sắp hàng được nghiên cứu trong chương tiếp theo

Để học tốt chương này học viên phải nắm các kiến thức có bản của lý thuyết xác suất

6.1 KHÁI NIỆM QUÁ TRÌNH POISSON

6.1.1 Quá trình đếm

Quá trình đếm rất thường gặp trong thực tế

Giả sử A là biến cố nào đó Ký hiệu X(t),t>0 là số lần biến cố A xuất hiện trong

khoảng thời gian từ 0 đến t Khi đó {X(t),t>0} được gọi là quá trình đếm

Chẳng hạn ta có những ví dụ sau về quá trình đếm:

ƒ A là biến cố khách vào điểm phục vụ nào đó Khi ấy X (t) là số khách vào điểm phục

vụ tính đến thời điểm t

ƒ A là biến cố có cuộc gọi đến một tổng đài nào đó Khi ấy X (t) là số cuộc gọi đến tổng đài tính đến thời điểm t

Quá trình đếm {X(t);t≥0} có các tính chất đặc trưng sau:

2 X (t) chỉ nhận giá trị là các số tự nhiên; (6.2)

3 X(s)≤ X(t),0≤s≤t (6.3)

6.1.2 Quá trình Poisson

Định nghĩa 6.1: Ta nói rằng quá trình {X(t);t≥0} là quá trình Poisson với cường độ λ (hoặc tham số λ ) nếu:

i) X(0)=0;

ii) X (t) chỉ nhận giá trị là các số tự nhiên;

iii) {X(t);t≥0} là quá trình có gia số độc lập, tức là, với bất kỳ 0=t0 <t1<t2 < <t n các gia số X(t1)−X(t0), X(t2)−X(t1), ,X(t n)−X(t n−1) là các biến ngẫu nhiên độc lập iv) Mỗi gia số X(s+t)−X(s) có phân bố Poisson với tham số λt với mọi s≥0,t >0

Định lý 6.1: Nếu quá trình đếm {X(t);t≥0} thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Có gia số độc lập, tức là ∀m=2,3, và với mọi 0=t0 <t1< <t m thì các gia số

) ( ) ( ,

, ) ( ) ( , ) ( ) (t1 −X t0 X t2 −X t1 X t n −X t n−1 X

là các biến ngẫu nhiên độc lập,

2 Có gia số dừng, tức là với mọi s>0 ∀0≤t1<t2 thì các gia số

( ) ( )

X t −X t và X t(2+ −s) X t(1+s)

có cùng phân bố xác suất Như vậy luật phân bố chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian và không phụ thuộc thời điểm

3 Xác suất xuất hiện biến cố A gần đều; tức là tồn tại λ> (tốc độ xuất hiện biến cố 0 A) sao cho với h>0 khá bé thì

P X h = =λh o h+ (6.4)

4 Với h>0 khá bé thì

{ ( ) 2} ( )

thì {X(t);t≥0} là quá trình Poisson tham số λ

Ngược lại, quá trình Poisson là quá trình đếm thỏa mãn 4 điều kiện trên

Chứng minh: Điều kiện i), ii) của định nghĩa quá trình Poisson được suy từ tính chất của quá

trình đếm Từ 1) ta suy ra điều kiện iii) Theo 2) để chứng minh điều kiện iv) ta chỉ cần chứng minh X(t) có phân bố Poisson P( )λt

Đặt p n(t)=P{X(t)=n}, n=0,1,2,

{ ( ) 0} { () 0, ( ) ( ) 0} )

(

0 t+h =P X t+h = =P X t = X t+h −X t =

p

= p t p h0( ) ( )0 = p t0( ) 1( −λh o h+ ( )),

λ

0(0) 1 0( ) t ; 0

p = ⇒ p t =e−λ t≥

Tương tự p n(t+h)=P{X(t+h)=n} {=P X(h)=0,X(t+h)−X(h)=n}

≥

−

=

− +

= +

−

=

− +

=

+

2

) ( ) ( , ) ( 1

) ( ) ( ,

1

)

(

k

k n h X h t X k h X P n

h X h t X h

X

P

2

( ) n( ) ( ) n ( ) n k( ) ( )

k

≥

= + +∑ = −(1 λh p t) n( )+λhp n−1( )t +o h( )

1

Đặt biến đổi Laplace của p n (t) là P n(s)=L {p n(t)}

{ p t n'( )} sP s n( ) P s n( ) P n 1( )s P s n( ) P n 1( )s

s

λ

λ

+

L

+

1

1

( )

n t

λ

λ

+

+

Vậy X(t) có phân bố Poisson P( )λt

Ngược lại nếu {X(t);t≥0} là quá trình Poisson tham số λ thì X (t) có phân bố Poisson ( )λt

P nên E[X t( )]=var[X t( )]=λt Khai triển Taylor ta có

P X h = =e−λ = −λh o h+ khi h→0,

P X h = =λhe−λ =λh −λh o h+ =λh o h+ khi h→0

Do đó P X h{ ( ) 2≥ }= −1 P X h{ ( ) 0= } {−P X h( ) 1= =} o h( ) khi h→0

Nhận xét 6.1: Giả sử quá trình {X(t);t≥0} đếm số lần xuất hiện biến cố A là quá trình Poisson tham số λ> thì 0

E X (1)

Như vậy λ là số lần trung bình xảy ra biến cố A trong khoảng 1 đơn vị thời gian Nếu quá trình

{X(t);t≥0} đếm số khách đến điểm phục vụ thì λ là tốc độ đến trung bình

6.1.3 Các phân bố liên quan đến quá trình Poisson

Định nghĩa 6.2: Giả sử {X(t);t≥0} là quá trình Poisson đếm số lần xuất hiện biến cố A

1) Ta ký hiệu T là thời điểm đến (arrival time) (hay thời gian chờ, waiting time) thứ n n , đó

là thời điểm mà biến cố A xuất hiện lần thứ n

Quy ước T0 = 0

2) Ký hiệu t là khoảng thời gian giữa n

2 lần đến liên tiếp thứ n (interarrival time),

đó là khoảng thời gian tính từ thời điểm

biến cố A xảy ra lần thứ n−1 đến thời

điểm xảy ra biến cố A lần thứ n

Vậy t n =T n−T n−1

Định lý 6.2:

1 Các thời gian đến trung gian t ,1 t , ,2 t là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố n

mũ tham số λ với hàm mật độ

n

f t =λe−λ t≥ (6.7)

2 T có phân bố Erlang tham số n n,λ với hàm mật độ

1

( 1)!

n

n n

n

− (6.8) Đặc biệt T có phân bố mũ 1

3 Với mọi 0<s<t và 0≤k ≤n

t

s t

s k n k

n n

t X k s X P

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

)!

(

! )

( )

Chú ý rằng nếu X X1, 2, ,X là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ tham số n

λ thì X = X1+X2+ +" X n có phân bố Erlang tham số n,λ Do đó có kỳ vọng và phương sai:

Ví dụ 6.1: Giả sử số khách đến cửa hàng nào đó là 1 quá trình Poisson với tốc độ λ = khách/ 4 giờ Cửa hàng mở cửa lúc 8h

1 Tính xác suất để đến 8h30 có cả thảy 1 khách; đồng thời đến 10h30 có cả thảy 5 khách đến cửa hàng

2 Tính thời điểm trung bình khách thứ 10 tới

3 Tính xác suất để khoảng thời gian giữa khách thứ 10 và khách thứ 11 lớn hơn 1/2 giờ

Giải: 1 Xem t = 8h Vậy xác suất cần tìm là 0

2

t

3

t

1

t

O T1 T2 T3 t

{X(1 2)=1;X(5 2)=5} {=P X(1 2)=1;X(5 2)−X(1 2)=4}

P

! 4

8 2 4 ) 2 ( 1 ) 2 1

4

h

T

λ

P t P t ⎛ e− × ⎞ e−

Ví dụ 6.2: Cho hai quá trình Poisson độc lập {X1(t);t≥0} và {X2(t);t≥0} với các tham số tương ứng λ λ1, 2 Tìm xác suất để X1(t)=1 trước khi X2(t)=1

Giải: Ta cần tìm xác suất { 1 2}

P T < T , trong đó Tn1 là thời điểm đến thứ n của quá trình X1(t) còn Tm2 là thời điểm đến thứ m của quá trình X2(t)

P T T λ e λ λ e λ dxdy λ e λ λ e λ dxdy λ

λ λ

∞ ∞

≤ <

+

Tổng quát, ta có thể chứng minh công thức sau

1

n m k

k n

+ − − + −

+ −

=

6.2 QUÁ TRÌNH POISSON CÓ PHÂN LOẠI

Xét quá trình Poisson {X(t);t≥0} với cường độ λ (tương ứng với quá trình đếm số lần xảy ra biến cố A) Giả sử mỗi khi biến cố A xảy ra thì nó được phân thành hai loại: loại I với xác suất p và loại II với xác suất q= 1− p Hơn nữa, giả sử sự phân loại biến cố này là độc lập với

sự phân loại biến cố kia

Chẳng hạn, khách đến cửa hàng theo quá trình Poisson {X(t);t≥0} với cường độ λ, khách được phân làm hai loại: nam với xác suất 1/2 và nữ với xác suất 1/2

Ta ký hiệu X1(t) và X2(t) là quá trình đếm tương ứng với biến cố loại I và biến cố loại II

Rõ ràng là X(t)= X1(t)+X2(t)

Định lý 6.3: Với các điều kiện trên ta có X1(t) và X2(t) là hai quá trình Poisson với cường độ tương ứng λp và λq Hơn nữa, hai quá trình này là độc lập

Chứng minh: Theo công thức xác suất đầy đủ

=

=

=

=

=

=

=

=

2

k

k t X P k t X m t X n t X P m

t X n t

X

Vì X(t)= X1(t)+X2(t)⇒ P{X1(t)=n, X2(t)=m X(t)=k}=0 ∀ k≠n+m, do đó {X t n X t m} P{X t n X t m X t n m}P{X t n m}

P 1()= , 2( )= = 1()= , 2( )= ( )= + ()= +

Mặt khác trong n + biến cố có n biến cố loại I và m biến cố loại II Do đó, từ giả thiết m

độc lập của sự phân loại biến cố và { ( ) } ( )

n m t

t

n m

λ

−

+ suy ra:

( ) , ( )

n m

+

+

0

( )

!

n tp m

tp

n

λ

λ

∞

−

=

Điều này chứng tỏ {X1(t);t≥0} là quá trình Poisson với cường độ λp

Tương tự {X2(t);t≥0} là quá trình Poisson với cường độ λq

6.3 PHÂN BỐ ĐỀU VÀ QUÁ TRÌNH POISSON

Giả sử ta có một đoạn thẳng chiều dài bằng t và có n hạt cho trước Ta rải các hạt lên đoạn

thẳng này sao cho vị trí của các hạt trên đoạn này lập thành n biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố

đểu (mỗi hạt đồng khả năng rơi vào từng điểm) Ta ký hiệu U là vị trí của hạt thứ k

n

k

k; =1,2, , Theo cách rải của ta thì U ,1, U n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân

bố đều với hàm mật độ

1

0 ( )

U

u t

f u t

⎪

= ⎨

⎪⎩

nÕu nÕu ng−îc l¹i

Bây giờ ta sắp xếp lại dãy các vị trí theo thứ tự từ bé đến lớn Bằng cách ấy ta được dãy

1 2 n

T ≤ T ≤ ≤ T , trong đó T1 là bé nhất trong số U ,1, U n; tương tự T2 là bé thứ hai trong

số U ,1, U n Ta gọi T T1 2, , , Tn là thống kê thứ tự của phân bố đều trên đoạn (0; t]

Định lý 6.4: Hàm phân bố đồng thời của T T1 2, , , Tn có hàm mật độ là

n

t

= víi < < < < ≤ (6.12)

Định lý 6.5: Giả sử {X(t);t≥0} là quá trình Poisson với tham số λ và T T1, , ,2 Tn là các thời gian đến trong quá trình Poisson này Khi đó, với điều kiện X(t)=n, phân bố đồng thời của

1, , ,2 n

T T T có mật độ

!

n

n

t

= = víi < < < < ≤ (6.13)

Ý nghĩa của định lý 6.5 là: Với điều kiện có đúng n biến cố xảy ra trong khoảng thời gian

]

;

0

( t thì các thời gian đến là thống kê thứ tự của phân bố đều trên đoạn ( t 0; ]

Ví dụ 6.3: Khách đến một cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ λ Mỗi khách hàng trả 1 nghìn đồng để vào cửa tại thời điểm t = 0 Sau đó giá được giảm theo thời gian với tốc độ hạ giá

là β Ta cần tính số tiền trung bình M cửa hàng thu được trong khoảng thời gian (0;t]

Khách hàng thứ k đến tại thời điểm Tk nên phải trả vé vào cửa với giá e−βT k Gọi N (t) là

số khách đến trong khoảng thời gian ( t thì 0; ]

( ) 1

N t

T k

M e−β

=

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có

( )

N t

T

M ∞ e−β N t n P N t n

Giả sử U ,1, U n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân bố đều trên đoạn [0;t] Do tính chất giao hoán của phép cộng trong công thức

( ) 1

N t

T k

e−β

=

⎝ ∑ ⎠ và định lý 6.5 ta có ( )

0

t

β

1

n

∞

=

6.4 QUÁ TRÌNH POISSON PHỨC HỢP

Định nghĩa 6.3: Giả sử {X(t);t≥0} là quá trình Poisson với cường độ λ> 0 { }Y n n∞=1 dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với {X(t);t≥0} Khi đó ta gọi

∑

=

≥

= ( ) 1

0

; )

(

t X

k

k t Y t

là quá trình Poisson phức hợp

Ví dụ 6.4: 1 Nếu Y k ≡1 thì Z(t)= X(t) Do đó, quá trình Poisson thông thường là quá trình Poisson phức hợp

2 Giả sử khách rời cửa hàng là quá trình Poisson và tiền mua hàng của khách là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với số khách Khi đó ta có quá trình Poisson phức hợp Z (t) là tiền bán hàng thu được tính đến thời điểm t

3 Các cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson và thời gian gọi của mỗi cuộc là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố và dãy này độc lập với các cuộc gọi đến Khi đó tổng thời gian của tất cả các cuộc gọi cho đến thời điểm t là một quá trình Poisson phức hợp

4 Giả sử các lần chuyển đổi tại thị trường chứng khoán diễn ra theo quá trình Poisson Gọi

k

Y là lượng thay đổi giá cổ phiếu giữa lần chuyển đổi thứ k−1 và thứ k Khi đó ta có quá trình

Poisson phức hợp Z (t) là sự biến động tổng cộng giá cổ phiếu tính đến thời điểm t

Định lý 6.6: Kỳ vọng và phương sai của quá trình Poisson phức hợp:

E ( )Z t =λt YE 1 ; var ( )Z t =λt YE 12, (6.15)

Hàm phân bố

0

( )

!

n t n n

t

n

λ

λ

∞

−

=

trong đó F0(z)= ,1 ∀ z,

F1(z)=F X1(z)= P{X1<z}, ∀ z,

F n (z) là hàm phân bố của Y1+ "+Y n

Đặc biệt nếu Y1+ "+Y n có phân bố mũ tham số µ thì F n (z) là hàm phân bố Erlang tham số n,µ

1

0

( ) 1

n

n

Ví dụ 6.5 (Mô hình chấn động) Giả sửX (t) là số lần chấn động trong hệ nào đó và Y là lượng k

thiệt hại tổng cộng do chấn động thứ k gây ra P{Y k ≥0}=1 Khi đó Z (t) là lượng thiệt hại tổng cộng do chấn động gây ra tính đến thời điểm t Hệ tiếp tục làm việc khi lượng thiệt hại tổng cộng

bé hơn a và ngừng hoạt động trong trường hợp ngược lại Ký hiệu T là thời điểm hệ ngừng hoạt

động Tính E (là thời gian trung bình hệ ngừng hoạt động) T

Giải: Ta có T > khi và chỉ khi t Z(t)<a, tức là {T >t} {= Z(t)<a}

0

( )

!

n t n n

t

n

λ

λ

∞

−

=

!

n t

t

n

λ

λ

λ

−

Đặc biệt khi các Y có phân bố mũ tham số µ thì k

Nhận xét 6.2 : Trong ví dụ trên ta đã sử dụng công thức tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận

giá trị không âm Nếu X là biến ngẫu nhiên, X ≥0 thì { }

0

∞

=∫ > Đặc biệt X là

biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị k =0,1,2, thì { } { }

E

BÀI TẬP

6.1 Các bức điện gửi tới bưu điện là quá trình Poisson với tốc độ trung bình 3 bức trong 1 giờ

a) Tính xác suất để từ 8h00 đến 12h00 không có bức điện nào

b) Tính phân bố của thời điểm tại đó nhận được bức điện đầu tiên sau 12h00

6.2 Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson X (t) với tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong một đơn vị thời gian Hãy tính:

a) P{X(1)=2} và P{X(1)= X2, (3)=6}

b) P X { (1) 2 = X (3) 6 = } và P X { (3) 6 = X (1) 2 = }

6.3 Cho X(t),t≥0 là quá trình Poisson với cường độ λ=2 Hãy tính:

a) EX(2), EX2(1), E[X(1)⋅X(2)]

b) P{X(1)≤2} {, P X(1),X(2)=3}

6.10 Cho {X1(t),t≥0} và {X2(t),t≥0} là các quá trình Poisson độc lập với các cường độ là λ 1

và λ tương ứng Chứng minh rằng 2 {X(t)= X1(t)+ X2(t),t≥0} là quá trình Poisson với cường

độ là λ=λ1+λ2

6.11 Cho {X1(t),t≥0} và {X2(t),t≥0} là hai quá trình Poisson độc lập với các cường độ là λ 1

và λ tương ứng 2

a) Tính xác suất để X1(t)=1 trước khi X2(t)=1

b) Tính xác suất để X1(t)=2 trước khi X2(t)=2

c) Tính xác suất để X1(t)=n trước khi X2(t)=m

6.12 Khách tới cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ 5 người một giờ Biết rằng trong 2

giờ đầu đã có 12 khách tới, tính xác suất (có điều kiện) để có 5 khách tới trong giờ đầu tiên

6.13 Khách tới cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ 10 người một giờ Khách có thể

mua hàng với xác suất p=0,3 và không mua hàng với xác suất q =0,7 Tính xác suất để trong giờ đầu tiên có 9 người vào cửa hàng trong số đó 3 người mua hàng, 6 người không mua

6.14 Cho quá trình Poisson {X(t),t≥0} với tham số λ Gọi tn là thời gian đến trung gian thứ

n Hãy tính Et4 và E ⎡ ⎣ X (4) − X (2) X (1) 3 = ⎤ ⎦